En matemáticas , una equivalencia débil es una noción de la teoría de la homotopía que en algún sentido identifica objetos que tienen la misma "forma". Esta noción se formaliza en la definición axiomática de categoría de modelo .
Una categoría de modelo es una categoría con clases de morfismos llamados equivalencias débiles, fibraciones y cofibraciones , que satisfacen varios axiomas. La categoría de homotopía asociada de una categoría de modelo tiene los mismos objetos, pero los morfismos se cambian para convertir las equivalencias débiles en isomorfismos . Es una observación útil que la categoría de homotopía asociada depende sólo de las equivalencias débiles, no de las fibraciones y cofibraciones.
Quillen definió las categorías de modelos como una axiomatización de la teoría de la homotopía que se aplica a espacios topológicos , pero también a muchas otras categorías en álgebra y geometría . El ejemplo que inició el tema es la categoría de espacios topológicos con fibraciones de Serre como fibraciones y equivalencias de homotopía débil como equivalencias débiles (las cofibraciones para esta estructura modelo pueden describirse como retracciones de complejos celulares relativos X ⊆ Y [1] ). Por definición, una aplicación continua f : X → Y de espacios se denomina equivalencia de homotopía débil si la función inducida en conjuntos de componentes de ruta
es biyectivo , y para cada punto x en X y cada n ≥ 1, el homomorfismo inducido
en grupos de homotopía es biyectivo. (Para X e Y conectados por trayectoria , la primera condición es automática y basta con indicar la segunda condición para un solo punto x en X ).
Para espacios topológicos simplemente conectados X e Y , un mapa f : X → Y es una equivalencia de homotopía débil si y sólo si el homomorfismo inducido f * : H n ( X , Z ) → H n ( Y , Z ) en grupos de homología singulares es biyectivo para todos n . [2] Asimismo, para espacios simplemente conexos X e Y , un mapa f : X → Y es una equivalencia de homotopía débil si y solo si el homomorfismo de retroceso f *: H n ( Y , Z ) → H n ( X , Z ) en cohomología singular es biyectiva para todos n . [3]
Ejemplo: Sea X el conjunto de los números naturales {0, 1, 2, ...} y sea Y el conjunto {0} ∪ {1, 1/2, 1/3, ...}, ambos con el Topología subespacial a partir de la línea real . Defina f : X → Y asignando 0 a 0 y n a 1/ n para enteros positivos n . Entonces f es continua y, de hecho, una equivalencia de homotopía débil, pero no es una equivalencia de homotopía .
La categoría de homotopía de espacios topológicos (obtenida invirtiendo las equivalencias de homotopía débiles) simplifica enormemente la categoría de espacios topológicos. De hecho, esta categoría de homotopía es equivalente a la categoría de complejos CW , siendo los morfismos clases de homotopía de mapas continuos.
También se han considerado muchas otras estructuras modelo en la categoría de espacios topológicos. Por ejemplo, en la estructura del modelo Strøm en espacios topológicos, las fibraciones son las fibraciones de Hurewicz y las equivalencias débiles son las equivalencias de homotopía. [4]
Algunas otras categorías de modelos importantes involucran complejos de cadenas . Sea A una categoría abeliana de Grothendieck , por ejemplo la categoría de módulos sobre un anillo o la categoría de haces de grupos abelianos en un espacio topológico. Definir una categoría C ( A ) con objetos los complejos X de objetos en A ,
y morfismos los mapas de cadena . (Es equivalente a considerar "complejos de cocadenas" de objetos de A , donde la numeración se escribe como
simplemente definiendo X i = X − i .)
La categoría C ( A ) tiene una estructura modelo en la que las cofibraciones son los monomorfismos y las equivalencias débiles son los cuasi-isomorfismos . [5] Por definición, un mapa de cadenas f : X → Y es un cuasiisomorfismo si el homomorfismo inducido
La homología es un isomorfismo para todos los números enteros n . (Aquí H n ( X ) es el objeto de A definido como el núcleo de X n → X n −1 módulo la imagen de X n +1 → X n .) La categoría de homotopía resultante se llama categoría derivada D ( A ) .
En cualquier categoría de modelo, una fibración que también es una equivalencia débil se denomina fibración trivial (o acíclica ) . Una cofibración que también es una equivalencia débil se llama cofibración trivial (o acíclica ) .
