grupo abeliano libre

Álgebra de sumas formales

En matemáticas , un grupo abeliano libre es un grupo abeliano con una base . Ser un grupo abeliano significa que es un conjunto con una operación de suma asociativa , conmutativa e invertible. Una base, también llamada base integral , es un subconjunto tal que cada elemento del grupo puede expresarse de forma única como una combinación entera de un número finito de elementos de base. Por ejemplo, la red de enteros bidimensional forma un grupo abeliano libre, con la suma de coordenadas como operación y con los dos puntos (1,0) y (0,1) como base. Los grupos abelianos libres tienen propiedades que los hacen similares a los espacios vectoriales y, de manera equivalente, pueden denominarse módulos libres , los módulos libres sobre los números enteros. La teoría de la red estudia subgrupos abelianos libres de espacios vectoriales reales . En topología algebraica , los grupos abelianos libres se utilizan para definir grupos de cadenas , y en geometría algebraica se utilizan para definir divisores . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Los elementos de un grupo abeliano libre con base pueden describirse de varias formas equivalentes. Estos incluyen sumas formales sobre , que son expresiones de la forma en la que cada una es un número entero distinto de cero, cada una es un elemento base distinto y la suma tiene un número finito de términos. Alternativamente, los elementos de un grupo abeliano libre pueden considerarse como conjuntos múltiples con signo que contienen un número finito de elementos de , con la multiplicidad de un elemento en el conjunto múltiple igual a su coeficiente en la suma formal. Otra forma de representar un elemento de un grupo abeliano libre es como una función desde a los números enteros con un número finito de valores distintos de cero; para esta representación funcional, la operación de grupo es la suma puntual de funciones. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\textstyle \sum a_{i}b_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Cada conjunto tiene como base un grupo abeliano libre . Este grupo es único en el sentido de que cada dos grupos abelianos libres con la misma base son isomorfos . En lugar de construirlo describiendo sus elementos individuales, se puede construir un grupo abeliano libre con base como una suma directa de copias del grupo aditivo de los números enteros, con una copia por miembro de . Alternativamente, el grupo abeliano libre con base puede describirse mediante una presentación con los elementos de como sus generadores y con los conmutadores de pares de miembros como sus reladores. El rango de un grupo abeliano libre es la cardinalidad de una base; cada dos bases para el mismo grupo dan el mismo rango, y cada dos grupos abelianos libres con el mismo rango son isomorfos. Cada subgrupo de un grupo abeliano libre es en sí mismo abeliano libre; este hecho permite entender un grupo abeliano general como un cociente de un grupo abeliano libre por "relaciones", o como un núcleo de un homomorfismo inyectivo entre grupos abelianos libres. Los únicos grupos abelianos libres que son grupos libres son el grupo trivial y el grupo cíclico infinito . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Definición y ejemplos

Una red en el plano euclidiano . Agregar dos puntos de red azules cualesquiera produce otro punto de red; el grupo formado por esta operación de suma es un grupo abeliano libre.

Un grupo abeliano libre es un grupo abeliano que tiene una base. ^[1] Aquí, ser un grupo abeliano significa que está descrito por un conjunto de sus elementos y una operación binaria sobre , convencionalmente denotado como un grupo aditivo por el símbolo (aunque no necesita ser la suma habitual de números) que obedece a la siguientes propiedades: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle +}$

• La operación es conmutativa y asociativa , es decir, para todos los elementos , , y de , y . Por lo tanto, al combinar dos o más elementos mediante esta operación, el orden y agrupación de los elementos no afecta el resultado. ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x+y=y+x}$ ${\displaystyle (x+y)+z=x+(y+z)}$ ${\displaystyle S}$
• ${\displaystyle S}$contiene un elemento de identidad (convencionalmente denominado ) con la propiedad de que, para cada elemento , . ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+0=0+x=x}$
• Cada elemento tiene un elemento inverso , tal que . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle -x}$ ${\displaystyle x+(-x)=0}$

Una base es un subconjunto de los elementos de con la propiedad de que cada elemento de puede formarse de una manera única eligiendo un número finito de elementos base de , eligiendo un número entero distinto de cero para cada uno de los elementos base elegidos y sumando copias de la base. elementos para los cuales es positivo y copias de para cada elemento base para los cuales es negativo. ^[2] Como caso especial, el elemento identidad siempre puede formarse de esta manera como la combinación de elementos de base cero, según la convención habitual para una suma vacía , y no debe ser posible encontrar ninguna otra combinación que represente el identidad. ^[3] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle -k_{i}}$ ${\displaystyle -b_{i}}$ ${\displaystyle k_{i}}$

Los números enteros , ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ bajo la operación de suma habitual, forman un grupo abeliano libre con la base . ${\displaystyle \{1\}}$Los números enteros son conmutativos y asociativos, con como identidad aditiva y cada número entero tiene un inverso aditivo , su negación. Cada número no negativo es la suma de copias de y cada entero negativo es la suma de copias de , por lo que la propiedad de la base también se cumple. ^[1] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -x}$ ${\displaystyle -1}$

Un ejemplo en el que la operación de grupo es diferente de la suma habitual de números lo dan los números racionales positivos , que forman un grupo abeliano libre con la operación de multiplicación habitual de números y con los números primos como base. La multiplicación es conmutativa y asociativa, teniendo el número como identidad y como elemento inverso de cada número racional positivo . El hecho de que los números primos formen la base para la multiplicación de estos números se deriva del teorema fundamental de la aritmética , según el cual todo número entero positivo puede descomponerse unívocamente en el producto de un número finito de números primos o de sus inversos. Si es un número racional positivo expresado en términos más simples, entonces puede expresarse como una combinación finita de los números primos que aparecen en las factorizaciones de y . El número de copias de cada primo a usar en esta combinación es su exponente en la factorización de , o la negación de su exponente en la factorización de . ^[4] ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{+}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1/x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle q=a/b}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Los polinomios de una sola variable , ${\displaystyle x}$ con coeficientes enteros, forman un grupo abeliano libre bajo suma de polinomios, con las potencias de como base. Como grupo abstracto, esto es lo mismo que (un grupo isomorfo ) el grupo multiplicativo de números racionales positivos. Una forma de relacionar estos dos grupos entre sí, mostrando que son isomorfos, es reinterpretar el exponente del número primo enésimo en el grupo multiplicativo de los racionales como si diera el coeficiente de en el polinomio correspondiente, o viceversa. Por ejemplo, el número racional tiene exponentes de para los tres primeros números primos y correspondería de esta manera al polinomio que tiene los mismos coeficientes para sus términos constante, lineal y cuadrático. Debido a que estas asignaciones simplemente reinterpretan los mismos números, definen una biyección entre los elementos de los dos grupos. Y debido a que la operación grupal de multiplicar racionales positivos actúa de manera aditiva sobre los exponentes de los números primos, de la misma manera que la operación grupal de sumar polinomios actúa sobre los coeficientes de los polinomios, estas aplicaciones preservan la estructura del grupo; son homomorfismos . Un homomorfismo biyectivo se llama isomorfismo y su existencia demuestra que estos dos grupos tienen las mismas propiedades. ^[5] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x^{i-1}}$ ${\displaystyle 5/27}$ ${\displaystyle 0,-3,1}$ ${\displaystyle 2,3,5}$ ${\displaystyle -3x+x^{2}}$ ${\displaystyle 0,-3,1}$

Aunque la representación de cada elemento del grupo en términos de una base determinada es única, un grupo abeliano libre generalmente tiene más de una base, y diferentes bases generalmente darán como resultado diferentes representaciones de sus elementos. Por ejemplo, si se reemplaza cualquier elemento de una base por su inverso, se obtiene otra base. Como ejemplo más elaborado, la red de enteros bidimensional , que consta de puntos en el plano con coordenadas cartesianas enteras , forma un grupo abeliano libre bajo suma vectorial con la base . ^[1] Sobre esta base, el elemento se puede escribir , donde 'multiplicación' se define de modo que, por ejemplo, . No hay otra manera de escribir sobre la misma base. Sin embargo, con una base diferente como , se puede escribir como . Generalizando este ejemplo, cada red forma un grupo abeliano libre generado finitamente . ^[6] La red de enteros de dimensión tiene una base natural que consiste en los vectores unitarios enteros positivos , pero también tiene muchas otras bases: si es una matriz entera con determinante , entonces las filas de forman una base, y a la inversa , cada base de la red de números enteros tiene esta forma. ^[7] Para más información sobre el caso bidimensional, consulte par de períodos fundamentales . ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \{(1,0),(0,1)\}}$ ${\displaystyle (4,3)}$ ${\displaystyle (4,3)=4\cdot (1,0)+3\cdot (0,1)}$ ${\displaystyle \ 4\cdot (1,0):=(1,0)+(1,0)+(1,0)+(1,0)}$ ${\displaystyle (4,3)}$ ${\displaystyle \{(1,0),(1,1)\}}$ ${\displaystyle (4,3)=(1,0)+3\cdot (1,1)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d\times d}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle M}$

Construcciones

Cada conjunto puede ser la base de un grupo abeliano libre, que es único hasta los isomorfismos de grupo. El grupo abeliano libre para un conjunto de bases dado se puede construir de varias maneras diferentes pero equivalentes: como una suma directa de copias de los números enteros, como una familia de funciones con valores enteros, como un multiconjunto con signo o mediante una presentación de un grupo. .

Productos y sumas

El producto directo de grupos consta de tuplas de un elemento de cada grupo del producto, con suma por componentes. El producto directo de dos grupos abelianos libres es en sí mismo abeliano libre, siendo la base la unión disjunta de las bases de los dos grupos. ^[8] De manera más general, el producto directo de cualquier número finito de grupos abelianos libres es abeliano libre. La red de enteros de dimensión , por ejemplo, es isomorfa al producto directo de copias del grupo de enteros . El grupo trivial también se considera abeliano libre, con base en el conjunto vacío . ^[9] Puede interpretarse como un producto vacío , el producto directo de cero copias de . ^[10] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Para infinitas familias de grupos abelianos libres, el producto directo no es necesariamente abeliano libre. ^[8] Por ejemplo , Reinhold Baer demostró en 1937 que el grupo Baer-Specker , un grupo incontable formado como producto directo de muchas copias contables de , no era abeliano libre, ^[11] aunque Ernst Specker demostró en 1950 que todos sus subgrupos contables son abelianos libres. ^[12] En cambio, para obtener un grupo abeliano libre de una familia infinita de grupos, se debe utilizar la suma directa en lugar del producto directo. La suma directa y el producto directo son iguales cuando se aplican a un número finito de grupos, pero difieren en familias infinitas de grupos. En la suma directa, los elementos son nuevamente tuplas de elementos de cada grupo, pero con la restricción de que todos, excepto un número finito de estos elementos, son la identidad de su grupo. La suma directa de infinitos grupos abelianos libres sigue siendo abeliano libre. Tiene una base que consta de tuplas en las que todos los elementos menos uno son la identidad, y el elemento restante forma parte de una base para su grupo. ^[8] ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Cada grupo abeliano libre puede describirse como una suma directa de copias de , ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ con una copia para cada miembro de su base. ^{[13] [14]} Esta construcción permite que cualquier conjunto se convierta en la base de un grupo abeliano libre. ^[15] ${\displaystyle B}$

Funciones enteras y sumas formales

Dado un conjunto , ${\displaystyle B}$ se puede definir un grupo cuyos elementos son funciones desde hasta números enteros, donde el paréntesis en el superíndice indica que solo se incluyen las funciones con un número finito de valores distintos de cero. Si y son dos de esas funciones, entonces es la función cuyos valores son sumas de los valores en y : es decir, . Esta operación de suma puntual da la estructura de un grupo abeliano. ^[dieciséis] ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle f+g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$

Cada elemento del conjunto dado corresponde a un miembro de , la función para la cual y para la cual para todos . Cada función es únicamente una combinación lineal de un número finito de elementos básicos: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$ ${\displaystyle e_{x}}$ ${\displaystyle e_{x}(x)=1}$ ${\displaystyle e_{x}(y)=0}$ ${\displaystyle y\neq x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$

$${\displaystyle f=\sum _{\{x\mid f(x)\neq 0\}}f(x)e_{x}.}$$

para y^[dieciséis] ${\displaystyle e_{x}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$ ${\displaystyle B}$

Los elementos de también pueden escribirse como sumas formales , expresiones en forma de suma de un número finito de términos, donde cada término se escribe como el producto de un número entero distinto de cero con un miembro distinto de . Estas expresiones se consideran equivalentes cuando tienen los mismos términos, independientemente del orden de los términos, y pueden sumarse formando la unión de los términos, sumando los coeficientes enteros para combinar términos con el mismo elemento base y eliminando términos para los cuales esta combinación produce un coeficiente cero. ^[4] También pueden interpretarse como conjuntos múltiples con signo de un número finito de elementos de . ^[17] ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Presentación

Una presentación de un grupo es un conjunto de elementos que generan el grupo (lo que significa que todos los elementos del grupo pueden expresarse como productos de un número finito de generadores), junto con los "relatores", productos de generadores que dan el elemento de identidad. Los elementos de un grupo así definido son clases de equivalencia de secuencias de generadores y sus inversas, bajo una relación de equivalencia que permite insertar o quitar cualquier relación o par generador-inverso como una subsecuencia contigua. El grupo abeliano libre con base tiene una presentación en la que los generadores son los elementos de , y los reladores son los conmutadores de pares de elementos de . Aquí, el conmutador de dos elementos y es el producto ; establecer este producto en la identidad hace que sea igual , por lo que y conmuta. De manera más general, si todos los pares de generadores conmutan, entonces todos los pares de productos de generadores también conmutan. Por lo tanto, el grupo generado por esta presentación es abeliano y los relatores de la presentación forman un conjunto mínimo de relatores necesarios para garantizar que sea abeliano. ^[18] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x^{-1}y^{-1}xy}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle yx}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Cuando el conjunto de generadores es finito, la presentación de un grupo abeliano libre también es finita, porque sólo hay un número finito de conmutadores diferentes para incluir en la presentación. Este hecho, junto con el hecho de que cada subgrupo de un grupo abeliano libre es abeliano libre (abajo) puede usarse para mostrar que cada grupo abeliano generado finitamente se presenta de manera finita. Porque, si es finitamente generado por un conjunto , es un cociente del grupo abeliano libre sobre un subgrupo abeliano libre, el subgrupo generado por los reladores de la presentación de . Pero dado que este subgrupo es en sí mismo abeliano libre, también se genera de forma finita y su base (junto con los conmutadores sobre ) forma un conjunto finito de reladores para una presentación de . ^[19] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle G}$

Como módulo

Los módulos sobre números enteros se definen de manera similar a los espacios vectoriales sobre números reales o números racionales : consisten en sistemas de elementos que se pueden sumar entre sí, con una operación de multiplicación escalar por números enteros compatible con esta operación de suma. Cada grupo abeliano puede considerarse como un módulo sobre los números enteros, con una operación de multiplicación escalar definida de la siguiente manera: ^[20]

Sin embargo, a diferencia de los espacios vectoriales, no todos los grupos abelianos tienen una base, de ahí el nombre especial de "libres" para aquellos que la tienen. Un módulo libre es un módulo que se puede representar como una suma directa sobre su anillo base , por lo que los grupos abelianos libres y los módulos libres son conceptos equivalentes: cada grupo abeliano libre es (con la operación de multiplicación anterior) un módulo libre, y cada free -module proviene de un grupo abeliano libre de esta manera. ^[21] Además de la suma directa, otra forma de combinar grupos abelianos libres es utilizar el producto tensorial de -módulos. El producto tensorial de dos grupos abelianos libres siempre es abeliano libre, con una base que es el producto cartesiano de las bases de los dos grupos del producto. ^[22] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Muchas propiedades importantes de los grupos abelianos libres pueden generalizarse a módulos libres sobre un dominio ideal principal . Por ejemplo, los submódulos de módulos libres sobre dominios ideales principales son libres, un hecho que, según Hatcher (2002), permite la "generalización automática" de la maquinaria homológica a estos módulos. ^[23] Además, el teorema de que todo módulo proyectivo es libre se generaliza de la misma manera. ^[24] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Propiedades

propiedad universal

Un grupo abeliano libre con base tiene la siguiente propiedad universal : para cada función desde hasta un grupo abeliano , existe un homomorfismo de grupo único desde hasta el cual se extiende . ^{[4] [9]} Aquí, un homomorfismo de grupo es un mapeo de un grupo a otro que es consistente con la ley del producto grupal: realizar un producto antes o después del mapeo produce el mismo resultado. Por una propiedad general de las propiedades universales, esto muestra que "el" grupo abeliano de base es único hasta un isomorfismo. Por lo tanto, la propiedad universal se puede utilizar como definición del grupo abeliano libre de base . La unicidad del grupo definido por esta propiedad muestra que todas las demás definiciones son equivalentes. ^[15] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Es por esta propiedad universal que los grupos abelianos libres se llaman "libres": son los objetos libres en la categoría de grupos abelianos , la categoría que tiene a los grupos abelianos como objetos y a los homomorfismos como flechas. El mapa de una base a su grupo abeliano libre es un funtor , un mapeo de categorías que preserva la estructura, desde conjuntos a grupos abelianos, y es adjunto al functor olvidadizo de grupos abelianos a conjuntos. ^[25] Sin embargo, un grupo abeliano libre no es un grupo libre excepto en dos casos: un grupo abeliano libre que tiene una base vacía (rango cero, dando el grupo trivial ) o que tiene solo un elemento en la base (rango uno, dando el grupo cíclico infinito ). ^{[9] [26]} Otros grupos abelianos no son grupos libres porque en los grupos libres deben ser diferentes de if y son elementos diferentes de la base, mientras que en los grupos abelianos libres los dos productos deben ser idénticos para todos los pares de elementos. En la categoría general de grupos , es una restricción adicional exigir que , mientras que esto es una propiedad necesaria en la categoría de grupos abelianos. ^[27] ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle ba}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ab=ba}$

Rango

Cada dos bases de un mismo grupo abeliano libre tienen la misma cardinalidad , por lo que la cardinalidad de una base forma una invariante del grupo conocida como su rango. ^{[28] [29]} Dos grupos abelianos libres son isomorfos si y sólo si tienen el mismo rango. ^[4] Un grupo abeliano libre se genera finitamente si y sólo si su rango es un número finito , en cuyo caso el grupo es isomorfo a . ^[30] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

Esta noción de rango puede generalizarse, desde grupos abelianos libres hasta grupos abelianos que no son necesariamente libres. El rango de un grupo abeliano se define como el rango de un subgrupo abeliano libre para el cual el grupo cociente es un grupo de torsión . De manera equivalente, es la cardinalidad de un subconjunto máximo de lo que genera un subgrupo libre. El rango es una invariante de grupo: no depende de la elección del subgrupo. ^[31] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/F}$ ${\displaystyle G}$

Subgrupos

Cada subgrupo de un grupo abeliano libre es en sí mismo un grupo abeliano libre. Este resultado de Richard Dedekind ^[32] fue un precursor del teorema análogo de Nielsen-Schreier de que todo subgrupo de un grupo libre es libre, y es una generalización del hecho de que todo subgrupo no trivial del grupo cíclico infinito es cíclico infinito . La prueba necesita el axioma de elección . ^[25] Una prueba que utiliza el lema de Zorn (uno de los muchos supuestos equivalentes al axioma de elección) se puede encontrar en Álgebra de Serge Lang . ^[33] Solomon Lefschetz e Irving Kaplansky sostienen que utilizar el principio de buen orden en lugar del lema de Zorn conduce a una prueba más intuitiva. ^[14]

En el caso de grupos abelianos libres generados finitamente, la prueba es más fácil, no necesita el axioma de elección y conduce a un resultado más preciso. Si es un subgrupo de un grupo abeliano libre finitamente generado , entonces es libre y existe una base de y enteros positivos (es decir, cada uno divide al siguiente) tal que es una base de Además, la secuencia depende sólo de y y no sobre la base. ^{[34] Cualquier algoritmo que calcule la} forma normal de Smith de una matriz de números enteros proporciona una prueba constructiva de la parte de existencia del teorema . ^[35] La unicidad se deriva del hecho de que, para cualquier , el máximo común divisor de los menores de rango de la matriz no cambia durante el cálculo de la forma normal de Smith y es el producto al final del cálculo. ^[36] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle d_{1}|d_{2}|\ldots |d_{k}}$ ${\displaystyle (d_{1}e_{1},\ldots ,d_{k}e_{k})}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle d_{1},d_{2},\ldots ,d_{k}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle r\leq k}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle d_{1}\cdots d_{r}}$

Torsión y divisibilidad

Todos los grupos abelianos libres están libres de torsión , lo que significa que no existe ningún elemento de grupo que no sea de identidad ni un número entero distinto de cero tal que . Por el contrario, todos los grupos abelianos libres de torsión generados finitamente son abelianos libres. ^{[9] [37]} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle nx=0}$

El grupo aditivo de números racionales proporciona un ejemplo de un grupo abeliano libre de torsión (pero no generado de forma finita) que no es abeliano libre. ^[38] Una razón por la que no es abeliano libre es que es divisible , lo que significa que, para cada elemento y cada número entero distinto de cero , es posible expresarlo como un múltiplo escalar de otro elemento  . Por el contrario, los grupos abelianos libres no triviales nunca son divisibles, porque en un grupo abeliano libre los elementos base no pueden expresarse como múltiplos de otros elementos. ^[39] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ny}$ ${\displaystyle y=x/n}$

Simetría

Las simetrías de cualquier grupo pueden describirse como automorfismos de grupo , los homomorfismos invertibles del grupo a sí mismo. En los grupos no abelianos, estos se subdividen en automorfismos internos y externos , pero en los grupos abelianos todos los automorfismos no identitarios son externos. Forman otro grupo, el grupo de automorfismos del grupo dado, bajo la operación de composición . El grupo de automorfismos de un grupo abeliano libre de rango finito es el grupo lineal general , que puede describirse concretamente (para una base específica del grupo de automorfismos libres) como el conjunto de matrices enteras invertibles bajo la operación de multiplicación de matrices . Su acción como simetrías en el grupo abeliano libre es simplemente una multiplicación matriz-vector. ^[40] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

Los grupos de automorfismo de dos grupos abelianos libres de rango infinito tienen las mismas teorías de primer orden entre sí, si y sólo si sus rangos son cardinales equivalentes desde el punto de vista de la lógica de segundo orden . Este resultado depende de la estructura de las involuciones de los grupos abelianos libres, los automorfismos que son sus propios inversos. Dada una base para un grupo abeliano libre, se pueden encontrar involuciones que asignan cualquier conjunto de pares disjuntos de elementos básicos entre sí, o que niegan cualquier subconjunto elegido de elementos básicos, dejando fijos los demás elementos básicos. Por el contrario, para cada involución de un grupo abeliano libre, se puede encontrar una base del grupo para la cual todos los elementos básicos se intercambian en pares, se niegan o se dejan sin cambios por la involución. ^[41]

Relación con otros grupos

Si un grupo abeliano libre es un cociente de dos grupos , entonces es la suma directa . ^[4] ${\displaystyle A/B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B\oplus A/B}$

Dado un grupo abeliano arbitrario , siempre existe un grupo abeliano libre y un homomorfismo de grupo sobreyectivo de a . Una forma de construir una sobreyección sobre un grupo dado es dejar que sea el grupo abeliano libre sobre , representado como sumas formales. Entonces se puede definir una sobreyección asignando sumas formales a las sumas correspondientes de los miembros de . Es decir, los mapas de sobreyección ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F=\mathbb {Z} ^{(A)}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \sum _{\{x\mid a_{x}\neq 0\}}a_{x}e_{x}\mapsto \sum _{\{x\mid a_{x}\neq 0\}}a_{x}x,}$$

^{[29] [42]} ${\displaystyle a_{x}}$ ${\displaystyle e_{x}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle e_{x}\mapsto x}$

Cuando y son como arriba, el núcleo de la sobreyección de a también es abeliano libre, ya que es un subgrupo de (el subgrupo de elementos asignados a la identidad). Por lo tanto, estos grupos forman una secuencia corta y exacta. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$

$${\displaystyle 0\to G\to F\to A\to 0}$$

grupo de factoresresolución gratuita^[2][43]objetos proyectivoscategoría de grupos abelianos^{[4] [44]} ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F/G}$ ${\displaystyle A}$

Aplicaciones

Topología algebraica

En topología algebraica , una suma formal de simples dimensionales se llama cadena, y el grupo abeliano libre que tiene una colección de simples simples como base se llama grupo de cadenas. ^[45] Los simples generalmente se toman de algún espacio topológico , por ejemplo como el conjunto de simples en un complejo simplicial , o el conjunto de simples simples en una variedad . Cualquier simplex -dimensional tiene un límite que puede representarse como una suma formal de símplices -dimensionales, y la propiedad universal de los grupos abelianos libres permite que este operador de límite se extienda a un homomorfismo de grupo de -cadenas a -cadenas. El sistema de grupos de cadenas unidos por operadores de frontera de esta manera forma un complejo de cadenas , y el estudio de los complejos de cadenas constituye la base de la teoría de la homología . ^[46] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (k-1)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (k-1)}$

Geometría algebraica y análisis complejo.

La función racional tiene un cero de orden cuatro en 0 (el punto negro en el centro del gráfico) y polos simples en los cuatro números complejos y (los puntos blancos en los extremos de los cuatro pétalos). Puede representarse (hasta un escalar) mediante el divisor, donde es el elemento base de un número complejo en un grupo abeliano libre sobre los números complejos. ${\displaystyle z^{4}/(z^{4}-1)}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \pm i}$ ${\displaystyle 4e_{0}-e_{1}-e_{-1}-e_{i}-e_{-i}}$ ${\displaystyle e_{z}}$ ${\displaystyle z}$

Cada función racional sobre números complejos puede asociarse con un multiconjunto con signo de números complejos , los ceros y los polos de la función (puntos donde su valor es cero o infinito). La multiplicidad de un punto en este multiconjunto es su orden como cero de la función, o la negación de su orden como polo. Entonces la función misma se puede recuperar a partir de estos datos, hasta un factor escalar , como ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle m_{i}}$

$${\displaystyle f(q)=\prod (q-c_{i})^{m_{i}}.}$$

funciones meromorfasesfera de Riemann^[47]

Esta construcción se ha generalizado, en geometría algebraica , a la noción de divisor . Existen diferentes definiciones de divisores, pero en general forman una abstracción de una codimensión: una subvariedad de una variedad algebraica , el conjunto de puntos solución de un sistema de ecuaciones polinómicas . En el caso en que el sistema de ecuaciones tiene un grado de libertad (sus soluciones forman una curva algebraica o superficie de Riemann ), una subvariedad tiene codimensión uno cuando consta de puntos aislados, y en este caso un divisor es nuevamente un multiconjunto de puntos con signo. de la variedad. ^[48] ​​Las funciones meromorfas en una superficie compacta de Riemann tienen un número finito de ceros y polos, y sus divisores forman un subgrupo de un grupo abeliano libre sobre los puntos de la superficie, con la multiplicación o división de funciones correspondiente a la suma o resta de elementos del grupo. . Para ser un divisor, un elemento del grupo abeliano libre debe tener multiplicidades que sumen cero y cumplir ciertas restricciones adicionales dependiendo de la superficie. ^[47]

Anillos de grupo

El grupo integral anillo , para cualquier grupo , es un anillo cuyo grupo aditivo es el grupo abeliano libre . ^[49] Cuando es finito y abeliano, el grupo multiplicativo de unidades tiene la estructura de un producto directo de un grupo finito y un grupo abeliano libre finitamente generado. ^{[50] [51]} ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$

Referencias

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2. Vick, James W. (1994), Teoría de la homología: introducción a la topología algebraica, Textos de posgrado en matemáticas, vol. 145, Springer, págs.4, 70, ISBN 9780387941264
3. Algunas fuentes definen los grupos abelianos libres con la condición de que la única representación de la identidad sea la suma vacía, en lugar de tratarla como un caso especial de representación única de todos los elementos del grupo; véase, por ejemplo, Sims (1994).
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