En geometría , los círculos apolíneos son dos familias ( lápices ) de círculos tales que cada círculo de la primera familia interseca ortogonalmente a cada círculo de la segunda familia , y viceversa. Estos círculos forman la base de las coordenadas bipolares . Fueron descubiertos por Apolonio de Perga , un renombrado geómetra griego .
Los círculos apolíneos se definen de dos maneras diferentes mediante un segmento de línea denominado CD .
Cada círculo de la primera familia (los círculos azules en la figura) está asociado con un número real positivo r y se define como el lugar geométrico de los puntos X tales que la relación de distancias de X a C y a D es igual a r .
Cada círculo de la segunda familia (los círculos rojos en la figura) está asociado con un ángulo θ y se define como el lugar geométrico de los puntos X tales que el ángulo inscrito ∠ CXD es igual a θ .
Explorar θ de 0 a π genera el conjunto de todos los círculos que pasan por los dos puntos C y D.
Los dos puntos donde se cruzan todos los círculos rojos son los puntos límite de pares de círculos de la familia azul.
Un círculo azul dado y un círculo rojo dado se cruzan en dos puntos. Para poder obtener coordenadas bipolares , se requiere de un método que especifique qué punto es el correcto. Un arco isóptico es el lugar geométrico de los puntos X que ve los puntos C, D bajo un ángulo orientado dado de vectores, es decir
Ambas familias de círculos apolíneos son lápices de círculos . Cada uno está determinado por dos de sus miembros cualesquiera, llamados generadores del lápiz. En concreto, se trata de un lápiz elíptico (familia de círculos rojos en la figura) que está definido por dos generadores que se atraviesan exactamente en dos puntos ( C, D ). El otro es un lápiz hiperbólico (familia de círculos azules en la figura) que está definido por dos generadores que no se cruzan en ningún punto. [1]
Dos de estos círculos dentro de un lápiz tienen el mismo eje radical y todos los círculos del lápiz tienen centros colineales . Tres o más círculos cualesquiera de la misma familia se denominan círculos coaxiales o círculos coaxiales . [2]
El lápiz elíptico de círculos que pasa por los dos puntos C, D (el conjunto de círculos rojos, en la figura) tiene como eje radical la recta CD . Los centros de los círculos de este lápiz se encuentran en la bisectriz perpendicular de CD . El lápiz hiperbólico definido por los puntos C, D (los círculos azules) tiene su eje radical en la bisectriz perpendicular de la recta CD , y todos sus centros de círculo en la recta CD .
La inversión de círculos transforma el plano de una manera que transforma círculos en círculos y lápices de círculos en lápices de círculos. El tipo de lápiz se conserva: la inversión de un lápiz elíptico es otro lápiz elíptico, la inversión de un lápiz hiperbólico es otro lápiz hiperbólico y la inversión de un lápiz parabólico es otro lápiz parabólico.
Es relativamente fácil demostrar mediante inversión que, en los círculos apolíneos, cada círculo azul intersecta a cada círculo rojo ortogonalmente, es decir, en ángulo recto . La inversión de los círculos apolíneos azules con respecto a un círculo centrado en el punto C da como resultado un lápiz de círculos concéntricos centrado en la imagen del punto D. La misma inversión transforma los círculos rojos en un conjunto de líneas rectas que contienen la imagen de D. Así, esta inversión transforma el sistema de coordenadas bipolar definido por los círculos apolíneos en un sistema de coordenadas polares . Obviamente, los lápices transformados se encuentran en ángulo recto. Dado que la inversión es una transformación conforme , conserva los ángulos entre las curvas que transforma, por lo que los círculos apolíneos originales también se encuentran en ángulos rectos.
Alternativamente, [3] la propiedad ortogonal de los dos lápices se deriva de la propiedad definitoria del eje radical, que desde cualquier punto X en el eje radical de un lápiz P, las longitudes de las tangentes desde X a cada círculo en P son todas iguales. . De esto se deduce que el círculo centrado en X con longitud igual a estas tangentes cruza todos los círculos de P perpendicularmente. Se puede aplicar la misma construcción para cada X en el eje radical de P , formando otro lápiz de círculos perpendicular a P.
De manera más general, para cada lápiz de círculos existe un lápiz único que consta de los círculos perpendiculares al primer lápiz. Si un lápiz es elíptico, su lápiz perpendicular es hiperbólico y viceversa; en este caso los dos lápices forman un conjunto de círculos apolíneos. El lápiz de círculos perpendicular a un lápiz parabólico también es parabólico; está formada por las circunferencias que tienen el mismo punto tangente común pero con una recta tangente perpendicular en ese punto. [4]
Se ha demostrado que las trayectorias apolíneas son seguidas en su movimiento por núcleos de vórtice u otros estados de pseudogiro definidos en algunos sistemas físicos que involucran campos interferenciales o acoplados, como ondas fotónicas o de polaritones acopladas. [5] Las trayectorias surgen de la rotación de Rabi de la esfera de Bloch y su proyección estereográfica sobre el espacio real donde se realiza la observación.
