Conjunto múltiple

En matemáticas , un multiconjunto (o bolsa , o mset ) es una modificación del concepto de conjunto que, a diferencia de un conjunto, ^[1] permite múltiples instancias para cada uno de sus elementos . El número de instancias dadas para cada elemento se denomina multiplicidad de ese elemento en el conjunto múltiple. Como consecuencia, existe un número infinito de multiconjuntos que contienen solo elementos $a$ y $b$ , pero varían en las multiplicidades de sus elementos:

El conjunto ${a, b}$ contiene solo los elementos $a$ y $b$ , cada uno de los cuales tiene multiplicidad 1 cuando ${a, b}$ se considera un conjunto múltiple.
En el conjunto múltiple ${a, a, b}$ , el elemento $a$ tiene multiplicidad 2 y $b$ tiene multiplicidad 1.
En el conjunto múltiple ${a, a, a, b, b, b}$ , $a$ y $b$ tienen multiplicidad 3.

Todos estos objetos son diferentes cuando se ven como conjuntos múltiples, aunque son el mismo conjunto, ya que todos constan de los mismos elementos. Al igual que con los conjuntos, y a diferencia de las tuplas , el orden en el que se enumeran los elementos no importa al discriminar multiconjuntos, por lo que ${a, a, b}$ y ${a, b, a}$ denotan el mismo multiconjunto. Para distinguir entre conjuntos y multiconjuntos, a veces se utiliza una notación que incorpora corchetes: el multiconjunto ${a, a, b}$ puede denotarse por $[a, a, b]$ . ^[2]

La cardinalidad de un multiconjunto es la suma de las multiplicidades de todos sus elementos. Por ejemplo, en el multiconjunto ${a, a, b, b, b, c}$ las multiplicidades de los miembros $a$ , $b$ y $c$ son respectivamente 2, 3 y 1, y por lo tanto la cardinalidad de este multiconjunto es 6.

Nicolaas Govert de Bruijn acuñó la palabra multiset en los años 70, según Donald Knuth . ^[3]^{: 694} Sin embargo, el concepto de multiconjunto es anterior a la acuñación de la palabra multiconjunto por muchos siglos. El propio Knuth atribuye el primer estudio de conjuntos múltiples al matemático indio Bhāskarāchārya , quien describió permutaciones de conjuntos múltiples alrededor de 1150. Se han propuesto o utilizado otros nombres para este concepto, incluidos lista , grupo , bolsa , montón , muestra , conjunto ponderado , colección y suite . ^[3]^{: 694}

Historia

Wayne Blizard rastreó los conjuntos múltiples hasta el origen mismo de los números, argumentando que "en la antigüedad, el número n a menudo se representaba mediante una colección de n trazos, marcas de conteo o unidades". ^[4] Estas y otras colecciones similares de objetos pueden considerarse conjuntos múltiples, porque los trazos, las marcas de conteo o las unidades se consideran indistinguibles. Esto muestra que la gente usaba implícitamente conjuntos múltiples incluso antes de que surgieran las matemáticas.

Las necesidades prácticas de esta estructura han provocado que los conjuntos múltiples sean redescubiertos varias veces, apareciendo en la literatura con diferentes nombres. ^[5]^{: 323} Por ejemplo, eran importantes en los primeros lenguajes de IA , como QA4, donde se los conocía como bolsas, un término atribuido a Peter Deutsch . ^[6] Un conjunto múltiple también se ha denominado agregado, montón, grupo, muestra, conjunto ponderado, conjunto de ocurrencias y conjunto de fuego (conjunto de elementos infinitamente repetidos). ^[5]^{: 320}^[7]

Aunque los multiconjuntos se utilizaron implícitamente desde la antigüedad, su exploración explícita se produjo mucho más tarde. El primer estudio conocido de conjuntos múltiples se atribuye al matemático indio Bhāskarāchārya alrededor de 1150, quien describió permutaciones de conjuntos múltiples. ^[3]^{: 694} El trabajo de Marius Nizolius (1498-1576) contiene otra referencia temprana al concepto de conjuntos múltiples. ^[8] Athanasius Kircher encontró el número de permutaciones de conjuntos múltiples cuando un elemento se puede repetir. ^[9] Jean Prestet publicó una regla general para permutaciones de conjuntos múltiples en 1675. ^[10] John Wallis explicó esta regla con más detalle en 1685. ^[11]

Los multiconjuntos aparecieron explícitamente en la obra de Richard Dedekind . ^[12]^[13]

Otros matemáticos formalizaron conjuntos múltiples y comenzaron a estudiarlos como estructuras matemáticas precisas en el siglo XX. Por ejemplo, Whitney (1933) describió conjuntos generalizados ("conjuntos" cuyas funciones características pueden tomar cualquier valor entero : positivo, negativo o cero). ^[5]^{: 326}^[14]^{: 405} Monro (1987) investigó la categoría Mul de multiconjuntos y sus morfismos , definiendo un multiconjunto como un conjunto con una relación de equivalencia entre elementos "del mismo tipo ", y un morfismo entre multiconjuntos como un función que respeta los tipos . También introdujo un multinúmero : una función f ( x ) de un multiconjunto a los números naturales , que da la multiplicidad del elemento x en el multiconjunto. Monro argumentó que los conceptos de multiconjunto y multinúmero a menudo se mezclan indiscriminadamente, aunque ambos son útiles. ^[5]^{: 327–328}^[15]

Ejemplos

Uno de los ejemplos más simples y naturales es el conjunto múltiple de factores primos de un número natural $n$ . Aquí el conjunto subyacente de elementos es el conjunto de factores primos de $n$ . Por ejemplo, el número 120 tiene la factorización prima.

120=2^{3}3^{1}5^{1}

{2, 2, 2, 3, 5}

Un ejemplo relacionado es el conjunto múltiple de soluciones de una ecuación algebraica . Una ecuación cuadrática , por ejemplo, tiene dos soluciones. Sin embargo, en algunos casos ambos son el mismo número. Por lo tanto, el conjunto múltiple de soluciones de la ecuación podría ser ${3, 5}$ o podría ser ${4, 4}$ . En el último caso tiene una solución de multiplicidad 2. De manera más general, el teorema fundamental del álgebra afirma que las soluciones complejas de una ecuación polinómica de grado $d$ siempre forman un multiconjunto de cardinalidad $d$ .

Un caso especial de lo anterior son los valores propios de una matriz , cuya multiplicidad suele definirse como su multiplicidad como raíces del polinomio característico . Sin embargo, otras dos multiplicidades se definen naturalmente para los valores propios, sus multiplicidades como raíces del polinomio mínimo y la multiplicidad geométrica , que se define como la dimensión del núcleo de $A - λI$ (donde $λ$ es un valor propio de la matriz $A$ ). Estas tres multiplicidades definen tres conjuntos múltiples de valores propios, que pueden ser todos diferentes: Sea $A$ una matriz $n \times n$ en forma normal de Jordan que tiene un único valor propio. Su multiplicidad es $n$ , su multiplicidad como raíz del polinomio mínimo es el tamaño del bloque de Jordan más grande y su multiplicidad geométrica es el número de bloques de Jordan.

Definición

Un multiconjunto puede definirse formalmente como un par ordenado $(A, m)$ donde $A$ es el conjunto subyacente del multiconjunto, formado a partir de sus distintos elementos, y es una función de $A$ al conjunto de números enteros positivos, dando la multiplicidad , es decir , el número de apariciones – del elemento $a$ en el conjunto múltiple como el número $m$ $($ $a$ $)$ . $m\dos puntos A\to \mathbb {Z} ^{+}$

(También es posible permitir la multiplicidad 0 o , especialmente cuando se consideran submulticonjuntos. ^[16] Este artículo está restringido a multiplicidades finitas y positivas). $\infty$

Representar la función $m$ por su gráfica (el conjunto de pares ordenados ) permite escribir el multiconjunto ${$ $a$ $,$ $a$ $,$ $b$ $}$ como $({$ $a$ $,$ $b$ $}, {($ $a$ $, 2), ($ $b$ $, 1)} )$ y el conjunto múltiple ${$ $a$ $,$ $b$ $}$ como $({$ $a$ $,$ $b$ $}, {($ $a$ $, 1), ($ $b$ $, 1)})$ . Sin embargo, esta notación no se utiliza habitualmente; Se emplean notaciones más compactas. $\{(a,m(a)):a\en A\}$

Si es un conjunto finito , el multiconjunto $($ $A$ $,$ $m$ $)$ a menudo se representa como $A=\{a_{1},\ldots,a_{n}\}$

\left\{a_{1}^{m(a_{1})},\ldots ,a_{n}^{m(a_{n})}\right\},\quad

a veces simplificado a

\quad a_{1}^{m(a_{1})}\cdots a_{n}^{m(a_{n})},

donde se omiten los índices superiores iguales a 1. Por ejemplo, el conjunto múltiple { a , a , b } puede escribirse o Si los elementos del conjunto múltiple son números, es posible una confusión con las operaciones aritméticas ordinarias , que normalmente se pueden excluir del contexto. Por otro lado, esta última notación es coherente con el hecho de que la factorización prima de un número entero positivo es un multiconjunto definido de forma única, como lo afirma el teorema fundamental de la aritmética . Además, un monomio es un conjunto múltiple de indeterminados ; por ejemplo, el monomio x ³y ² corresponde al multiconjunto { x , x , x , y , y }. $\{a^{2},b\}$ $a^{2}b.$

Un multiconjunto corresponde a un conjunto ordinario si la multiplicidad de cada elemento es 1. Una familia indexada $(a i) i \in I$ , donde $i$ varía según algún conjunto de índices I , puede definir un multiconjunto, a veces escrito ${a i}$ . En esta vista, el conjunto subyacente del conjunto múltiple viene dado por la imagen de la familia, y la multiplicidad de cualquier elemento $x$ es el número de valores de índice $i$ tales que . En este artículo las multiplicidades se consideran finitas, de modo que ningún elemento ocurre infinitas veces en la familia; incluso en un multiconjunto infinito, las multiplicidades son números finitos. $a_{i}=x$

Es posible ampliar la definición de un conjunto múltiple permitiendo que las multiplicidades de elementos individuales sean cardinales infinitos en lugar de números enteros positivos, pero no todas las propiedades se aplican a esta generalización.

Propiedades y operaciones básicas.

Los elementos de un multiconjunto generalmente se toman en un conjunto fijo $U$ , a veces llamado universo , que a menudo es el conjunto de números naturales . Se dice que un elemento de $U$ que no pertenece a un multiconjunto dado tiene una multiplicidad 0 en este multiconjunto. Esto extiende la función de multiplicidad del multiconjunto a una función de $U$ al conjunto de números enteros no negativos. Esto define una correspondencia uno a uno entre estas funciones y los multiconjuntos que tienen sus elementos en $U.$ $\mathbb {N}$

Esta función de multiplicidad extendida se denomina comúnmente simplemente función de multiplicidad y es suficiente para definir conjuntos múltiples cuando el universo que contiene los elementos ha sido fijo. Esta función de multiplicidad es una generalización de la función indicadora de un subconjunto y comparte algunas propiedades con ella.

El soporte de un multiconjunto en un universo $U$ es el conjunto subyacente del multiconjunto. Usando la función de multiplicidad , se caracteriza como $A$ $m$

\operatorname {Supp} (A):=\{x\in U\mid m_{A}(x)>0\}.

Un multiconjunto es finito si su soporte es finito o, de manera equivalente, si su cardinalidad

|A|=\sum _{x\in \operatorname {Supp} (A)}m_{A}(x)=\sum _{x\in U}m_{A}(x)

multiconjunto vacíovacío

Las operaciones habituales de conjuntos pueden extenderse a multiconjuntos utilizando la función de multiplicidad, de forma similar a utilizar la función indicadora para subconjuntos. A continuación, $A$ y $B$ son conjuntos múltiples en un universo dado $U$ , con funciones de multiplicidad y ${\ Displaystyle m_ {A}}$ $m_{B}.$

Inclusión: $A$ está incluido en $B$ , denotado $A \subseteq B$ , si $m_{A}(x)\leq m_{B}(x)\quad \forall x\in U.$
Unión: la unión (llamada, en algunos contextos, máximo o mínimo común múltiplo ) de $A$ y $B$ es el multiconjunto $C$ con función de multiplicidad ^[13] $m_{C}(x)=\max(m_{A}(x),m_{B}(x))\quad \forall x\in U.$
Intersección: la intersección (llamada, en algunos contextos, mínimo o máximo común divisor ) de $A$ y $B$ es el multiconjunto $C$ con función de multiplicidad $m_{C}(x)=\min(m_{A}(x),m_{B}(x))\quad \forall x\in U.$
Suma: la suma de $A$ y $B$ es el multiconjunto $C$ con función de multiplicidad $m_{C}(x)=m_{A}(x)+m_{B}(x)\quad \forall x\in U.$ Puede verse como una generalización de la unión disjunta de conjuntos. Define una estructura monoide conmutativa en los multiconjuntos finitos de un universo determinado. Este monoide es un monoide conmutativo libre , con el universo como base.
Diferencia: la diferencia de $A$ y $B$ es el multiconjunto $C$ con función de multiplicidad $m_{C}(x)=\max(m_{A}(x)-m_{B}(x),0)\quad \forall x\in U.$

Dos multiconjuntos son disjuntos si sus soportes son conjuntos disjuntos . Esto equivale a decir que su intersección es el multiconjunto vacío o que su suma es igual a su unión.

Existe un principio de inclusión-exclusión para multiconjuntos finitos (similar al de los conjuntos ), que establece que una unión finita de multiconjuntos finitos es la diferencia de dos sumas de multiconjuntos: en la primera suma consideramos todas las intersecciones posibles de un número impar de los multiconjuntos dados, mientras que en la segunda suma consideramos todas las posibles intersecciones de un número par de los multiconjuntos dados. ^{[ cita necesaria ]}

Contando series múltiples

El número de multiconjuntos de cardinalidad $k$ , con elementos tomados de un conjunto finito de cardinalidad $n$ , a veces se denomina coeficiente multiconjunto o número multiconjunto . Algunos autores escriben este número como una notación que pretende parecerse a la de los coeficientes binomiales ; se utiliza, por ejemplo, en (Stanley, 1997) y podría pronunciarse " $n$ multichoose $k$ " para parecerse a " $n$ select $k$ " porque Al igual que la distribución binomial que involucra coeficientes binomiales, existe una distribución binomial negativa en la que se presentan los coeficientes multiconjunto. . Los coeficientes multiconjunto no deben confundirse con los coeficientes multinomiales no relacionados que aparecen en el teorema multinomial . $\textstyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)$ ${\tbinom {n}{k}}.$

El valor de los coeficientes de conjuntos múltiples se puede dar explícitamente como

\left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)={n+k-1 \choose k}={\frac {(n+k-1)!}{k !\,(n-1)!}}={n(n+1)(n+2)\cdots (n+k-1) \sobre k!},

^[a]

k

n + k - 1

potencia factorial creciente.

\left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)={n^{\overline {k}} \over k!},

{n \choose k}={n^{\underline {k}} \over k!}.

Por ejemplo, hay 4 multiconjuntos de cardinalidad 3 con elementos tomados del conjunto ${1, 2}$ de cardinalidad 2 ( $n = 2$ , $k = 3$ ), es decir, ${1, 1, 1}$ , ${1, 1, 2}$ , ${1, 2, 2}$ , ${2, 2, 2}$ . También hay 4 subconjuntos de cardinalidad 3 en el conjunto ${1, 2, 3, 4}$ de cardinalidad 4 ( $n + k - 1$ ), a saber, ${1, 2, 3}$ , ${1, 2, 4}$ , ${1 , 3, 4}$ , ${2, 3, 4}$ .

Una forma sencilla de demostrar la igualdad de los coeficientes de conjuntos múltiples y los coeficientes binomiales indicados anteriormente implica representar conjuntos múltiples de la siguiente manera. Primero, considere la notación para multiconjuntos que representaría ${a, a, a, a, a, a, b, b, c, c, c, d, d, d, d, d, d, d}$ (6 $a$ s, 2 $b$ s, 3 $c$ s, 7 $d$ s) de esta forma:

• • • • • • | • • | • • • | • • • • • • •

Este es un conjunto múltiple de cardinalidad $k = 18$ hecho de elementos de un conjunto de cardinalidad $n = 4$ . El número de caracteres, incluidos puntos y líneas verticales, utilizados en esta notación es $18 + 4 - 1$ . El número de líneas verticales es 4 − 1. El número de conjuntos múltiples de cardinalidad 18 es entonces el número de formas de organizar las $4 - 1$ líneas verticales entre los 18 + 4 − 1 caracteres y, por tanto, es el número de subconjuntos de cardinalidad 4 − 1 de un conjunto de cardinalidad $18 + 4 - 1$ . De manera equivalente, es el número de formas de organizar los 18 puntos entre los $18 + 4 - 1$ caracteres, que es el número de subconjuntos de cardinalidad 18 de un conjunto de cardinalidad $18 + 4 - 1$ . Esto es

{4+18-1 \elija 4-1}={4+18-1 \elija 18}=1330,

{\begin{aligned}\left(\!\!{4 \choose 18}\!\!\right)&={21 \choose 18}={\frac {21!}{18!\,3!}}={21 \choose 3},\\[1ex]&={\frac {{\color {red}{\mathfrak {4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15\cdot 16\cdot 17\cdot 18}}}\cdot \mathbf {19\cdot 20\cdot 21} }{\mathbf {1\cdot 2\cdot 3} \cdot {\color {red}{\mathfrak {4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15\cdot 16\cdot 17\cdot 18}}}}},\\[1ex]&={\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdots 16\cdot 17\cdot 18\;\mathbf {\cdot \;19\cdot 20\cdot 21} }{\,1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdots 16\cdot 17\cdot 18\;\mathbf {\cdot \;1\cdot 2\cdot 3\quad } }},\\[1ex]&={\frac {19\cdot 20\cdot 21}{1\cdot 2\cdot 3}}.\end{aligned}}

De la relación entre coeficientes binomiales y coeficientes de conjuntos múltiples, se deduce que el número de conjuntos múltiples de cardinalidad $k$ en un conjunto de cardinalidad $n$ se puede escribir

\left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)=(-1)^{k}{-n \choose k}.

\left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)=\left(\!\!{k+1 \choose n-1}\!\!\right).

Relación de recurrencia

Se puede dar una relación de recurrencia para coeficientes de conjuntos múltiples como

\left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)=\left(\!\!{n \choose k-1}\!\!\right)+\left(\!\!{n-1 \choose k}\!\!\right)\quad {\mbox{for }}n,k>0

\left(\!\!{n \choose 0}\!\!\right)=1,\quad n\in \mathbb {N} ,\quad {\mbox{and}}\quad \left(\!\!{0 \choose k}\!\!\right)=0,\quad k>0.

La recurrencia anterior puede interpretarse de la siguiente manera. Sea el conjunto fuente. Siempre hay exactamente un multiconjunto (vacío) de tamaño 0, y si $n$ $= 0$ no hay multiconjuntos más grandes, lo que da las condiciones iniciales. $[n]:=\{1,\dots ,n\}$

Ahora, considere el caso en el que $n, k > 0$ . Un conjunto múltiple de cardinalidad $k$ con elementos de $[n]$ puede contener o no cualquier instancia del elemento final $n$ . Si aparece, entonces al eliminar $n$ una vez, queda un conjunto múltiple de cardinalidad $k - 1$ de elementos de $[n]$ , y cada conjunto múltiple puede surgir, lo que da un total de

\left(\!\!{n \choose k-1}\!\!\right)

Si $n$ no aparece, entonces nuestro multiconjunto original es igual a un multiconjunto de cardinalidad $k$ con elementos de $[n - 1]$ , de los cuales hay

\left(\!\!{n-1 \choose k}\!\!\right).

De este modo,

\left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)=\left(\!\!{n \choose k-1}\!\!\right)+\left(\!\!{n-1 \choose k}\!\!\right).

Generando series

La función generadora de los coeficientes multiset es muy simple, siendo

\sum _{d=0}^{\infty }\left(\!\!{n \choose d}\!\!\right)t^{d}={\frac {1}{(1-t)^{n}}}.

los monomios grado

d

n

serie de Hilbert anillo polinomial

\left(\!\!{n \choose d}\!\!\right)

k[x_{1},\ldots ,x_{n}].

Como es un polinomio en $n$ , él y la función generadora están bien definidos para cualquier valor complejo de $n$ . $\left(\!\!{n \choose d}\!\!\right)$

Generalización y conexión a la serie binomial negativa.

La fórmula multiplicativa permite ampliar la definición de coeficientes multiconjunto reemplazando $n$ por un número arbitrario $α$ (negativo, real o complejo):

\left(\!\!{\alpha \choose k}\!\!\right)={\frac {\alpha ^{\overline {k}}}{k!}}={\frac {\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)\cdots (\alpha +k-1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}\quad {\text{for }}k\in \mathbb {N} {\text{ and arbitrary }}\alpha .

Con esta definición se tiene una generalización de la fórmula binomial negativa (con una de las variables establecida en 1), lo que justifica llamar a los coeficientes binomiales negativos: $\left(\!\!{\alpha \choose k}\!\!\right)$

(1-X)^{-\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\!\!{\alpha \choose k}\!\!\right)X^{k}.

Esta fórmula de la serie de Taylor es válida para todos los números complejos α y X con $| X | < 1$ . También puede interpretarse como una identidad de series de potencias formales en X , donde en realidad puede servir como definición de potencias arbitrarias de series con coeficiente constante igual a 1; El punto es que con esta definición se mantienen todas las identidades que uno espera para la exponenciación , en particular

(1-X)^{-\alpha }(1-X)^{-\beta }=(1-X)^{-(\alpha +\beta )}\quad {\text{and}}\quad ((1-X)^{-\alpha })^{-\beta }=(1-X)^{-(-\alpha \beta )},

Si $α$ es un entero no positivo $n$ , entonces todos los términos con $k > - n$ son cero y la serie infinita se convierte en una suma finita. Sin embargo, para otros valores de $α$ , incluidos los números enteros positivos y los números racionales , la serie es infinita.

Aplicaciones

Los multiconjuntos tienen varias aplicaciones. ^[7] Se están volviendo fundamentales en combinatoria . ^[17]^[18]^[19]^[20] Los multiconjuntos se han convertido en una herramienta importante en la teoría de las bases de datos relacionales , que a menudo utiliza el sinónimo bolsa . ^[21]^[22]^[23] Por ejemplo, los conjuntos múltiples se utilizan a menudo para implementar relaciones en sistemas de bases de datos. En particular, una tabla (sin clave principal) funciona como un conjunto múltiple porque puede tener varios registros idénticos. De manera similar, SQL opera en conjuntos múltiples y devuelve registros idénticos. Por ejemplo, considere "SELECCIONAR nombre del estudiante". En el caso de que existan múltiples registros con el nombre "Sara" en la tabla de estudiantes, se muestran todos. Eso significa que el resultado de una consulta SQL es un conjunto múltiple; si el resultado fuera un conjunto, los registros repetitivos en el conjunto de resultados se habrían eliminado. Otra aplicación de los multiconjuntos es el modelado de multigrafos . En los multigrafos puede haber múltiples aristas entre dos vértices dados . Como tal, la entidad que muestra aristas es un multiconjunto y no un conjunto.

También hay otras aplicaciones. Por ejemplo, Richard Rado utilizó conjuntos múltiples como dispositivo para investigar las propiedades de familias de conjuntos. Escribió: "La noción de conjunto no tiene en cuenta la ocurrencia múltiple de cualquiera de sus miembros y, sin embargo, es precisamente este tipo de información la que con frecuencia es importante. Sólo necesitamos pensar en el conjunto de raíces de un polinomio f ( x ) o el espectro de un operador lineal ". ^[5]^{: 328–329}

Generalizaciones

Se han introducido, estudiado y aplicado diferentes generalizaciones de multiconjuntos para la resolución de problemas.

Conjuntos múltiples de valor real (en los que la multiplicidad de un elemento puede ser cualquier número real ) ^[24]^[25]
Conjuntos múltiples difusos ^[26]
Multiconjuntos aproximados ^[27]
Conjuntos híbridos ^[28]
Multiconjuntos cuya multiplicidad es cualquier función escalonada de valor real ^[29]
Multiconjuntos suaves ^[30]
Conjuntos múltiples suaves y difusos ^[31]
Conjuntos nombrados (unificación de todas las generalizaciones de conjuntos) ^[32]^[33]^[34]^[35]

Ver también

Frecuencia (estadísticas) como analogía de multiplicidad
Cuasi-conjuntos
Teoría de conjuntos
Materiales de aprendizaje relacionados con Particiones de multiconjuntos en Wikiversidad

Notas

^ La fórmula $(.mw-parser-output .RMbox{box-shadow:0 2px 2px 0 rgba(0,0,0,.14),0 1px 5px 0 rgba(0,0,0,.12),0 3px 1px -2px rgba(0,0,0,.2)}.mw-parser-output .RMinline{float:none;width:100%;margin:0;border:none}.mw-parser-output table.routemap{padding:0;border:0;border-collapse:collapse;background:transparent;white-space:nowrap;line-height:1.2;margin:auto}.mw-parser-output table.routemap .RMcollapse{margin:0;border-collapse:collapse;vertical-align:middle}.mw-parser-output table.routemap .RMreplace{margin:0;border-collapse:collapse;vertical-align:middle;position:absolute;bottom:0}.mw-parser-output table.routemap .RMsi{display:inline;font-size:90%}.mw-parser-output table.routemap .RMl1{padding:0 3px;text-align:left}.mw-parser-output table.routemap .RMr1{padding:0 3px;text-align:right}.mw-parser-output table.routemap .RMl{text-align:right}.mw-parser-output table.routemap .RMr{text-align:left}.mw-parser-output table.routemap .RMl4{padding:0 3px 0 0;text-align:left}.mw-parser-output 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+2)...(n + k -1)/ k!$ ¡Funciona en este caso porque el numerador es un producto vacío que da $1/0! = 1$ . Sin embargo $( )$ tiene sentido para $n = k = 0$ si se interpreta como un coeficiente binomial generalizado ; en efecto $( )$ visto como un coeficiente binomial generalizado es igual al extremo derecho de la ecuación anterior.

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