multiplicación cruzada

tecnica matematica

En matemáticas , específicamente en aritmética elemental y álgebra elemental , dada una ecuación entre dos fracciones o expresiones racionales , se puede realizar una multiplicación cruzada para simplificar la ecuación o determinar el valor de una variable.

El método también se conoce ocasionalmente como el método de "cruzar el corazón" porque se pueden dibujar líneas que se asemejan al contorno de un corazón para recordar qué cosas multiplicar.

Dada una ecuación como

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}},}$

donde b y d no son cero, se puede multiplicar de forma cruzada para obtener

${\displaystyle ad=bc\quad {\text{or}}\quad a={\frac {bc}{d}}.}$

En geometría euclidiana se puede lograr el mismo cálculo considerando las proporciones como las de triángulos semejantes .

Procedimiento

En la práctica, el método de multiplicación cruzada significa que multiplicamos el numerador de cada (o uno) de los lados por el denominador del otro lado, cruzando efectivamente los términos:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\nwarrow {\frac {c}{d}},\quad {\frac {a}{b}}\nearrow {\frac {c}{d}}.}$

La justificación matemática del método proviene del siguiente procedimiento matemático más largo. Si comenzamos con la ecuación básica

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}},}$

podemos multiplicar los términos de cada lado por el mismo número y los términos seguirán siendo iguales. Por lo tanto, si multiplicamos la fracción de cada lado por el producto de los denominadores de ambos lados, bd , obtenemos

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\times bd={\frac {c}{d}}\times bd.}$

Podemos reducir las fracciones a sus términos más bajos observando que las dos apariciones de b en el lado izquierdo se cancelan, al igual que las dos apariciones de d en el lado derecho, dejando

${\displaystyle ad=bc,}$

y podemos dividir ambos lados de la ecuación por cualquiera de los elementos (en este caso usaremos d ), obteniendo

${\displaystyle a={\frac {bc}{d}}.}$

Otra justificación de la multiplicación cruzada es la siguiente. Comenzando con la ecuación dada

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}},}$

multiplicar pord/d= 1 a la izquierda y porb/b= 1 a la derecha, obteniendo

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{d}}={\frac {c}{d}}\times {\frac {b}{b}},}$

y entonces

${\displaystyle {\frac {ad}{bd}}={\frac {cb}{db}}.}$

Cancelar el denominador común bd = db , dejando

${\displaystyle ad=cb.}$

Cada paso de estos procedimientos se basa en una única propiedad fundamental de las ecuaciones . La multiplicación cruzada es un atajo, un procedimiento fácilmente comprensible que se puede enseñar a los estudiantes.

Usar

Este es un procedimiento común en matemáticas, que se utiliza para reducir fracciones o calcular un valor para una variable determinada en una fracción. Si tenemos una ecuación

${\displaystyle {\frac {x}{b}}={\frac {c}{d}},}$

donde x es una variable que estamos interesados ​​en resolver, podemos usar la multiplicación cruzada para determinar que

${\displaystyle x={\frac {bc}{d}}.}$

Por ejemplo, supongamos que queremos saber qué distancia recorrerá un automóvil en 7 horas, si sabemos que su velocidad es constante y que ya recorrió 90 millas en las últimas 3 horas. Al convertir el problema verbal en razones, obtenemos

${\displaystyle {\frac {x}{7\ {\text{hours}}}}={\frac {90\ {\text{miles}}}{3\ {\text{hours}}}}.}$

Rendimientos de multiplicación cruzada

${\displaystyle x={\frac {7\ {\text{hours}}\times 90\ {\text{miles}}}{3\ {\text{hours}}}},}$

y entonces

${\displaystyle x=210\ {\text{miles}}.}$

Solución alternativa

90 millas/3 horas= 30 mph

Entonces, 30 mph × 7 horas = 210 millas.

Tenga en cuenta que incluso ecuaciones simples como

${\displaystyle a={\frac {x}{d}}}$

se resuelven mediante multiplicación cruzada, ya que el término b que falta es implícitamente igual a 1:

${\displaystyle {\frac {a}{1}}={\frac {x}{d}}.}$

Cualquier ecuación que contenga fracciones o expresiones racionales se puede simplificar multiplicando ambos lados por el mínimo común denominador . Este paso se llama limpieza de fracciones .

regla de tres

La regla de tres ^[1] era una versión histórica abreviada de una forma particular de multiplicación cruzada que podía enseñarse a los estudiantes de memoria. Se consideró el apogeo de la educación matemática colonial ^[2] y todavía figura en el plan de estudios nacional francés para la educación secundaria, ^[3] y en el plan de estudios de educación primaria de España. ^[4]

Para una ecuación de la forma

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{x}},}$

donde la variable a evaluar está en el denominador de la derecha, la regla de tres establece que

${\displaystyle x={\frac {bc}{a}}.}$

En este contexto, a se denomina extremo de la proporción y b y c se denominan medias .

Esta regla ya era conocida por los matemáticos chinos antes del siglo II d.C., ^[5] aunque no se utilizó en Europa hasta mucho más tarde.

La regla de tres ganó notoriedad por ser particularmente difícil de explicar. ^{[ cita necesaria ]} Cocker's Arithmetick , el principal libro de texto del siglo XVII, introduce su discusión sobre la regla de tres ^[6] con el problema "Si 4 yardas de tela cuestan 12 chelines, ¿cuánto costarán 6 yardas a esa tasa?" La regla de tres da la respuesta directa a este problema; mientras que en la aritmética moderna, lo resolveríamos introduciendo una variable x para representar el costo de 6 yardas de tela, escribiendo la ecuación

${\displaystyle {\frac {4\ {\text{yards}}}{12\ {\text{shillings}}}}={\frac {6\ {\text{yards}}}{x}}}$

y luego usar la multiplicación cruzada para calcular x :

${\displaystyle x={\frac {12\ {\text{shillings}}\times 6\ {\text{yards}}}{4\ {\text{yards}}}}=18\ {\text{shillings}}.}$

Un manuscrito anónimo fechado en 1570 ^[7] decía: "La multiplicación es una molestia, / la división es igual de mala; / la regla de tres me desconcierta, / y la práctica me vuelve loco".

Charles Darwin se refiere a su uso de la regla de tres para estimar el número de especies en un género recién discernido. ^[8] En una carta a William Darwin Fox en 1855, Charles Darwin declaró: "No tengo fe en nada que no sea la medición real y la Regla de Tres". ^[9] Karl Pearson adoptó esta declaración como lema de su recién fundada revista Biometrika . ^[10]

Doble regla de tres

Una extensión de la regla de tres fue la doble regla de tres , que implicaba encontrar un valor desconocido donde se conocen cinco valores en lugar de otros tres.

Un ejemplo de tal problema podría ser: Si 6 constructores pueden construir 8 casas en 100 días, ¿cuántos días les tomaría a 10 constructores construir 20 casas al mismo ritmo? , y esto se puede configurar como

${\displaystyle {\frac {\frac {8\ {\text{houses}}}{100\ {\text{days}}}}{6\ {\text{builders}}}}={\frac {\frac {20\ {\text{houses}}}{x}}{10\ {\text{builders}}}},}$

que, con la multiplicación cruzada dos veces, da

${\displaystyle x={\frac {20\ {\text{houses}}\times 100\ {\text{days}}\times 6\ {\text{builders}}}{8\ {\text{houses}}\times 10\ {\text{builders}}}}=150\ {\text{days}}.}$

" La canción del jardinero loco " de Lewis Carroll incluye las líneas "Le pareció ver una puerta de jardín / Que se abría con una llave: / Miró de nuevo y descubrió que era / Una doble regla de tres". ^[11]

Ver también

• relación cruzada
• Razón de probabilidades
• Girar (ángulo)

Referencias

1. Esto a veces también se conoce como la regla de oro , aunque ese uso es raro en comparación con otros usos de la regla de oro . Véase E. Cobham Brewer (1898). "Regla de oro". Diccionario Brewer de frases y fábulas . Filadelfia: Henry Altemus.
2. Ubiratan D'Ambrósio; José W. Dauben; Karen Hambre Parshall (2014). "La educación matemática en Estados Unidos en el período premoderno". En Alejandro Karp; Gert Schubring (eds.). Manual de Historia de la Educación Matemática . Ciencia Springer. pag. 177.ISBN​ 978-1-4614-9155-2.
3. "Socle de connaissances, pila 3". Ministerio de Educación francés. 30 de diciembre de 2012 . Consultado el 24 de septiembre de 2015 .
4. "Real Decreto 126/2014, de 28 de febrero, por el que se establece el currículo básico de la Educación Primaria". Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. 28 de febrero de 2014. págs. 19349–19420 . Consultado el 10 de mayo de 2022 .
5. Shen Kangshen; John N. Crossley; Antonio W.-C. Lun (1999). Los nueve capítulos sobre el arte matemático: acompañamiento y comentario . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford.
6. Eduardo Cocker (1702). Aritmética de Cocker. Londres: John Hawkins. pag. 103.
7. Diccionario Oxford conciso de citas, 1964.
8. Ariew, André (2022). "Charles Darwin como pensador estadístico". Estudios de Historia y Filosofía de la Ciencia . 95 : 215-223. doi :10.1016/j.shpsa.2022.08.005. PMID  36113233. S2CID  252246047.
9. Stigler, Stephen M (7 de marzo de 2016). Los siete pilares de la sabiduría estadística (edición ilustrada). Prensa de la Universidad de Harvard. ISBN 978-0674088917.
10. Stigler, Stephen M (7 de marzo de 2016). Los siete pilares de la sabiduría estadística (edición ilustrada). Prensa de la Universidad de Harvard. ISBN 978-0674088917.
11. Sylvie y Bruno , Capítulo 12.

Otras lecturas

• Brian Burell: Guía de Merriam-Webster para las matemáticas cotidianas: una referencia para el hogar y los negocios . Merriam-Webster, 1998, ISBN 9780877796213 , págs. 85-101 
• 'Dr Math', regla de tres
• 'Dr Math', Abraham Lincoln y la regla de tres
• Sistema de aritmética abreviado de Pike: diseñado para facilitar el estudio de la ciencia de los números, comprendiendo las reglas más claras y precisas, ilustrado con ejemplos útiles: a los que se añaden preguntas apropiadas, para el examen de los estudiosos, y un breve sistema de libros. mantenimiento., 1827 - facsímil de la sección correspondiente
• La regla de tres aplicada por Miguel de Rodas en el siglo XV
• La regla de tres en Mamá Ganso
• Rudyard Kipling: Puedes resolverlo mediante fracciones o mediante la simple regla de tres, pero el método del Tweedle-dum no es el método del Tweedle-dee.

enlaces externos

• Medios relacionados con la multiplicación cruzada en Wikimedia Commons