Crítica del análisis no estándar

El análisis no estándar y su derivado, el cálculo no estándar , han sido criticados por varios autores, en particular Errett Bishop , Paul Halmos y Alain Connes . Estas críticas se analizan a continuación.

Introducción

La evaluación del análisis no estándar en la literatura ha variado enormemente. Paul Halmos lo describió como un desarrollo técnico especial en lógica matemática. Terence Tao resumió la ventaja del marco hiperreal al señalar que

permite manipular rigurosamente cosas como "el conjunto de todos los números pequeños", o decir rigurosamente cosas como "η ₁ es más pequeño que cualquier cosa que involucre η ₀ ", mientras que reduce en gran medida los problemas de gestión de épsilon al ocultar automáticamente muchos de los cuantificadores en el argumento de uno.

—  Terence Tao, "Estructura y aleatoriedad" , American Mathematical Society (2008) ^[1]

La naturaleza de las críticas no está directamente relacionada con el estatus lógico de los resultados demostrados mediante el análisis no estándar. En términos de los fundamentos matemáticos convencionales de la lógica clásica, tales resultados son bastante aceptables aunque usualmente dependen fuertemente de la elección. El análisis no estándar de Abraham Robinson no necesita ningún axioma más allá de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC) (como se muestra explícitamente por la construcción de ultrapotencia de los hiperreales de Wilhelmus Luxemburg ), mientras que su variante de Edward Nelson , conocida como teoría de conjuntos internos , es de manera similar una extensión conservadora de ZFC . ^[2] Proporciona una garantía de que la novedad del análisis no estándar es enteramente como una estrategia de prueba, no en el rango de resultados. Además, el análisis no estándar de teoría de modelos, por ejemplo basado en superestructuras, que ahora es un enfoque comúnmente utilizado, no necesita ningún axioma de teoría de conjuntos nuevo más allá de los de ZFC. ^{[ dudoso – discutir ]}

Ha habido controversias sobre cuestiones de pedagogía matemática. Además, el análisis no estándar tal como se ha desarrollado no es el único candidato para cumplir con los objetivos de una teoría de infinitesimales (véase Análisis infinitesimal suave ). Philip J. Davis escribió, en una reseña del libro Left Back: A Century of Failed School Reforms ^[3] de Diane Ravitch: ^[4]

Existió el movimiento de análisis no estándar para la enseñanza del cálculo elemental. Su popularidad aumentó un poco antes de que el movimiento colapsara debido a su complejidad interna y su escasa necesidad.

El cálculo no estándar en el aula ha sido analizado en el estudio de K. Sullivan sobre las escuelas del área de Chicago, como se refleja en la literatura secundaria en Influence of nonstandard analysis . Sullivan demostró que los estudiantes que seguían el curso de análisis no estándar eran más capaces de interpretar el sentido del formalismo matemático del cálculo que un grupo de control que seguía un programa de estudios estándar. Esto también fue señalado por Artigue (1994), página 172; Chihara (2007); y Dauben (1988). ^{[ cita requerida ]}

La crítica del obispo

En opinión de Errett Bishop , las matemáticas clásicas, que incluyen el enfoque de Robinson sobre el análisis no estándar, no eran constructivas y, por lo tanto, carecían de significado numérico (Feferman 2000). Bishop estaba particularmente preocupado por el uso del análisis no estándar en la enseñanza, como lo analizó en su ensayo "Crisis en las matemáticas" (Bishop 1975). En concreto, después de analizar el programa formalista de Hilbert, escribió:

Un intento más reciente de aplicar la matemática mediante la sutileza formal es el análisis no convencional. Creo que ha tenido cierto éxito, aunque no sé si a costa de proporcionar pruebas significativamente menos significativas. Lo que me interesa del análisis no convencional es que se están haciendo intentos de introducirlo en los cursos de cálculo. Resulta difícil creer que se haya podido llegar tan lejos con la degradación del significado.

Katz y Katz (2010) señalan que los matemáticos e historiadores participantes expresaron una serie de críticas tras la charla "Crisis" de Bishop, en el taller de la Academia Estadounidense de las Artes y las Ciencias de 1974. Sin embargo, los participantes no dijeron ni una palabra sobre la degradación de la teoría de Robinson por parte de Bishop. Katz y Katz señalan que recientemente salió a la luz que Bishop, de hecho, no dijo una palabra sobre la teoría de Robinson en el taller, y solo agregó su comentario de degradación en la etapa de prueba de imprenta de la publicación. Esto ayuda a explicar la ausencia de reacciones críticas en el taller. Katz y Katz concluyen que esto plantea problemas de integridad por parte de Bishop, cuyo texto publicado no informa el hecho de que el comentario de "degradación" se agregó en la etapa de prueba de imprenta y, por lo tanto, no fue escuchado por los participantes del taller, creando una impresión falsa de que no estaban en desacuerdo con los comentarios.

J. Dauben señaló que Bishop consideraba que la introducción del análisis no estándar en el aula era una "degradación del significado". ^[5] Bishop aclaró el término (1985, p. 1) en su texto Schizophrenia in contemporary mathematics (distribuido por primera vez en 1973), de la siguiente manera:

Las críticas de Brouwer a las matemáticas clásicas se referían a lo que llamaré "la degradación del significado".

Así, Bishop aplicó por primera vez el término "degradación del significado" a las matemáticas clásicas en su conjunto, y más tarde lo aplicó a los infinitesimales de Robinson en el aula. En su libro Foundations of Constructive Analysis (1967, página ix), Bishop escribió:

Nuestro programa es simple: dar significado numérico a la mayor cantidad posible de análisis abstracto clásico. Nuestra motivación es el conocido escándalo, expuesto por Brouwer (y otros) con gran detalle, de que las matemáticas clásicas carecen de significado numérico.

Las observaciones del Obispo están respaldadas por el debate que siguió a su conferencia: ^[6]

• George Mackey (Harvard): "No quiero pensar en estas cuestiones. Tengo fe en que lo que estoy haciendo tendrá algún tipo de significado..."
• Garrett Birkhoff (Harvard): "...Creo que esto es lo que Bishop nos propone. Debemos tener en cuenta nuestras suposiciones y mantener una mente abierta".
• Shreeram Abhyankar : (Purdue): "Mi periódico simpatiza completamente con la postura del obispo".
• JP Kahane (Universidad de París): "...Tengo que respetar el trabajo de Bishop, pero lo encuentro aburrido..."
• Obispo (UCSD): "La mayoría de los matemáticos creen que las matemáticas tienen un significado, pero les aburre tratar de descubrirlo..."
• Kahane: "Siento que el aprecio del Obispo tiene más importancia que mi falta de aprecio".

Reseña del obispo

Bishop revisó el libro Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach de Howard Jerome Keisler , que presentaba el cálculo elemental utilizando los métodos del análisis no estándar. Bishop fue elegido por su asesor Paul Halmos para revisar el libro. La reseña apareció en el Bulletin of the American Mathematical Society en 1977. David O. Tall (Tall 2001) hace referencia a este artículo al hablar sobre el uso del análisis no estándar en la educación. Tall escribió:

Sin embargo, el uso del axioma de elección en el enfoque no estándar suscita críticas extremas por parte de quienes, como Bishop (1977), insistieron en la construcción explícita de conceptos en la tradición intuicionista.

La reseña del obispo proporcionó varias citas del libro de Keisler, tales como:

En 1960, Robinson resolvió un problema que tenía trescientos años de antigüedad al ofrecer un tratamiento preciso de los infinitesimales. El logro de Robinson probablemente se considerará uno de los mayores avances matemáticos del siglo XX.

y

Al hablar de la línea real, hemos observado que no tenemos forma de saber cómo es realmente una línea en el espacio físico. Puede ser como la línea hiperreal, la línea real o ninguna de las dos. Sin embargo, en las aplicaciones del cálculo resulta útil imaginar una línea en el espacio físico como una línea hiperreal.

La reseña criticó el texto de Keisler por no aportar evidencia que respaldara estas afirmaciones y por adoptar un enfoque axiomático cuando no estaba claro para los estudiantes que existiera algún sistema que cumpliera con los axiomas (Tall 1980). La reseña finalizó de la siguiente manera:

Las complicaciones técnicas introducidas por el enfoque de Keisler son de menor importancia. El daño real reside en la ofuscación y desvitalización de esas maravillosas ideas [del cálculo estándar]. ¡Ninguna invocación de Newton y Leibniz justificará el desarrollo del cálculo utilizando los axiomas V* y VI*, sobre la base de que la definición habitual de un límite es demasiado complicada!

y

Aunque parezca inútil, siempre les digo a mis alumnos de cálculo que las matemáticas no son esotéricas: son de sentido común. (Incluso la famosa definición de límite (ε, δ) es de sentido común y, además, es central para los importantes problemas prácticos de aproximación y estimación). No me creen. De hecho, la idea los incomoda porque contradice su experiencia previa. Ahora tenemos un texto de cálculo que puede usarse para confirmar su experiencia de las matemáticas como un ejercicio técnico esotérico y sin sentido.

Respuestas

En su respuesta en The Notices , Keisler (1977, pág. 269) preguntó:

¿Por qué Paul Halmos , editor de reseñas de libros del Bulletin , eligió a un constructivista como revisor?

Al comparar el uso de la ley del tercio excluido (rechazada por los constructivistas) con el vino, Keisler comparó la elección de Halmos con "elegir a un abstemio para probar vino".

La reseña del libro de Bishop fue posteriormente criticada en la misma revista por Martin Davis , quien escribió en la página 1008 de Davis (1977):

El libro de Keisler es un intento de recuperar los métodos leibnizianos intuitivamente sugerentes que dominaron la enseñanza del cálculo hasta hace relativamente poco tiempo y que nunca se han descartado en partes de las matemáticas aplicadas. Un lector de la reseña de Errett Bishop del libro de Keisler difícilmente imaginaría que esto es lo que Keisler estaba tratando de hacer, ya que la reseña no analiza ni los objetivos de Keisler ni el grado en que su libro los hace realidad.

Davis agregó (p. 1008) que Bishop expresó sus objeciones

sin informar a sus lectores del contexto constructivista en el que presumiblemente debe entenderse esta objeción.

El físico Vadim Komkov (1977, p. 270) escribió:

Bishop es uno de los principales investigadores que defienden el enfoque constructivo del análisis matemático. Es difícil para un constructivista simpatizar con las teorías que sustituyen los números reales por hiperreales .

Komkov percibió una preocupación fundamental por parte de Bishop en cuanto a si se puede o no realizar un análisis no estándar de manera constructiva.

El filósofo de las matemáticas Geoffrey Hellman (1993, p. 222) escribió:

Algunas de las observaciones de Bishop (1967) sugieren que su posición pertenece a la categoría [del constructivismo radical]...

El historiador de las matemáticas Joseph Dauben analizó la crítica de Bishop en (1988, p. 192). Después de evocar el "éxito" del análisis no estándar

en el nivel más elemental en el que se podría introducir, es decir, en el que se enseña el cálculo por primera vez,

Dauben afirmó:

También hay un nivel más profundo de significado en el que opera el análisis no estándar.

Dauben mencionó aplicaciones "impresionantes" en

física, especialmente la teoría cuántica y la termodinámica , y en economía , donde el estudio de las economías de intercambio ha sido particularmente susceptible a una interpretación no estándar.

En este nivel "más profundo" de significado, Dauben concluyó:

Las opiniones del Obispo pueden ser cuestionadas y demostradas como tan infundadas como sus objeciones al análisis no estándar desde el punto de vista pedagógico.

Varios autores han comentado el tono de la reseña del libro de Bishop. Artigue (1992) la describió como virulenta ; Dauben (1996), como vitriólica ; Davis y Hauser (1978), como hostil ; Tall (2001), como extrema .

Ian Stewart (1986) comparó el pedido de Halmos a Bishop de que reseñara el libro de Keisler con la invitación a Margaret Thatcher de que reseñara El Capital .

Katz y Katz (2010) señalan que

Bishop critica las manzanas por no ser naranjas: el crítico (Bishop) y el criticado (el análisis no estándar de Robinson) no comparten un marco fundacional común.

Señalan además que

La preocupación de Bishop por la extirpación de la ley del tercero excluido lo llevó a criticar las matemáticas clásicas en su conjunto de una manera tan vitriólica como su crítica del análisis no estándar.

G. Stolzenberg respondió a las críticas de Keisler en Notices sobre la reseña de Bishop en una carta, también publicada en The Notices. ^[7] Stolzenberg sostiene que las críticas a la reseña de Bishop del libro de cálculo de Keisler se basan en la falsa suposición de que se hicieron con una mentalidad constructivista, mientras que Stolzenberg cree que Bishop lo leyó como debía leerse: con una mentalidad clásica.

La crítica de Connes

En "Brisure de symétrie spontanée et géométrie du point de vue spectral", Journal of Geometry and Physics 23 (1997), 206-234, Alain Connes escribió:

"La respuesta que da el análisis no estándar, es decir, un número real no estándar, es igualmente decepcionante: cada número real no estándar determina canónicamente un subconjunto no medible (de Lebesgue) del intervalo [0, 1], de modo que es imposible (Stern, 1985) exhibir un único [número real no estándar]. El formalismo que proponemos dará una respuesta sustancial y computable a esta pregunta".

En su artículo de 1995 "Geometría no conmutativa y realidad", Connes desarrolla un cálculo de infinitesimales basado en operadores en el espacio de Hilbert. Luego procede a "explicar por qué el formalismo del análisis no estándar es inadecuado" para sus propósitos. Connes señala los tres aspectos siguientes de los hiperreales de Robinson:

(1) un hiperreal no estándar "no puede ser exhibido" (la razón dada es su relación con conjuntos no mensurables);

(2) "el uso práctico de tal noción se limita a los cálculos en los que el resultado final es independiente del valor exacto del infinitesimal anterior. Esta es la forma en que se utilizan el análisis no estándar y los ultraproductos [...]".

(3) Los hiperreales son conmutativos.

Katz y Katz analizan las críticas de Connes al análisis no estándar y cuestionan las afirmaciones específicas (1) y (2). ^[8] Con respecto a (1), los propios infinitesimales de Connes se basan de manera similar en material fundacional no constructivo, como la existencia de una traza de Dixmier . Con respecto a (2), Connes presenta la independencia de la elección del infinitesimal como una característica de su propia teoría.

Kanovei et al. (2012) analizan la afirmación de Connes de que los números no estándar son "quiméricos". Señalan que el contenido de su crítica es que los ultrafiltros son "quiméricos", y señalan que Connes explotó los ultrafiltros de manera esencial en su trabajo anterior en análisis funcional. Analizan la afirmación de Connes de que la teoría hiperreal es meramente "virtual". Las referencias de Connes al trabajo de Robert Solovay sugieren que Connes pretende criticar a los hiperreales por supuestamente no ser definibles. Si es así, la afirmación de Connes sobre los hiperreales es demostrablemente incorrecta, dada la existencia de un modelo definible de los hiperreales construido por Vladimir Kanovei y Saharon Shelah (2004). (2012) también proporcionan una tabla cronológica de epítetos cada vez más vitriólicos empleados por Connes para denigrar el análisis no estándar durante el período entre 1995 y 2007, comenzando con "inadecuado" y "decepcionante" y culminando con "el final del camino por ser 'explícito'".

Katz y Leichtnam (2013) señalan que "se puede decir que dos tercios de la crítica de Connes al enfoque infinitesimal de Robinson son incoherentes, en el sentido específico de no ser coherentes con lo que Connes escribe (con aprobación) sobre su propio enfoque infinitesimal".

Observaciones de Halmos

Paul Halmos escribe en "Subespacios invariantes", American Mathematical Monthly 85 (1978) 182–183 lo siguiente:

"La extensión a los operadores polinomialmente compactos fue obtenida por Bernstein y Robinson (1966). Presentaron su resultado en el lenguaje metamatemático llamado análisis no estándar, pero, como se advirtió muy pronto, se trataba de una cuestión de preferencia personal, no de necesidad."

Halmos escribe en (Halmos 1985) lo siguiente (p. 204):

La prueba de Bernstein-Robinson [de la conjetura del subespacio invariante de Halmos] utiliza modelos no estándar de lenguajes de predicados de orden superior, y cuando [Robinson] me envió su reimpresión realmente tuve que sudar para identificar y traducir su conocimiento matemático.

Al comentar el "papel del análisis no estándar en las matemáticas", Halmos escribe (p. 204):

Para otros matemáticos que están en contra (por ejemplo Errett Bishop ), es una cuestión igualmente emocional...

Halmos concluye su discusión del análisis no estándar de la siguiente manera (p. 204):

Es una herramienta especial, demasiado especial, y otras herramientas pueden hacer todo lo que ella hace. Todo es cuestión de gustos.

Katz y Katz (2010) señalan que

La ansiedad de Halmos por evaluar la teoría de Robinson puede haber involucrado un conflicto de intereses [...] Halmos invirtió considerable energía emocional (y sudor , como lo expresa memorablemente en su autobiografía) en su traducción del resultado de Bernstein-Robinson [...] [S]us comentarios contundentes y poco halagadores parecen justificar retroactivamente su intento traduccionista de desviar el impacto de una de las primeras aplicaciones espectaculares de la teoría de Robinson.

Comentarios de Bos y Medvedev

El historiador de Leibniz, Henk Bos (1974), reconoció que los hiperreales de Robinson proporcionan

[una] explicación preliminar de por qué el cálculo pudo desarrollarse sobre la base insegura de la aceptación de cantidades infinitamente pequeñas e infinitamente grandes.

F. Medvedev (1998) señala además que

El análisis no estándar permite responder a una cuestión delicada, vinculada a los enfoques anteriores de la historia del análisis clásico. Si las magnitudes infinitamente pequeñas e infinitamente grandes se consideran nociones inconsistentes, ¿cómo podrían haber servido como base para la construcción de un edificio tan magnífico de una de las disciplinas matemáticas más importantes?

Véase también

• Análisis constructivo no estándar
• Influencia del análisis no estándar

Notas

1. Tao, T.: Estructura y aleatoriedad. Páginas del primer año de un blog matemático. American Mathematical Society, Providence, RI, 2008. p. 55.
2. Esto se muestra en el artículo AMS de 1977 de Edward Nelson en un apéndice escrito por William Powell.
3. Diane., Ravitch (2000). Lateral izquierdo: un siglo de reformas escolares fallidas . Nueva York: Simon & Schuster. ISBN 0684844176.OCLC 43790988  .
4. Philip, J. Davis (9 de abril de 2001). «SIAM: Entusiasmos educativos y sus críticos». archive.siam.org . Consultado el 2 de diciembre de 2018 .
5. en Donald Gillies , Revoluciones en matemáticas (1992), pág. 76.
6. Obispo 1975.
7. Stolzenberg 1978.
8. Véase Katz y Katz (2011)

Referencias

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Enlaces externos

• Versión en línea de Cálculo elemental: un enfoque infinitesimal
• S. Kutateladze "La enseñanza del cálculo"