Fibración

Concepto en topología algebraica

La noción de fibración generaliza la noción de haz de fibras y juega un papel importante en la topología algebraica , una rama de las matemáticas.

Las fibraciones se utilizan, por ejemplo, en los sistemas de Postnikov o en la teoría de la obstrucción .

En este artículo, todas las asignaciones son asignaciones continuas entre espacios topológicos .

Definiciones formales

Propiedad de elevación de homotopía

Una aplicación satisface la propiedad de elevación de homotopía para un espacio si: ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle X}$

• para cada homotopía y ${\displaystyle h\colon X\times [0,1]\to B}$
• para cada mapeo (también llamado elevación) elevación (es decir ) ${\displaystyle {\tilde {h}}_{0}\colon X\to E}$ ${\displaystyle h|_{X\times 0}=h_{0}}$ ${\displaystyle h_{0}=p\circ {\tilde {h}}_{0}}$

existe un levantamiento de homotopía (no necesariamente único) (es decir ) con ${\displaystyle {\tilde {h}}\colon X\times [0,1]\to E}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h=p\circ {\tilde {h}}}$ ${\displaystyle {\tilde {h}}_{0}={\tilde {h}}|_{X\times 0}.}$

El siguiente diagrama conmutativo muestra la situación: ^{[1] : 66}

Fibración

Una fibración (también llamada fibración de Hurewicz) es una aplicación que satisface la propiedad de elevación de homotopía para todos los espacios. El espacio se llama espacio base y el espacio se llama espacio total . La fibra sobre es el subespacio ^{[1] : 66} ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle F_{b}=p^{-1}(b)\subseteq E.}$

Fibración de serre

Una fibración de Serre (también llamada fibración débil) es una aplicación que satisface la propiedad de elevación de homotopía para todos los complejos CW . ^{[2] : 375-376} ${\displaystyle p\colon E\to B}$

Cada fibración de Hurewicz es una fibración de Serre.

Cuasifibración

Una aplicación se llama cuasifibración si para cada y se cumple que la aplicación inducida es un isomorfismo . ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle b\in B,}$ ${\displaystyle e\in p^{-1}(b)}$ ${\displaystyle i\geq 0}$ ${\displaystyle p_{*}\colon \pi _{i}(E,p^{-1}(b),e)\to \pi _{i}(B,b)}$

Toda fibración de Serre es una cuasifibración. ^{[3] : 241-242}

Ejemplos

• La proyección sobre el primer factor es una fibración. Es decir, los fibrados triviales son fibraciones. ${\displaystyle p\colon B\times F\to B}$
• Toda cubierta es una fibración. En concreto, para cada homotopía y cada elevación existe una elevación definida de forma única con ^{[4] : 159  [5] : 50} ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle h\colon X\times [0,1]\to B}$ ${\displaystyle {\tilde {h}}_{0}\colon X\to E}$ ${\displaystyle {\tilde {h}}\colon X\times [0,1]\to E}$ ${\displaystyle p\circ {\tilde {h}}=h.}$
• Cada haz de fibras satisface la propiedad de elevación de homotopía para cada complejo CW. ^{[2] : 379} ${\displaystyle p\colon E\to B}$
• Un haz de fibras con un espacio base paracompacto y de Hausdorff satisface la propiedad de elevación de homotopía para todos los espacios. ^{[2] : 379}
• Un ejemplo de una fibración que no es un haz de fibras lo da el mapeo inducido por la inclusión donde un espacio topológico y es el espacio de todos los mapeos continuos con la topología compacta-abierta . ^{[4] : 198} ${\displaystyle i^{*}\colon X^{I^{k}}\to X^{\partial I^{k}}}$ ${\displaystyle i\colon \partial I^{k}\to I^{k}}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{A}=\{f\colon A\to X\}}$
• La fibración de Hopf es un haz de fibras no trivial y, específicamente, una fibración de Serre. ${\displaystyle S^{1}\to S^{3}\to S^{2}}$

Conceptos básicos

Equivalencia de homotopía de fibras

Una aplicación entre espacios totales de dos fibraciones y con el mismo espacio base es un homomorfismo de fibración si el siguiente diagrama conmuta: ${\displaystyle f\colon E_{1}\to E_{2}}$ ${\displaystyle p_{1}\colon E_{1}\to B}$ ${\displaystyle p_{2}\colon E_{2}\to B}$

La aplicación es una equivalencia de homotopía de fibra si además existe un homomorfismo de fibración, tal que las aplicaciones y son homotópicas, por homomorfismos de fibración, a las identidades y ^{[2] : 405-406} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g\colon E_{2}\to E_{1}}$ ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} _{E_{2}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} _{E_{1}}.}$

Fibración de retroceso

Dada una fibración y una aplicación , la aplicación es una fibración, donde es el pullback y las proyecciones de sobre y producen el siguiente diagrama conmutativo: ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle f\colon A\to B}$ ${\displaystyle p_{f}\colon f^{*}(E)\to A}$ ${\displaystyle f^{*}(E)=\{(a,e)\in A\times E|f(a)=p(e)\}}$ ${\displaystyle f^{*}(E)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$

La fibración se denomina fibración de retroceso o fibración inducida. ^{[2] : 405-406} ${\displaystyle p_{f}}$

Fibración del espacio de trayectoria

Con la construcción del espacio de caminos, cualquier aplicación continua puede extenderse a una fibración ampliando su dominio a un espacio equivalente de homotopía. Esta fibración se denomina fibración del espacio de caminos .

El espacio total de la fibración del espacio de caminos para una aplicación continua entre espacios topológicos consta de pares con y caminos con punto de inicio donde es el intervalo unitario . El espacio lleva la topología del subespacio de donde describe el espacio de todas las aplicaciones y lleva la topología compacta-abierta . ${\displaystyle E_{f}}$ ${\displaystyle f\colon A\to B}$ ${\displaystyle (a,\gamma )}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle \gamma \colon I\to B}$ ${\displaystyle \gamma (0)=f(a),}$ ${\displaystyle I=[0,1]}$ ${\displaystyle E_{f}=\{(a,\gamma )\in A\times B^{I}|\gamma (0)=f(a)\}}$ ${\displaystyle A\times B^{I},}$ ${\displaystyle B^{I}}$ ${\displaystyle I\to B}$

La fibración del espacio de caminos se da por el mapeo con La fibra también se llama fibra de homotopía de y consiste en los pares con y caminos donde y se mantiene. ${\displaystyle p\colon E_{f}\to B}$ ${\displaystyle p(a,\gamma )=\gamma (1).}$ ${\displaystyle F_{f}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (a,\gamma )}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to B,}$ ${\displaystyle \gamma (0)=f(a)}$ ${\displaystyle \gamma (1)=b_{0}\in B}$

Para el caso especial de la inclusión del punto base , surge un ejemplo importante de la fibración del espacio de caminos. El espacio total consta de todos los caminos en los que comienza en Este espacio se denota por y se llama espacio de caminos. La fibración del espacio de caminos asigna cada camino a su punto final, por lo tanto, la fibra consta de todos los caminos cerrados. La fibra se denota por y se llama espacio de bucles . ^{[2] : 407-408} ${\displaystyle i\colon b_{0}\to B}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle b_{0}.}$ ${\displaystyle PB}$ ${\displaystyle p\colon PB\to B}$ ${\displaystyle p^{-1}(b_{0})}$ ${\displaystyle \Omega B}$

Propiedades

• Las fibras son homotópicamente equivalentes para cada componente de la ruta de ^{[2] : 405} ${\displaystyle p^{-1}(b)}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle B.}$
• Para una homotopía, las fibraciones de retroceso y son homotópicamente equivalentes en las fibras. ^{[2] : 406} ${\displaystyle f\colon [0,1]\times A\to B}$ ${\displaystyle f_{0}^{*}(E)\to A}$ ${\displaystyle f_{1}^{*}(E)\to A}$
• Si el espacio base es contráctil , entonces la fibración es homotópicamente equivalente a la fibración del producto ^{[2] : 406} ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle B\times F\to B.}$
• La fibración en el espacio de trayectorias de una fibración es muy similar a sí misma. Más precisamente, la inclusión es una equivalencia de homotopía de fibra. ^{[2] : 408} ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle E\hookrightarrow E_{p}}$
• Para una fibración con fibra y espacio total contráctil, existe una equivalencia de homotopía débil ^{[2] : 408} ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\to \Omega B.}$

Secuencia de marionetas

Para una fibración con fibra y punto base, la inclusión de la fibra en la fibra de homotopía es una equivalencia de homotopía . La aplicación con , donde y es un camino desde a en el espacio base, es una fibración. Específicamente, es la fibración de retroceso de la fibración del espacio de caminos a lo largo de . Este procedimiento ahora se puede aplicar nuevamente a la fibración y así sucesivamente. Esto conduce a una secuencia larga: ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle b_{0}\in B}$ ${\displaystyle F\hookrightarrow F_{p}}$ ${\displaystyle i\colon F_{p}\to E}$ ${\displaystyle i(e,\gamma )=e}$ ${\displaystyle e\in E}$ ${\displaystyle \gamma \colon I\to B}$ ${\displaystyle p(e)}$ ${\displaystyle b_{0}}$ ${\displaystyle PB\to B}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \cdots \to F_{j}\to F_{i}\xrightarrow {j} F_{p}\xrightarrow {i} E\xrightarrow {p} B.}$

La fibra de sobre un punto consta de los pares donde es un camino desde a , es decir, el espacio de bucles . La inclusión de la fibra de en la fibra de homotopía de es nuevamente una equivalencia de homotopía y la iteración produce la secuencia: ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle e_{0}\in p^{-1}(b_{0})}$ ${\displaystyle (e_{0},\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle p(e_{0})=b_{0}}$ ${\displaystyle b_{0}}$ ${\displaystyle \Omega B}$ ${\displaystyle \Omega B\hookrightarrow F_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \cdots \Omega ^{2}B\to \Omega F\to \Omega E\to \Omega B\to F\to E\to B.}$

Debido a la dualidad de fibración y cofibración , también existe una secuencia de cofibraciones. Estas dos secuencias se conocen como secuencias de Puppe o secuencias de fibraciones y cofibraciones. ^{[2] : 407-409}

Fibración principal

Una fibración con fibra se llama principal , si existe un diagrama conmutativo: ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle F}$

La fila inferior es una secuencia de fibraciones y las aplicaciones verticales son equivalencias de homotopía débiles. Las fibraciones principales desempeñan un papel importante en las torres de Postnikov . ^{[2] : 412}

Secuencia larga y exacta de grupos de homotopía

Para una fibración de Serre existe una larga secuencia exacta de grupos de homotopía . Para los puntos base y esto viene dado por: ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle b_{0}\in B}$ ${\displaystyle x_{0}\in F=p^{-1}(b_{0})}$

${\displaystyle \cdots \rightarrow \pi _{n}(F,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(E,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(B,b_{0})\rightarrow \pi _{n-1}(F,x_{0})\rightarrow }$ ${\displaystyle \cdots \rightarrow \pi _{0}(F,x_{0})\rightarrow \pi _{0}(E,x_{0}).}$

Los homomorfismos y son los homomorfismos inducidos de la inclusión y la proyección ^{[2] : 376} ${\displaystyle \pi _{n}(F,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(E,x_{0})}$ ${\displaystyle \pi _{n}(E,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(B,b_{0})}$ ${\displaystyle i\colon F\hookrightarrow E}$ ${\displaystyle p\colon E\rightarrow B.}$

Fibración de Hopf

Las fibraciones de Hopf son una familia de haces de fibras cuya fibra, espacio total y espacio base son esferas :

${\displaystyle S^{0}\hookrightarrow S^{1}\rightarrow S^{1},}$

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2},}$

${\displaystyle S^{3}\hookrightarrow S^{7}\rightarrow S^{4},}$

${\displaystyle S^{7}\hookrightarrow S^{15}\rightarrow S^{8}.}$

La secuencia larga y exacta de grupos de homotopía de la fibración de Hopf produce: ${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2}}$

${\displaystyle \cdots \rightarrow \pi _{n}(S^{1},x_{0})\rightarrow \pi _{n}(S^{3},x_{0})\rightarrow \pi _{n}(S^{2},b_{0})\rightarrow \pi _{n-1}(S^{1},x_{0})\rightarrow }$ ${\displaystyle \cdots \rightarrow \pi _{1}(S^{1},x_{0})\rightarrow \pi _{1}(S^{3},x_{0})\rightarrow \pi _{1}(S^{2},b_{0}).}$

Esta secuencia se divide en secuencias cortas y exactas, ya que la fibra es contráctil hasta un punto: ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle S^{3}}$

${\displaystyle 0\rightarrow \pi _{i}(S^{3})\rightarrow \pi _{i}(S^{2})\rightarrow \pi _{i-1}(S^{1})\rightarrow 0.}$

Esta secuencia corta y exacta se divide debido al homomorfismo de suspensión y existen isomorfismos : ${\displaystyle \phi \colon \pi _{i-1}(S^{1})\to \pi _{i}(S^{2})}$

${\displaystyle \pi _{i}(S^{2})\cong \pi _{i}(S^{3})\oplus \pi _{i-1}(S^{1}).}$

Los grupos de homotopía son triviales para por lo que existen isomorfismos entre y para ${\displaystyle \pi _{i-1}(S^{1})}$ ${\displaystyle i\geq 3,}$ ${\displaystyle \pi _{i}(S^{2})}$ ${\displaystyle \pi _{i}(S^{3})}$ ${\displaystyle i\geq 3.}$

Análogamente, las fibras en y en son contráctiles hasta un punto. Además, las secuencias cortas exactas se dividen y existen familias de isomorfismos: ^{[6] : 111} ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{7}}$ ${\displaystyle S^{7}}$ ${\displaystyle S^{15}}$

${\displaystyle \pi _{i}(S^{4})\cong \pi _{i}(S^{7})\oplus \pi _{i-1}(S^{3})}$y ${\displaystyle \pi _{i}(S^{8})\cong \pi _{i}(S^{15})\oplus \pi _{i-1}(S^{7}).}$

Secuencia espectral

Las secuencias espectrales son herramientas importantes en la topología algebraica para calcular grupos de (co-)homología.

La secuencia espectral de Leray-Serre conecta la (co-)homología del espacio total y la fibra con la (co-)homología del espacio base de una fibración. Para una fibración con fibra donde el espacio base es un complejo CW conectado por caminos y una teoría de homología aditiva existe una secuencia espectral: ^{[7] : 242} ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle G_{*}}$

${\displaystyle H_{k}(B;G_{q}(F))\cong E_{k,q}^{2}\implies G_{k+q}(E).}$

Las fibraciones no producen secuencias largas y exactas en homología, como sí lo hacen en homotopía. Pero bajo ciertas condiciones, las fibraciones proporcionan secuencias exactas en homología. Para una fibración con fibra donde el espacio de base y la fibra están conectados por trayectorias , el grupo fundamental actúa trivialmente sobre y además se cumplen las condiciones para y para , existe una secuencia exacta (también conocida con el nombre de secuencia exacta de Serre): ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle \pi _{1}(B)}$ ${\displaystyle H_{*}(F)}$ ${\displaystyle H_{p}(B)=0}$ ${\displaystyle 0<p<m}$ ${\displaystyle H_{q}(F)=0}$ ${\displaystyle 0<q<n}$

${\displaystyle H_{m+n-1}(F)\xrightarrow {i_{*}} H_{m+n-1}(E)\xrightarrow {f_{*}} H_{m+n-1}(B)\xrightarrow {\tau } H_{m+n-2}(F)\xrightarrow {i^{*}} \cdots \xrightarrow {f_{*}} H_{1}(B)\to 0.}$^{[7] : 250}

Esta secuencia se puede utilizar, por ejemplo, para demostrar el teorema de Hurewicz o para calcular la homología de espacios de bucles de la forma ^{[8] : 162} ${\displaystyle \Omega S^{n}:}$

${\displaystyle H_{k}(\Omega S^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &\exists q\in \mathbb {Z} \colon k=q(n-1)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}.}$

Para el caso especial de una fibración donde el espacio base es una -esfera con fibra existen secuencias exactas (también llamadas secuencias de Wang ) para homología y cohomología: ^{[1] : 456} ${\displaystyle p\colon E\to S^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F,}$

${\displaystyle \cdots \to H_{q}(F)\xrightarrow {i_{*}} H_{q}(E)\to H_{q-n}(F)\to H_{q-1}(F)\to \cdots }$ ${\displaystyle \cdots \to H^{q}(E)\xrightarrow {i^{*}} H^{q}(F)\to H^{q-n+1}(F)\to H^{q+1}(E)\to \cdots }$

Orientabilidad

Para una fibración con fibra y un anillo conmutativo fijo con una unidad, existe un funtor contravariante del grupoide fundamental de a la categoría de módulos graduados, que asigna al módulo y a la clase de camino el homomorfismo donde es una clase de homotopía en ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle H_{*}(F_{b},R)}$ ${\displaystyle [\omega ]}$ ${\displaystyle h[\omega ]_{*}\colon H_{*}(F_{\omega (0)},R)\to H_{*}(F_{\omega (1)},R),}$ ${\displaystyle h[\omega ]}$ ${\displaystyle [F_{\omega (0)},F_{\omega (1)}].}$

Una fibración se llama orientable sobre si para cualquier camino cerrado se cumple lo siguiente: ^{[1] : 476} ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle h[\omega ]_{*}=1.}$

Característica de Euler

Para una fibración orientable sobre el campo con espacio base conectado por fibras y trayectorias, la característica de Euler del espacio total viene dada por: ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \chi (E)=\chi (B)\chi (F).}$

Aquí se definen las características de Euler del espacio base y de la fibra sobre el campo . ^{[1] : 481} ${\displaystyle \mathbb {K} }$

Véase también

• Fibración aproximada

Referencias

1. Spanier, Edwin H. (1966). Topología algebraica . McGraw-Hill Book Company . ISBN 978-0-387-90646-1.
2. Hatcher, Allen (2001). Topología algebraica . Nueva York: Cambridge University Press . ISBN. 0-521-79160-X.
3. Dold, Albrecht ; Thom, René (1958). "Quasifaserungen und Unendliche Symmetrische Produkte". Anales de Matemáticas . 67 (2): 239–281. doi :10.2307/1970005. JSTOR  1970005.
4. Laures, Gerd; Szymik, Markus (2014). Grundkurs Topologie (en alemán) (2ª ed.). Espectro de Springer. doi :10.1007/978-3-662-45953-9. ISBN 978-3-662-45952-2.
5. May, JP (1999). Un curso conciso de topología algebraica (PDF) . University of Chicago Press . ISBN 0-226-51182-0.OCLC 41266205  .
6. Steenrod, Norman (1951). Topología de los haces de fibras . Princeton University Press . ISBN 0-691-08055-0.
7. Davis, James F.; Kirk, Paul (1991). Apuntes de clase sobre topología algebraica (PDF) . Departamento de Matemáticas, Universidad de Indiana.
8. Cohen, Ralph L. (1998). Apuntes de la clase sobre topología de haces de fibras (PDF) . Universidad de Stanford.