Excentricidad (matemáticas)

Una familia de secciones cónicas de excentricidad variable comparten un punto focal y una línea directriz, incluida una elipse (roja, $e = 1/2$ ), una parábola (verde, $e = 1$ ) y una hipérbola (azul, $e = 2$ ). La cónica de excentricidad $0$ en esta figura es un círculo infinitesimal centrado en el foco, y la cónica de excentricidad $\infty$ es un par de líneas infinitamente separadas.
Un círculo de radio finito tiene una directriz infinitamente distante, mientras que un par de líneas de separación finita tienen un foco infinitamente distante.

En matemáticas , la excentricidad de una sección cónica es un número real no negativo que caracteriza de forma única su forma.

Se puede pensar en la excentricidad como una medida de cuánto se desvía una sección cónica de ser circular. En particular:

La excentricidad de un círculo es 0.
La excentricidad de una elipse que no es un círculo está entre 0 y 1.
La excentricidad de una parábola es 1.
La excentricidad de una hipérbola es mayor que 1.
La excentricidad de un par de rectas es $\infty$

Dos secciones cónicas con la misma excentricidad son similares .

Definiciones

Cualquier sección cónica se puede definir como el lugar geométrico de puntos cuyas distancias a un punto (el foco) y a una línea (la directriz) están en una proporción constante. Esa relación se llama excentricidad, comúnmente denotada como $e$ .

La excentricidad también se puede definir en términos de la intersección de un plano y un cono de doble pelo asociado con la sección cónica. Si el cono está orientado con su eje vertical, la excentricidad es ^[1]

e={\frac {\sin \beta }{\sin \alpha }},\ \ 0<\alpha <90^{\circ },\ 0\leq \beta \leq 90^{\circ } \ ,

donde β es el ángulo entre el plano y la horizontal y α es el ángulo entre el generador de inclinación del cono y la horizontal. Para la sección plana es un círculo, para una parábola. (El plano no debe encontrarse con el vértice del cono). $\beta =0$ $\beta =\alpha$

La separación semifocal de una elipse o hipérbola, denotada $c$ (o a veces $f$ o $e$ ), es la distancia entre su centro y cualquiera de sus dos focos . La excentricidad se puede definir como la relación entre la separación semifocal y el semieje mayor $a$ : es decir, (al carecer de un centro, la separación semifocal para parábolas no está definida). Vale la pena señalar que una parábola puede tratarse como una elipse o una hipérbola, pero con un punto focal en el infinito . $e={\frac {c}{a}}$

Nombres alternativos

En el caso de elipses e hipérbolas, la separación semifocal a veces se denomina excentricidad lineal .

Notación

Son de uso común tres convenciones de notación:

$e$ para la excentricidad y $c$ para la separación semifocal.

Valores

Aquí, para la elipse y la hipérbola, $a$ es la longitud del semieje mayor y $b$ es la longitud del semieje menor.

Cuando la sección cónica se da en la forma cuadrática general

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,

la siguiente fórmula da la excentricidad $e$ si la sección cónica no es una parábola (que tiene una excentricidad igual a 1), ni una hipérbola degenerada ni una elipse degenerada , ni una elipse imaginaria: ^[2]

e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}}}

donde si el determinante de la matriz 3×3 $\eta =1$

{\begin{bmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{bmatrix}}

es negativo o si ese determinante es positivo. $\eta =-1$

elipses

La excentricidad de una elipse es estrictamente menor que 1. Cuando los círculos (que tienen excentricidad 0) se cuentan como elipses, la excentricidad de una elipse es mayor o igual a 0; Si a los círculos se les da una categoría especial y se excluyen de la categoría de elipses, entonces la excentricidad de una elipse es estrictamente mayor que 0.

Para cualquier elipse, sea $a$ la longitud de su semieje mayor y $b$ sea la longitud de su semieje menor . En el sistema de coordenadas con origen en el centro de la elipse y eje $x$ alineado con el eje mayor, los puntos de la elipse satisfacen la ecuación

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,

con focos en las coordenadas para $(\pm c,0)$ ${\textstyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}.}$

Definimos una serie de conceptos adicionales relacionados (solo para elipses):

Otras fórmulas para la excentricidad de una elipse.

La excentricidad de una elipse es, de manera más simple, la relación entre la excentricidad lineal $c$ (distancia entre el centro de la elipse y cada foco) y la longitud del semieje mayor $a$ .

e={\frac {c}{a}}.

La excentricidad es también la relación entre el semieje mayor $a$ y la distancia $d$ del centro a la directriz:

e={\frac {a}{d}}.

La excentricidad se puede expresar en términos del aplanamiento $f$ (definido como para el semieje mayor $a$ y el semieje menor $b$ ): $f=1-b/a$

e={\sqrt {1-(1-f)^{2}}}={\sqrt {f(2-f)}}.

(El aplanamiento puede denotarse por $g$ en algunas áreas temáticas si $f$ es excentricidad lineal).

Defina los radios máximo y mínimo y las distancias máxima y mínima desde cualquiera de los focos hasta la elipse (es decir, las distancias desde cualquiera de los focos hasta los dos extremos del eje principal). Entonces con el semieje mayor $a$ , la excentricidad viene dada por $r_{\text{max}}$ $r_{\text{min}}$

e={\frac {r_{\text{max}}-r_{\text{min}}}{r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}}={\frac {r_{\text{max}}-r_{\text{min}}}{2a}},

que es la distancia entre los focos dividida por la longitud del eje mayor.

hipérbolas

La excentricidad de una hipérbola puede ser cualquier número real mayor que 1, sin límite superior. La excentricidad de una hipérbola rectangular es . ${\sqrt {2}}$

cuádricas

La excentricidad de una cuádrica tridimensional es la excentricidad de una sección designada de la misma. Por ejemplo, en un elipsoide triaxial, la excentricidad meridional es la de la elipse formada por una sección que contiene tanto el eje más largo como el más corto (uno de los cuales será el eje polar), y la excentricidad ecuatorial es la excentricidad de la elipse formada por una sección que pasa por el centro, perpendicular al eje polar (es decir, en el plano ecuatorial). Pero: las secciones cónicas también pueden aparecer en superficies de orden superior (ver imagen).

Mecánica celeste

En mecánica celeste , para órbitas ligadas en un potencial esférico, la definición anterior se generaliza informalmente. Cuando la distancia del apocentro es cercana a la distancia del pericentro , se dice que la órbita tiene baja excentricidad; cuando son muy diferentes, se dice que la órbita es excéntrica o que tiene excentricidad cercana a la unidad. Esta definición coincide con la definición matemática de excentricidad para elipses, en kepleriano, es decir, potenciales. $1/r$

Clasificaciones análogas

Varias clasificaciones en matemáticas utilizan terminología derivada de la clasificación de secciones cónicas por excentricidad:

Clasificación de elementos de SL ₂ (R) en elípticas, parabólicas e hiperbólicas, y de la misma manera para la clasificación de elementos de PSL ₂ (R), las verdaderas transformaciones de Möbius .
Clasificación de distribuciones discretas por relación varianza-media ; consulte los acumuladores de algunas distribuciones de probabilidad discretas para obtener más detalles.
La clasificación de ecuaciones diferenciales parciales se realiza por analogía con la clasificación de secciones cónicas; ver ecuaciones diferenciales parciales elípticas , parabólicas e hiperbólicas . ^[3]

Ver también

Referencias

^ Thomas, George B.; Finney, Ross L. (1979), Cálculo y geometría analítica (quinta ed.), Addison-Wesley, pág. 434. ISBN 0-201-07540-7
^ Ayoub, Ayoub B., "La excentricidad de una sección cónica", The College Mathematics Journal 34(2), marzo de 2003, 116-121.
^ "Clasificación de PDE lineales en dos variables independientes" . Consultado el 2 de julio de 2013 .

enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con la excentricidad .

MathWorld: Excentricidad