En geometría , un lápiz es una familia de objetos geométricos con una propiedad común, por ejemplo el conjunto de rectas que pasan por un punto dado de un plano , o el conjunto de circunferencias que pasan por dos puntos dados de un plano.
Aunque la definición de lápiz es bastante vaga, la característica común es que el lápiz está completamente determinado por dos de sus miembros cualesquiera. De manera análoga, se llama paquete a un conjunto de objetos geométricos que están determinados por tres de sus miembros cualesquiera . [1] Por lo tanto, el conjunto de todas las líneas que pasan por un punto en el espacio tridimensional es un conjunto de líneas, dos de las cuales determinan un lápiz de líneas. Para enfatizar la naturaleza bidimensional de este tipo de lápiz, a veces se le denomina lápiz plano . [2]
Cualquier objeto geométrico se puede utilizar en un lápiz. Los más comunes son líneas, planos, círculos, cónicas, esferas y curvas en general. Incluso se pueden utilizar puntos. Un lápiz de puntos es el conjunto de todos los puntos de una recta dada. [1] Un término más común para este conjunto es rango de puntos.
En un plano , sean u y v dos líneas distintas que se cruzan. Para ser más concretos, supongamos que u tiene la ecuación aX + bY + c = 0 y v tiene la ecuación a'X + b'Y + c′ = 0 . Entonces
representa, para escalares adecuados λ y μ , cualquier recta que pase por la intersección de u = 0 y v = 0. Este conjunto de rectas que pasan por un punto común se llama lápiz de rectas . [3] El punto común de un lápiz de líneas se llama vértice del lápiz.
En un plano afín con la variante reflexiva del paralelismo , un conjunto de rectas paralelas forma una clase de equivalencia llamada lápiz de rectas paralelas . [4] Esta terminología es consistente con la definición anterior ya que en la extensión proyectiva única del plano afín a un plano proyectivo se agrega un solo punto ( punto en el infinito ) a cada línea en el lápiz de líneas paralelas, convirtiéndolo así en un lápiz. en el sentido anterior en el plano proyectivo.
Un lápiz de planos , es el conjunto de planos que pasan por una recta dada en tres espacios, llamada eje del lápiz. El lápiz a veces se denomina lápiz axial [5] o abanico de planos o haz de planos . [6] Por ejemplo, los meridianos del globo están definidos por el lápiz de planos sobre el eje de rotación de la Tierra.
Dos planos que se cruzan se encuentran en una línea en tres espacios y, por lo tanto, determinan el eje y, por lo tanto, todos los planos en el lápiz.
El espacio de cuatro cuaterniones puede verse como un lápiz axial de planos complejos que comparten la misma línea real. De hecho, los cuaterniones contienen una esfera de unidades imaginarias , y un par de puntos antípodas de esta esfera, junto con el eje real, generan un plano complejo. La unión de todos estos planos complejos constituye el álgebra 4 de los cuaterniones.
Dos circunferencias cualesquiera en el plano tienen un eje radical común , que es la recta formada por todos los puntos que tienen la misma potencia con respecto a las dos circunferencias. Un lápiz de circunferencias (o sistema coaxial ) es el conjunto de todas las circunferencias del plano con el mismo eje radical. [7] Para ser inclusivos, se dice que los círculos concéntricos tienen la línea en el infinito como eje radical.
Hay cinco tipos de lápices de círculos, [8] las dos familias de círculos apolíneos en la ilustración de arriba representan dos de ellos. Cada tipo está determinado por dos círculos llamados generadores del lápiz. Cuando se describen algebraicamente, es posible que las ecuaciones admitan soluciones imaginarias. Los tipos son:
Un círculo que es ortogonal a dos círculos fijos es ortogonal a cada círculo del lápiz que determinan. [11]
Los círculos ortogonales a dos círculos fijos forman un lápiz de círculos. [11]
Dos círculos determinan dos lápices, el único lápiz que los contiene y el lápiz de círculos ortogonales a ellos. El eje radical de un lápiz está formado por los centros de los círculos del otro lápiz. Si un lápiz es de tipo elíptico, el otro es de tipo hiperbólico y viceversa. [11]
El eje radical de cualquier lápiz de círculos, interpretado como un círculo de radio infinito, pertenece al lápiz. Tres círculos cualesquiera pertenecen a un lápiz común siempre que los tres pares compartan el mismo eje radical y sus centros sean colineales .
Existe una correspondencia natural entre círculos en el plano y puntos en el espacio proyectivo tridimensional ; una línea en este espacio corresponde a una familia continua unidimensional de círculos, por lo tanto, un lápiz de puntos en este espacio es un lápiz de círculos en el plano.
Específicamente, la ecuación de un círculo de radio r centrado en un punto ( p , q ),
puede reescribirse como
donde α = 1, β = p , γ = q y δ = p 2 + q 2 − r 2 . De esta forma, multiplicar el cuádruple ( α,β,γ,δ ) por un escalar produce un cuádruple diferente que representa el mismo círculo; por tanto, estos cuádruples pueden considerarse coordenadas homogéneas para el espacio de los círculos. [12] Las líneas rectas también pueden representarse con una ecuación de este tipo en la que α = 0 y deben considerarse como una forma degenerada de un círculo. Cuando α ≠ 0 , podemos resolver para p = β/α, q = γ/α y r =√( p 2 + q 2 − δ/α) ; la última fórmula puede dar r = 0 (en cuyo caso el círculo degenera a un punto) o r igual a un número imaginario (en cuyo caso se dice que el cuádruple ( α,β,γ,δ ) representa un círculo imaginario ).
El conjunto de combinaciones afines de dos círculos ( α 1 ,β 1 ,γ 1 ,δ 1 ), ( α 2 ,β 2 ,γ 2 ,δ 2 ), es decir, el conjunto de círculos representado por el cuádruple
para algún valor del parámetro z , forma un lápiz; siendo los dos círculos los generadores del lápiz.
Otro tipo de lápiz de círculos se puede conseguir de la siguiente manera. Considere un círculo dado (llamado círculo generador ) y un punto P distinguido en el círculo generador. El conjunto de todos los círculos que pasan por P y tienen sus centros en el círculo generador forman un lápiz de círculos. La envoltura de este lápiz es cardioide .
Una esfera está determinada únicamente por cuatro puntos que no son coplanares . De manera más general, una esfera está determinada únicamente por cuatro condiciones, como pasar por un punto, ser tangente a un plano, etc. [13] Esta propiedad es análoga a la propiedad de que tres puntos no colineales determinen un círculo único en un plano.
En consecuencia, una esfera está determinada únicamente por (es decir, pasa a través de) un círculo y un punto que no está en el plano de ese círculo.
Al examinar las soluciones comunes de las ecuaciones de dos esferas , se puede ver que dos esferas se cruzan en un círculo y el plano que contiene ese círculo se llama plano radical de las esferas que se cruzan. [14] Aunque el plano radical es un plano real, el círculo puede ser imaginario (las esferas no tienen ningún punto real en común) o estar formado por un solo punto (las esferas son tangentes en ese punto). [15]
Si f ( x , y , z ) = 0 y g ( x , y , z ) = 0 son las ecuaciones de dos esferas distintas, entonces
es también la ecuación de una esfera para valores arbitrarios de los parámetros λ y μ . El conjunto de todas las esferas que satisfacen esta ecuación se llama lápiz de esferas determinado por las dos esferas originales. En esta definición, se permite que una esfera sea un plano (radio infinito, centro en el infinito) y si ambas esferas originales son planas, entonces todas las esferas del lápiz son planas; de lo contrario, solo hay un plano (el plano radical) en la lápiz. [dieciséis]
Si el lápiz de esferas no consta de todos los planos, entonces existen tres tipos de lápices: [15]
Todas las rectas tangentes desde un punto fijo del plano radical a las esferas de un lápiz tienen la misma longitud. [15]
El plano radical es el lugar geométrico de los centros de todas las esferas que son ortogonales a todas las esferas de un lápiz. Además, una esfera ortogonal a dos esferas cualesquiera de un lápiz de esferas es ortogonal a todas ellas y su centro está en el plano radical del lápiz. [15]
Una cónica (no degenerada) está completamente determinada por cinco puntos en posición general (no tres colineales) en un plano y el sistema de cónicas que pasan por un conjunto fijo de cuatro puntos (nuevamente en un plano y no tres colineales) se llama un lápiz de cónicas . [17] Los cuatro puntos comunes se denominan puntos base del lápiz. Por cualquier punto que no sea un punto base, pasa una sola cónica del lápiz. Este concepto generaliza un lápiz de círculos.
En un plano proyectivo definido sobre un campo algebraicamente cerrado, dos cónicas cualesquiera se encuentran en cuatro puntos (contados con multiplicidad) y, por tanto, determina el lápiz de cónicas en función de estos cuatro puntos. Además, los cuatro puntos base determinan tres pares de líneas ( cónicas degeneradas que pasan por los puntos base, cada línea del par contiene exactamente dos puntos base), por lo que cada lápiz de cónicas contendrá como máximo tres cónicas degeneradas. [18]
Un lápiz de cónicas se puede representar algebraicamente de la siguiente manera. Sean C 1 y C 2 dos cónicas distintas en un plano proyectivo definido sobre un campo algebraicamente cerrado K . Para cada par λ , μ de elementos de K , no ambos cero, la expresión:
representa una cónica en el lápiz determinada por C 1 y C 2 . Esta representación simbólica se puede concretar con un ligero abuso de notación (usando la misma notación para denotar el objeto así como la ecuación que define el objeto). Pensando en C 1 , digamos, como una forma cuadrática ternaria , entonces C 1 = 0 es la ecuación de la "cónica C 1 ". Otra realización concreta se obtendría pensando en C 1 como la matriz simétrica de 3×3 que lo representa. Si C 1 y C 2 tienen realizaciones tan concretas, entonces todos los miembros del lápiz anterior también las tendrán. Dado que el entorno utiliza coordenadas homogéneas en un plano proyectivo, dos representaciones concretas (ya sean ecuaciones o matrices) dan la misma cónica si difieren en una constante multiplicativa distinta de cero.
De manera más general, un lápiz es el caso especial de un sistema lineal de divisores en el que el espacio de parámetros es una recta proyectiva . Los lápices típicos de curvas en el plano proyectivo , por ejemplo, se escriben como
donde C = 0 , C ′ = 0 son curvas planas.
A Desargues se le atribuye la invención del término "lápiz de líneas" ( ordonnance de lignes ). [19]
Uno de los primeros autores de geometría proyectiva moderna, GB Halsted, introdujo los términos copunctal y lápiz plano para definir el ángulo : "Las rectas con la misma cruz son copunctales". También "El conjunto de todas las rectas coplanares y copunctales se llama lápiz plano " y "Un trozo de lápiz plano limitado por dos de las rectas como lados se llama ángulo ". [20]
