cónica degenerada

Curva plana de segundo grado que es reducible.

En geometría , una cónica degenerada es una cónica (una curva plana de segundo grado , definida por una ecuación polinómica de grado dos) que no llega a ser una curva irreducible . Esto significa que la ecuación definitoria se puede factorizar sobre números complejos (o más generalmente sobre un campo algebraicamente cerrado ) como producto de dos polinomios lineales. ^{[nota 1]}

Utilizando la definición alternativa de cónica como la intersección en el espacio tridimensional de un plano y un doble cono , una cónica es degenerada si el plano pasa por el vértice de los conos.

En el plano real, una cónica degenerada puede ser dos rectas que pueden ser paralelas o no, una sola recta (ya sea dos rectas coincidentes o la unión de una recta y la recta del infinito ), un solo punto (de hecho, dos rectas complejas rectas conjugadas ), o el conjunto nulo (el doble de la recta en el infinito o dos rectas conjugadas complejas paralelas).

Todas estas cónicas degeneradas pueden ocurrir en lápices de cónicas. Es decir, si dos cónicas reales no degeneradas se definen mediante ecuaciones polinómicas cuadráticas f = 0 y g = 0 , las cónicas de las ecuaciones af + bg = 0 forman un lápiz, que contiene una o tres cónicas degeneradas. Para cualquier cónica degenerada en el plano real, se pueden elegir f y g de modo que la cónica degenerada dada pertenezca al lápiz que determinan.

Ejemplos

Lápices de círculos: en el lápiz de círculos rojos, la única cónica degenerada es el eje horizontal; el lápiz de círculos azules tiene tres cónicas degeneradas, el eje vertical y dos círculos de radio cero.

La sección cónica con ecuación es degenerada ya que su ecuación se puede escribir como y corresponde a dos líneas que se cruzan formando una "X". Esta cónica degenerada ocurre como el caso límite en el lápiz de hipérbolas de ecuaciones. El caso límite es un ejemplo de una cónica degenerada que consta del doble de la línea en el infinito. ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=0}$ ${\displaystyle (x-y)(x+y)=0}$ ${\displaystyle a=1,b=0}$ ${\displaystyle a(x^{2}-y^{2})-b=0.}$ ${\displaystyle a=0,b=1}$

De manera similar, la sección cónica con ecuación , que tiene un solo punto real, es degenerada, al igual que es factorizable como sobre los números complejos . La cónica consta así de dos rectas conjugadas complejas que se cortan en el único punto real, , de la cónica. ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=0}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle (x+iy)(x-iy)}$ ${\displaystyle (0,0)}$

El lápiz de elipses de ecuaciones degenera, para , en dos rectas paralelas y, para , en una recta doble. ${\displaystyle ax^{2}+b(y^{2}-1)=0}$ ${\displaystyle a=0,b=1}$ ${\displaystyle a=1,b=0}$

El lápiz de círculos de ecuaciones degenera en dos rectas, la recta del infinito y la recta de ecuación . ${\displaystyle a(x^{2}+y^{2}-1)-bx=0}$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle x=0}$

Clasificación

Sobre el plano proyectivo complejo sólo hay dos tipos de cónicas degeneradas: dos líneas diferentes, que necesariamente se cruzan en un punto, o una línea doble. Cualquier cónica degenerada puede transformarse mediante una transformación proyectiva en cualquier otra cónica degenerada del mismo tipo.

En el plano afín real la situación es más complicada. Una cónica real degenerada puede ser:

• Dos líneas que se cruzan, como ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=0\Leftrightarrow (x+y)(x-y)=0}$
• Dos líneas paralelas, como ${\displaystyle x^{2}-1=0\Leftrightarrow (x+1)(x-1)=0}$
• Una línea doble (multiplicidad 2), como por ejemplo ${\displaystyle x^{2}=0}$
• Dos líneas conjugadas complejas que se cruzan (solo un punto real), como ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=0\Leftrightarrow (x+iy)(x-iy)=0}$
• Dos rectas conjugadas complejas paralelas (sin punto real), como ${\displaystyle x^{2}+1=0\Leftrightarrow (x+i)(x-i)=0}$
• Una sola línea y la línea en el infinito.
• El doble de la línea en el infinito (no hay un punto real en el plano afín )

Para dos cónicas degeneradas cualesquiera de la misma clase, existen transformaciones afines que asignan la primera cónica a la segunda.

discriminante

La hipérbola degenerada que factoriza es la unión de los loci rojo y azul. ${\displaystyle 3x^{2}-2xy-y^{2}-6x+10y-9=0,}$ ${\displaystyle (x-y+1)(3x+y-9)=0,}$

La parábola degenerada que factoriza es la unión de los lugares geométricos rojo y azul. ${\displaystyle 9x^{2}+12xy+4y^{2}-54x-36y+72}$ ${\displaystyle =0,}$ ${\displaystyle (3x+2y-6)(3x+2y-12)=0,}$

Las cónicas reales no degeneradas se pueden clasificar como elipses, parábolas o hipérbolas mediante el discriminante de la forma no homogénea , que es el determinante de la matriz. ${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dx+2Ey+F}$

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}A&B\\B&C\\\end{bmatrix}},}$

la matriz de la forma cuadrática en . Este determinante es positivo, cero o negativo ya que la cónica es, respectivamente, una elipse, una parábola o una hipérbola. ${\displaystyle (x,y)}$

De manera análoga, una cónica se puede clasificar como no degenerada o degenerada según el discriminante de la forma cuadrática homogénea en . ^{[1] [2] : p.16} Aquí la forma afín se homogeneiza a ${\displaystyle (x,y,z)}$

${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dxz+2Eyz+Fz^{2};}$

el discriminante de esta forma es el determinante de la matriz

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}A&B&D\\B&C&E\\D&E&F\\\end{bmatrix}}.}$

La cónica es degenerada si y sólo si el determinante de esta matriz es igual a cero. En este caso, tenemos las siguientes posibilidades:

• Dos rectas que se cruzan (una hipérbola degenerada en sus dos asíntotas) si y sólo si (ver primer diagrama). ${\displaystyle \det M<0}$
• Dos rectas paralelas (una parábola degenerada) si y sólo si . Estas líneas son distintas y reales si (ver segundo diagrama), coincidentes si y no existentes en el plano real si . ${\displaystyle \det M=0}$ ${\displaystyle D^{2}+E^{2}>(A+C)F}$ ${\displaystyle D^{2}+E^{2}=(A+C)F}$ ${\displaystyle D^{2}+E^{2}<(A+C)F}$
• Un solo punto (una elipse degenerada) si y sólo si . ${\displaystyle \det M>0}$
• Una sola línea (y la línea en el infinito) si y solo si y y no son ambos cero. Este caso siempre se presenta como una cónica degenerada en un lápiz de círculos . Sin embargo, en otros contextos no se considera como una cónica degenerada, al no ser su ecuación de grado 2. ${\displaystyle A=B=C=0,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle E}$

El caso de rectas coincidentes ocurre si y sólo si el rango de la matriz de 3×3 es 1; en todos los demás casos degenerados su rango es 2. ^{[3] : p.108} ${\displaystyle Q}$

Relación con la intersección de un plano y un cono.

Las cónicas, también conocidas como secciones cónicas para enfatizar su geometría tridimensional, surgen como la intersección de un plano con un cono . La degeneración ocurre cuando el plano contiene el vértice del cono o cuando el cono degenera a un cilindro y el plano es paralelo al eje del cilindro. Consulte la sección Cónica#Casos degenerados para obtener más detalles.

Aplicaciones

Las cónicas degeneradas, como ocurre con las variedades algebraicas degeneradas en general, surgen como límites de las cónicas no degeneradas y son importantes en la compactación de espacios de módulos de curvas .

Por ejemplo, el lápiz de curvas ( sistema lineal unidimensional de cónicas ) definido por no es degenerado, pero sí degenerado en concreto, es una elipse para dos líneas paralelas y una hipérbola con – en todas partes, un eje tiene una longitud de 2 y el otro tiene una longitud que es infinita para ${\displaystyle x^{2}+ay^{2}=1}$ ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle a=0;}$ ${\displaystyle a>0,}$ ${\displaystyle a=0,}$ ${\displaystyle a<0}$ ${\textstyle 1/{\sqrt {|a|}},}$ ${\displaystyle a=0.}$

Estas familias surgen de forma natural: dados cuatro puntos en posición lineal general (no hay tres en una línea), hay un lápiz de cónicas a través de ellos ( cinco puntos determinan una cónica , cuatro puntos dejan un parámetro libre), de los cuales tres son degenerados, cada uno que consta de un par de líneas, correspondientes a las formas de elegir 2 pares de puntos entre 4 puntos (contando mediante el coeficiente multinomial ). ${\displaystyle \textstyle {{\binom {4}{2,2}}=3}}$

Por ejemplo, dados los cuatro puntos, el lápiz de cónicas que los atraviesa se puede parametrizar para producir el siguiente lápiz; en todos los casos el centro está en el origen: ^{[nota 2]} ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1),}$ ${\displaystyle (1+a)x^{2}+(1-a)y^{2}=2,}$

• ${\displaystyle a>1:}$hipérbolas que se abren a izquierda y derecha;
• ${\displaystyle a=1:}$las líneas verticales paralelas ${\displaystyle x=-1,\ x=1;}$
• ${\displaystyle 0<a<1:}$ elipses con un eje mayor vertical;
• ${\displaystyle a=0:}$un círculo (con radio ); ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• ${\displaystyle -1<a<0:}$elipses con un eje mayor horizontal;
• ${\displaystyle a=-1:}$las líneas horizontales paralelas ${\displaystyle y=-1,\ y=1;}$
• ${\displaystyle a<-1:}$hipérbolas que se abren hacia arriba y hacia abajo,
• ${\displaystyle a=\infty :}$las lineas diagonales ${\displaystyle y=x,\ y=-x;}$

(dividiendo por y tomando el límite como rendimiento ) ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a\to \infty }$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=0}$

• Luego, esto gira en torno a que los lápices son una línea proyectiva . ${\displaystyle a>1,}$

Tenga en cuenta que esta parametrización tiene una simetría, donde invertir el signo de a invierte x e y . En la terminología de (Levy 1964), este es un sistema lineal de cónicas de Tipo I y está animado en el video vinculado.

Una aplicación sorprendente de esta familia se encuentra en (Faucette 1996), que da una solución geométrica a una ecuación de cuarta considerando el lápiz de cónicas a través de las cuatro raíces de la ecuación de cuarta e identificando las tres cónicas degeneradas con las tres raíces de la cúbica resolutiva. .

El teorema del hexágono de Pappus es el caso especial del teorema de Pascal , cuando una cónica degenera en dos rectas.

Degeneración

En el plano proyectivo complejo, todas las cónicas son equivalentes y pueden degenerar en dos líneas diferentes o en una línea doble.

En el plano afín real:

• Las hipérbolas pueden degenerar en dos líneas que se cruzan (las asíntotas), como en o en dos líneas paralelas: o en la línea doble cuando a va a 0. ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=a^{2},}$ ${\displaystyle x^{2}-a^{2}y^{2}=1,}$ ${\displaystyle x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2},}$
• Las parábolas pueden degenerar en dos rectas paralelas: o la recta doble como a va a 0; pero, debido a que las parábolas tienen un punto doble en el infinito, no pueden degenerar en dos líneas que se cruzan. ${\displaystyle x^{2}-ay-1=0}$ ${\displaystyle x^{2}-ay=0,}$
• Las elipses pueden degenerar en dos rectas paralelas: o la recta doble como a va a 0; pero, debido a que tienen puntos complejos conjugados en el infinito que se convierten en un punto doble al degenerar, no pueden degenerar en dos líneas que se cruzan. ${\displaystyle x^{2}+a^{2}y^{2}-1=0}$ ${\displaystyle x^{2}+a^{2}y^{2}-a^{2}=0,}$

Las cónicas degeneradas pueden degenerar aún más hasta convertirse en cónicas degeneradas más especiales, como lo indican las dimensiones de los espacios y los puntos en el infinito.

• Dos líneas que se cruzan pueden degenerar en dos líneas paralelas, girando hasta ser paralelas, como en o hacia una línea doble girando entre sí alrededor de un punto, como en cada caso cuando a va a 0. ${\displaystyle x^{2}-ay^{2}-1=0,}$ ${\displaystyle x^{2}-ay^{2}=0,}$
• Dos líneas paralelas pueden degenerar en una línea doble al moverse entre sí, como cuando a va a 0, pero no pueden degenerar en líneas no paralelas. ${\displaystyle x^{2}-a^{2}=0}$
• Una línea doble no puede degenerar a los otros tipos.
• Otro tipo de degeneración ocurre en una elipse cuando la suma de las distancias a los focos debe ser igual a la distancia interfocal; por lo tanto tiene semieje menor igual a cero y tiene excentricidad igual a uno. El resultado es un segmento de recta (degenerado porque la elipse no es diferenciable en los puntos finales) con sus focos en los puntos finales. Como órbita , ésta es una trayectoria elíptica radial .

Puntos a definir

Una cónica general está definida por cinco puntos : dados cinco puntos en posición general , hay una única cónica que los atraviesa. Si tres de estos puntos se encuentran en una línea, entonces la cónica es reducible y puede ser única o no. Si no hay cuatro puntos colineales, entonces cinco puntos definen una cónica única (degenera si tres puntos son colineales, pero los otros dos puntos determinan la otra línea única). Sin embargo, si cuatro puntos son colineales, entonces no hay una única cónica que los atraviese: una línea pasa por los cuatro puntos y la línea restante pasa por el otro punto, pero el ángulo no está definido, lo que deja 1 parámetro libre. Si los cinco puntos son colineales, entonces la línea restante está libre, lo que deja 2 parámetros libres.

Dados cuatro puntos en posición lineal general (no tres colineales; en particular, no dos coincidentes), hay exactamente tres pares de líneas (cónicas degeneradas) que pasan a través de ellos, que en general se cruzarán, a menos que los puntos formen un trapezoide (uno par es paralelo) o un paralelogramo (dos pares son paralelos).

Dados tres puntos, si no son colineales, hay tres pares de líneas paralelas que pasan a través de ellos; elija dos para definir una línea y el tercero para que pase la línea paralela, según el postulado de paralelas .

Dados dos puntos distintos, hay una única línea doble que los atraviesa.

Notas

1. Algunos autores consideran que las cónicas sin puntos reales son degeneradas, pero esta no es una convención comúnmente aceptada. ^{[ cita necesaria ]}
2. Se proporciona una parametrización más simple mediante la cual son las combinaciones afines de las ecuaciones y las líneas verticales paralelas y las líneas horizontales correspondientes, y da como resultado que las cónicas degeneradas caigan en los puntos estándar de ${\displaystyle ax^{2}+(1-a)y^{2}=1,}$ ${\displaystyle x^{2}=1}$ ${\displaystyle y^{2}=1,}$ ${\displaystyle 0,1,\infty .}$

Referencias

1. (Lasley, Jr.1957)
2. (España 2007)
3. (Pettofrezzo 1978)

• Coffman, Adam, Sistemas lineales de cónicas, archivado desde el original el 2 de julio de 2018 , consultado el 3 de julio de 2013.
• Faucette, William Mark (enero de 1996), "Una interpretación geométrica de la solución del polinomio cuártico general", The American Mathematical Monthly , 103 (1): 51–57, CiteSeerX  10.1.1.111.5574 , JSTOR  2975214
• Lasley, Jr., JW (mayo de 1957), "Sobre las cónicas degeneradas", The American Mathematical Monthly , Asociación Matemática de América , 64 (5): 362–364, JSTOR  2309606
• Levy, Harry (1964), Geometrías proyectivas y relacionadas , Nueva York: The Macmillan Co., págs. x+405
• Milne, JJ (enero de 1926), "Nota sobre las cónicas degeneradas", The Mathematical Gazette , The Mathematical Association, 13 (180): 7–9, JSTOR  3602237
• Pettofrezzo, Anthony (1978) [1966], Matrices y transformaciones , Dover, ISBN 978-0-486-63634-4
• España, Barry (2007) [1957], Cónicas analíticas , Dover, ISBN 0-486-45773-7
• "7.2 La ecuación cuadrática general", Fórmulas y tablas matemáticas estándar CRC (30ª ed.)