Bhaskara II

Matemático y astrónomo indio (c.1114-1185)

La demostración de Bhaskara del teorema de Pitágoras.

Bhāskara II (c. 1114-1185), también conocido como Bhāskarāchārya ("Bhāskara, el maestro"), y como Bhāskara II para evitar confusión con Bhāskara I , fue un matemático , astrónomo e inventor indio . De los versos de su obra principal, Siddhāṁta Śiromaṇī (सिद्धांतशिरोमणी), se puede inferir que nació en 1114 en Vijjadavida (Vijjalavida) y vivió en las cadenas montañosas Satpuda de los Ghats occidentales , se cree que es la ciudad de Pat. Ana en Chalisgaon, ubicado en la actual región de Khandesh de Maharashtra por eruditos. ^[6] Es el único matemático antiguo que ha sido inmortalizado en un monumento. En un templo de Maharashtra, una inscripción supuestamente creada por su nieto Changadeva enumera el linaje ancestral de Bhaskaracharya durante varias generaciones antes que él, así como dos generaciones después de él. ^{[7] [8]} Colebrooke, que fue el primer europeo en traducir (1817) los clásicos matemáticos de Bhaskaracharya II, se refiere a la familia como brahmanes maharashtrianos que residen en las orillas del Godavari . ^[9]

Nacido en una familia hindú Deshastha Brahmin de eruditos, matemáticos y astrónomos, Bhaskara II fue el líder de un observatorio cósmico en Ujjain , el principal centro matemático de la antigua India. ^[10] Bhāskara y sus obras representan una contribución significativa al conocimiento matemático y astronómico en el siglo XII. Se le ha llamado el mayor matemático de la India medieval. ^[11] Su obra principal Siddhānta-Śiromaṇi , ( en sánscrito significa "Corona de Tratados") ^[12] está dividida en cuatro partes llamadas Līlāvatī , Bījagaṇita , Grahagaṇita y Golādhyāya , ^[13] que a veces también se consideran cuatro obras independientes. ^[14] Estas cuatro secciones tratan de aritmética, álgebra, matemáticas de los planetas y esferas, respectivamente. También escribió otro tratado llamado Karaṇā Kautūhala. ^[14]

Fecha, lugar y familia.

Bhāskara da su fecha de nacimiento y la fecha de composición de su obra principal, en un verso en la métrica Āryā : ^[14]

Rasa-guṇa-pūrṇa-mahī-sama-śakanṛpa-samaye ऽ bhavan-mamotpattiḥ । Rasa-guṇa-varṣeṇa mayā siddhānta-śiromaṇī racitaḥ ॥ ^{[ cita necesaria ]}

Esto revela que nació en 1036 de la era Shaka (1114 d.C. ), y que compuso el Siddhānta Shiromani cuando tenía 36 años. ^[14] Siddhānta Shiromani se completó durante el año 1150 EC. También escribió otra obra llamada Karaṇa-kutūhala cuando tenía 69 años (en 1183). ^[14] Sus obras muestran la influencia de Brahmagupta , Śrīdhara , Mahāvīra , Padmanābha y otros predecesores. ^[14] Bhaskara vivía en Patnadevi , ubicado cerca de Patan (Chalisgaon), en las cercanías de Sahyadri. ^[15]

Nació en una familia Deśastha Rigvedi Brahmin ^[16] cerca de Vijjadavida (Vijjalavida). Munishvara (siglo XVII), un comentarista de Siddhānta Shiromani de Bhaskara ha dado la información sobre la ubicación de Vijjadavida en su obra Marīci Tīkā de la siguiente manera: ^[3]

सह्यकुलपर्वतान्तर्गत भूप्रदेशे महाराष्ट्रद निकटे गोदावर्यां नातिदूरे

पंचक्रोशान्तरे विज्जलविडम्।

Esta descripción ubica a Vijjalavida en Maharashtra, cerca de la región de Vidarbha y cerca de las orillas del río Godavari . Sin embargo, los estudiosos difieren sobre la ubicación exacta. Muchos eruditos han situado el lugar cerca de Patan en Chalisgaon Taluka del distrito de Jalgaon ^[17] mientras que un sector de eruditos lo identificó con la actual ciudad de Beed. ^[1] Algunas fuentes identificaron a Vijjalavida como Bijapur o Bidar en Karnataka . ^[18] También se ha sugerido la identificación de Vijjalavida con Basar en Telangana . ^[19]

Se dice que Bhāskara fue el jefe de un observatorio astronómico en Ujjain , el principal centro matemático de la India medieval. La historia registra que su tatarabuelo ocupó un puesto hereditario como erudito de la corte, al igual que su hijo y otros descendientes. Su padre Maheśvara ^[15] (Maheśvaropādhyāya ^[14] ) fue un matemático, astrónomo ^[14] y astrólogo, quien le enseñó matemáticas, que luego transmitió a su hijo Lokasamudra. El hijo de Lokasamudra ayudó a establecer una escuela en 1207 para el estudio de los escritos de Bhāskara. Murió en 1185 d.C.

El Siddhanta-Siromani

Līlāvatī

Página de Lilavati , el primer volumen de Siddhānta Śiromaṇī . Uso del teorema de Pitágoras en la esquina. edición de 1650

La primera sección Līlāvatī (también conocida como pāṭīgaṇita o aṅkagaṇita ), que lleva el nombre de su hija, consta de 277 versos. ^[14] Cubre cálculos, progresiones, medidas , permutaciones y otros temas. ^[14]

Bijaganita

La segunda sección Bījagaṇita (Álgebra) tiene 213 versos. ^[14] Analiza el cero, el infinito, los números positivos y negativos y las ecuaciones indeterminadas, incluida la (ahora llamada) ecuación de Pell , resolviéndola utilizando un método kuṭṭaka . ^[14] En particular, también resolvió el caso que eludiría a Fermat y sus contemporáneos europeos siglos después. ^[14] ${\displaystyle 61x^{2}+1=y^{2}}$

Grahaganita

En la tercera sección , Grahagaṇita , mientras trataba el movimiento de los planetas, consideró sus velocidades instantáneas. ^[14] Llegó a la aproximación: ^[20] Consta de 451 versos

${\displaystyle \sin y'-\sin y\approx (y'-y)\cos y}$para.

${\displaystyle y'}$cerca de , o en notación moderna: ^[20] ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\frac {d}{dy}}\sin y=\cos y}$.

En sus palabras: ^[20]

bimbārdhasya koṭijyā guṇastrijyāhāraḥ phalaṃ dorjyāyorantaram ^{[ cita necesaria ]}

Este resultado también había sido observado anteriormente por Muñjalācārya (o Mañjulācārya) mānasam, en el contexto de una tabla de senos. ^[20]

Bhāskara también afirmó que en su punto más alto la velocidad instantánea de un planeta es cero. ^[20]

Matemáticas

Algunas de las contribuciones de Bhaskara a las matemáticas incluyen las siguientes:

• Una prueba del teorema de Pitágoras calculando la misma área de dos maneras diferentes y luego cancelando términos para obtener a ² + b ² = c ² . ^[21]
• En Lilavati , se explican soluciones de ecuaciones indeterminadas cuadráticas , cúbicas y de cuarto grado . ^[22]
• Soluciones de ecuaciones cuadráticas indeterminadas (del tipo ax ² + b = y ² ).
• Soluciones enteras de ecuaciones indeterminadas lineales y cuadráticas ( Kuṭṭaka ). Las reglas que da son (en efecto) las mismas que dieron los matemáticos europeos del Renacimiento del siglo XVII.
• Un método cíclico de Chakravala para resolver ecuaciones indeterminadas de la forma ax ² + bx + c = y . La solución a esta ecuación se atribuyó tradicionalmente a William Brouncker en 1657, aunque su método era más difícil que el método chakravala .
• El primer método general para encontrar las soluciones del problema x ² − ny ² = 1 (la llamada " ecuación de Pell ") fue propuesto por Bhaskara II. ^[23]
• Soluciones de ecuaciones diofánticas de segundo orden, como 61 x ² + 1 = y ² . Esta misma ecuación fue planteada como problema en 1657 por el matemático francés Pierre de Fermat , pero su solución fue desconocida en Europa hasta la época de Euler en el siglo XVIII. ^[22]
• Resolví ecuaciones cuadráticas con más de una incógnita y encontré soluciones negativas e irracionales . ^{[ cita necesaria ]}
• Concepto preliminar de análisis matemático .
• Concepto preliminar de cálculo infinitesimal , junto con notables aportaciones al cálculo integral . ^[24]
• Ideas preliminares de cálculo diferencial y coeficiente diferencial .
• Enunciado el teorema de Rolle , un caso especial de uno de los teoremas más importantes del análisis, el teorema del valor medio . En sus obras también se encuentran rastros del teorema general del valor medio.
• Calcula las derivadas de funciones y fórmulas trigonométricas. (Consulte la sección de Cálculo a continuación).
• En Siddhanta-Śiromaṇi , Bhaskara desarrolló la trigonometría esférica junto con otros resultados trigonométricos . (Consulte la sección Trigonometría a continuación).

Aritmética

El texto aritmético de Bhaskara, Līlāvatī, cubre los temas de definiciones, términos aritméticos, cálculo de intereses, progresiones aritméticas y geométricas, geometría plana , geometría sólida , la sombra del gnomon , métodos para resolver ecuaciones indeterminadas y combinaciones .

Līlāvatī se divide en 13 capítulos y cubre muchas ramas de las matemáticas, aritmética, álgebra, geometría y un poco de trigonometría y medidas. Más específicamente los contenidos incluyen:

• Definiciones.
• Propiedades del cero (incluida la división y reglas de operaciones con cero).
• Trabajo numérico más extenso, incluido el uso de números negativos y surds .
• Estimación de π .
• Términos aritméticos, métodos de multiplicación y elevación al cuadrado .
• Regla de tres inversa y reglas de 3, 5, 7, 9 y 11.
• Problemas relacionados con el interés y el cálculo de intereses.
• Ecuaciones indeterminadas ( Kuṭṭaka ), soluciones enteras (primer y segundo orden). Sus contribuciones a este tema son particularmente importantes, ^{[ cita necesaria ]} ya que las reglas que da son (en efecto) las mismas que las dadas por los matemáticos europeos renacentistas del siglo XVII, sin embargo, su trabajo era del siglo XII. El método de resolución de Bhaskara fue una mejora de los métodos encontrados en el trabajo de Aryabhata y matemáticos posteriores.

Su trabajo destaca por la sistematización, la mejora de los métodos y los nuevos temas que introdujo. Además, el Lilavati contenía excelentes problemas y se cree que la intención de Bhaskara pudo haber sido que un estudiante de 'Lilavati' se ocupara de la aplicación mecánica del método. ^{[ cita necesaria ]}

Álgebra

Su Bījaganita (" Álgebra ") fue una obra de doce capítulos. Fue el primer texto en reconocer que un número positivo tiene dos raíces cuadradas (una raíz cuadrada positiva y otra negativa). ^[25] Su obra Bījaganita es efectivamente un tratado sobre álgebra y contiene los siguientes temas:

• Números positivos y negativos .
• Lo 'desconocido' (incluye determinar cantidades desconocidas).
• Determinación de cantidades desconocidas.
• Surds (incluye evaluación de surds y sus raíces cuadradas).
• Kuṭṭaka (para resolver ecuaciones indeterminadas y ecuaciones diofánticas ).
• Ecuaciones simples (indeterminadas de segundo, tercer y cuarto grado).
• Ecuaciones simples con más de una incógnita.
• Ecuaciones cuadráticas indeterminadas (del tipo ax ² + b = y ² ).
• Soluciones de ecuaciones indeterminadas de segundo, tercer y cuarto grado.
• Ecuaciones cuadráticas.
• Ecuaciones cuadráticas con más de una incógnita.
• Operaciones con productos de varias incógnitas.

Bhaskara derivó un método chakravala cíclico para resolver ecuaciones cuadráticas indeterminadas de la forma ax ² + bx + c = y. ^[25] El método de Bhaskara para encontrar las soluciones del problema Nx ² + 1 = y ² (la llamada " ecuación de Pell ") es de considerable importancia. ^[23]

Trigonometría

El Siddhānta Shiromani (escrito en 1150) demuestra el conocimiento de Bhaskara en trigonometría, incluida la tabla de senos y las relaciones entre diferentes funciones trigonométricas. También desarrolló la trigonometría esférica , junto con otros resultados trigonométricos interesantes . En particular, Bhaskara parecía más interesado en la trigonometría por sí misma que sus predecesores, que la veían sólo como una herramienta de cálculo. Entre los muchos resultados interesantes proporcionados por Bhaskara, los resultados encontrados en sus trabajos incluyen el cálculo de senos de ángulos de 18 y 36 grados, y las ahora bien conocidas fórmulas para y . ${\displaystyle \sin \left(a+b\right)}$ ${\displaystyle \sin \left(a-b\right)}$

Cálculo

Su obra, Siddhānta Shiromani , es un tratado astronómico y contiene muchas teorías que no se encuentran en obras anteriores. ^{[ cita necesaria ]} Son de especial interés los conceptos preliminares de cálculo infinitesimal y análisis matemático , junto con una serie de resultados en trigonometría , cálculo diferencial y cálculo integral que se encuentran en la obra.

La evidencia sugiere que Bhaskara estaba familiarizado con algunas ideas de cálculo diferencial. ^[25] Bhaskara también profundiza en el 'cálculo diferencial' y sugiere que el coeficiente diferencial desaparece en un valor extremo de la función, lo que indica conocimiento del concepto de ' infinitésimos '. ^[26]

• Hay evidencia de una forma temprana del teorema de Rolle en su trabajo. La formulación moderna del teorema de Rolle establece que si , entonces para algunos con . ${\displaystyle f\left(a\right)=f\left(b\right)=0}$ ${\displaystyle f'\left(x\right)=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ a<x<b}$
• En este trabajo astronómico dio un procedimiento que parece un precursor de los métodos infinitesimales. En términos de eso, es si entonces es una derivada del seno, aunque no desarrolló la noción de derivada. ^[27] ${\displaystyle x\approx y}$ ${\displaystyle \sin(y)-\sin(x)\approx (y-x)\cos(y)}$
  • Bhaskara utiliza este resultado para calcular el ángulo de posición de la eclíptica , una cantidad necesaria para predecir con precisión la hora de un eclipse.
• Al calcular el movimiento instantáneo de un planeta, el intervalo de tiempo entre las posiciones sucesivas de los planetas no era mayor que un truti , o 1 ⁄ 33750 de segundo, y su medida de velocidad se expresaba en esta unidad de tiempo infinitesimal.
• Sabía que cuando una variable alcanza el valor máximo, su diferencial desaparece.
• También demostró que cuando un planeta está en su punto más alejado de la Tierra, o en su punto más cercano, la ecuación del centro (medida de qué tan lejos está un planeta de la posición en la que se predice que estará, asumiendo que se moverá uniformemente) desaparece. Por tanto, concluyó que para alguna posición intermedia el diferencial de la ecuación del centro es igual a cero. ^{[ cita necesaria ]} En este resultado, hay rastros del teorema general del valor medio , uno de los teoremas más importantes en análisis, que hoy en día suele derivarse del teorema de Rolle. La fórmula del valor medio para la interpolación inversa del seno fue fundada más tarde por Parameshvara en el siglo XV en el Lilavati Bhasya , un comentario sobre el Lilavati de Bhaskara .

Madhava (1340-1425) y los matemáticos de la escuela de Kerala (incluido Parameshvara) del siglo XIV al XVI ampliaron el trabajo de Bhaskara y avanzaron aún más en el desarrollo del cálculo en la India. ^{[ cita necesaria ]}

Astronomía

Utilizando un modelo astronómico desarrollado por Brahmagupta en el siglo VII, Bhāskara definió con precisión muchas cantidades astronómicas, incluida, por ejemplo, la duración del año sidéreo , el tiempo que requiere la Tierra para orbitar alrededor del Sol, como aproximadamente 365,2588 días, que es Lo mismo que en Suryasiddhanta. ^[28] La medida moderna aceptada es 365,25636 días , una diferencia de 3,5 minutos. ^[29]

Su texto de astronomía matemática Siddhanta Shiromani está escrito en dos partes: la primera parte sobre astronomía matemática y la segunda parte sobre la esfera .

Los doce capítulos de la primera parte abarcan temas como:

• Longitudes medias de los planetas .
• Longitudes verdaderas de los planetas.
• Los tres problemas de la rotación diurna . (El movimiento diurno es un término astronómico que se refiere al movimiento diario aparente de las estrellas alrededor de la Tierra, o más precisamente alrededor de los dos polos celestes. Es causado por la rotación de la Tierra sobre su eje, por lo que cada estrella aparentemente se mueve en un círculo, que se llama círculo diurno.)
• Sicigias .
• Eclipses lunares .
• Eclipses solares .
• Latitud de los planetas.
• Ecuación del amanecer
• La luna creciente . _
• Conjunciones de los planetas entre sí.
• Conjunciones de los planetas con las estrellas fijas .
• Los caminos del Sol y la Luna.

La segunda parte contiene trece capítulos sobre la esfera. Cubre temas como:

• Elogio del estudio de la esfera.
• Naturaleza de la esfera.
• Cosmografía y geografía .
• Movimiento medio planetario .
• Modelo epicicloidal excéntrico de los planetas.
• La esfera armilar .
• Trigonometría esférica .
• Cálculos de elipses . ^{[ cita necesaria ]}
• Primeras visibilidades de los planetas.
• Calculando la media luna lunar.
• Instrumentos astronómicos.
• Las estaciones .
• Problemas de cálculos astronómicos.

Ingeniería

La primera referencia a una máquina de movimiento perpetuo se remonta a 1150, cuando Bhāskara II describió una rueda que, según él, funcionaría para siempre. ^[30]

Bhāskara II inventó una variedad de instrumentos uno de los cuales Yaṣṭi-yantra . Este dispositivo podría variar desde un simple palo hasta bastones en forma de V diseñados específicamente para determinar ángulos con la ayuda de una escala calibrada. ^[31]

Leyendas

En su libro Lilavati , razona: "También en esta cantidad que tiene cero como divisor no hay cambio incluso cuando muchas cantidades han entrado o salido [de ella], tal como en el momento de la destrucción y la creación cuando multitudes de las criaturas entran y salen de [él, no hay cambio en] el infinito e inmutable [Vishnu]". ^[32]

"¡Mirad!"

Varios autores han afirmado que Bhaskara II demostró el teorema de Pitágoras dibujando un diagrama y proporcionando la única palabra "¡Mira!". ^{[33] [34]} A veces se omite el nombre de Bhaskara y esto se conoce como la prueba hindú , bien conocida por los escolares. ^[35]

Sin embargo, como señala el historiador de las matemáticas Kim Plofker, después de presentar un ejemplo elaborado, Bhaskara II establece el teorema de Pitágoras:

Por tanto, en aras de la brevedad, la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados del brazo y del recto es la hipotenusa: así queda demostrado. ^[36]

A esto le sigue:

Y de lo contrario, cuando uno ha colocado esas partes de la figura allí [simplemente] ver [es suficiente]. ^[36]

Plofker sugiere que esta declaración adicional puede ser la fuente última del difundido "¡He aquí!" leyenda.

Legado

Varios institutos y universidades de la India llevan su nombre, incluidos Bhaskaracharya Pratishthana en Pune, Bhaskaracharya College of Applied Sciences en Delhi, Bhaskaracharya Institute for Space Applications and Geo-Informatics en Gandhinagar.

El 20 de noviembre de 1981, la Organización de Investigación Espacial de la India (ISRO) lanzó el satélite Bhaskara II en honor al matemático y astrónomo. ^[37]

Invis Multimedia lanzó Bhaskaracharya , un corto documental indio sobre el matemático en 2015. ^{[38] [39]}

Ver también

• Lista de matemáticos indios
• Silla de novia

Referencias

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Bibliografía

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Otras lecturas

• Bola WW Rouse. Breve relato de la historia de las matemáticas , cuarta edición. Publicaciones de Dover, 1960.
• George Gheverghese José. La cresta del pavo real: raíces no europeas de las matemáticas , segunda edición. Libros de pingüinos , 2000.
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Bhāskara II", Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews Universidad de St Andrews , 2000.
• Ian Pearce. Bhaskaracharya II en el archivo MacTutor. Universidad de St Andrews, 2002.
• Pingree, David (1970–1980). "Bhaskara II". Diccionario de biografía científica . vol. 2. Nueva York: Hijos de Charles Scribner. págs. 115-120. ISBN 978-0-684-10114-9.

enlaces externos

• Biografía 4to40