raíz enésima

En matemáticas , sacar la raíz n -ésima es una operación que involucra dos números, el radicando y el índice o grado . Tomar la raíz enésima se escribe como , donde $x$ es el radicando y n es el índice (a veces también llamado grado). Esto se pronuncia como "la raíz enésima de x". La definición entonces de una n -ésima raíz de un número x es un número r (la raíz) que, cuando se eleva a la potencia del entero positivo n , produce x : ${\sqrt[{n}]{x}}$

r^{n}=x.

Una raíz de grado 2 se llama raíz cuadrada (normalmente se escribe sin la n como simplemente ) y una raíz de grado 3, raíz cúbica (se escribe ). Las raíces de grado superior se refieren mediante el uso de números ordinales, como en raíz cuarta , raíz vigésima , etc. El cálculo de una raíz $enésima$ es una extracción de raíz . ${\sqrt {x}}$ ${\sqrt[{3}]{x}}$

Por ejemplo, 3 es raíz cuadrada de 9, ya que 3 ² = 9, y −3 también es raíz cuadrada de 9, ya que (−3) ² = 9.

Cualquier número distinto de cero considerado como número complejo tiene $n raíces$ $n-$ ésimas complejas diferentes , incluidas las reales (como máximo dos). La $n-$ ésima raíz de 0 es cero para todos los enteros positivos $n$ , ya que $0 n = 0$ . En particular, si $n$ es par y $x$ es un número real positivo, una de sus $n$ -ésimas raíces es real y positiva, una es negativa y las otras (cuando $n > 2 ) son$ números complejos no reales ; si $n$ es par y $x$ es un número real negativo, ninguna de las $n-$ ésimas raíces es real. Si $n$ es impar y $x$ es real, una $n-$ ésima raíz es real y tiene el mismo signo que $x$ , mientras que las otras ( $n - 1$ ) raíces no son reales. Finalmente, si $x$ no es real, entonces ninguna de sus $n-$ ésimas raíces es real.

Las raíces de números reales generalmente se escriben usando el símbolo radical o base , denotando la raíz cuadrada positiva de $x$ si $x$ es positivo; para raíces superiores, denota la raíz $n$ -ésima real si $n$ es impar y la raíz n -ésima positiva si $n$ es par y $x$ es positiva. En los demás casos, el símbolo no se utiliza habitualmente por ser ambiguo. ${\sqrt {{~^{~}}^{~}\!\!}}$ ${\sqrt {x}}$ ${\sqrt[{n}]{x}}$

Cuando se consideran raíces $n-$ ésimas complejas, suele ser útil elegir una de las raíces, llamada raíz principal , como valor principal . La elección común es elegir la raíz $n$ -ésima principal de $x$ como la raíz $n$ -ésima con mayor parte real, y cuando hay dos (para $x$ real y negativa), la que tiene una parte imaginaria positiva . Esto hace que la raíz $n$ -ésima sea una función real y positiva para $x$ real y positiva, y continua en todo el plano complejo , excepto para los valores de $x$ que son reales y negativos.

Una dificultad con esta elección es que, para un número real negativo y un índice impar, la raíz $n-$ ésima principal no es la real. Por ejemplo, tiene tres raíces cúbicas, y La raíz cúbica real es y la raíz cúbica principal es $-8$ $-2$ $1+i{\sqrt {3}}$ $1-i{\sqrt {3}}.$ $-2$ $1+i{\sqrt {3}}.$

Una raíz no resuelta, especialmente una que usa el símbolo radical, a veces se denomina surd [ ^1] o radical . ^[2] Cualquier expresión que contenga un radical, ya sea una raíz cuadrada, una raíz cúbica o una raíz superior, se llama expresión radical , y si no contiene funciones trascendentales o números trascendentales se llama expresión algebraica .

La raíz positiva de un número es la operación inversa de la Exponenciación con exponentes enteros positivos. ^[3] Las raíces también se pueden definir como casos especiales de exponenciación , donde el exponente es una fracción :

{\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}.

Las raíces se utilizan para determinar el radio de convergencia de una serie de potencias con la prueba de la raíz . Las raíces $enésimas$ de 1 se denominan raíces de la unidad y juegan un papel fundamental en diversas áreas de las matemáticas, como la teoría de números , la teoría de ecuaciones y la transformada de Fourier .

Historia

Un término arcaico para la operación de sacar raíces n- ésimas es radicación . ^[4]^[5]

Definición y notación

Las cuatro raíces cuartas de −1,
ninguna de las cuales es real

Las tres raíces terceras de −1,
una de las cuales es real negativa

Una n- ésima raíz de un número x , donde n es un entero positivo, es cualquiera de los n números reales o complejos r cuya n- ésima potencia es x :

r^{n}=x.

Todo número real positivo x tiene una única raíz n- ésima positiva, llamada raíz n -ésima principal , que se escribe . Para n igual a 2, esto se llama raíz cuadrada principal y n se omite. La n- ésima raíz también se puede representar usando exponenciación como x ^1/n . ${\sqrt[{n}]{x}}$

Para valores pares de n , los números positivos también tienen una raíz n- ésima negativa , mientras que los números negativos no tienen una raíz n- ésima real . Para valores impares de n , cada número negativo x tiene una raíz n- ésima real negativa. Por ejemplo, −2 tiene una raíz quinta real, pero −2 no tiene ninguna raíz sexta real. ${\sqrt[{5}]{-2}}=-1.148698354\ldots$

Cada número x distinto de cero , real o complejo , tiene n números complejos diferentes n- ésimas raíces. (En el caso de que x sea real, este recuento incluye cualquier raíz n- ésima real). La única raíz compleja de 0 es 0.

Las raíces enésimas de casi todos los números (todos los enteros excepto las potencias enésimas y todos los racionales excepto los cocientes de dos potencias enésimas) son irracionales . Por ejemplo,

{\sqrt {2}}=1.414213562\ldots

Todas las n- ésimas raíces de números racionales son números algebraicos , y todas las n- ésimas raíces de números enteros son enteros algebraicos .

El término "surd" se remonta a Al-Khwarizmi ( c. 825 ), quien se refería a los números racionales e irracionales como audibles e inaudibles , respectivamente. Esto llevó más tarde a que la palabra árabe " أصم " ( asamm , que significa "sordo" o "mudo") para números irracionales se tradujera al latín como surdus (que significa "sordo" o "mudo"). Gerardo de Cremona ( c. 1150 ), Fibonacci (1202) y luego Robert Recorde (1551) usaron el término para referirse a raíces irracionales no resueltas , es decir, expresiones de la forma en la que y son números enteros y la expresión completa denota un número irracional. ^[6] Los números irracionales de la forma donde es racional, se llaman surdos cuadráticos puros ; Los números irracionales de la forma donde y son racionales se llaman números cuadráticos mixtos . ^[7] ${\sqrt[{n}]{r}},$ $n$ $r$ $\pm {\sqrt {a}},$ $a$ $a\pm {\sqrt {b}},$ $a$ $b$

Raíces cuadradas

Una raíz cuadrada de un número x es un número r que, al elevarlo al cuadrado , se convierte en x :

r^{2}=x.

Todo número real positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa. Por ejemplo, las dos raíces cuadradas de 25 son 5 y −5. La raíz cuadrada positiva también se conoce como raíz cuadrada principal , y se denota con un signo radical:

{\sqrt {25}}=5.

Como el cuadrado de todo número real no es negativo, los números negativos no tienen raíces cuadradas reales. Sin embargo, por cada número real negativo existen dos raíces cuadradas imaginarias . Por ejemplo, las raíces cuadradas de −25 son 5 i y −5 i , donde i representa un número cuyo cuadrado es $-1$ .

raíces cúbicas

Una raíz cúbica de un número x es un número r cuyo cubo es x :

r^{3}=x.

Todo número real x tiene exactamente una raíz cúbica real, escrita . Por ejemplo, ${\sqrt[{3}]{x}}$

{\sqrt[{3}]{8}}=2

{\sqrt[{3}]{-8}}=-2.

Todo número real tiene dos raíces cúbicas complejas adicionales.

Identidades y propiedades

Expresar el grado de una raíz n -ésima en su forma exponente, como en , facilita la manipulación de potencias y raíces. Si es un número real no negativo , $x^{1/n}$ $a$

{\sqrt[{n}]{a^{m}}}=(a^{m})^{1/n}=a^{m/n}=(a^{1/n})^{m}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m}.

Cada número no negativo tiene exactamente una raíz n-ésima real no negativa , por lo que las reglas para operaciones con surds que involucran radicandos no negativos son sencillas dentro de los números reales: $a$ $b$

{\begin{aligned}{\sqrt[{n}]{ab}}&={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\\{\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}&={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\end{aligned}}

Pueden surgir sutilezas al sacar las raíces enésimas de números negativos o complejos . Por ejemplo:

{\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}\neq {\sqrt {-1\times -1}}=1,\quad

sino, más bien,

\quad {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}=i\times i=i^{2}=-1.

Dado que la regla se cumple estrictamente sólo para radicandos reales no negativos, su aplicación conduce a la desigualdad del primer paso anterior. ${\sqrt[{n}]{a}}\times {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{ab}}$

Forma simplificada de una expresión radical.

Se dice que una expresión radical no anidada está en forma simplificada si ^[8]

No existe ningún factor del radicando que pueda escribirse como una potencia mayor o igual al índice.
No hay fracciones dentro del signo radical.
No hay radicales en el denominador.

Por ejemplo, para escribir la expresión radical en forma simplificada, podemos proceder de la siguiente manera. Primero, busca un cuadrado perfecto debajo del signo de la raíz cuadrada y elimínalo: ${\sqrt {\tfrac {32}{5}}}$

{\sqrt {\tfrac {32}{5}}}={\sqrt {\tfrac {16\cdot 2}{5}}}={\sqrt {16}}\cdot {\sqrt {\tfrac {2}{5}}}=4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}}

A continuación, hay una fracción bajo el signo radical, que cambiamos de la siguiente manera:

4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}

Finalmente, eliminamos el radical del denominador de la siguiente manera:

{\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {10}}}{5}}={\frac {4}{5}}{\sqrt {10}}

Cuando hay un denominador que involucra surds, siempre es posible encontrar un factor para multiplicar tanto el numerador como el denominador para simplificar la expresión. ^[9]^[10] Por ejemplo, usando la factorización de la suma de dos cubos :

{\frac {1}{{\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{\left({\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}\right)\left({\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}\right)}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{a+b}}.

Simplificar expresiones radicales que involucran radicales anidados puede resultar bastante difícil. No es obvio, por ejemplo, que:

{\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}

Lo anterior se puede derivar a través de:

{\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}={\sqrt {1+2{\sqrt {2}}+2}}={\sqrt {1^{2}+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}^{2}}}={\sqrt {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2}}}=1+{\sqrt {2}}

Sea , con $p$ y $q$ coprimos y enteros positivos. Entonces es racional si y sólo si ambos y son números enteros, lo que significa que tanto $p$ como $q$ son n- ésimas potencias de algún número entero. $r=p/q$ ${\sqrt[{n}]{r}}={\sqrt[{n}]{p}}/{\sqrt[{n}]{q}}$ ${\sqrt[{n}]{p}}$ ${\sqrt[{n}]{q}}$

Series infinitas

El radical o raíz puede representarse por la serie infinita :

(1+x)^{\frac {s}{t}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{n-1}(s-kt)}{n!t^{n}}}x^{n}

con . Esta expresión se puede derivar de la serie binomial . $|x|<1$

Calcular las raíces principales

Usando el método de Newton

La raíz $enésima$ de un número $A$ se puede calcular con el método de Newton , que comienza con una estimación inicial $x 0$ y luego se itera usando la relación de recurrencia.

x_{k+1}=x_{k}-{\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{n-1}}}

hasta alcanzar la precisión deseada. Para lograr eficiencia computacional, la relación de recurrencia comúnmente se reescribe

x_{k+1}={\frac {n-1}{n}}\,x_{k}+{\frac {A}{n}}\,{\frac {1}{x_{k}^{n-1}}}.

Esto permite tener una sola exponenciación y calcular de una vez por todas el primer factor de cada término.

Por ejemplo, para encontrar la raíz quinta de 34, reemplazamos $n = 5, A = 34$ y $x 0 = 2$ (suposición inicial). Las primeras 5 iteraciones son, aproximadamente:
$x 0 = 2$
$x 1 = 2.025$
$x 2 = 2.02439 7...$
$x 3 = 2.02439 7458...$
$x 4 = 2.02439 74584 99885 04251 08172...$
$x 5 = 2.02439 74584 99885 04 251 08172 45541 93741 91146 21701 07311 8...$
(Se muestran todos los dígitos correctos).

La aproximación $x 4$ tiene una precisión de 25 decimales y $x 5$ es buena para 51.

El método de Newton se puede modificar para producir varias fracciones continuas generalizadas para la raíz enésima . Por ejemplo,

{\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{x^{n}+y}}=x+{\cfrac {y}{nx^{n-1}+{\cfrac {(n-1)y}{2x+{\cfrac {(n+1)y}{3nx^{n-1}+{\cfrac {(2n-1)y}{2x+{\cfrac {(2n+1)y}{5nx^{n-1}+{\cfrac {(3n-1)y}{2x+\ddots }}}}}}}}}}}}.

Cálculo dígito por dígito de las raíces principales de números decimales (base 10)

Se muestra el triángulo de Pascal . $P(4,1)=4$

Basándose en el cálculo dígito por dígito de una raíz cuadrada , se puede ver que la fórmula utilizada allí, o , sigue un patrón que involucra el triángulo de Pascal. Porque la n- ésima raíz de un número se define como el valor del elemento en la fila del Triángulo de Pascal tal que podemos reescribir la expresión como . Por conveniencia, llame al resultado de esta expresión . Utilizando esta expresión más general, cualquier raíz principal positiva se puede calcular, dígito por dígito, de la siguiente manera. $x(20p+x)\leq c$ $x^{2}+20xp\leq c$ $P(n,i)$ $i$ $n$ $P(4,1)=4$ $\sum _{i=0}^{n-1}10^{i}P(n,i)p^{i}x^{n-i}$ $y$

Escribe el número original en forma decimal. Los números se escriben de manera similar al algoritmo de división larga y, como en la división larga, la raíz se escribirá en la línea de arriba. Ahora separe los dígitos en grupos de dígitos que equivalgan a la raíz que se está tomando, comenzando desde el punto decimal y yendo hacia la izquierda y hacia la derecha. La coma decimal de la raíz estará por encima de la coma decimal del radicando. Un dígito de la raíz aparecerá encima de cada grupo de dígitos del número original.

Comenzando con el grupo de dígitos más a la izquierda, realice el siguiente procedimiento para cada grupo:

Comenzando por la izquierda, baje el grupo de dígitos más significativo (el más a la izquierda) que aún no se haya usado (si se han usado todos los dígitos, escriba "0", la cantidad de veces necesarias para formar un grupo) y escríbalos a la derecha del resto del paso anterior (en el primer paso, no quedará resto). En otras palabras, multiplica el resto por y suma los dígitos del siguiente grupo. Este será el valor actual c . $10^{n}$
Encuentre p y x , de la siguiente manera:
- Sea la parte de la raíz encontrada hasta el momento , ignorando cualquier punto decimal. (Para el primer paso, y ). $p$ $p=0$ $0^{0}=1$
- Determine el dígito mayor tal que . $x$ $y\leq c$
- Coloque el dígito como el siguiente dígito de la raíz, es decir, encima del grupo de dígitos que acaba de bajar. Por lo tanto, la siguiente p será la antigua p multiplicada por 10 más x . $x$
Resta para formar un nuevo resto. $y$ $c$
Si el resto es cero y no hay más dígitos que bajar, entonces el algoritmo ha terminado. De lo contrario, vuelva al paso 1 para realizar otra iteración.

Ejemplos

Encuentra la raíz cuadrada de 152,2756.

  1 2. 3 4   / \/ 01 52.27 56 (Resultados) (Explicaciones)   01 x = 1 10 ⁰ ·1·0 ⁰ · 1 ² + 10 ¹ ·2·0 ¹ · 1 ¹ ≤ 1 < 10 ⁰ ·1·0 ⁰ ·2 ² + 10 ¹ ·2·0 1 ^· 2 ¹ 01 y = 1 y = 10 ⁰ ·1·0 ⁰ ·1 ² + 10 ¹ ·2·0 ¹ ·1 ¹ = 1 + 0 = 1 00 52 x = 2 10 0 · 1·1 ⁰^· 2 2 ⁺ 10 ¹ ·2·1 ¹ · 2 ¹ ≤ 52 < 10 ⁰ ·1·1 ⁰ ·3 ² + 10 ¹ ·2·1 1 ^· 3 ¹00 44 y = 44 y = 10 ⁰ ·1·1 ⁰ ·2 ² + 10 ¹ ·2·1 1 ^· 2 ¹ = 4 + 40 = 44 08 27 x = 3 10 ⁰ ·1·12 ⁰ · 3 ² + 10 ¹ ·2·12 ¹ · 3 ¹ ≤ 827 < 10 ⁰ ·1· 12 ⁰ ·4 ² + 10 ¹ ·2·12 ¹ ·4 ¹07 29 y = 729 y = 10 ⁰ ·1·12 ⁰ ·3 ² + 10 ¹ ·2·12 ¹ ·3 ¹ = 9 + 720 = 729 98 56 x = 4 10 ⁰ ·1·123 ⁰ · 4 ² + 10 ¹ ·2·123 ¹ · 4 ¹ ≤ 9856 < 10 ⁰ ·1·123 ⁰ ·5 ² + 10 ¹ ·2·123 ¹ ·5 ¹98 56 y = 9856 y = 10 ⁰ ·1·123 ⁰ ·4 ² + 10 ¹ ·2·123 ¹ ·4 ¹ = 16 + 9840 = 9856    00 00

El algoritmo termina: la respuesta es 12,34

Encuentra la raíz cúbica de 4192 truncada a la milésima más cercana.

  1 6. 1 2 4  3 / \/ 004 192.000 000 000 (Resultados) (Explicaciones)   004 x = 1 10 ⁰ ·1·0 ⁰ · 1 ³ + 10 ¹ ·3·0 ¹ · 1 ² + 10 ² ·3·0 ² · 1 ¹ ≤ 4 < 10 ⁰ ·1·0 0 ^· 2 ³ + 10 ¹ ·3·0 ¹ ·2 ² + 10 ² ·3·0 ² ·2 ¹ 001 y = 1 y = 10 ⁰ ·1·0 ⁰ ·1 ³ + 10 ¹ ·3·0 ¹ ·1 ² + 10 ² ·3·0 ² ·1 ¹ = 1 + 0 + 0 = 1 003 192 x = 6 10 ⁰ ·1·1 ⁰ · 6 ³ + 10 ¹ ·3·1 1 · ⁶ 2 + ¹⁰ 2 ^· 3·1 ² · 6 ¹ ≤ 3192 < 10 ⁰ ·1·1 ⁰ ·7 ³ + 10 ¹ ·3·1 ¹ ·7 ² + 10 ² ·3·1 ² ·7 ¹ 003 096 y = 3096 y = 10 ⁰ ·1 ·1 ⁰ ·6 ³ + 10 ¹ ·3·1 ¹^· 6 2 + 10 ² ·3·1 ² ·6 ¹ = 216 + 1.080 + 1.800 = 3.096 096 000 x = 1 10 ⁰ ·1·16 ⁰ · 1 ³ + 10 ¹ ·3·16 ¹ · 1 ² + 10 2 ·3· ¹⁶² · 1 ¹ ≤ 96000 < 10 ⁰ ·1·16 ⁰ ·2 ³ + 10 ¹ ·3·16 ¹ ·2 ² + 10 ² ·3·16 ² ·2 ¹077 281 y = 77281 y = 10 ⁰ ·1·16 ⁰ ·1 ³ + 10 ¹ ·3·16 ¹ ·1 ² + 10 ² ·3·16 ² ·1 ¹ = 1 + 480 + 76,800 = 77,281 018 719 000 x = 2 10 ⁰ ·1·161 ⁰ · 2 ³ + 10 ¹ ·3·161 ¹ · 2 ² + 10 ² ·3·161 ² · 2 ¹ ≤ 18719000 < 10 ⁰ ·1·161 ⁰ ·3 ³ + 10 ¹ ·3· 161 ¹ · 3 ² + 10 ² ·3·161 ² ·3 ¹ 015 571 928 y = 15571928 y = 10 ⁰ ·1·161 ⁰ ·2 ³ + 10 ¹ ·3·161 ¹ ·2 ² + 10 ² ·3·161 ² ·2 ¹ = 8 + 19.320 + 15.552.600 = 15.571.928 003 147 072 000 x = 4 10 ⁰ ·1·1612 ⁰ · 4 ³ + 10 ¹ ·3·1612 ¹ · 4 ² + 10 ² ·3·1612 ² · 4 ¹ ≤ 3147072000 < 10 ⁰ ·1·1612 ⁰ ·5 ³ + 10 ¹ ·3·1612 ¹ ·5 ² + 10 ² ·3·1612 ² ·5 ¹

Se consigue la precisión deseada. La raíz cúbica de 4192 es 16,124...

Cálculo logarítmico

La raíz n -ésima principal de un número positivo se puede calcular usando logaritmos . Partiendo de la ecuación que define r como una raíz n -ésima de x , es decir, con x positivo y por lo tanto su raíz principal r también positiva, se toman logaritmos de ambos lados (cualquier base del logaritmo servirá) para obtener $r^{n}=x,$

n\log _{b}r=\log _{b}x\quad \quad {\text{hence}}\quad \quad \log _{b}r={\frac {\log _{b}x}{n}}.

La raíz r se recupera de esto tomando el antilog :

r=b^{{\frac {1}{n}}\log _{b}x}.

(Nota: esa fórmula muestra b elevado a la potencia del resultado de la división, no b multiplicado por el resultado de la división).

Para el caso en el que x es negativo y n es impar, existe una raíz real r que también es negativa. Esto se puede encontrar multiplicando primero ambos lados de la ecuación que lo define por −1 para obtener y luego proceder como antes para encontrar | r |, y usando r = −| r | . $|r|^{n}=|x|,$

Constructibilidad geométrica

Los antiguos matemáticos griegos sabían cómo usar un compás y una regla para construir una longitud igual a la raíz cuadrada de una longitud dada, cuando se da una línea auxiliar de longitud unitaria. En 1837, Pierre Wantzel demostró que no se puede construir una raíz enésima de una longitud dada si n no es una potencia de 2. ^[11]

Raíces complejas

Todo número complejo distinto de 0 tiene n raíces enésimas diferentes .

Raíces cuadradas

Las dos raíces cuadradas de un número complejo son siempre negativas entre sí. Por ejemplo, las raíces cuadradas de $-4$ son $2 i$ y $-2 i$ , y las raíces cuadradas de $i$ son

{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i)\quad {\text{and}}\quad -{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i).

Si expresamos un número complejo en forma polar , entonces la raíz cuadrada se puede obtener sacando la raíz cuadrada del radio y dividiendo el ángulo por la mitad:

{\sqrt {re^{i\theta }}}=\pm {\sqrt {r}}\cdot e^{i\theta /2}.

La raíz principal de un número complejo se puede elegir de varias maneras, por ejemplo

{\sqrt {re^{i\theta }}}={\sqrt {r}}\cdot e^{i\theta /2}

que introduce una rama cortada en el plano complejo a lo largo del eje real positivo con la condición $0 \leq θ < 2 π$ , o a lo largo del eje real negativo con $- π < θ \leq π$ .

Usando la primera (última) rama, corte los mapas de raíz cuadrada principal al semiplano con una parte imaginaria (real) no negativa. El último corte de rama se presupone en software matemático como Matlab o Scilab . $\scriptstyle {\sqrt {z}}$ $\scriptstyle z$

Raíces de unidad

El número 1 tiene n raíces n- ésimas diferentes en el plano complejo, es decir

1,\;\omega ,\;\omega ^{2},\;\ldots ,\;\omega ^{n-1},

dónde

\omega =e^{\frac {2\pi i}{n}}=\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)

Estas raíces están espaciadas uniformemente alrededor del círculo unitario en el plano complejo, en ángulos que son múltiplos de . Por ejemplo, las raíces cuadradas de la unidad son 1 y −1, y las raíces cuartas de la unidad son 1, , −1 y . $2\pi /n$ $i$ $-i$

n- ésimas raíces

Cada número complejo tiene n raíces n- ésimas diferentes en el plano complejo. Estos son

\eta ,\;\eta \omega ,\;\eta \omega ^{2},\;\ldots ,\;\eta \omega ^{n-1},

donde η es una única raíz n , y 1, ω , ω ² , ... ω ^{n −1} son las raíces n de la unidad. Por ejemplo, las cuatro raíces cuartas diferentes de 2 son

{\sqrt[{4}]{2}},\quad i{\sqrt[{4}]{2}},\quad -{\sqrt[{4}]{2}},\quad {\text{and}}\quad -i{\sqrt[{4}]{2}}.

En forma polar , se puede encontrar una única raíz n mediante la fórmula

{\sqrt[{n}]{re^{i\theta }}}={\sqrt[{n}]{r}}\cdot e^{i\theta /n}.

Aquí r es la magnitud (el módulo, también llamado valor absoluto ) del número cuya raíz se va a tomar; Si el número se puede escribir como a+bi entonces . Además, es el ángulo que se forma cuando uno gira sobre el origen en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje horizontal positivo hacia un rayo que va del origen al número; tiene las propiedades que y $r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ $\theta$ $\cos \theta =a/r,$ $\sin \theta =b/r,$ $\tan \theta =b/a.$

Por lo tanto, encontrar las raíces n -ésimas en el plano complejo se puede segmentar en dos pasos. Primero, la magnitud de todas las n- ésimas raíces es la n- ésima raíz de la magnitud del número original. En segundo lugar, el ángulo entre el eje horizontal positivo y un rayo desde el origen hasta una de las enésimas raíces es , donde es el ángulo definido de la misma manera para el número cuya raíz se está tomando. Además, todas las n de las n -ésimas raíces están en ángulos igualmente espaciados entre sí. $\theta /n$ $\theta$

Si n es par, las n -ésimas raíces de un número complejo, de las cuales hay un número par, vienen en pares inversos aditivos , de modo que si un número r ₁ es una de las n -ésimas raíces entonces r ₂ = – r ₁ es otra. Esto se debe a que elevar el coeficiente de este último –1 a la enésima potencia para n pares produce 1 : es decir, (– r ₁ ) ⁿ = (–1) ⁿ × r ₁ⁿ = r ₁ⁿ .

Al igual que con las raíces cuadradas, la fórmula anterior no define una función continua en todo el plano complejo, sino que tiene una rama cortada en los puntos donde θ / n es discontinuo.

Resolver polinomios

Alguna vez se conjeturó que todas las ecuaciones polinómicas podrían resolverse algebraicamente (es decir, que todas las raíces de un polinomio podrían expresarse en términos de un número finito de radicales y operaciones elementales ). Sin embargo, si bien esto es cierto para los polinomios de tercer grado ( cúbicos ) y polinomios de cuarto grado ( cuárticos ), el teorema de Abel-Ruffini (1824) muestra que esto no es cierto en general cuando el grado es 5 o mayor. Por ejemplo, las soluciones de la ecuación.

x^{5}=x+1

No se puede expresar en términos de radicales. ( cf. ecuación quíntica )

Prueba de irracionalidad para la n - ésima potencia x no perfecta

Supongamos que eso es racional. Es decir, se puede reducir a una fracción , donde $a$ y $b$ son números enteros sin factor común. ${\sqrt[{n}]{x}}$ ${\frac {a}{b}}$

Esto significa que . $x={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$

Dado que x es un número entero y debe compartir un factor común si . Esto significa que si no está en su forma más simple. Por tanto, b debería ser igual a 1. $a^{n}$ $b^{n}$ $b\neq 1$ $b\neq 1$ ${\frac {a^{n}}{b^{n}}}$

Desde y , . $1^{n}=1$ ${\frac {n}{1}}=n$ ${\frac {a^{n}}{b^{n}}}=a^{n}$

Esto significa que y por tanto, . Esto implica que es un número entero. Dado que x no es una n- ésima potencia perfecta, esto es imposible. Por tanto, es irracional. $x=a^{n}$ ${\sqrt[{n}]{x}}=a$ ${\sqrt[{n}]{x}}$ ${\sqrt[{n}]{x}}$

Ver también

Referencias

^ Bansal, RK (2006). Nuevo enfoque de CBSE Matemáticas IX. Publicaciones Laxmi. pag. 25.ISBN _ 978-81-318-0013-3.
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