Microcontinuidad

Término matemático

En el análisis no estándar , una disciplina dentro de las matemáticas clásicas, la microcontinuidad (o S -continuidad) de una función interna f en un punto a se define de la siguiente manera:

para todo x infinitamente cercano a a , el valor f ( x ) es infinitamente cercano a f ( a ).

Aquí x recorre el dominio de f . En fórmulas, esto se puede expresar de la siguiente manera:

si entonces . ${\displaystyle x\approx a}$ ${\displaystyle f(x)\approx f(a)}$

Para una función f definida en , la definición puede expresarse en términos del halo de la siguiente manera: f es microcontinua en si y solo si , donde la extensión natural de f a los hiperreales todavía se denota f . Alternativamente, la propiedad de microcontinuidad en c puede expresarse indicando que la composición es constante en el halo de c , donde "st" es la parte estándar de la función . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(hal(c))\subseteq hal(f(c))}$ ${\displaystyle {\text{st}}\circ f}$

Historia

La propiedad moderna de continuidad de una función fue definida por primera vez por Bolzano en 1817. Sin embargo, el trabajo de Bolzano no fue notado por la comunidad matemática más amplia hasta su redescubrimiento en Heine en la década de 1860. Mientras tanto, el libro de texto de Cauchy , Cours d'Analyse, definió la continuidad en 1821 utilizando infinitesimales como los mencionados anteriormente. ^[1]

Continuidad y continuidad uniforme

La propiedad de microcontinuidad se aplica típicamente a la extensión natural f* de una función real f . Así, f definida en un intervalo real I es continua si y sólo si f* es microcontinua en cada punto de I . Mientras tanto, f es uniformemente continua en I si y sólo si f* es microcontinua en cada punto (estándar y no estándar) de la extensión natural I* de su dominio I (véase Davis, 1977, p. 96).

Ejemplo 1

La función real en el intervalo abierto (0,1) no es uniformemente continua porque la extensión natural f* de f no es microcontinua en un infinitesimal . De hecho, para tal a , los valores a y 2a son infinitamente cercanos, pero los valores de f* , a saber y , no son infinitamente cercanos. ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{a}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2a}}}$

Ejemplo 2

La función en no es uniformemente continua porque f* no es microcontinua en un punto infinito . Es decir, si se establece y K  =  H  +  e , se ve fácilmente que H y K son infinitamente cercanas, pero f *( H ) y f *( K ) no son infinitamente cercanas. ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle H\in \mathbb {R} ^{*}}$ ${\displaystyle e={\tfrac {1}{H}}}$

Convergencia uniforme

La convergencia uniforme admite de manera similar una definición simplificada en un contexto hiperreal. Así, una sucesión converge a f de manera uniforme si para todo x en el dominio de f* y todo n infinito , es infinitamente cercana a . ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f_{n}^{*}(x)}$ ${\displaystyle f^{*}(x)}$

Véase también

• Función de la pieza estándar

Bibliografía

• Martin Davis (1977) Análisis no estándar aplicado. Matemáticas puras y aplicadas. Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], Nueva York-Londres-Sydney. xii+181 pp. ISBN  0-471-19897-8
• Gordon, EI; Kusraev, AG; Kutateladze , SS: Análisis infinitesimal. Traducción actualizada y revisada del original ruso de 2001. Traducido por Kutateladze. Matemáticas y sus aplicaciones, 544. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2002.

Referencias

1. Borovik, Alexandre ; Katz, Mikhail G. (2011), "¿Quién te contó el cuento de Cauchy-Weierstrass? La historia dual del cálculo riguroso", Foundations of Science , arXiv : 1108.2885 , doi :10.1007/s10699-011-9235-x.