Cadena (topología algebraica)

Una combinación lineal formal

En topología algebraica , una cadena k es una combinación lineal formal de las k -células en un complejo de células . En complejos simpliciales (respectivamente, complejos cúbicos ), k -cadenas son combinaciones de k -simplices (respectivamente, k -cubos), ^{[1] [2] [3]} pero no necesariamente conectados. Las cadenas se utilizan en homología ; los elementos de un grupo de homología son clases de equivalencia de cadenas.

Definición

Para un complejo simplicial , el grupo de cadenas de viene dado por: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{n}(X)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle C_{n}(X)=\left\{\sum \limits _{i}m_{i}\sigma _{i}|m_{i}\in \mathbb {Z} \right\}}$

donde son singulares -simplices de . que cualquier elemento no es necesario que sea un complejo simplicial conexo. ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{n}(X)}$

Integración en cadenas

La integración se define en cadenas tomando la combinación lineal de integrales sobre los simples en la cadena con coeficientes (que normalmente son números enteros). El conjunto de todas las k -cadenas forma un grupo y la secuencia de estos grupos se llama complejo de cadenas .

Operador de límites en cadenas

El límite de una curva poligonal es una combinación lineal de sus nodos; en este caso, alguna combinación lineal de A ₁ a A ₆ . Suponiendo que todos los segmentos están orientados de izquierda a derecha (en orden creciente de A _k a A _{k +1} ), el límite es A ₆ − A ₁ .

Una curva poligonal cerrada, asumiendo una orientación consistente, tiene límite nulo.

El límite de una cadena es la combinación lineal de los límites de los simples en la cadena. El límite de una k -cadena es una ( k −1)-cadena. Tenga en cuenta que el límite de un simplex no es un simplex, sino una cadena con coeficientes 1 o −1; por lo tanto, las cadenas son el cierre de simples bajo el operador de límite.

Ejemplo 1: El límite de un camino es la diferencia formal de sus puntos finales: es una suma telescópica . Para ilustrar, si la cadena 1 es un camino de un punto a otro , donde y son sus 1-símplices constituyentes, entonces ${\displaystyle c=t_{1}+t_{2}+t_{3}\,}$ ${\displaystyle v_{1}\,}$ ${\displaystyle v_{4}\,}$ ${\displaystyle t_{1}=[v_{1},v_{2}]\,}$ ${\displaystyle t_{2}=[v_{2},v_{3}]\,}$ ${\displaystyle t_{3}=[v_{3},v_{4}]\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{1}c&=\partial _{1}(t_{1}+t_{2}+t_{3})\\&=\partial _{1}(t_{1})+\partial _{1}(t_{2})+\partial _{1}(t_{3})\\&=\partial _{1}([v_{1},v_{2}])+\partial _{1}([v_{2},v_{3}])+\partial _{1}([v_{3},v_{4}])\\&=([v_{2}]-[v_{1}])+([v_{3}]-[v_{2}])+([v_{4}]-[v_{3}])\\&=[v_{4}]-[v_{1}].\end{aligned}}}$

Ejemplo 2: El límite del triángulo es una suma formal de sus aristas con signos dispuestos para hacer el recorrido del límite en sentido antihorario.

Una cadena se llama ciclo cuando su frontera es cero. Una cadena que es límite de otra cadena se llama límite . Los límites son ciclos, por lo que las cadenas forman un complejo de cadenas , cuyos grupos de homología (ciclos módulo límites) se denominan grupos de homología simple .

Ejemplo 3: El plano perforado en el origen tiene un grupo de homología 1 no trivial ya que el círculo unitario es un ciclo, pero no un límite.

En geometría diferencial , la dualidad entre el operador de frontera en cadenas y la derivada exterior se expresa mediante el teorema general de Stokes .

Referencias

1. Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-79540-0.
2. Lee, John M. (2011). Introducción a las variedades topológicas (2ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 978-1441979391. OCLC  697506452.
3. Kaczynski, Tomasz; Mischaikow, Konstantin; Mrozek, Marian (2004). Homología computacional . Ciencias Matemáticas Aplicadas. vol. 157. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/b97315. ISBN 0-387-40853-3. SEÑOR  2028588.