En topología algebraica , la fibración del espacio de ruta sobre un espacio basado [1] es una fibración de la forma [2]![{\displaystyle (X,*)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Omega X\hookrightarrow PX{\overset {\chi \mapsto \chi (1)}{\to }}X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
es el espacio de ruta basado en X ; es decir, equipado con la topología compacta-abierta .![{\displaystyle PX=\{f\dos puntos I\to X\mid f\ {\text{continuo}},f(0)=*\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es la fibra de sobre el punto base de X ; por tanto, es el espacio de bucle de X .![{\displaystyle \chi \mapsto \chi (1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El espacio de camino libre de X , es decir , consta de todos los mapas de I a X que pueden no conservar los puntos base, y la fibración dada por, digamos, se llama fibración del espacio de camino libre .![{\displaystyle \operatorname {Mapa} (I,X)=X^{I}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X^{I}\a X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \chi \mapsto \chi (1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Se puede entender que la fibración del espacio de ruta es dual con respecto al cono de mapeo . [ se necesita aclaración ] La fibra de la fibración basada se llama fibra de mapeo o, equivalentemente, fibra de homotopía .
Mapeo del espacio de ruta
Si es cualquier mapa, entonces el espacio de ruta de mapeo es el retroceso de la fibración a lo largo . (Un espacio de ruta de mapeo satisface la propiedad universal que es dual a la de un cilindro de mapeo, que es un empuje. Debido a esto, un espacio de ruta de mapeo también se llama cocilindro de mapeo . [3] )
![{\displaystyle P_{f}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Y^{I}\a Y,\,\chi \mapsto \chi (1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Dado que una fibración retrocede a una fibración, si se basa Y , se tiene la fibración
![{\displaystyle F_{f}\hookrightarrow P_{f}{\overset {p}{\to }}Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde y es la fibra homotópica , el retroceso de la fibración a lo largo .![{\displaystyle p(x,\chi )=\chi (0)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle F_{f}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle PY{\overset {\chi \mapsto \chi (1)}{\longrightarrow }}Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Cabe destacar también la composición.![{\displaystyle f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X{\overset {\phi }{\to }}P_{f}{\overset {p}{\to }}Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde el primer mapa envía x a ; aquí denota la ruta constante con valor . Claramente, es una equivalencia de homotopía ; por tanto, la descomposición anterior dice que cualquier aplicación es una fibración hasta la equivalencia de homotopía.![{\displaystyle \phi}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (x,c_{f(x)})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle c_ {f (x)}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \phi}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si, para empezar, es una fibración, entonces el mapa es una equivalencia de homotopía de fibra y, en consecuencia, [4] las fibras de sobre el componente de ruta del punto base son equivalentes de homotopía a la fibra de homotopía de .![{\displaystyle f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \phi \dos puntos X\to P_{f}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle F_{f}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El espacio del camino de Moore
Por definición, un camino en un espacio X es un mapa del intervalo unitario I a X. Nuevamente por definición, el producto de dos caminos tal que es el camino dado por:![{\displaystyle \alpha,\beta}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \alpha (1)=\beta (0)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \beta \cdot \alpha \colon I\to X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
.
Este producto, en general, no logra ser asociativo en nariz: , visto directamente. Una solución a este fracaso es pasar a clases de homotopía : se tiene . Otra solución es trabajar con caminos de longitudes arbitrarias, lo que lleva a las nociones de espacio de caminos de Moore y fibración del espacio de caminos de Moore, que se describen a continuación. [5] (Una solución más sofisticada es repensar la composición: trabajar con una familia arbitraria de composiciones; ver la introducción del artículo de Lurie, [6] que lleva a la noción de ópera .)![{\displaystyle (\gamma \cdot \beta )\cdot \alpha \neq \gamma \cdot (\beta \cdot \alpha )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [(\gamma \cdot \beta )\cdot \alpha ]=[\gamma \cdot (\beta \cdot \alpha )]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Dado un espacio base , dejamos![{\displaystyle (X,*)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle P'X=\{f\colon [0,r]\to X\mid r\geq 0,f(0)=*\}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Un elemento f de este conjunto tiene una extensión única en el intervalo tal que . Por tanto, el conjunto puede identificarse como un subespacio de . El espacio resultante se llama espacio de caminos de Moore de X , en honor a John Coleman Moore , quien introdujo el concepto. Luego, como antes, hay una fibración, la fibración del espacio de caminos de Moore :
![{\displaystyle [0,\infty)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\widetilde {f}}(t)=f(r),\,t\geq r}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Mapa} ([0,\infty ),X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Omega 'X\hookrightarrow P'X{\overset {p}{\to }}X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde p envía cada uno a y es la fibra. Resulta que y son equivalentes de homotopía.![{\displaystyle f:[0,r]\a X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(r)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Omega 'X=p^{-1}(*)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Omega X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Omega 'X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ahora, definimos el mapa del producto.
![{\displaystyle \mu :P'X\times \Omega 'X\to P'X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
por: para y ,![{\displaystyle f\dos puntos [0,r]\to X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g\dos puntos [0,s]\to X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
.
Este producto es manifiestamente asociativo. En particular, con μ restringido a Ω ' X × Ω ' X , tenemos que Ω ' X es un monoide topológico (en la categoría de todos los espacios). Además, este monoide Ω ' X actúa sobre P ' X a través del μ original . De hecho, es una fibra X Ω' . [7]![{\displaystyle p:P'X\a X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Notas
- ^ A lo largo del artículo, los espacios son objetos de la categoría de espacios "razonables"; por ejemplo, la categoría de espacios de Hausdorff débiles generados de forma compacta .
- ^ Davis y Kirk 2001, teorema 6.15. 2.
- ^ Davis y Kirk 2001, § 6.8.
- ^ usando el cambio de fibra
- ^ Whitehead 1978, cap. III, § 2.
- ^ Lurie, Jacob (30 de octubre de 2009). "Geometría algebraica derivada VI: E [k] -Álgebras" (PDF) .
- ^ Sean G = Ω ' X y P = P ' X. Que G preserva las fibras está claro. Para ver, para cada γ en P , el mapa es una equivalencia débil, podemos usar el siguiente lema:
![{\displaystyle G\to p^{-1}(p(\gamma )),\,g\mapsto \gamma g}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Lema : Sean p : D → B , q : E → B fibraciones sobre un espacio sin base B , f : D → E un mapa sobre B . Si B está conectado por camino, entonces lo siguiente es equivalente:
- f es una equivalencia débil.
es una equivalencia débil para algunos b en B .
es una equivalencia débil para cada b en B .
Aplicamos el lema donde α es un camino en P e I → X es t → el punto final de α ( t ). Dado que si γ es el camino constante, la afirmación se deriva del lema. (En pocas palabras, el lema se deriva de la secuencia larga de homotopía exacta y los cinco lemas).![{\displaystyle B=I,D=I\times G,E=I\times _ {X}P,f(t,g)=(t,\alpha (t)g)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p^{-1}(p(\gamma ))=G}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Referencias