Identidad de Brahmagupta-Fibonacci

Expresión de un producto de sumas de cuadrados como suma de cuadrados

En álgebra , la identidad de Brahmagupta-Fibonacci ^{[1] [2]} expresa el producto de dos sumas de dos cuadrados como una suma de dos cuadrados de dos maneras diferentes. Por lo tanto, el conjunto de todas las sumas de dos cuadrados es cerrado bajo la multiplicación. Específicamente, la identidad dice

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)&{}=\left(ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}&&(1)\\&{}=\left(ac+bd\right)^{2}+\left(ad-bc\right)^{2}.&&(2)\end{aligned}}}$

Por ejemplo,

${\displaystyle (1^{2}+4^{2})(2^{2}+7^{2})=26^{2}+15^{2}=30^{2}+1^{2}.}$

La identidad también se conoce como identidad de Diofanto , ^{[3] [4]} ya que fue demostrada por primera vez por Diofanto de Alejandría . Es un caso especial de la identidad de cuatro cuadrados de Euler y también de la identidad de Lagrange .

Brahmagupta demostró y utilizó una identidad de Brahmagupta más general , afirmando

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(a^{2}+nb^{2}\right)\left(c^{2}+nd^{2}\right)&{}=\left(ac-nbd\right)^{2}+n\left(ad+bc\right)^{2}&&(3)\\&{}=\left(ac+nbd\right)^{2}+n\left(ad-bc\right)^{2}.&&(4)\end{aligned}}}$

Esto demuestra que, para cualquier A fijo , el conjunto de todos los números de la forma x ²  +  Ay ² es cerrado bajo la multiplicación.

Estas identidades son válidas para todos los números enteros y racionales ; en términos más generales, son válidas en cualquier anillo conmutativo . Las cuatro formas de la identidad se pueden verificar desarrollando cada lado de la ecuación. Además, (2) se puede obtener a partir de (1), o (1) a partir de (2), cambiando b por − b , y lo mismo ocurre con (3) y (4).

Historia

La identidad apareció por primera vez en la Arithmetica (III, 19) de Diofanto , del siglo III d. C. Fue redescubierta por Brahmagupta (598-668), un matemático y astrónomo indio , quien la generalizó a la identidad de Brahmagupta , y la utilizó en su estudio de lo que ahora se llama ecuación de Pell . Su Brahmasphutasiddhanta fue traducida del sánscrito al árabe por Mohammad al-Fazari , y posteriormente fue traducida al latín en 1126. ^[5] La identidad fue introducida en Europa occidental en 1225 por Fibonacci , en El libro de los cuadrados , y, por lo tanto, la identidad a menudo se le ha atribuido.

Identidades relacionadas

Identidades análogas son la identidad de cuatro cuadrados de Euler relacionada con los cuaterniones y la identidad de ocho cuadrados de Degen derivada de los octoniones que tiene conexiones con la periodicidad de Bott . También existe la identidad de dieciséis cuadrados de Pfister , aunque ya no es bilineal.

Estas identidades están fuertemente relacionadas con la clasificación de álgebras de composición de Hurwitz .

La identidad de Brahmagupta-Fibonacci es una forma especial de la identidad de Lagrange , que es a su vez una forma especial de la identidad de Binet-Cauchy , a su vez una forma especial de la fórmula de Cauchy-Binet para determinantes matriciales.

Multiplicación de números complejos

Si a , b , c y d son números reales , la identidad de Brahmagupta-Fibonacci es equivalente a la propiedad multiplicativa para valores absolutos de números complejos :

${\displaystyle |a+bi|\cdot |c+di|=|(a+bi)(c+di)|.}$

Esto se puede ver de la siguiente manera: al desarrollar el lado derecho y elevar al cuadrado ambos lados, la propiedad de multiplicación es equivalente a

${\displaystyle |a+bi|^{2}\cdot |c+di|^{2}=|(ac-bd)+i(ad+bc)|^{2},}$

y por la definición de valor absoluto esto a su vez es equivalente a

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})\cdot (c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}.}$

Un cálculo equivalente en el caso de que las variables a , b , c y d sean números racionales muestra que la identidad puede interpretarse como la afirmación de que la norma en el campo Q ( i ) es multiplicativa: la norma está dada por

${\displaystyle N(a+bi)=a^{2}+b^{2},}$

y el cálculo de multiplicidad es el mismo que el anterior.

Aplicación a la ecuación de Pell

En su contexto original, Brahmagupta aplicó su descubrimiento de esta identidad a la solución de la ecuación de Pell x ²  −  Ay ²  = 1. Usando la identidad en la forma más general

${\displaystyle (x_{1}^{2}-Ay_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ay_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ay_{1}y_{2})^{2}-A(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},}$

Fue capaz de "componer" triples ( x ₁ ,  y ₁ ,  k ₁ ) y ( x ₂ ,  y ₂ ,  k ₂ ) que eran soluciones de x ²  −  Ay ²  =  k , para generar la nueva triple

${\displaystyle (x_{1}x_{2}+Ay_{1}y_{2}\,,\,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\,,\,k_{1}k_{2}).}$

Esto no sólo permitió generar infinitas soluciones para x ²  −  Ay ²  = 1 a partir de una solución, sino que, además, al dividir dicha composición por k ₁ k ₂ , se podían obtener a menudo soluciones enteras o "casi enteras". El método general para resolver la ecuación de Pell propuesto por Bhaskara II en 1150, es decir, el método chakravala (cíclico) , también se basaba en esta identidad. ^[6]

Escribir números enteros como suma de dos cuadrados

Cuando se utiliza junto con uno de los teoremas de Fermat , la identidad de Brahmagupta-Fibonacci demuestra que el producto de un cuadrado por cualquier número de primos de la forma 4 n  + 1 es una suma de dos cuadrados.

Véase también

• Matriz Brahmagupta
• Matemáticas indias
• Polinomios de Brahmagupta
• Lista de matemáticos indios
• Lista de matemáticos italianos
• Teorema de la suma de dos cuadrados

Notas

1. "Identidad Brahmagupta-Fibonacci".
2. Marc Chamberland: Single Digits: In Praise of Small Numbers (Dígitos individuales: elogio de los números pequeños) . Princeton University Press, 2015, ISBN 9781400865697 , pág. 60 
3. Stillwell 2002, pág. 76
4. Daniel Shanks , Problemas resueltos y no resueltos en teoría de números, p.209, American Mathematical Society, cuarta edición, 1993.
5. José 2000, pág. 306
6. Stillwell 2002, págs. 72-76

Referencias

• Joseph, George G. (2000), La cresta del pavo real: las raíces no europeas de las matemáticas (2.ª ed.), Princeton University Press , pág. 306, ISBN 978-0-691-00659-8
• Stillwell, John (2002), Matemáticas y su historia (2.ª ed.), Springer , págs. 72–76, ISBN 978-0-387-95336-6

Enlaces externos

• La identidad de Brahmagupta en PlanetMath
• La identidad de Brahmagupta en MathWorld
• Una colección de identidades algebraicas Archivado el 6 de marzo de 2012 en Wayback Machine