En matemáticas , teoría de la obstrucción es el nombre que se le da a dos teorías matemáticas diferentes , las cuales producen invariantes cohomológicas .
En el trabajo original de Stiefel y Whitney , las clases características se definían como obstrucciones a la existencia de ciertos campos de vectores lineales independientes . La teoría de la obstrucción resulta ser una aplicación de la teoría de la cohomología al problema de construir una sección transversal de un paquete .
El significado más antiguo de la teoría de la obstrucción en la teoría de la homotopía se relaciona con el procedimiento, inductivo con respecto a la dimensión, para extender un mapeo continuo definido en un complejo simplicial , o complejo CW . Tradicionalmente se la llama teoría de la obstrucción de Eilenberg , en honor a Samuel Eilenberg . Implica grupos de cohomología con coeficientes en grupos de homotopía para definir obstrucciones a las extensiones. Por ejemplo, con un mapeo de un complejo simplicial X a otro, Y , definido inicialmente en el esqueleto-0 de X (los vértices de X ), será posible una extensión al esqueleto-1 siempre que la imagen del esqueleto-0 pertenecerá al mismo componente conectado por ruta de Y . Extender del esqueleto 1 al esqueleto 2 significa definir el mapeo en cada triángulo sólido de X , dado el mapeo ya definido en sus bordes límite. Del mismo modo, extender el mapeo al 3-esqueleto implica extender el mapeo a cada 3-símplex sólido de X , dado el mapeo ya definido en su límite.
En algún momento, digamos que se extiende el mapeo desde el (n-1)-esqueleto de X al n-esqueleto de X , este procedimiento podría resultar imposible. En ese caso, se puede asignar a cada n-símplex la clase de homotopía π n-1 ( Y ) del mapeo ya definido en su límite (al menos uno de los cuales será distinto de cero). Estas asignaciones definen una n-cocadena con coeficientes en π n-1 ( Y ) . Sorprendentemente, esta cocadena resulta ser una cociclo y, por lo tanto, define una clase de cohomología en el enésimo grupo de cohomología de X con coeficientes en π n-1 ( Y ) . Cuando esta clase de cohomología es igual a 0, resulta que el mapeo puede modificarse dentro de su clase de homotopía en el esqueleto (n-1) de X de modo que el mapeo puede extenderse al n-esqueleto de X. Si la clase no es igual a cero, se denomina obstrucción para extender el mapeo sobre el n-esqueleto, dada su clase de homotopía en el (n-1)-esqueleto.
Supongamos que B es un complejo simplicial simplemente conexo y que p : E → B es una fibración con fibra F . Además, supongamos que tenemos una sección parcialmente definida σ n : B n → E en el n -esqueleto de B .
Para cada ( n + 1) -simplex Δ en B , σ n puede restringirse al límite ∂Δ (que es una n -esfera topológica ). Debido a que p envía cada σ n ( ∂Δ ) de regreso a ∂Δ , σ n define un mapa desde la n -esfera hasta p −1 ( Δ ) . Porque las fibraciones satisfacen la propiedad de elevación de la homotopía y Δ es contráctil ; p −1 ( Δ ) es homotopía equivalente a F . Entonces, esta sección parcialmente definida asigna un elemento de π n ( F ) a cada ( n + 1 ) -síplex. Estos son precisamente los datos de una cocadena simplicial con valor π n ( F ) de grado n + 1 en B , es decir, un elemento de C n + 1 (B; π n ( F )) . Esta cocadena se llama cocadena de obstrucción porque ser cero significa que todos estos elementos de π n ( F ) son triviales, lo que significa que nuestra sección parcialmente definida se puede extender al ( n + 1 ) -esqueleto usando la homotopía entre (la sección parcialmente definida en el límite de cada Δ ) y el mapa constante.
El hecho de que esta cocadena provenga de una sección parcialmente definida (a diferencia de una colección arbitraria de mapas de todos los límites de todos los ( n + 1) -simplices) se puede utilizar para demostrar que esta cocadena es un cociclo. Si se comenzara con una sección diferente parcialmente definida σ n que concordara con la original en el ( n − 1 ) -esqueleto, entonces también se puede demostrar que el cociclo resultante diferiría del primero en un colímite. Por lo tanto, tenemos un elemento bien definido del grupo de cohomología H n + 1 ( B ; π n ( F )) tal que si existe una sección parcialmente definida en el ( n + 1 ) -esqueleto que concuerde con la elección dada en el ( n − 1) -esqueleto, entonces esta clase de cohomología debe ser trivial.
Lo contrario también es cierto si se permiten cosas como secciones de homotopía , es decir, un mapa σ : B → E tal que p ∘ σ es homotópico (en lugar de igual) al mapa de identidad en B . Por lo tanto, proporciona una invariante completa de la existencia de secciones hasta la homotopía en el ( n + 1) -esqueleto.
En topología geométrica , la teoría de la obstrucción se ocupa de cuándo una variedad topológica tiene una estructura lineal por partes y cuando una variedad lineal por partes tiene una estructura diferencial .
En dimensión como máximo 2 (Rado) y 3 (Morse), las nociones de variedades topológicas y variedades lineales por partes coinciden. En la dimensión 4 no son iguales.
En dimensiones como máximo 6 coinciden las nociones de variedades lineales por partes y variedades diferenciables.
Las dos cuestiones básicas de la teoría de la cirugía son si un espacio topológico con dualidad de Poincaré n -dimensional es homotópicamente equivalente a una variedad n -dimensional , y también si una equivalencia de homotopía de variedades n -dimensionales es homotópica a un difeomorfismo . En ambos casos hay dos obstrucciones para n>9 , una obstrucción topológica primaria de la teoría K para la existencia de un paquete de vectores : si esto desaparece, existe un mapa normal , lo que permite la definición de la obstrucción quirúrgica secundaria en la teoría L algebraica para realizando cirugía en el mapa normal para obtener una equivalencia de homotopía .