Cambio de fibra

En topología algebraica, dada una fibración p : E → B , el cambio de fibra es un mapa entre las fibras inducidas por caminos en B .

Dado que una cubierta es una fibración, la construcción generaliza los hechos correspondientes en la teoría de los espacios de cubierta .

Definición

Si β es un camino en B que comienza en, digamos, b , entonces tenemos la homotopía donde la primera función es una proyección. Como p es una fibración, por la propiedad de elevación de homotopía , h se eleva a una homotopía con . Tenemos: ${\displaystyle h:p^{-1}(b)\times I\to I{\overset {\beta }{\to }}B}$ ${\displaystyle g:p^{-1}(b)\times I\to E}$ ${\displaystyle g_{0}:p^{-1}(b)\hookrightarrow E}$

${\displaystyle g_{1}:p^{-1}(b)\to p^{-1}(\beta (1))}$.

(Puede existir una ambigüedad y por lo tanto no es necesario definirlo bien). ${\displaystyle \beta \mapsto g_{1}}$

Sea el conjunto de clases de ruta en B. Afirmamos que la construcción determina el mapa: ${\displaystyle \operatorname {Pc} (B)}$

${\displaystyle \tau :\operatorname {Pc} (B)\to }$el conjunto de clases de homotopía de mapas.

Supongamos que β, β' están en la misma clase de camino; por lo tanto, existe una homotopía h de β a β'. Sea

${\displaystyle K=I\times \{0,1\}\cup \{0\}\times I\subset I^{2}}$.

Al dibujar una imagen, existe un homeomorfismo que se restringe a un homeomorfismo . Sea tal que , y . ${\displaystyle I^{2}\to I^{2}}$ ${\displaystyle K\to I\times \{0\}}$ ${\displaystyle f:p^{-1}(b)\times K\to E}$ ${\displaystyle f(x,s,0)=g(x,s)}$ ${\displaystyle f(x,s,1)=g'(x,s)}$ ${\displaystyle f(x,0,t)=x}$

Luego, mediante la propiedad de elevación de homotopía, podemos elevar la homotopía a w de modo que w se restrinja a . En particular, tenemos , lo que establece la afirmación. ${\displaystyle p^{-1}(b)\times I^{2}\to I^{2}{\overset {h}{\to }}B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g_{1}\sim g_{1}'}$

De la construcción se desprende claramente que el mapa es un homomorfismo: si , ${\displaystyle \gamma (1)=\beta (0)}$

${\displaystyle \tau ([c_{b}])=\operatorname {id} ,\,\tau ([\beta ]\cdot [\gamma ])=\tau ([\beta ])\circ \tau ([\gamma ])}$

donde es la trayectoria constante en b . De ello se deduce que tiene inversa. Por lo tanto, podemos decir: ${\displaystyle c_{b}}$ ${\displaystyle \tau ([\beta ])}$

${\displaystyle \tau :\operatorname {Pc} (B)\to }$el conjunto de clases de homotopía de equivalencias de homotopía.

Además, tenemos: para cada b en B ,

${\displaystyle \tau :\pi _{1}(B,b)\to }${ [ƒ] | equivalencia de homotopía } ${\displaystyle f:p^{-1}(b)\to p^{-1}(b)}$

que es un homomorfismo de grupo (el lado derecho es claramente un grupo). En otras palabras, el grupo fundamental de B en b actúa sobre la fibra sobre b , hasta la homotopía. Este hecho es un sustituto útil para la ausencia del grupo de estructura .

Consecuencia

Una consecuencia de la construcción es la siguiente:

• Las fibras de p sobre un componente de trayectoria son homotópicamente equivalentes entre sí.

Referencias

• James F. Davis, Paul Kirk, Notas de clase sobre topología algebraica
• May, J. Un curso conciso de topología algebraica