Cálculo no estándar

Aplicación moderna de infinitesimales.

En matemáticas , el cálculo no estándar es la aplicación moderna de los infinitesimales , en el sentido de análisis no estándar , al cálculo infinitesimal . Proporciona una justificación rigurosa para algunos argumentos en cálculo que antes se consideraban meramente heurísticos .

Los cálculos no rigurosos con infinitesimales se utilizaron ampliamente antes de que Karl Weierstrass intentara reemplazarlos con la definición de límite (ε, δ) a partir de la década de 1870. (Ver historia del cálculo .) Durante casi cien años después, matemáticos como Richard Courant consideraron que los infinitesimales eran ingenuos, vagos o sin sentido. ^[1]

Contrariamente a tales puntos de vista, Abraham Robinson demostró en 1960 que los infinitesimales son precisos, claros y significativos, basándose en el trabajo de Edwin Hewitt y Jerzy Łoś . Según Howard Keisler , "Robinson resolvió un problema de trescientos años dando un tratamiento preciso a los infinitesimales. El logro de Robinson probablemente será uno de los mayores avances matemáticos del siglo XX". ^[2]

Historia

La historia del cálculo no estándar comenzó con el uso de cantidades infinitamente pequeñas, llamadas infinitesimales en cálculo . El uso de infinitesimales se puede encontrar en los fundamentos del cálculo desarrollados independientemente por Gottfried Leibniz e Isaac Newton a partir de la década de 1660. John Wallis refinó técnicas anteriores de indivisibles de Cavalieri y otros explotando una cantidad infinitesimal que denotó en cálculos de áreas, preparando el terreno para el cálculo integral . ^[3] Se basaron en el trabajo de matemáticos como Pierre de Fermat , Isaac Barrow y René Descartes . ${\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}}$

En los primeros cálculos, varios autores criticaron el uso de cantidades infinitesimales , entre los que destacan Michel Rolle y el obispo Berkeley en su libro The Analyst .

Varios matemáticos, incluidos Maclaurin y d'Alembert , defendieron el uso de límites. Augustin Louis Cauchy desarrolló un espectro versátil de enfoques fundamentales, incluida una definición de continuidad en términos de infinitesimales y un prototipo (algo impreciso) de un argumento ε, δ al trabajar con diferenciación. Karl Weierstrass formalizó el concepto de límite en el contexto de un sistema de números (reales) sin infinitesimales. Siguiendo el trabajo de Weierstrass, eventualmente se volvió común basar el cálculo en argumentos ε, δ en lugar de infinitesimales.

Este enfoque formalizado por Weierstrass llegó a ser conocido como cálculo estándar . Después de muchos años de que el enfoque infinitesimal del cálculo hubiera caído en desuso más que como herramienta pedagógica introductoria, Abraham Robinson finalmente dio una base rigurosa al uso de cantidades infinitesimales en la década de 1960. El enfoque de Robinson se denomina análisis no estándar para distinguirlo del uso estándar de límites. Este enfoque utilizó maquinaria técnica de la lógica matemática para crear una teoría de números hiperreales que interpreta los infinitesimales de una manera que permite un desarrollo similar al de Leibniz de las reglas habituales del cálculo. Un enfoque alternativo, desarrollado por Edward Nelson , encuentra infinitesimales en la propia línea real ordinaria e implica una modificación del entorno fundamental extendiendo ZFC mediante la introducción de un nuevo predicado unario "estándar".

Motivación

Para calcular la derivada de la función en x , ambos enfoques coinciden en las manipulaciones algebraicas: ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle y=f(x)=x^{2}}$

${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}={\frac {2x\Delta x+(\Delta x)^{2}}{\Delta x}}=2x+\Delta x\approx 2x}$

Esto se convierte en un cálculo de las derivadas usando los hiperreales si se interpreta como un infinitesimal y el símbolo " " es la relación "es infinitamente cercana a". ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \approx }$

Para hacer de f ' una función con valor real, se prescinde del término final . En el método estándar que utiliza sólo números reales, esto se hace tomando el límite cuando tiende a cero. En el enfoque hiperreal , la cantidad se considera infinitesimal, un número distinto de cero que está más cerca de 0 que de cualquier real distinto de cero. Las manipulaciones mostradas arriba muestran que está infinitamente cerca de 2 x , por lo que la derivada de f en x es entonces 2 x . ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta y/\Delta x}$

Descartar el "término de error" se logra mediante una aplicación de la función de pieza estándar . Algunos escritores, en particular George Berkeley , consideraron históricamente paradójico prescindir de términos de error infinitesimales .

Una vez que el sistema de números hiperreal (un continuo enriquecido en infinitesimales) está en su lugar, se ha incorporado con éxito una gran parte de las dificultades técnicas en el nivel fundamental. Por lo tanto, las técnicas épsilon, delta que algunos creen que son la esencia del análisis pueden implementarse de una vez por todas en el nivel fundamental, y los estudiantes no necesitan "vestirse para realizar trucos lógicos de cuantificadores múltiples con el pretexto de que se les enseñan habilidades infinitesimales". cálculo ", para citar un estudio reciente. ^[4] Más específicamente, los conceptos básicos del cálculo como continuidad, derivada e integral se pueden definir usando infinitesimales sin referencia a épsilon, delta (ver la siguiente sección).

El libro de texto de Keisler

Cálculo elemental de Keisler : un enfoque infinitesimal define la continuidad en la página 125 en términos de infinitesimales, con exclusión de los métodos épsilon y delta. La derivada se define en la página 45 utilizando infinitesimales en lugar de un enfoque épsilon-delta. La integral se define en la página 183 en términos de infinitesimales. Epsilon, las definiciones delta se presentan en la página 282.

Definición de derivada

Los hiperreales pueden construirse en el marco de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , la axiomatización estándar de la teoría de conjuntos utilizada en otras áreas de las matemáticas. Para dar una idea intuitiva del enfoque hiperreal, tenga en cuenta que, hablando ingenuamente, el análisis no estándar postula la existencia de números positivos ε que son infinitamente pequeños , lo que significa que ε es menor que cualquier real positivo estándar, pero mayor que cero. Todo número real x está rodeado por una "nube" infinitesimal de números hiperreales infinitamente cerca de él. Para definir la derivada de f en un número real estándar x en este enfoque, ya no se necesita un proceso limitante infinito como en el cálculo estándar. En cambio, uno establece

${\displaystyle f'(x)=\mathrm {st} \left({\frac {f^{*}(x+\varepsilon )-f^{*}(x)}{\varepsilon }}\right),}$

donde st es la función parcial estándar , que produce el número real infinitamente cercano al argumento hiperreal de st , y es la extensión natural de los hiperreales. ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle f}$

Continuidad

Una función real f es continua en un número real estándar x si para cada x' hiperreal infinitamente cercano a x , el valor f ( x' ) también es infinitamente cercano a f ( x ). Esto captura la definición de continuidad de Cauchy tal como se presenta en su libro de texto de 1821 Cours d'Analyse , p. 34.

Aquí, para ser precisos, f tendría que ser reemplazada por su extensión hiperreal natural generalmente denotada f ^* (consulte la discusión sobre el principio de transferencia en el artículo principal en análisis no estándar ).

Usando la notación para la relación de ser infinitamente cercana como arriba, la definición se puede extender a puntos arbitrarios (estándar o no estándar) de la siguiente manera: ${\displaystyle \approx }$

Una función f es microcontinua en x si siempre que se tiene ${\displaystyle x'\approx x}$ ${\displaystyle f^{*}(x')\approx f^{*}(x)}$

Aquí se supone que el punto x' está en el dominio de (la extensión natural de) f .

Lo anterior requiere menos cuantificadores que la definición ( ε ,  δ ) familiar del cálculo elemental estándar:

f es continua en x si para cada ε  > 0, existe un δ  > 0 tal que para cada x' , siempre que | x  -  x'  | <  δ , se tiene | f ( x ) −  f ( x'  )| <  ε .

Continuidad uniforme

Una función f en un intervalo I es uniformemente continua si su extensión natural f * en I * tiene la siguiente propiedad (ver Keisler, Foundations of Infinitesimal Calculus ('07), p. 45):

para cada par de hiperreales x e y en I *, si entonces . ${\displaystyle x\approx y}$ ${\displaystyle f^{*}(x)\approx f^{*}(y)}$

En términos de microcontinuidad definida en la sección anterior, esto se puede expresar de la siguiente manera: una función real es uniformemente continua si su extensión natural f* es microcontinua en cada punto del dominio de f*.

Esta definición tiene una complejidad de cuantificador reducida en comparación con la definición estándar (ε, δ) . Es decir, la definición épsilon-delta de continuidad uniforme requiere cuatro cuantificadores, mientras que la definición infinitesimal requiere sólo dos cuantificadores. Tiene la misma complejidad cuantificadora que la definición de continuidad uniforme en términos de secuencias en el cálculo estándar, que sin embargo no es expresable en el lenguaje de primer orden de los números reales.

La definición hiperreal se puede ilustrar con los siguientes tres ejemplos.

Ejemplo 1: una función f es uniformemente continua en el intervalo semiabierto (0,1], si y sólo si su extensión natural f* es microcontinua (en el sentido de la fórmula anterior) en cada infinitesimal positivo, además de la continuidad en los puntos estándar del intervalo.

Ejemplo 2: una función f es uniformemente continua en el intervalo semiabierto [0,∞) si y sólo si es continua en los puntos estándar del intervalo, y además, la extensión natural f * es microcontinua en cada infinito positivo punto hiperreal.

Ejemplo 3: de manera similar, la falla de continuidad uniforme para la función de cuadratura

${\displaystyle x^{2}}$

se debe a la ausencia de microcontinuidad en un único punto hiperreal infinito, ver más abajo.

Con respecto a la complejidad del cuantificador, Kevin Houston hizo las siguientes observaciones : ^[5]

El número de cuantificadores en un enunciado matemático da una medida aproximada de la complejidad del enunciado. Las declaraciones que involucran tres o más cuantificadores pueden resultar difíciles de entender. Ésta es la razón principal por la que resulta difícil comprender las definiciones rigurosas de límite, convergencia, continuidad y diferenciabilidad en el análisis, ya que tienen muchos cuantificadores. De hecho, es la alternancia de y lo que causa la complejidad. ${\displaystyle \forall }$ ${\displaystyle \exists }$

Andreas Blass escribió lo siguiente:

A menudo... la definición no estándar de un concepto es más simple que la definición estándar (tanto intuitivamente más simple como más simple en un sentido técnico, como cuantificadores sobre tipos inferiores o menos alternancias de cuantificadores). ^[6]

Compacidad

Un conjunto A es compacto si y sólo si su extensión natural A* tiene la siguiente propiedad: todo punto en A* está infinitamente cerca de un punto de A. Por lo tanto, el intervalo abierto (0,1) no es compacto porque su extensión natural contiene infinitesimales positivos que no están infinitamente cerca de ningún número real positivo.

Teorema de Heine-Cantor

El hecho de que una función continua en un intervalo compacto I sea necesariamente uniformemente continua (el teorema de Heine-Cantor ) admite una demostración hiperreal sucinta. Sean x , y hiperreales en la extensión natural I* de I . Como I es compacto, tanto st( x ) como st( y ) pertenecen a I . Si x e y fueran infinitamente cercanos, entonces, según la desigualdad del triángulo, tendrían la misma parte estándar

${\displaystyle c=\operatorname {st} (x)=\operatorname {st} (y).}$

Dado que la función se supone continua en c,

${\displaystyle f(x)\approx f(c)\approx f(y),}$

y por lo tanto f ( x ) y f ( y ) están infinitamente cerca, lo que demuestra una continuidad uniforme de f .

¿Por qué la función cuadrada no es uniformemente continua?

Sea f ( x ) = x ² definido en . Sea un hiperreal infinito. El número hiperreal es infinitamente cercano a N. Mientras tanto, la diferencia ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle N\in \mathbb {R} ^{*}}$ ${\displaystyle N+{\tfrac {1}{N}}}$

${\displaystyle f(N+{\tfrac {1}{N}})-f(N)=N^{2}+2+{\tfrac {1}{N^{2}}}-N^{2}=2+{\tfrac {1}{N^{2}}}}$

no es infinitesimal. Por lo tanto, f* no logra ser microcontinuo en el punto hiperreal N. Por lo tanto, la función cuadrada no es uniformemente continua, según la definición anterior de continuidad uniforme.

Se puede dar una prueba similar en el establecimiento de estándares (Fitzpatrick 2006, Ejemplo 3.15).

Ejemplo: función de Dirichlet

Considere la función de Dirichlet

${\displaystyle I_{Q}(x):={\begin{cases}1&{\text{ if }}x{\text{ is rational}},\\0&{\text{ if }}x{\text{ is irrational}}.\end{cases}}}$

Es bien sabido que, según la definición estándar de continuidad , la función es discontinua en todo punto. Comprobemos esto en términos de la definición hiperreal de continuidad anterior; por ejemplo, demostremos que la función de Dirichlet no es continua en π. Considere la aproximación de fracción continua an _de π. Ahora sea el índice n un número hipernatural infinito . Por el principio de transferencia , la extensión natural de la función de Dirichlet toma el valor 1 en _an . Tenga en cuenta que el punto hiperracional _an está infinitamente cerca de π. Así, la extensión natural de la función de Dirichlet toma valores diferentes (0 y 1) en estos dos puntos infinitamente cercanos y, por tanto, la función de Dirichlet no es continua en  π .

Límite

Si bien la idea central del enfoque de Robinson es que se puede prescindir del enfoque utilizando múltiples cuantificadores, la noción de límite puede recuperarse fácilmente en términos de la función parcial estándar st , a saber

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$

si y sólo si siempre que la diferencia x  −  a es infinitesimal, la diferencia f ( x ) −  L es infinitesimal, también, o en fórmulas:

si st( x ) = a   entonces st( f ( x )) = L,

cf. (ε, δ)-definición de límite .

Límite de secuencia

Dada una secuencia de números reales , si L es el límite de la secuencia y ${\displaystyle \{x_{n}\mid n\in \mathbb {N} \}}$ ${\displaystyle L\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$

si para cada infinito hipernatural n , st( x _n ) = L (aquí se utiliza el principio de extensión para definir x _n para cada hiperentero n ).

Esta definición no tiene alternancias de cuantificadores . La definición de estilo estándar (ε, δ) , por otro lado, tiene alternancias de cuantificadores:

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }x_{n}\Longleftrightarrow \forall \varepsilon >0\;,\exists N\in \mathbb {N} \;,\forall n\in \mathbb {N} :n>N\rightarrow |x_{n}-L|<\varepsilon .}$

Teorema del valor extremo

Para demostrar que una función real continua f en [0,1] tiene un máximo, sea N un hiperentero infinito . El intervalo [0, 1] tiene una extensión hiperreal natural. La función f también se extiende naturalmente a hiperreales entre 0 y 1. Considere la partición del intervalo hiperreal [0,1] en N subintervalos de igual longitud infinitesimal 1/ N , con puntos de partición x _i  = i  / N a medida que i "se ejecuta "de 0 a N. En la configuración estándar (cuando N es finito), _siempre se puede elegir un punto con el valor máximo de f entre los N +1 puntos xi , por inducción. Por tanto, según el principio de transferencia , existe un hiperentero i ₀ tal que 0 ≤ i ₀  ≤ N y para todo i  = 0,…,  N (una explicación alternativa es que todo conjunto hiperfinito admite un máximo). Considere el verdadero punto ${\displaystyle f(x_{i_{0}})\geq f(x_{i})}$

${\displaystyle c={\rm {st}}(x_{i_{0}})}$

donde st es la función de pieza estándar . Un punto real arbitrario x se encuentra en un subintervalo adecuado de la partición, es decir , de modo que st ( xi ₎ = x . Aplicando st a la desigualdad , . Por continuidad de f , ${\displaystyle x\in [x_{i},x_{i+1}]}$ ${\displaystyle f(x_{i_{0}})\geq f(x_{i})}$ ${\displaystyle {\rm {st}}(f(x_{i_{0}}))\geq {\rm {st}}(f(x_{i}))}$

${\displaystyle {\rm {st}}(f(x_{i_{0}}))=f({\rm {st}}(x_{i_{0}}))=f(c)}$.

Por lo tanto f ( c ) ≥ f ( x ), para todo x , demostrando que c es un máximo de la función real f . Véase Keisler (1986, p. 164).

Teorema del valor intermedio

Como otra ilustración del poder del enfoque de Robinson , a continuación se realiza una breve demostración del teorema del valor intermedio (teorema de Bolzano) utilizando infinitesimales.

Sea f una función continua en [ a , b ] tal que f ( a )<0 mientras f ( b )>0. Entonces existe un punto c en [ a , b ] tal que f ( c )=0.

La prueba procede de la siguiente manera. Sea N un hiperentero infinito . Considere una partición de [ a , b ] en N intervalos de igual longitud, con puntos de partición _xi cuando i va de 0 a N. Considere la colección I de índices tales que f ( x _i )>0. Sea i ₀ el elemento mínimo en I (dicho elemento existe según el principio de transferencia , ya que I es un conjunto hiperfinito ). Entonces el número real

$${\displaystyle c=\mathrm {st} (x_{i_{0}})}$$

fdel cuantificador

Teoremas básicos

Si f es una función con valor real definida en un intervalo [ a , b ], entonces el operador de transferencia aplicado a f , denotado por *f , es una función interna con valor hiperreal definida en el intervalo hiperreal [* a , * b ] .

Teorema : Sea f una función de valor real definida en un intervalo [ a , b ]. Entonces f es diferenciable en a < x < b si y sólo si para cada h infinitesimal distinto de cero , el valor

${\displaystyle \Delta _{h}f:=\operatorname {st} {\frac {[{}^{*}\!f](x+h)-[{}^{*}\!f](x)}{h}}}$

es independiente de h . En ese caso, el valor común es la derivada de f en x .

Este hecho se deriva del principio de transferencia del análisis no estándar y del desbordamiento .

Tenga en cuenta que un resultado similar es válido para la diferenciabilidad en los puntos extremos a , b, siempre que el signo del infinitesimal h esté adecuadamente restringido.

Para el segundo teorema, la integral de Riemann se define como el límite, si existe, de una familia dirigida de sumas de Riemann ; estas son sumas de la forma

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}f(\xi _{k})(x_{k+1}-x_{k})}$

dónde

${\displaystyle a=x_{0}\leq \xi _{0}\leq x_{1}\leq \ldots x_{n-1}\leq \xi _{n-1}\leq x_{n}=b.}$

Esta secuencia de valores se llama partición o malla y

${\displaystyle \sup _{k}(x_{k+1}-x_{k})}$

el ancho de la malla. En la definición de la integral de Riemann, el límite de las sumas de Riemann se toma cuando el ancho de la malla llega a 0.

Teorema : Sea f una función de valor real definida en un intervalo [ a , b ]. Entonces f es integrable de Riemann en [ a , b ] si y sólo si para cada malla interna de ancho infinitesimal, la cantidad

${\displaystyle S_{M}=\operatorname {st} \sum _{k=0}^{n-1}[*f](\xi _{k})(x_{k+1}-x_{k})}$

es independiente de la malla. En este caso, el valor común es la integral de Riemann de f sobre [ a , b ].

Aplicaciones

Una aplicación inmediata es una extensión de las definiciones estándar de diferenciación e integración a funciones internas en intervalos de números hiperreales.

Una función interna f con valor hiperreal en [ a, b ] es S -diferenciable en x , siempre que

${\displaystyle \Delta _{h}f=\operatorname {st} {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

existe y es independiente del infinitesimal h . El valor es la derivada S en x .

Teorema : Supongamos que f es S -diferenciable en cada punto de [ a, b ] donde b − a es un hiperreal acotado. Supongamos además que

${\displaystyle |f'(x)|\leq M\quad a\leq x\leq b.}$

Entonces para algunos ε infinitesimales

${\displaystyle |f(b)-f(a)|\leq M(b-a)+\epsilon .}$

Para demostrar esto, sea N un número natural no estándar. Divida el intervalo [ a , b ] en N subintervalos colocando N − 1 puntos intermedios equidistantes:

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{N-1}<x_{N}=b}$

Entonces

${\displaystyle |f(b)-f(a)|\leq \sum _{k=1}^{N-1}|f(x_{k+1})-f(x_{k})|\leq \sum _{k=1}^{N-1}\left\{|f'(x_{k})|+\epsilon _{k}\right\}|x_{k+1}-x_{k}|.}$

Ahora bien, el máximo de cualquier conjunto interno de infinitesimales es infinitesimal. Por tanto, todos los ε _k están dominados por un ε infinitesimal. Por lo tanto,

${\displaystyle |f(b)-f(a)|\leq \sum _{k=1}^{N-1}(M+\epsilon )(x_{k+1}-x_{k})=M(b-a)+\epsilon (b-a)}$

de donde se sigue el resultado.

Ver también

• Adecuación
• Crítica al análisis no estándar
• El uso de los infinitesimales por parte de Arquímedes
• Cálculo elemental: un enfoque infinitesimal
• Análisis no clásico

Notas

1. Courant describió los infinitesimales en la página 81 de Cálculo diferencial e integral, volumen I , como "desprovistos de un significado claro" y "ingenuos y confusos". De manera similar, en la página 101, Courant los describió como "incompatibles con la claridad de ideas que se exige en matemáticas", "completamente sin sentido", "niebla que flotaba alrededor de los cimientos" y una "idea confusa".
2. Cálculo elemental: un enfoque infinitesimal , p. IV.
3. Scott, JF 1981. "El trabajo matemático de John Wallis, DD, FRS (1616-1703)". Chelsea Publishing Co. Nueva York, Nueva York. pag. 18.
4. Katz, Miguel ; Tall, David (2011), Tensión entre infinitesimales intuitivos y análisis matemático formal , Bharath Sriraman , editor. Encrucijada en la Historia de las Matemáticas y la Educación Matemática. Monografías de entusiastas de las matemáticas de Montana en educación matemática 12, Information Age Publishing, Inc., Charlotte, Carolina del Norte, arXiv : 1110.5747 , Bibcode : 2011arXiv1110.5747K
5. Kevin Houston , Cómo pensar como un matemático, ISBN 978-0-521-71978-0 
6. Blass, Andreas (1978), "Reseña: Martin Davis, Análisis no estándar aplicado, y KD Stroyan y WAJ Luxemburg, Introducción a la teoría de los infinitesimales, y H. Jerome Keisler, Fundamentos del cálculo infinitesimal", Bull. América. Matemáticas. Soc. , 84 (1): 34–41, doi : 10.1090/S0002-9904-1978-14401-2, pag. 37.

Referencias

• Fitzpatrick, Patrick (2006), Cálculo avanzado , Brooks/Cole
• H. Jerome Keisler: Cálculo elemental: un enfoque que utiliza infinitesimales. Primera edición 1976; Segunda edición, 1986. (Este libro ya está agotado. El editor ha revertido los derechos de autor al autor, quien ha puesto a disposición la segunda edición en formato .pdf disponible para descargar en http://www.math.wisc.edu/ ~keisler/calc.html.)
• H. Jerome Keisler: Foundations of Infinitesimal Calculus, disponible para descargar en http://www.math.wisc.edu/~keisler/foundations.html (10 de enero de 2007).
• Blass, Andreas (1978), "Reseña: Martin Davis, Análisis no estándar aplicado, y KD Stroyan y WAJ Luxemburg, Introducción a la teoría de los infinitesimales, y H. Jerome Keisler, Fundamentos del cálculo infinitesimal", Bull. América. Matemáticas. Soc. , 84 (1): 34–41, doi : 10.1090/S0002-9904-1978-14401-2
• Baron, Margaret E .: Los orígenes del cálculo infinitesimal. Pergamon Press, Oxford-Edimburgo-Nueva York 1969. Dover Publications, Inc., Nueva York, 1987. (En 2004 apareció una nueva edición del libro de Baron)
• "Cálculo infinitesimal", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

enlaces externos

• Keisler, H. Jerome (2007). Cálculo elemental: un enfoque infinitesimal . Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-48-648452-5. Versión online (2022)

• Henle, James M.; Kleinberg, Eugene M. (1979). Cálculo infinitesimal . Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-48-642886-4.Cálculo infinitesimal en Internet Archive

• Cálculo breve (2005, rev.2015) de Benjamin Crowel. Este breve texto está diseñado más para el autoestudio o el repaso que para su uso en el aula. Los infinitesimales se utilizan cuando es apropiado y se tratan con más rigor que en libros antiguos como Cálculo simplificado de Thompson, pero con menos detalle que en Cálculo elemental: un enfoque usando infinitesimales de Keisler .