Ecuación diferencial parcial elíptica

Clase de ecuaciones diferenciales parciales lineales de segundo orden

Las ecuaciones diferenciales parciales (EDP) lineales de segundo orden se clasifican como elípticas , hiperbólicas o parabólicas . Cualquier EDP lineal de segundo orden en dos variables se puede escribir en la forma

${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+Fu+G=0,\,}$

donde A , B , C , D , E , F y G son funciones de x e y y donde , y de manera similar para . Una EDP escrita en esta forma es elíptica si ${\displaystyle u_{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}}$ ${\displaystyle u_{xy}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}}$ ${\displaystyle u_{xx},u_{y},u_{yy}}$

${\displaystyle B^{2}-AC<0,}$

con esta convención de nomenclatura inspirada en la ecuación de una elipse plana . Las ecuaciones con se denominan parabólicas, mientras que las que tienen se denominan hiperbólicas . ${\displaystyle B^{2}-AC=0}$ ${\displaystyle B^{2}-AC>0}$

^{Lawrence C. Evans (2010) [1]} da una definición más general con operadores elípticos : cualquier PDE elíptica de segundo orden se puede escribir en la forma de divergencia , donde , donde n es la dimensión espacial, , son funciones en el dominio, las derivadas se toman en sentido débil , y existe θ>0 st para todos los , ae en el dominio. ${\displaystyle Lu=f}$ ${\displaystyle Lu=-\sum _{i,j=1}^{n}\partial _{j}(a^{ij}\partial _{i}u)+\sum _{i=1}^{n}b^{i}\partial _{i}u+cu}$ ${\displaystyle a^{ij}}$ ${\displaystyle b^{i}}$ ${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}a^{ij}(x)\xi _{i}\xi _{j}\geq \theta |\xi |^{2}}$ ${\displaystyle \xi \in R^{n}}$

Los ejemplos más simples de EDP elípticas son la ecuación de Laplace , , y la ecuación de Poisson , En cierto sentido, cualquier otra EDP elíptica en dos variables puede considerarse una generalización de una de estas ecuaciones, ya que siempre se puede poner en la forma canónica ${\displaystyle \Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0}$ ${\displaystyle \Delta u=u_{xx}+u_{yy}=f(x,y).}$

${\displaystyle u_{xx}+u_{yy}+{\text{ (lower-order terms)}}=0}$

a través de un cambio de variables. ^{[2] [3]}

Comportamiento cualitativo

Las ecuaciones elípticas no tienen curvas características reales , curvas a lo largo de las cuales no es posible eliminar al menos una segunda derivada de de las condiciones del problema de Cauchy . ^[2] Dado que las curvas características son las únicas curvas a lo largo de las cuales las soluciones de ecuaciones diferenciales parciales con parámetros suaves pueden tener derivadas discontinuas, las soluciones de ecuaciones elípticas no pueden tener derivadas discontinuas en ninguna parte. Esto significa que las ecuaciones elípticas son adecuadas para describir estados de equilibrio, donde cualquier discontinuidad ya ha sido suavizada. Por ejemplo, podemos obtener la ecuación de Laplace a partir de la ecuación del calor estableciendo . Esto significa que la ecuación de Laplace describe un estado estable de la ecuación del calor. ^[3] ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u_{t}=\Delta u}$ ${\displaystyle u_{t}=0}$

En las ecuaciones parabólicas e hiperbólicas, las características describen líneas a lo largo de las cuales viaja la información sobre los datos iniciales. Dado que las ecuaciones elípticas no tienen curvas características reales, no existe un sentido significativo de propagación de información para las ecuaciones elípticas. Esto hace que las ecuaciones elípticas sean más adecuadas para describir procesos estáticos, en lugar de dinámicos. ^[3]

Derivación de la forma canónica

Derivamos la forma canónica para ecuaciones elípticas en dos variables, . ${\displaystyle u_{xx}+u_{xy}+u_{yy}+{\text{ (lower-order terms)}}=0}$

${\displaystyle \xi =\xi (x,y)}$y . ${\displaystyle \eta =\eta (x,y)}$

Si , al aplicar la regla de la cadena una vez se obtiene ${\displaystyle u(\xi ,\eta )=u[\xi (x,y),\eta (x,y)]}$

${\displaystyle u_{x}=u_{\xi }\xi _{x}+u_{\eta }\eta _{x}}$y , ${\displaystyle u_{y}=u_{\xi }\xi _{y}+u_{\eta }\eta _{y}}$

una segunda aplicación da

${\displaystyle u_{xx}=u_{\xi \xi }{\xi ^{2}}_{x}+u_{\eta \eta }{\eta ^{2}}_{x}+2u_{\xi \eta }\xi _{x}\eta _{x}+u_{\xi }\xi _{xx}+u_{\eta }\eta _{xx},}$

${\displaystyle u_{yy}=u_{\xi \xi }{\xi ^{2}}_{y}+u_{\eta \eta }{\eta ^{2}}_{y}+2u_{\xi \eta }\xi _{y}\eta _{y}+u_{\xi }\xi _{yy}+u_{\eta }\eta _{yy},}$y

${\displaystyle u_{xy}=u_{\xi \xi }\xi _{x}\xi _{y}+u_{\eta \eta }\eta _{x}\eta _{y}+u_{\xi \eta }(\xi _{x}\eta _{y}+\xi _{y}\eta _{x})+u_{\xi }\xi _{xy}+u_{\eta }\eta _{xy}.}$

Podemos reemplazar nuestra EDP en x e y con una ecuación equivalente en y ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle au_{\xi \xi }+2bu_{\xi \eta }+cu_{\eta \eta }{\text{ + (lower-order terms)}}=0,\,}$

dónde

${\displaystyle a=A{\xi _{x}}^{2}+2B\xi _{x}\xi _{y}+C{\xi _{y}}^{2},}$

${\displaystyle b=2A\xi _{x}\eta _{x}+2B(\xi _{x}\eta _{y}+\xi _{y}\eta _{x})+2C\xi _{y}\eta _{y},}$y

${\displaystyle c=A{\eta _{x}}^{2}+2B\eta _{x}\eta _{y}+C{\eta _{y}}^{2}.}$

Para transformar nuestra EDP en la forma canónica deseada, buscamos y tal que y . Esto nos da el sistema de ecuaciones ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle a=c}$ ${\displaystyle b=0}$

${\displaystyle a-c=A({\xi _{x}}^{2}-{\eta _{x}}^{2})+2B(\xi _{x}\xi _{y}-\eta _{x}\eta _{y})+C({\xi _{y}}^{2}-{\eta _{y}}^{2})=0}$

${\displaystyle b=0=2A\xi _{x}\eta _{x}+2B(\xi _{x}\eta _{y}+\xi _{y}\eta _{x})+2C\xi _{y}\eta _{y},}$

Sumando la segunda ecuación a la primera y estableciendo, se obtiene la ecuación cuadrática ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \phi =\xi +i\eta }$

${\displaystyle A{\phi _{x}}^{2}+2B\phi _{x}\phi _{y}+C{\phi _{y}}^{2}=0.}$

Dado que el discriminante es , esta ecuación tiene dos soluciones distintas, ${\displaystyle B^{2}-AC<0}$

${\displaystyle {\phi _{x}},{\phi _{y}}={\frac {B\pm i{\sqrt {AC-B^{2}}}}{A}}}$

que son conjugados complejos. Al elegir cualquiera de las soluciones, podemos resolver para , y recuperar y con las transformaciones y . Dado que y satisfarán y , entonces con un cambio de variables de x e y a y transformará la EDP ${\displaystyle \phi (x,y)}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \xi =\operatorname {Re} \phi }$ ${\displaystyle \eta =\operatorname {Im} \phi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle a-c=0}$ ${\displaystyle b=0}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+Fu+G=0,\,}$

en la forma canónica

${\displaystyle u_{\xi \xi }+u_{\eta \eta }+{\text{ (lower-order terms)}}=0,}$

como desees.

En dimensiones superiores

Una ecuación diferencial parcial general de segundo orden en n variables toma la forma

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\;{\text{ + (lower-order terms)}}=0.}$

Esta ecuación se considera elíptica si no hay superficies características, es decir, superficies a lo largo de las cuales no es posible eliminar al menos una segunda derivada de u de las condiciones del problema de Cauchy . ^[2]

A diferencia del caso bidimensional, esta ecuación en general no puede reducirse a una forma canónica simple. ^[3]

Soluciones débiles

Algunas veces una EDP elíptica de segundo orden no admite una solución diferenciable en sentido regular, por lo que la definición de solución debería ampliarse. Según Lawrence C. Evans (2010) ^[1] , decimos que a es una solución débil para sys para cada ${\displaystyle H_{0}^{1}(U)}$ ${\displaystyle Lu=f{\text{ in }}U,u|_{\partial U}=0}$ ${\displaystyle \int _{U}[\sum _{i,j}a^{ij}(\partial _{i}u)(\partial _{j}v)+\sum _{i}b^{i}(\partial _{i}u)v+cuv]dx=\int _{U}fvdx}$ ${\displaystyle v\in H_{0}^{1}(U)}$

Véase también

• Operador elíptico
• Ecuación diferencial parcial hiperbólica
• Ecuación diferencial parcial parabólica
• Ecuaciones parciales de segundo orden (para una discusión más detallada)

Referencias

1. Lawrence C. Evans (2010). Ecuaciones diferenciales parciales (PDF) . American Mathematical Soc. ISBN 0821849743.
2. Pinchover, Yehuda; Rubinstein, Jacob (2005). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84886-2.
3. Zauderer, Erich (1989). Ecuaciones diferenciales parciales de matemáticas aplicadas . Nueva York: John Wiley&Sons. ISBN 0-471-61298-7.

Enlaces externos

• "Ecuación diferencial parcial elíptica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Ecuación diferencial parcial elíptica, métodos numéricos", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Ecuación diferencial parcial elíptica". MathWorld .