Concepto en álgebra
En la teoría de anillos , una rama de las matemáticas , el radical de un ideal de un anillo conmutativo es otro ideal definido por la propiedad de que un elemento está en el radical si y sólo si alguna potencia de está en . Tomar la radicalidad de un ideal se llama radicalización . Un ideal radical (o ideal semiprimo ) es un ideal que es igual a su radical. El radical de un ideal primario es un ideal primo .
Este concepto se generaliza a los anillos no conmutativos en el artículo sobre anillos semiprimos .
Definición
El radical de un ideal en un anillo conmutativo , denotado por o , se define como
(tenga en cuenta que ). Intuitivamente, se obtiene tomando todas las raíces de los elementos dentro del anillo . De manera equivalente, es la preimagen del ideal de elementos nilpotentes (el radical nil ) del anillo cociente (a través del mapa natural ). Esto último demuestra que es un ideal. [Nota 1]
Si el radical de se genera de forma finita , entonces algo de poder de está contenido en . [1] En particular, si y son ideales de un anillo noetheriano , entonces y tienen el mismo radical si y sólo si contiene algún poder de y contiene algún poder de .
Si un ideal coincide con su propio radical, entonces se llama ideal radical o ideal semiprime .
Ejemplos
- Considere el anillo de números enteros .
- El radical del ideal de múltiplos enteros de es .
- El radical de es .
- El radical de es .
- En general, el radical de es , donde es el producto de todos los factores primos distintos de , el factor libre de cuadrados más grande de (ver Radical de un número entero ). De hecho, esto se generaliza a un ideal arbitrario (consulte la sección Propiedades).
- Considere el ideal . Es trivial demostrarlo (usando la propiedad básica),pero damos algunos métodos alternativos: [ se necesita aclaración ] El radical corresponde al radical nil del anillo cociente , que es la intersección de todos los ideales primos del anillo cociente. Esto está contenido en el radical de Jacobson , que es la intersección de todos los ideales máximos , que son los núcleos de los homomorfismos de campos . Cualquier homomorfismo de anillo debe tenerlo en el núcleo para tener un homomorfismo bien definido (si dijéramos, por ejemplo, que el núcleo debería ser la composición de sería , que es lo mismo que intentar forzar ). Dado que es algebraicamente cerrado , cada homomorfismo debe factorizarse , por lo que solo tenemos que calcular la intersección de para calcular el radical de. Luego encontramos que
Propiedades
Esta sección continuará la convención de que I es un ideal de anillo conmutativo :
- Siempre es cierto que , es decir, la radicalización es una operación idempotente . Además, es el ideal radical más pequeño que contiene .
- es la intersección de todos los ideales primarios que contienen
y así el radical de un ideal primo es igual a sí mismo. Prueba: por un lado, todo ideal primo es radical, por lo que esta intersección contiene . Supongamos que es un elemento de que no está en y sea el conjunto . Por definición , debe estar separado de . también es multiplicativamente cerrado . Así, por una variante del teorema de Krull , existe un ideal primo que contiene y todavía está disjunto de (ver Ideal primo ). Dado que contiene , pero no , esto demuestra que no está en la intersección de los ideales primos que contienen . Esto termina la prueba. La afirmación puede reforzarse un poco: el radical de es la intersección de todos los ideales primos de que son mínimos entre los que contienen . - Especializando el último punto, el radical nil (el conjunto de todos los elementos nilpotentes) es igual a la intersección de todos los ideales primos de [Nota 2]
Esta propiedad se considera equivalente a la anterior a través del mapa natural , que produce una biyección : definido por [2] [Nota 3] - Un ideal en un anillo es radical si y sólo si el anillo cociente se reduce .
- El radical de un ideal homogéneo es homogéneo.
- La radical de una intersección de ideales es igual a la intersección de sus radicales: .
- El radical de un ideal primario es primo. Si el radical de un ideal es máximo, entonces es primario. [3]
- Si es un ideal, . Dado que los ideales primos son ideales radicales, para cualquier ideal primo .
- Sean ideales de un anillo . Si son comaximales , entonces son comaximales. [Nota 4]
- Sea un módulo generado finitamente sobre un anillo noetheriano . Entonces [4]
donde es el soporte de y es el conjunto de primos asociados de .
Aplicaciones
La principal motivación para estudiar radicales es el Nullstellensatz de Hilbert en álgebra conmutativa . Una versión de este célebre teorema establece que para cualquier ideal en el anillo polinomial sobre un campo algebraicamente cerrado , se tiene
dónde
y
Geométricamente, esto dice que si las ecuaciones polinomiales eliminan una variedad , entonces los únicos otros polinomios que desaparecen son aquellos en el radical del ideal .
Otra forma de decirlo: la composición es un operador de cierre sobre el conjunto de ideales de un anillo.
Ver también
Notas
- ^ Aquí hay una prueba directa de que es un ideal. Comience con algunos poderes . Para demostrar que , utilizamos el teorema del binomio (que es válido para cualquier anillo conmutativo):
Para cada uno tenemos o . Por lo tanto, en cada término , uno de los exponentes será lo suficientemente grande como para que ese factor esté en . Dado que cualquier elemento de veces un elemento de se encuentra en (como es un ideal), este término se encuentra en . Por tanto , y así . Para terminar de comprobar que el radical es un ideal, tomamos con , y any . Entonces . Por tanto, el radical es un ideal. - ^ Para una prueba, consulte la caracterización del radical nil de un anillo .
- ↑ Este hecho también se conoce como cuarto teorema del isomorfismo .
- ^ Prueba: implica .
Citas
- ^ Atiyah y Macdonald 1994, Proposición 7.14
- ^ Aluffi, Paolo (2009). Álgebra: Capítulo 0. AMS. pag. 142.ISBN 978-0-8218-4781-7.
- ^ Atiyah y Macdonald 1994, Proposición 4.2
- ^ Lang 2002, Capítulo X, Proposición 2.10
Referencias
- Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, Ian G. (1994). Introducción al Álgebra Conmutativa . Lectura, MA: Addison-Wesley . ISBN 0-201-40751-5.
- Eisenbud, David (1995). Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 150. Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 0-387-94268-8. SEÑOR 1322960.
- Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, SEÑOR 1878556, Zbl 0984.00001