Dentro de una expresión que contiene dos o más apariciones seguidas del mismo operador asociativo, el orden en que se realizan las operaciones no importa siempre que no se cambie la secuencia de los operandos . Es decir (después de reescribir la expresión entre paréntesis y en notación infija si es necesario), reorganizar los paréntesis en dicha expresión no cambiará su valor. Considere las siguientes ecuaciones:
Aunque se reorganizaron los paréntesis en cada línea, los valores de las expresiones no se modificaron. Dado que esto es cierto al realizar la suma y la multiplicación de cualquier número real , se puede decir que "la suma y la multiplicación de números reales son operaciones asociativas".
La asociatividad no es lo mismo que la conmutatividad , que aborda si el orden de dos operandos afecta el resultado. Por ejemplo, el orden no importa en la multiplicación de números reales, es decir, a × b = b × a , por lo que decimos que la multiplicación de números reales es una operación conmutativa. Sin embargo, operaciones como la composición de funciones y la multiplicación de matrices son asociativas, pero no (generalmente) conmutativas.
Las operaciones asociativas abundan en matemáticas; de hecho, muchas estructuras algebraicas (como semigrupos y categorías ) requieren explícitamente que sus operaciones binarias sean asociativas.
Sin embargo, muchas operaciones importantes e interesantes no son asociativas; algunos ejemplos incluyen la resta , la exponenciación y el producto vectorial . A diferencia de las propiedades teóricas de los números reales, la suma de números de coma flotante en informática no es asociativa y la elección de cómo asociar una expresión puede tener un efecto significativo en el error de redondeo.
Definición
Formalmente, una operación binaria ∗ sobre un conjunto S se llama asociativa si satisface la ley asociativa :
( x ∗ y ) ∗ z = x ∗ ( y ∗ z ) para todo x , y , z en S .
Aquí, ∗ se utiliza para reemplazar el símbolo de la operación, que puede ser cualquier símbolo, e incluso la ausencia de símbolo ( yuxtaposición ) como para la multiplicación .
( x y ) z = x ( y z ) = x y z para todo x , y , z en S .
La ley asociativa también se puede expresar en notación funcional así: f ( f ( x , y ), z ) = f ( x , f ( y , z )) .
Derecho asociativo generalizado
Si una operación binaria es asociativa, la aplicación repetida de la operación produce el mismo resultado independientemente de cómo se inserten pares válidos de paréntesis en la expresión. [2] Esto se llama ley asociativa generalizada . Por ejemplo, un producto de cuatro elementos se puede escribir, sin cambiar el orden de los factores, de cinco maneras posibles:
( ( a B C D _
( a B C D ) _
( a B C D _ _
a B C D ) _ _
a B C D ) ) _
Si la operación del producto es asociativa, la ley asociativa generalizada dice que todas estas expresiones producirán el mismo resultado. Entonces, a menos que la expresión con paréntesis omitidos ya tenga un significado diferente (ver más abajo), los paréntesis pueden considerarse innecesarios y "el" producto puede escribirse sin ambigüedades como
Un ejemplo en el que esto no funciona es el bicondicional lógico ↔ . Es asociativo; por lo tanto, A ↔ ( B ↔ C ) es equivalente a ( A ↔ B ) ↔ C , pero A ↔ B ↔ C significa más comúnmente ( A ↔ B ) y ( B ↔ C ) , que no es equivalente.
Ejemplos
Algunos ejemplos de operaciones asociativas incluyen los siguientes.
La concatenación de las tres cadenas "hello", " ", "world"se puede calcular concatenando las dos primeras cadenas (dando "hello ") y añadiendo la tercera cadena ( "world"), o uniendo la segunda y la tercera cadena (dando " world") y concatenando la primera cadena ( "hello") con el resultado. Los dos métodos producen el mismo resultado; La concatenación de cadenas es asociativa (pero no conmutativa).
Debido a la asociatividad, los paréntesis de agrupación se pueden omitir sin ambigüedad.
La operación trivial x ∗ y = x (es decir, el resultado es el primer argumento, sin importar cuál sea el segundo argumento) es asociativa pero no conmutativa. Asimismo, la operación trivial x ∘ y = y (es decir, el resultado es el segundo argumento, sin importar cuál sea el primero) es asociativa pero no conmutativa.
La suma y multiplicación de números complejos y cuaterniones son asociativas. La suma de octoniones también es asociativa, pero la multiplicación de octoniones no es asociativa.
Si M es algún conjunto y S denota el conjunto de todas las funciones de M a M , entonces la operación de composición de funciones en S es asociativa:
De manera un poco más general, dados cuatro conjuntos M , N , P y Q , con h : M → N , g : N → P y f : P → Q , entonces
como antes. En definitiva, la composición de mapas es siempre asociativa.
En la teoría de categorías , la composición de morfismos es asociativa por definición. La asociatividad de functores y transformaciones naturales se deriva de la asociatividad de morfismos.
Considere un conjunto con tres elementos, A , B y C. La siguiente operación:
es asociativo. Así, por ejemplo, A ( B C ) = ( A B ) C = A . Esta operación no es conmutativa.
En matemáticas, la suma y multiplicación de números reales es asociativa. Por el contrario, en informática, la suma y multiplicación de números de coma flotante no es asociativa, ya que se introducen errores de redondeo cuando se unen valores de tamaños diferentes. [7]
Aunque la mayoría de las computadoras calculan con 24 o 53 bits de mantisa, [8] esta es una fuente importante de error de redondeo, y enfoques como el algoritmo de suma de Kahan son formas de minimizar los errores. Puede resultar especialmente problemático en la computación paralela. [9] [10]
Notación para operaciones no asociativas
En general, se deben utilizar paréntesis para indicar el orden de evaluación si una operación no asociativa aparece más de una vez en una expresión (a menos que la notación especifique el orden de otra manera, como ). Sin embargo, los matemáticos acuerdan un orden particular de evaluación para varias operaciones no asociativas comunes. Esto es simplemente una convención de notación para evitar paréntesis.
Una operación asociativa por la izquierda es una operación no asociativa que convencionalmente se evalúa de izquierda a derecha, es decir,
mientras que una operación asociativa por la derecha se evalúa convencionalmente de derecha a izquierda:
Se producen operaciones asociativas por izquierda y por derecha. Las operaciones asociativas por izquierda incluyen las siguientes:
Resta y división de números reales [11] [12] [13] [14] [15]
Aplicación de funciones
Esta notación puede estar motivada por el isomorfismo curry , que permite una aplicación parcial.
Las operaciones asociativas por derecha incluyen las siguientes:
Exponenciación de números reales en notación de superíndice
La exponenciación se usa comúnmente entre paréntesis o de forma asociativa por la derecha porque una operación de exponenciación asociativa por la izquierda repetida es de poca utilidad. Las potencias repetidas se reescribirían en su mayoría con multiplicación:
Con el formato correcto, el superíndice se comporta inherentemente como un conjunto de paréntesis; por ejemplo, en la expresión, la suma se realiza antes de la exponenciación a pesar de que no hay paréntesis explícitos alrededor de ella. Así, dada una expresión como , primero se evalúa el exponente completo de la base . Sin embargo, en algunos contextos, especialmente al escribir a mano, la diferencia entre y puede ser difícil de ver. En tal caso, suele estar implícita la asociatividad por la derecha.
William Rowan Hamilton parece haber acuñado el término "propiedad asociativa" [17] alrededor de 1844, época en la que contemplaba el álgebra no asociativa de los octoniones que había aprendido de John T. Graves . [18]
Ver también
Busque propiedad asociativa en Wikcionario, el diccionario gratuito.
^ Hungerford, Thomas W. (1974). Álgebra (1ª ed.). Saltador . pag. 24.ISBN _978-0387905181. Definición 1.1 (i) a(bc) = (ab)c para todo a, b, c en G.
^ Durbin, John R. (1992). Álgebra moderna: una introducción (3ª ed.). Nueva York: Wiley. pag. 78.ISBN _978-0-471-51001-7. Si son elementos de un conjunto con operación asociativa, entonces el producto es inequívoco; es decir, se obtendrá el mismo elemento independientemente de cómo se inserten los paréntesis en el producto.
^ "Asociatividad de productos de matriz". Academia Khan . Consultado el 5 de junio de 2016 .
^ Moore, Brooke Noël; Parker, Richard (2017). Pensamiento crítico (12ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill Education. pag. 321.ISBN _9781259690877.
^ Copi, Irving M.; Cohen, Carl; McMahon, Kenneth (2014). Introducción a la lógica (14ª ed.). Essex: Educación Pearson. pag. 387.ISBN _9781292024820.
^ Hurley, Patrick J.; Watson, Lori (2016). Una introducción concisa a la lógica (13ª ed.). Boston: Aprendizaje Cengage. pag. 427.ISBN _9781305958098.
^ IEEE Computer Society (29 de agosto de 2008). Estándar IEEE para aritmética de coma flotante . doi :10.1109/IEEESTD.2008.4610935. ISBN978-0-7381-5753-5. Norma IEEE 754-2008.
^ Villa, Oreste; Chavarría-mir, Daniel; Gurumoorthi, Vidhya; Márquez, Andrés; Krishnamoorthy, Sriram, Efectos de la no asociatividad de coma flotante en cálculos numéricos en sistemas masivamente multiproceso (PDF) , archivado desde el original (PDF) el 15 de febrero de 2013 , recuperado 8 de abril 2014
^ Goldberg, David (marzo de 1991). "Lo que todo informático debería saber sobre la aritmética de punto flotante" (PDF) . Encuestas de Computación ACM . 23 (1): 5–48. doi :10.1145/103162.103163. S2CID 222008826. Archivado (PDF) desde el original el 19 de mayo de 2022 . Consultado el 20 de enero de 2016 .
^ George Mark Bergman "Orden de las operaciones aritméticas"
^ "El orden de las operaciones". Lugar de Educación.
^ "El orden de las operaciones", marca de tiempo 5m40s. Academia Khan .
^ "Uso del orden de operaciones y exploración de propiedades" Archivado el 16 de julio de 2022 en Wayback Machine , sección 9. Departamento de Educación de Virginia.
^ Bronstein, de:Taschenbuch der Mathematik , páginas 115-120, capítulo: 2.4.1.1, ISBN 978-3-8085-5673-3
^ Codeplea de asociatividad de exponenciación y notación matemática estándar. 23 de agosto de 2016. Consultado el 20 de septiembre de 2016.