En matemáticas , un cuadrado es el resultado de multiplicar un número por sí mismo. El verbo "cuadrar" se utiliza para denotar esta operación. Elevar al cuadrado es lo mismo que elevar a la potencia 2 y se denota con un superíndice 2; por ejemplo, el cuadrado de 3 puede escribirse como 3 2 , que es el número 9. En algunos casos, cuando los superíndices no están disponibles, como por ejemplo en lenguajes de programación o archivos de texto planox^2 , las notaciones ( caret ) o x**2pueden usarse en lugar de . El adjetivo que corresponde a elevar al cuadrado es cuadrático .x2
Al cuadrado de un número entero también se le puede llamar número cuadrado o cuadrado perfecto . En álgebra , la operación de elevar al cuadrado a menudo se generaliza a polinomios , otras expresiones o valores en sistemas de valores matemáticos distintos de los números. Por ejemplo, el cuadrado del polinomio lineal x + 1 es el polinomio cuadrático ( x + 1) 2 = x 2 + 2 x + 1 .
Una de las propiedades importantes de elevar al cuadrado, tanto para los números como para muchos otros sistemas matemáticos, es que (para todos los números x ), el cuadrado de x es el mismo que el cuadrado de su inverso aditivo − x . Es decir, la función cuadrada satisface la identidad x 2 = (− x ) 2 . Esto también se puede expresar diciendo que la función cuadrado es una función par .
La operación de elevar al cuadrado define una función real llamadafunción cuadrada o lafunción de cuadratura . Sudominioes larecta realy suimagenes el conjunto de los números reales no negativos.
La función cuadrado preserva el orden de los números positivos: los números más grandes tienen cuadrados más grandes. En otras palabras, el cuadrado es una función monótona en el intervalo [0, +∞) . En los números negativos, los números con mayor valor absoluto tienen cuadrados mayores, por lo que el cuadrado es una función monótonamente decreciente en (−∞,0] . Por lo tanto, cero es el mínimo (global) de la función cuadrada. El cuadrado x 2 de a El número x es menor que x (es decir, x 2 < x ) si y sólo si 0 < x < 1 , es decir, si x pertenece al intervalo abierto (0,1) . Esto implica que el cuadrado de un número entero nunca es menor que el número original x .
Todo número real positivo es el cuadrado de exactamente dos números, uno de los cuales es estrictamente positivo y el otro estrictamente negativo. El cero es el cuadrado de un solo número: el mismo. Por esta razón, es posible definir la función raíz cuadrada , que asocia a un número real no negativo el número no negativo cuyo cuadrado es el número original.
No se puede sacar raíz cuadrada de un número negativo dentro del sistema de números reales , porque los cuadrados de todos los números reales no son negativos . La falta de raíces cuadradas reales para los números negativos se puede utilizar para expandir el sistema de números reales a los números complejos , postulando la unidad imaginaria i , que es una de las raíces cuadradas de −1.
La propiedad "todo número real no negativo es un cuadrado" se ha generalizado a la noción de campo real cerrado , que es un campo ordenado tal que todo elemento no negativo es un cuadrado y todo polinomio de grado impar tiene una raíz. Los cuerpos reales cerrados no se pueden distinguir del campo de los números reales por sus propiedades algebraicas: toda propiedad de los números reales, que puede expresarse en lógica de primer orden (es decir, mediante una fórmula en la que las variables que se cuantifican por ∀ o ∃ representan elementos, no conjuntos), es cierto para todo campo real cerrado y, a la inversa, cada propiedad de la lógica de primer orden, que es cierta para un campo real cerrado específico, también lo es para los números reales.
Hay varios usos importantes de la función cuadrado en geometría.
El nombre de la función cuadrado muestra su importancia en la definición del área : proviene del hecho de que el área de un cuadrado con lados de longitud l es igual a l 2 . El área depende cuadráticamente del tamaño: el área de una forma n veces mayor es n 2 veces mayor. Esto se aplica tanto a áreas en tres dimensiones como en el plano: por ejemplo, el área de la superficie de una esfera es proporcional al cuadrado de su radio, un hecho que se manifiesta físicamente mediante la ley del inverso del cuadrado que describe cómo la fuerza de la fuerza física Las fuerzas como la gravedad varían según la distancia.
La función cuadrado está relacionada con la distancia mediante el teorema de Pitágoras y su generalización, la ley del paralelogramo . La distancia euclidiana no es una función suave : la gráfica tridimensional de la distancia desde un punto fijo forma un cono , con un punto no suave en la punta del cono. Sin embargo, el cuadrado de la distancia (denotado d 2 o r 2 ), que tiene un paraboloide como gráfica, es una función suave y analítica .
El producto escalar de un vector euclidiano consigo mismo es igual al cuadrado de su longitud: v ⋅ v = v 2 . Esto se generaliza aún más a formas cuadráticas en espacios lineales a través del producto interno . El tensor de inercia en mecánica es un ejemplo de forma cuadrática. Demuestra una relación cuadrática del momento de inercia con el tamaño ( longitud ).
Existen infinitas ternas pitagóricas , conjuntos de tres números enteros positivos tales que la suma de los cuadrados de los dos primeros es igual al cuadrado del tercero. Cada uno de estos tripletes da los lados enteros de un triángulo rectángulo.
La función cuadrado se define en cualquier campo o anillo . Un elemento en la imagen de esta función se llama cuadrado y las imágenes inversas de un cuadrado se llaman raíces cuadradas .
La noción de elevación al cuadrado es particularmente importante en los campos finitos Z / p Z formados por números módulo un número primo impar p . Un elemento distinto de cero de este campo se llama residuo cuadrático si es un cuadrado en Z / p Z y, en caso contrario, se llama no residuo cuadrático. El cero, aunque es un cuadrado, no se considera un residuo cuadrático. Todo campo finito de este tipo tiene exactamente ( p − 1)/2 residuos cuadráticos y exactamente ( p − 1)/2 no residuos cuadráticos. Los residuos cuadráticos forman un grupo bajo la multiplicación. Las propiedades de los residuos cuadráticos se utilizan ampliamente en teoría de números .
De manera más general, en los anillos, la función cuadrado puede tener diferentes propiedades que a veces se utilizan para clasificar anillos.
El cero puede ser el cuadrado de algunos elementos distintos de cero. Un anillo conmutativo tal que el cuadrado de un elemento distinto de cero nunca es cero se llama anillo reducido . De manera más general, en un anillo conmutativo, un ideal radical es un ideal I tal que implica . Ambas nociones son importantes en geometría algebraica , debido al Nullstellensatz de Hilbert .
Un elemento de un anillo que es igual a su propio cuadrado se llama idempotente . En cualquier anillo, 0 y 1 son idempotentes.No hay otros idempotentes en campos y, más generalmente, en dominios integrales . Sin embargo, el anillo de los números enteros módulo n tiene 2 k idempotentes, donde k es el número de factores primos distintos de n . Un anillo conmutativo en el que cada elemento es igual a su cuadrado (cada elemento es idempotente) se llama anillo booleano ; un ejemplo de la informática es el anillo cuyos elementos son números binarios , con AND bit a bit como operación de multiplicación y XOR bit a bit como operación de suma.
En un anillo totalmente ordenado , x 2 ≥ 0 para cualquier x . Además, x 2 = 0 si y sólo si x = 0 .
En un álgebra supercommutativa donde 2 es invertible, el cuadrado de cualquier elemento impar es igual a cero.
Si A es un semigrupo conmutativo , entonces se tiene
En el lenguaje de las formas cuadráticas , esta igualdad dice que la función cuadrática es una "forma que permite la composición". De hecho, la función cuadrada es la base sobre la que se construyen otras formas cuadráticas que también permiten la composición. El procedimiento fue introducido por LE Dickson para producir octoniones a partir de cuaterniones mediante duplicación. El método de duplicación fue formalizado por AA Albert , quien comenzó con el campo de números reales y la función cuadrada, duplicándolos para obtener el campo de números complejos con forma cuadrática x 2 + y 2 , y luego duplicando nuevamente para obtener cuaterniones. El procedimiento de duplicación se denomina construcción de Cayley-Dickson y se ha generalizado para formar álgebras de dimensión 2 n sobre un campo F con involución.
La función cuadrada z 2 es la "norma" del álgebra de composición , donde la función identidad forma una involución trivial para comenzar las construcciones de Cayley-Dickson que conducen a álgebras de composición bicomplejas, bicuaterniones y bioctoniones.
En números complejos , la función cuadrada es una cobertura doble en el sentido de que cada número complejo distinto de cero tiene exactamente dos raíces cuadradas.
El cuadrado del valor absoluto de un número complejo se llama cuadrado absoluto , módulo cuadrático o magnitud al cuadrado . [1] [ se necesita mejor fuente ] Es el producto del número complejo con su conjugado complejo , y es igual a la suma de los cuadrados de las partes real e imaginaria del número complejo.
El cuadrado absoluto de un número complejo es siempre un número real no negativo, es decir, cero si y sólo si el número complejo es cero. Es más fácil de calcular que el valor absoluto (sin raíz cuadrada) y es una función fluida de valor real . Debido a estas dos propiedades, a menudo se prefiere el cuadrado absoluto al valor absoluto para cálculos explícitos y cuando se trata de métodos de análisis matemático (por ejemplo, optimización o integración ).
Para vectores complejos , el producto escalar se puede definir involucrando la transpuesta conjugada , lo que lleva a la norma al cuadrado .
Los cuadrados son omnipresentes en álgebra, de manera más general, en casi todas las ramas de las matemáticas, y también en física , donde muchas unidades se definen usando cuadrados y cuadrados inversos : ver más abajo.
Los mínimos cuadrados es el método estándar utilizado con sistemas sobredeterminados .
La elevación al cuadrado se utiliza en estadística y teoría de la probabilidad para determinar la desviación estándar de un conjunto de valores o una variable aleatoria . La desviación de cada valor x i de la media del conjunto se define como diferencia . Estas desviaciones se elevan al cuadrado y luego se toma la media del nuevo conjunto de números (cada uno de los cuales es positivo). Esta media es la varianza y su raíz cuadrada es la desviación estándar.
