En topología algebraica, dada una fibración p : E → B , el cambio de fibra es un mapa entre las fibras inducido por caminos en B .
Dado que una cobertura es una fibración, la construcción generaliza los hechos correspondientes en la teoría de la cobertura de espacios .
Definición
Si β es un camino en B que comienza, digamos, en b , entonces tenemos la homotopía donde el primer mapa es una proyección. Dado que p es una fibración, por la propiedad de elevación de homotopía , h se eleva a una homotopía con . Tenemos:
- .
(Puede haber una ambigüedad y, por lo tanto, no es necesario que esté bien definido).
Denotemos el conjunto de clases de ruta en B . Afirmamos que la construcción determina el mapa:
- el conjunto de clases de homotopía de mapas.
Supongamos que β, β' están en la misma clase de ruta; por tanto, existe una homotopía h de β a β'. Dejar
- .
Haciendo un dibujo, hay un homeomorfismo que se restringe a un homeomorfismo . Sea tal que , y .
Entonces, mediante la propiedad de elevación de la homotopía, podemos elevar la homotopía a w de manera que w se restrinja a . En particular, tenemos , estableciendo el reclamo.
De la construcción se desprende claramente que el mapa es un homomorfismo: si ,
¿Dónde está el camino constante en b ? Se deduce que tiene inversa. Por lo tanto, realmente podemos decir:
- el conjunto de clases de homotopía de equivalencias de homotopía.
Además, tenemos: para cada b en B ,
- {[ƒ] | equivalencia de homotopía }
que es un homomorfismo de grupo (el lado derecho es claramente un grupo). En otras palabras, el grupo fundamental de B en b actúa sobre la fibra sobre b , hasta la homotopía. Este hecho es un sustituto útil de la ausencia del grupo estructural .
Consecuencia
Una consecuencia de la construcción es la siguiente:
- Las fibras de p sobre un componente de ruta son homotópicamente equivalentes entre sí.
Referencias
- James F. Davis, Paul Kirk, Apuntes de conferencias sobre topología algebraica
- May, J. Un curso conciso en topología algebraica