Glosario de topología algebraica

Glosario de matemáticas

Este es un glosario de propiedades y conceptos en topología algebraica en matemáticas.

Ver también: glosario de topología , lista de temas de topología algebraica , glosario de teoría de categorías , glosario de geometría diferencial y topología , Cronología de variedades .

• Convención : A lo largo del artículo, I denota el intervalo unitario, S ⁿ la n- esfera y D ⁿ el n -disco. Además, a lo largo del artículo, se supone que los espacios son razonables ; esto puede tomarse como que significa, por ejemplo, que un espacio es un complejo CW o un espacio de Hausdorff débilmente generado de manera compacta . De manera similar, no se intenta ser definitivo sobre la definición de un espectro . Un conjunto simplicial no se considera un espacio; es decir, generalmente distinguimos entre conjuntos simpliciales y sus realizaciones geométricas.
• Criterio de inclusión : Como no hay un glosario de álgebra homológica en Wikipedia en este momento, este glosario también incluye algunos conceptos de álgebra homológica (por ejemplo, homotopía de cadenas); algunos conceptos de topología geométrica y topología diferencial también son válidos. Por otro lado, los elementos que aparecen en el glosario de topología generalmente se omiten. La teoría de homotopía abstracta y la teoría de homotopía motívica también están fuera del alcance. El glosario de teoría de categorías cubre (o cubrirá) conceptos de la teoría de categorías modelo . Consulte el glosario de geometría simpléctica para los temas de topología simpléctica como la cuantización.

!$@

*

El punto base de un espacio basado.

${\displaystyle X_{+}}$

Para un espacio sin base X , X ₊ es el espacio base que se obtiene al unir un punto base disjunto.

A

retracción absoluta del vecindario

abstracto

1. Teoría abstracta de la homotopía

Adán

1.   John Frank Adams .

2. La secuencia espectral de Adams .

3. La conjetura de Adams .

4. El e -invariante de Adams .

5. Las operaciones de Adams .

Dualidad de Alexander

Dualidad de Alexander

El truco de Alexander

El truco de Alexander produce una sección del mapa de restricción , donde Top denota un grupo de homeomorfismos ; es decir, la sección se da enviando un homeomorfismo al grupo de homeomorfismos. ${\displaystyle \operatorname {Top} (D^{n+1})\to \operatorname {Top} (S^{n})}$ ${\displaystyle f:S^{n}\to S^{n}}$

${\displaystyle {\widetilde {f}}:D^{n+1}\to D^{n+1},\,0\mapsto 0,0\neq x\mapsto |x|f(x/|x|)}$.

Esta sección es de hecho una homotopía inversa. ^[1]

Análisis del sitio

fibración aproximada

1. Una fibración aproximada , una generalización de una fibración y una proyección en un fibrado localmente trivial.

2. Una fibración aproximada de variedad es una fibración aproximada adecuada entre variedades.

espacio asférico

Espacio asférico

mapa de ensamblaje

Atiyah

1.   Michael Atiyah .

2. Dualidad Atiyah.

3. La secuencia espectral de Atiyah–Hirzebruch .

B

Construcción de barras

espacio basado

Un par ( X , x ₀ ) que consiste en un espacio X y un punto x ₀ en X .

Número de Betti

Ver número de Betti .

Conjetura de Bing-Borsuk

Véase la conjetura de Bing-Borsuk .

Homomorfismo de Bockstein

Borel

Conjetura de Borel .

Homología de Borel-Moore

Teorema de Borsuk

Larva del moscardón

1.   Raúl Bott .

2. El teorema de periodicidad de Bott para grupos unitarios dice: . ${\displaystyle \pi _{q}U=\pi _{q+2}U,q\geq 0}$

3. El teorema de periodicidad de Bott para grupos ortogonales dice: . ${\displaystyle \pi _{q}O=\pi _{q+8}O,q\geq 0}$

Teorema del punto fijo de Brouwer

El teorema del punto fijo de Brouwer dice que cualquier mapa tiene un punto fijo. ${\displaystyle f:D^{n}\to D^{n}}$

do

producto de tapa

casson

Invariante de Casson .

Cohomología de Chech

celular

1. Una función ƒ: X → Y entre complejos CW es celular si para todo n . ${\displaystyle f(X^{n})\subset Y^{n}}$

2. El teorema de aproximación celular dice que cada mapa entre complejos CW es homotópico a un mapa celular entre ellos.

3. La homología celular es la homología (canónica) de un complejo CW. Nótese que se aplica a complejos CW y no a espacios en general. Una homología celular es altamente computable; es especialmente útil para espacios con descomposiciones celulares naturales como espacios proyectivos o Grassmannianos.

homotopía de cadena

Dados los mapas de cadena entre complejos de cadena de módulos, una homotopía de cadena s de f a g es una secuencia de homomorfismos de módulo que satisface . También se denomina operador de homotopía . ${\displaystyle f,g:(C,d_{C})\to (D,d_{D})}$ ${\displaystyle s_{i}:C_{i}\to D_{i+1}}$ ${\displaystyle f_{i}-g_{i}=d_{D}\circ s_{i}+s_{i-1}\circ d_{C}}$

mapa de cadena

Un mapa de cadena entre complejos de cadena de módulos es una secuencia de homomorfismos de módulos que conmuta con los diferenciales, es decir, . ${\displaystyle f:(C,d_{C})\to (D,d_{D})}$ ${\displaystyle f_{i}:C_{i}\to D_{i}}$ ${\displaystyle d_{D}\circ f_{i}=f_{i-1}\circ d_{C}}$

Equivalencia de homotopía de cadena

Un mapa de cadena que es un isomorfismo hasta la homotopía de cadena; es decir, si ƒ : C → D es un mapa de cadena, entonces es una equivalencia de homotopía de cadena si hay un mapa de cadena g : D → C tal que g ƒ y ƒ g son homotópicos en cadena con respecto a los homomorfismos identidad en C y D , respectivamente.

cambio de fibra

El cambio de fibra de una fibración p es una equivalencia de homotopía, hasta la homotopía, entre las fibras de p inducida por un camino en la base.

Variedad de personajes

La variedad de caracteres ^[2] de un grupo π y un grupo algebraico G (por ejemplo, un grupo de Lie complejo reductivo) es el cociente de la teoría invariante geométrica por G :

${\displaystyle {\mathcal {X}}(\pi ,G)=\operatorname {Hom} (\pi ,G)/\!/G}$.

clase característica

Sea Vect( X ) el conjunto de clases de isomorfismo de fibrados vectoriales en X . Podemos verlo como un funtor contravariante de Top a Set enviando una función ƒ: X → Y al pullback ƒ ^* a lo largo de ella. Entonces una clase característica es una transformación natural de Vect al funtor de cohomología H ^* . Explícitamente, a cada fibrado vectorial E asignamos una clase de cohomología, digamos, c ( E ​​). La asignación es natural en el sentido de que ƒ ^* c( E ) = c(ƒ ^* E ). ${\displaystyle X\mapsto \operatorname {Vect} (X)}$

teoría de la homotopía cromática

teoría de la homotopía cromática .

clase

1.   Clase Chern .

2.   Clase Stiefel–Whitney .

espacio clasificador

En términos generales, un espacio clasificador es un espacio que representa algún funtor contravariante definido en la categoría de espacios; por ejemplo, es el espacio clasificador en el sentido de que es el funtor que envía un espacio al conjunto de clases de isomorfismo de fibrados vectoriales reales en el espacio. ${\displaystyle BU}$ ${\displaystyle [-,BU]}$ ${\displaystyle X\mapsto \operatorname {Vect} ^{\mathbb {R} }(X)}$

agarrando

secuencia espectral de cobar

cobordismo

1. Véase cobordismo .

2. Un anillo de cobordismo es un anillo cuyos elementos son clases de cobordismo.

3. Véase también teorema de h-cobordismo , teorema de s-cobordismo .

anillo de coeficientes

Si E es un espectro de anillo, entonces el anillo de coeficientes del mismo es el anillo . ${\displaystyle \pi _{*}E}$

secuencia de cofibra

Una secuencia de cofibras es cualquier secuencia que sea equivalente a la secuencia para algún ƒ donde es el cono de mapeo reducido de ƒ (llamado cofibra de ƒ). ${\displaystyle X{\overset {f}{\to }}Y\to C_{f}}$ ${\displaystyle C_{f}}$

aproximación cofibrante

cofibración

Un mapa es una cofibración si satisface la propiedad: dada una homotopía tal que , existe una homotopía tal que . ^[3] Una cofibración es inyectiva y es un homeomorfismo sobre su imagen. ${\displaystyle i:A\to B}$ ${\displaystyle h_{0}:B\to X}$ ${\displaystyle g_{t}:A\to X}$ ${\displaystyle g_{0}=h_{0}\circ i}$ ${\displaystyle h_{t}:B\to X}$ ${\displaystyle h_{t}\circ i=g_{t}}$

homotopía coherente

coherencia

Véase coherencia (teoría de la homotopía)

grupo de cohomotopia

Para un espacio basado X , el conjunto de clases de homotopía se denomina n - ésimo grupo de cohomotopía de X. ${\displaystyle [X,S^{n}]}$

operación de cohomología

colapsar

Una frase informal pero que generalmente significa tomar un cociente; por ejemplo, un cono se obtiene colapsando la parte superior (o inferior) de un cilindro.

terminación

Bordismo complejo

Orientado a complejos

Una teoría de cohomología multiplicativa E está orientada a lo complejo si el mapa de restricción E ² ( C P ^∞ ) → E ² ( C P ¹ ) es sobreyectiva.

concordante

cono

El cono sobre un espacio X es . El cono reducido se obtiene a partir del cilindro reducido colapsando la parte superior. ${\displaystyle CX=X\times I/X\times \{0\}}$ ${\displaystyle X\wedge I_{+}}$

conectivo

Un espectro E es conectivo si para todos los enteros negativos q . ${\displaystyle \pi _{q}E=0}$

espacio de configuración

constante

Un haz constante en un espacio X es un haz en X tal que para algún conjunto A y alguna función , la función natural es biyectiva para cualquier x en X . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A\to {\mathcal {F}}(X)}$ ${\displaystyle A\to {\mathcal {F}}(X)\to {\mathcal {F}}_{x}}$

continuo

Cohomología continua.

espacio contráctil

Un espacio es contráctil si el mapa identidad en el espacio es homotópico al mapa constante.

cubierta

1. Una función p : Y → X es una función de recubrimiento o una función de cubrimiento si cada punto de x tiene un vecindario N que está cubierto uniformemente por p ; esto significa que la preimagen de N es una unión disjunta de conjuntos abiertos, cada uno de los cuales se asigna a N homeomórficamente.

2. Tiene n láminas si cada fibra p ⁻¹ ( x ) tiene exactamente n elementos.

3. Es universal si Y está simplemente conexo.

4. Un morfismo de una cubierta es una función sobre X . En particular, un automorfismo de una cubierta p : Y → X (también llamado transformación de cubierta ) es una función Y → Y sobre X que tiene inversa; es decir, un homeomorfismo sobre X .

5. Un recubrimiento G es un recubrimiento que surge de una acción de grupo sobre un espacio X por un grupo G , siendo la función de recubrimiento la función cociente de X al espacio de órbitas X/G . La noción se utiliza para enunciar la propiedad universal: si X admite un recubrimiento universal (en particular conexo), entonces

${\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi _{1}(X,x_{0}),G)}$es el conjunto de clases de isomorfismo de G -recubrimientos.

En particular, si G es abeliano, entonces el lado izquierdo es (cf. cohomología no abeliana ). ${\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi _{1}(X,x_{0}),G)=\operatorname {H} ^{1}(X;G)}$

producto de taza

Complejo CW

Un complejo CW es un espacio X dotado de una estructura CW, es decir, una filtración

${\displaystyle X^{0}\subset X^{1}\subset X^{2}\subset \cdots \subset X}$

de modo que (1) X ⁰ es discreto y (2) X ⁿ se obtiene a partir de X ^{n -1} uniendo n -celdas.

homología cíclica

D

transformación de la cubierta

Otro término para un automorfismo de una cubierta.

retracción por deformación

Un subespacio se denomina retracto de deformación de X si existe una homotopía tal que es la identidad, y es la identidad (es decir, es un retracto de en el sentido de la teoría de categorías). Se denomina retracto de deformación fuerte si, además, satisface el requisito de que es la identidad. Por ejemplo, una homotopía muestra que el origen es un retracto de deformación fuerte de una bola abierta B centrada en el origen. ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle h_{t}:X\to X}$ ${\displaystyle h_{0}}$ ${\displaystyle h_{1}(X)\subset A}$ ${\displaystyle {h_{1}}|_{A}}$ ${\displaystyle h_{1}}$ ${\displaystyle A\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle h_{t}}$ ${\displaystyle {h_{t}}|_{A}}$ ${\displaystyle h_{t}:B\to B,\,x\mapsto (1-t)x}$

Cohomología de Deligne-Beilinson

Cohomología de Deligne-Beilinson

desenrollado

ciclo de degeneración

grado

de Rham

1.   Cohomología de De Rham , la cohomología de complejos de formas diferenciales.

2. El teorema de Rham da un isomorfismo explícito entre la cohomología de Rham y la cohomología singular.

Doliente

El teorema de Dold-Thom .

mi

Argumento de Eckmann-Hilton

El argumento de Eckmann-Hilton .

Dualidad de Eckmann-Hilton

Espacios de Eilenberg-MacLane

Dado un grupo abeliano π, los espacios de Eilenberg-MacLane se caracterizan por ${\displaystyle K(\pi ,n)}$

${\displaystyle \pi _{q}K(\pi ,n)={\begin{cases}\pi &{\text{if }}q=n\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$.

Axiomas de Eilenberg-Steenrod

Los axiomas de Eilenberg-Steenrod son el conjunto de axiomas que debe satisfacer cualquier teoría de cohomología (singular, celular, etc.). El debilitamiento de los axiomas (es decir, la eliminación del axioma de dimensión) conduce a una teoría de cohomología generalizada .

Teorema de Eilenberg-Zilber

elíptico

cohomología elíptica .

En _- álgebra

topología algebraica equivariante

La topología algebraica equivariante es el estudio de espacios con acción de grupo (continua) .

cuento

homotopía de estrella .

exacto

Una secuencia de conjuntos puntiagudos es exacta si la imagen de f coincide con la preimagen del punto elegido de Z. ${\displaystyle X{\overset {f}{\to }}Y{\overset {g}{\to }}Z}$

excisión

El axioma de escisión para homología dice: si y , entonces para cada q , ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle {\overline {U}}\subset \operatorname {int} (A)}$

${\displaystyle \operatorname {H} _{q}(X-U,A-U)\to \operatorname {H} _{q}(X,A)}$

es un isomorfismo.

par/tríada excisiva

F

homología de factorización

Equivalencia de homotopía de fibra

Dado D → B , E → B , una función ƒ: D → E sobre B es una equivalencia de homotopía de fibras si es invertible hasta la homotopía sobre B . El hecho básico es que si D → B , E → B son fibraciones, entonces una equivalencia de homotopía de D a E es una equivalencia de homotopía de fibras.

secuencia de fibras

La secuencia de fibras de un mapa es la secuencia donde es la fibra de homotopía de f ; es decir, el retroceso de la fibración del espacio de trayectorias a lo largo de f . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle F_{f}{\overset {p}{\to }}X{\overset {f}{\to }}Y}$ ${\displaystyle F_{f}{\overset {p}{\to }}X}$ ${\displaystyle PY\to Y}$

cuadrado de fibra

cuadrado de fibra

fibración

Una función p : E → B es una fibración si para cualquier homotopía dada y una función tal que , existe una homotopía tal que . (La propiedad anterior se denomina propiedad de elevación de homotopía ). Una función de recubrimiento es un ejemplo básico de una fibración. ${\displaystyle g_{t}:X\to B}$ ${\displaystyle h_{0}:X\to E}$ ${\displaystyle p\circ h_{0}=g_{0}}$ ${\displaystyle h_{t}:X\to E}$ ${\displaystyle p\circ h_{t}=g_{t}}$

secuencia de fibración

Se dice que es una secuencia de fibración para significar que p es una fibración y que F es homotópicamente equivalente a la fibra de homotopía de p , con cierta comprensión de los puntos base. ${\displaystyle F\to X{\overset {p}{\to }}B}$

Finitamente dominado

clase fundamental

grupo fundamental

El grupo fundamental de un espacio X con punto base x ₀ es el grupo de clases de homotopía de bucles en x ₀ . Es precisamente el primer grupo de homotopía de ( X , x ₀ ) y por tanto se denota por . ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$

grupoide fundamental

El grupoide fundamental de un espacio X es la categoría cuyos objetos son los puntos de X y cuyos morfismos x → y son las clases de homotopía de caminos de x a y ; por tanto, el conjunto de todos los morfismos de un objeto x ₀ a sí mismo es, por definición, el grupo fundamental . ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$

enmarcado

Un colector enmarcado es un colector con un marco.

gratis

Sinónimo de no basado. Por ejemplo, el espacio de caminos libres de un espacio X se refiere al espacio de todos los mapas de I a X ; es decir, mientras que el espacio de caminos de un espacio basado X consiste en aquellos mapas que preservan el punto base (es decir, 0 va al punto base de X ). ${\displaystyle X^{I}}$

Teorema de suspensión de Freudenthal

Para un espacio de base no degenerada X , el teorema de suspensión de Freudenthal dice: si X es ( n -1)-conexo, entonces el homomorfismo de suspensión

${\displaystyle \pi _{q}X\to \pi _{q+1}\Sigma X}$

es biyectiva para q < 2 n - 1 y es sobreyectiva si q = 2 n - 1.

Compactificación Fulton-MacPherson

La compactificación de Fulton-MacPherson del espacio de configuración de n puntos etiquetados distintos en una variedad compleja compacta es una compactificación suave natural introducida por Fulton y MacPherson.

GRAMO

Fibración G

Una fibración G con algún monoide topológico G. Un ejemplo es la fibración del espacio de caminos de Moore .

Espacio G

Un G-espacio es un espacio junto con una acción de un grupo G (que normalmente satisface algunas condiciones).

Espacio Γ

teoría de cohomología generalizada

Una teoría de cohomología generalizada es un funtor contravariante de la categoría de pares de espacios a la categoría de grupos abelianos que satisface todos los axiomas de Eilenberg-Steenrod excepto el axioma de dimensión.

conjetura de geometrización

conjetura de geometrización

género

germen

germen

finalización del grupo

como un grupo

Se dice que un H-espacio X es semejante a un grupo o similar a un grupo si es un grupo ; es decir, X satisface los axiomas del grupo hasta la homotopía. ${\displaystyle \pi _{0}X}$

Secuencia de gysin

yo

Control de acceso principal

1.   Hauptvermutung , en alemán "conjetura principal", es la abreviatura de die Hauptvermutung der kombinatorischen Topologie (la conjetura principal de la topología combinatoria). Pregunta si dos complejos simpliciales son isomorfos si son homeomorfos. Milnor la refutó en 1961.

2. Hay algunas variantes; por ejemplo, uno puede preguntar si dos variedades PL son PL-isomorfas si son homeomorfas (lo que también es falso).

h-cobordismo

h-cobordismo .

Teorema de Hilton-Milnor

El teorema de Hilton-Milnor .

Hirzebruch

Teorema de la firma de Hirzebruch .

Espacio H

Un espacio H es un espacio base que es un magma unitario hasta la homotopía.

homólogo

Dos ciclos son homólogos si pertenecen a la misma clase de homología.

esfera de homología

Una esfera de homología es una variedad que tiene el tipo de homología de una esfera.

categoría de homotopía

Sea C una subcategoría de la categoría de todos los espacios. Entonces la categoría de homotopía de C es la categoría cuya clase de objetos es la misma que la clase de objetos de C pero el conjunto de morfismos de un objeto x a un objeto y es el conjunto de las clases de homotopía de morfismos de x a y en C. Por ejemplo, una función es una equivalencia de homotopía si y solo si es un isomorfismo en la categoría de homotopía.

colimite de homotopía

Un colimite de homotopía es una versión homotópicamente correcta de un colimite.

homotopía sobre un espacio B

Una homotopía h _t tal que para cada t fijo , h _t es una función sobre B .

equivalencia de homotopía

1. Una función ƒ: X → Y es una equivalencia de homotopía si es invertible hasta la homotopía; es decir, existe una función g: Y → X tal que g ∘ ƒ es homotópica a la función identidad en X y ƒ ∘ g es homotópica a la función identidad en Y .

2. Se dice que dos espacios son homotópicamente equivalentes si existe una equivalencia homotópica entre ambos. Por ejemplo, por definición, un espacio es contráctil si es homotópicamente equivalente a un espacio puntual .

teorema de escisión de homotopía

El teorema de escisión de homotopía es un sustituto del fracaso de la escisión para los grupos de homotopía.

fibra de homotopía

La fibra de homotopía de una función basada ƒ: X → Y , denotada por F ƒ, es el retroceso de a lo largo de f . ${\displaystyle PY\to Y,\,\chi \mapsto \chi (1)}$

producto de fibra de homotopía

Un producto de fibra es un tipo particular de límite . Reemplazando este límite lim por un límite de homotopía holim se obtiene un producto de fibra de homotopía.

grupo de homotopía

1. Para un espacio base X , sea , el conjunto de clases de homotopía de funciones base. Entonces es el conjunto de componentes conexos por trayectorias de X , es el grupo fundamental de X y son los n -ésimos grupos de homotopía (superiores) de X . ${\displaystyle \pi _{n}X=[S^{n},X]}$ ${\displaystyle \pi _{0}X}$ ${\displaystyle \pi _{1}X}$ ${\displaystyle \pi _{n}X,\,n\geq 2}$

2. Para los espacios basados ​​, el grupo de homotopía relativa se define como del espacio de caminos que comienzan todos en el punto base de X y terminan en algún lugar de A . Equivalentemente, es el de la fibra de homotopía de . ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X,A)}$ ${\displaystyle \pi _{n-1}}$ ${\displaystyle \pi _{n-1}}$ ${\displaystyle A\hookrightarrow X}$

3. Si E es un espectro, entonces ${\displaystyle \pi _{k}E=\varinjlim _{n}\pi _{k+n}E_{n}.}$

4. Si X es un espacio basado, entonces el k -ésimo grupo de homotopía estable de X es . En otras palabras, es el k -ésimo grupo de homotopía del espectro de suspensión de X . ${\displaystyle \pi _{k}^{s}X=\varinjlim _{n}\pi _{k+n}\Sigma ^{n}X}$

retroceso de homotopía

Un retroceso de homotopía es un caso especial de un límite de homotopía que es un retroceso homotópicamente correcto.

cociente de homotopía

Si G es un grupo de Lie que actúa sobre una variedad X , entonces el espacio cociente se llama cociente de homotopía (o construcción de Borel) de X por G , donde EG es el fibrado universal de G . ${\displaystyle (EG\times X)/G}$

secuencia espectral de homotopía

esfera de homotopía

Una esfera de homotopía es una variedad que tiene el tipo de homotopía de una esfera.

Salto

1.   Heinz Hopf .

2.   Invariante de Hopf .

3. El teorema del índice de Hopf .

4.   Construcción de Hopf .

Hurewicz

El teorema de Hurewicz establece una relación entre los grupos de homotopía y los grupos de homología.

I

espacio de bucle infinito

máquina espacial de bucle infinito

Máquina espacial de bucle infinito .

telescopio de mapeo infinito

intersección

emparejamiento de intersección.

homología de intersección , un sustituto de una homología ordinaria (singular) para un espacio singular.

cohomología de intersección

Integración a lo largo de la fibra

Ver integración a lo largo de la fibra .

invariancia de dominio

invariancia del dominio .

isotopía

Yo

Homomorfismo J

Véase J-homomorfismo .

unirse

La unión de los espacios base X , Y es ${\displaystyle X\star Y=\Sigma (X\wedge Y).}$

K

k -invariante

Complejo Kan

Véase complejo Kan .

Kirby–Siebenmann

Clasificación de Kirby-Siebenmann.

Invariante de Kervaire

El invariante de Kervaire .

Dualidad de Koszul

Dualidad Koszul .

Kuiper

El teorema de Kuiper dice que el grupo lineal general de un espacio de Hilbert de dimensión infinita es contráctil.

Fórmula de Künneth

yo

Anillo de Lazard

El anillo de Lazard L es el (enorme) anillo conmutativo junto con la ley formal de grupo ƒ que es universal entre todas las leyes formales de grupo en el sentido de que cualquier ley formal de grupo g sobre un anillo conmutativo R se obtiene mediante un homomorfismo de anillo L → R que aplica ƒ a g . Según el teorema de Quillen, también es el anillo de coeficientes del bordismo complejo MU. La Spec de L se llama espacio de módulos de leyes formales de grupo .

Lefschetz

1.   Salomón Lefschetz

2. El teorema de punto fijo de Lefschetz dice: dado un complejo simplicial finito K y su realización geométrica X , si una función no tiene punto fijo, entonces el número de Lefschetz de f ; es decir, ${\displaystyle f:X\to X}$

${\displaystyle \sum _{0}^{\infty }(-1)^{q}\operatorname {tr} (f_{*}:\operatorname {H} _{q}(X)\to \operatorname {H} _{q}(X))}$

es cero. Por ejemplo, implica el teorema de punto fijo de Brouwer , ya que el número de Lefschetz de es, a medida que se desvanecen las homologías superiores, uno. ${\displaystyle f:D^{n}\to D^{n}}$

3. El teorema del hiperplano de Lefschetz .

espacio de lente

El espacio de lentes es el espacio cociente donde es el grupo de raíces p -ésimas de la unidad que actúa sobre la esfera unitaria por . ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} ^{n}||z|=1\}/\mu _{p}}$ ${\displaystyle \mu _{p}}$ ${\displaystyle \zeta \cdot (z_{1},\dots ,z_{n})=(\zeta z_{1},\dots ,\zeta z_{n})}$

Secuencia espectral de Leray

L ²

La cohomología L 2 de una variedad riemanniana o de Kähler es la cohomología de los complejos de formas diferenciales con coeficientes integrables al cuadrado (coeficientes para formas, no cohomología).

coeficiente local

1. Un módulo sobre el anillo de grupo para algún espacio base B ; en otras palabras, un grupo abeliano junto con un homomorfismo . ${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi _{1}B]}$ ${\displaystyle \pi _{1}B\to \operatorname {Aut} (A)}$

2. El sistema de coeficientes locales sobre un espacio base B con un grupo abeliano A es un fibrado sobre B con fibra discreta A. Si B admite un recubrimiento universal , entonces este significado coincide con el de 1. en el sentido: todo sistema de coeficientes locales sobre B puede darse como el fibrado asociado . ${\displaystyle {\widetilde {B}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {B}}\times _{\pi _{1}B}A}$

invariante local

Teorema del ciclo invariante local .

esfera local

La localización de una esfera en algún número primo

sistema local

sistema local .

localización

haz localmente constante

Un haz localmente constante en un espacio X es un haz tal que cada punto de X tiene un vecindario abierto en el que el haz es constante .

espacio de bucle

El espacio de bucles de un espacio base X es el espacio de todos los bucles que comienzan y terminan en el punto base de X. ${\displaystyle \Omega X}$

METRO

Teorema de Madsen-Weiss

cartografía

1.  

El cono de mapeo de una función ƒ: X → Y se obtiene pegando el cono sobre X a Y.

El cono de mapeo (o cofibra) de un mapa ƒ: X → Y es . ${\displaystyle C_{f}=Y\cup _{f}CX}$

2. El cilindro de mapeo de una función ƒ: X → Y es . Nota: . ${\displaystyle M_{f}=Y\cup _{f}(X\times I)}$ ${\displaystyle C_{f}=M_{f}/(X\times \{0\})}$

3. Las versiones reducidas de lo anterior se obtienen utilizando cono reducido y cilindro reducido.

4. El espacio de trayectorias de mapeo P _p de una función p : E → B es el pullback de a lo largo de p . Si p es fibración, entonces la función natural E → P _p es una equivalencia de homotopía de fibra ; por lo tanto, se puede reemplazar E por el espacio de trayectorias de mapeo sin cambiar el tipo de homotopía de la fibra. Un espacio de trayectorias de mapeo también se denomina cocilindro de mapeo . ${\displaystyle B^{I}\to B}$

5. Como conjunto, el espacio de aplicación de un espacio X a un espacio Y es el conjunto de todas las aplicaciones continuas de X a Y. Se topologizando de tal manera que el espacio de aplicación es un espacio; es decir, un objeto en la categoría de espacios utilizados en topología algebraica; por ejemplo, la categoría de espacios débiles de Hausdorff generados de manera compacta . Esta topología puede o no ser una topología compacta-abierta.

Secuencia de Mayer-Vietoris

micropaquete

micropaquete

categoría de modelo

Una presentación de una ∞-categoría . ^[4] Véase también categoría modelo .

Moore

1. Espacio de Moore

2.   Espacio de trayectoria de Moore .

multiplicativo

Una teoría de cohomología generalizada E es multiplicativa si E ^* ( X ) es un anillo graduado . Por ejemplo, la teoría de cohomología ordinaria y la teoría K compleja son multiplicativas (de hecho, las teorías de cohomología definidas por anillos E ∞ son multiplicativas).

norte

célula n

Otro término para un n -disco.

n -conectado

Un espacio de base X es n -conexo si para todos los enteros q ≤ n . Por ejemplo, "1-conexo" es lo mismo que " simplemente conexo ". ${\displaystyle \pi _{q}X=0}$

n -equivalente

Par NDR

Se dice que un par de espacios es un par NDR (=par de retracción de deformación de vecindad) si existe una función y una homotopía tales que , , y . Si A es un subespacio cerrado de X , entonces el par es un par NDR si y solo si es una cofibración . ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle u:X\to I}$ ${\displaystyle h_{t}:X\to X}$ ${\displaystyle A=u^{-1}(0)}$ ${\displaystyle h_{0}=\operatorname {id} _{X}}$ ${\displaystyle h_{t}|_{A}=\operatorname {id} _{A}}$ ${\displaystyle h_{1}(\{x|u(x)<1\})\subset A}$
${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle A\hookrightarrow X}$

nilpotente

1.   espacio nilpotente ; por ejemplo, un espacio simplemente conexo es nilpotente.

2. El teorema nilpotente.

nobeliano

1.   cohomología no abeliana

2.   Topología algebraica no abeliana

normalizado

Dado un grupo simplicial G , el complejo de cadena normalizado NG de G está dado por con el n -ésimo diferencial dado por ; intuitivamente, se descartan las cadenas degeneradas. ^[5] También se le llama complejo de Moore . ${\displaystyle (NG)_{n}=\cap _{1}^{\infty }\operatorname {ker} d_{i}^{n}}$ ${\displaystyle d_{0}^{n}}$

Oh

ciclo de obstrucción

teoría de la obstrucción

La teoría de la obstrucción es el conjunto de construcciones y cálculos que indican cuándo una función de una subvariedad (subcomplejo) puede o no extenderse a la variedad completa. Por lo general, estas teorías implican la torre de Postnikov , grupos de homotopía de eliminación, cociclos de obstrucción, etc.

de tipo finito

Un complejo CW es de tipo finito si solo hay un número finito de celdas en cada dimensión.

operado

El acrónimo de “operaciones” y “mónada”. Véase operad .

Orbibundle

orbifado.

categoría de órbita

orientación

1. La cubierta de orientación (o doble cubierta de orientación) de una variedad es una cubierta de dos láminas, de modo que cada fibra sobre x corresponde a dos formas diferentes de orientar un vecindario de x .

2. Una orientación de una variedad es una sección de una cubierta de orientación; es decir, una elección consistente de un punto en cada fibra.

3. Un carácter de orientación (también llamado primera clase de Stiefel–Whitney ) es un homomorfismo de grupo que corresponde a un recubrimiento de orientación de una variedad X (cf. #covering). ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})\to \{\pm 1\}}$

4. Véase también orientación de un fibrado vectorial así como orientación del haz .

PAG

par

1. Un par de espacios es un espacio X junto con un subespacio . ${\displaystyle (X,A)}$ ${\displaystyle A\subset X}$

2. Un mapa de pares es un mapa tal que . ${\displaystyle (X,A)\to (Y,B)}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle f(A)\subset B}$

teoría de homotopía p -ádica

La teoría de la homotopía p-ádica.

paralelizable

clase de ruta

Una clase de equivalencia de caminos (dos caminos son equivalentes si son homotópicos entre sí).

elevación de ruta

Una función de elevación de trayectoria para una función p : E → B es una sección de donde es el espacio de trayectorias de aplicación de p . Por ejemplo, una cobertura es una fibración con una función de elevación de trayectoria única. Por consideración formal, una función es una fibración si y solo si existe una función de elevación de trayectoria para ella. ${\displaystyle E^{I}\to P_{p}}$ ${\displaystyle P_{p}}$

espacio de ruta

El espacio de caminos de un espacio base X es , el espacio de aplicaciones base, donde el punto base de I es 0. Dicho de otro modo, es la fibra (teórica de conjuntos) de sobre el punto base de X . La proyección se denomina fibración del espacio de caminos , cuya fibra sobre el punto base de X es el espacio de bucles . Véase también espacio de caminos de mapeo . ${\displaystyle PX=\operatorname {Map} (I,X)}$ ${\displaystyle X^{I}\to X,\,\chi \mapsto \chi (0)}$ ${\displaystyle PX\to X,\,\chi \mapsto \chi (1)}$ ${\displaystyle \Omega X}$

perverso

Una gavilla perversa .

mapa fantasma

mapa fantasma

espacio algebraico por partes

espacio algebraico por partes , noción introducida por Kontsevich y Soibelman.

ES

1. PL: abreviatura de lineal por partes.

2. Una variedad PL es una variedad topológica con un atlas PL máximo, donde un atlas PL es un atlas en el que los mapas de transición son PL.

3. Un espacio PL es un espacio con una triangulación simplicial localmente finita.

Poincaré

1.   Henri Poincaré .

2. El teorema de dualidad de Poincaré dice: dada una variedad M de dimensión n y un grupo abeliano A , existe un isomorfismo natural

${\displaystyle \operatorname {H} _{c}^{*}(M;A)\simeq \operatorname {H} _{n-*}(M;A)}$.

3.   Conjetura de Poincaré

4.   El lema de Poincaré establece que la cohomología de Rham superior de una variedad suave contráctil se desvanece.

5.   Esfera de homología de Poincaré .

Construcción de Pontrjagin-Thom

Sistema Postnikov

Un sistema de Postnikov es una secuencia de fibraciones, tal que todas las variedades precedentes tienen grupos de homotopía que se desvanecen por debajo de una dimensión dada.

fibración principal

Generalmente sinónimo de G -fibración .

descomposición prima

lucrativo

teoría de homotopía profinita; estudia los espacios profinitos .

propiamente discontinuo

No es un término particularmente preciso, pero podría significar, por ejemplo, que G es discreto y que cada punto del G -espacio tiene una vecindad V tal que, para cada g en G que no sea el elemento identidad, gV interseca a V en un número finito de puntos.

pseudovariedad

pseudovariedad

obstáculo

Dado un mapa p : E → B , el retroceso de p a lo largo de ƒ : X → B es el espacio (en pocas palabras, es el ecualizador de p y f ). Es un espacio sobre X a través de una proyección. ${\displaystyle f^{*}E=\{(e,x)\in E\times X|p(e)=f(x)\}}$

Secuencia de marionetas

La secuencia de Puppe se refiere a cualquiera de las secuencias

${\displaystyle X{\overset {f}{\to }}Y\to C_{f}\to \Sigma X\to \Sigma Y\to \cdots ,}$

${\displaystyle \cdots \to \Omega X\to \Omega Y\to F_{f}\to X{\overset {f}{\to }}Y}$

¿Dónde están la cofibra de homotopía y la fibra de homotopía de f ? ${\displaystyle C_{f},F_{f}}$

Expulsión

Dado un mapa , el empuje de X y B a lo largo de f es ${\displaystyle A\subset B}$ ${\displaystyle f:A\to X}$

${\displaystyle X\cup _{f}B=X\sqcup B/(a\sim f(a))}$;

es decir, X y B están pegados a lo largo de A hasta f . El mapa f suele denominarse mapa de unión.

Un ejemplo importante es cuando B = D ⁿ , A = S ^{n -1} ; en ese caso, la formación de dicho empuje se denomina unir una celda n (es decir, un disco n ) a X .

Q

cuasi-fibración

Una cuasi-fibración es un mapa tal que las fibras son homotópicamente equivalentes entre sí.

Quillen

1.   Daniel Quillen

2. El teorema de Quillen dice que es el anillo de Lazard . ${\displaystyle \pi _{*}MU}$

R

racional

1. La teoría de la homotopía racional .

2. La racionalización de un espacio X es, aproximadamente, la localización de X en cero. Más precisamente, X ₀ junto con j : X → X ₀ es una racionalización de X si la función inducida por j es un isomorfismo de los espacios vectoriales y . ${\displaystyle \pi _{*}X\otimes \mathbb {Q} \to \pi _{*}X_{0}\otimes \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \pi _{*}X_{0}\otimes \mathbb {Q} \simeq \pi _{*}X_{0}}$

3. El tipo de homotopía racional de X es el tipo de homotopía débil de X ₀ .

regulador

1. Regulador de borel.

2.   Regulador Beilinson .

Maestro de redención

Torsión de Reidemeister .

reducido

La suspensión reducida de un espacio de base X es el producto de aplastamiento . Está relacionada con el funtor de bucle por donde es el espacio de bucle. ${\displaystyle \Sigma X=X\wedge S^{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {Map} (\Sigma X,Y)=\operatorname {Map} (X,\Omega Y)}$ ${\displaystyle \Omega Y=\operatorname {Map} (S^{1},Y)}$

retraer

1. Un retracto de una función f es una función r tal que es la identidad (en otras palabras, f es una sección de r ). ${\displaystyle r\circ f}$

2. Un subespacio se denomina retracción si el mapa de inclusión admite una retracción (ver #retracción de deformación). ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle A\hookrightarrow X}$

espectro de anillo

Un espectro en anillo es un espectro que satisface los axiomas del anillo, ya sea en su totalidad o hasta la homotopía. Por ejemplo, una teoría K compleja es un espectro en anillo.

Rojlín

Invariante de Rokhlin .

S

Producto Samelson

Serre

1.   Jean-Pierre Serre .

2. Clase Serre.

3.   Secuencia espectral de Serre .

simple

equivalencia de homotopía simple

Una función ƒ: X → Y entre complejos simpliciales finitos (por ejemplo, variedades) es una equivalencia de homotopía simple si es homotópica con una composición de un número finito de expansiones y colapsos elementales . Una equivalencia de homotopía es una equivalencia de homotopía simple si y solo si su torsión de Whitehead se anula.

aproximación simple

Véase teorema de aproximación simple .

complejo simplicial

Véase complejo simplicial ; el ejemplo básico es una triangulación de una variedad.

homología simplicial

Una homología simplicial es la homología (canónica) de un complejo simplicial. Nótese que se aplica a complejos simpliciales y no a espacios; cf. #homología singular.

firma invariante

singular

1. Dado un espacio X y un grupo abeliano π, el grupo de homología singular de X con coeficientes en π es

${\displaystyle \operatorname {H} _{*}(X;\pi )=\operatorname {H} _{*}(C_{*}(X)\otimes \pi )}$

donde es el complejo de cadena singular de X ; es decir, la pieza de grado n es el grupo abeliano libre generado por todas las funciones del n -símplex estándar a X . Una homología singular es un caso especial de una homología simplicial ; de hecho, para cada espacio X , existe el complejo simplicial singular de X ^[6] cuya homología es la homología singular de X . ${\displaystyle C_{*}(X)}$ ${\displaystyle \triangle ^{n}\to X}$

2. El funtor simplices singular es el funtor de la categoría de todos los espacios a la categoría de los conjuntos simpliciales, es decir el adjunto derecho al funtor de realización geométrica . ${\displaystyle \mathbf {Top} \to s\mathbf {Set} }$

3. El complejo simplicial singular de un espacio X es el complejo de cadena normalizado del símplex singular de X.

producto inclinado

argumento de objeto pequeño

Producto deslumbrante

El producto de ruptura de los espacios base X , Y es . Se caracteriza por la relación adjunta ${\displaystyle X\wedge Y=X\times Y/X\vee Y}$

${\displaystyle \operatorname {Map} (X\wedge Y,Z)=\operatorname {Map} (X,\operatorname {Map} (Y,Z))}$.

Cabeza blanca de Spanier

La dualidad Spanier-Whitehead .

espectro

Aproximadamente una secuencia de espacios junto con los mapas (llamados mapas de estructura) entre los términos consecutivos; ver espectro (topología) .

haz de esferas

Un haz de esferas es un haz de fibras cuyas fibras son esferas.

espectro de esfera

El espectro de esferas es un espectro que consiste en una secuencia de esferas junto con las funciones entre las esferas dadas por suspensiones. En resumen, es el espectro de suspensión de . ${\displaystyle S^{0},S^{1},S^{2},S^{3},\dots }$ ${\displaystyle S^{0}}$

grupo de homotopía estable

Ver grupo #homotopy.

Homología de Steenrod

Homología de Steenrod .

Operación de Steenrod

Sullivan

1.   Dennis Sullivan .

2. La conjetura de Sullivan .

3.   Sullivan, Dennis (1977), "Cálculos infinitesimales en topología", Publications Mathématiques de l'IHÉS , 47 : 269–331, doi :10.1007/BF02684341, S2CID  42019745- introduce la teoría de la homotopía racional (junto con el artículo de Quillen).

4. El álgebra de Sullivan en la teoría de la homotopía racional.

espectro de suspensión

El espectro de suspensión de un espacio base X es el espectro dado por . ${\displaystyle X_{n}=\Sigma ^{n}X}$

estratificado

1. Un espacio estratificado es un espacio topológico con una estratificación.

2. Una teoría de Morse estratificada es una teoría de Morse realizada en un espacio estratificado.

espectro simétrico

Ver espectro simétrico .

topología simpléctica

topología simpléctica .

yo

Tate

Esfera Tate

telescopio

tomo

1.   René Thom .

2. Si E es un fibrado vectorial en un espacio paracompacto X , entonces el espacio de Thom de E se obtiene reemplazando primero cada fibra por su compactificación y luego colapsando la base X . ${\displaystyle {\text{Th}}(E)}$

3. El isomorfismo de Thom dice: para cada fibrado vectorial orientable E de rango n en una variedad X , una elección de una orientación (la clase de Thom de E ) induce un isomorfismo

${\displaystyle {\widetilde {\operatorname {H} }}^{*+n}({\text{Th}}(E);\mathbb {Z} )\simeq \operatorname {H} ^{*}(X;\mathbb {Z} )}$.

4.   Primer y segundo lemas de isotopía de Thom . ^[7]

5. Un mapeo de Thom originalmente llamado mapeo "sin éclatement"

homología quiral topológica

transferir

transgresión

triangulación

triangulación .

tú

coeficiente universal

El teorema del coeficiente universal .

hasta la homotopía

Una afirmación es válida en la categoría de homotopía en oposición a la categoría de espacios.

V

Colector en V

Un término antiguo para un orbifold .

de Kampen

El teorema de van Kampen dice: si un espacio X está conexo por trayectorias y si x ₀ es un punto en X , entonces

${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})=\varinjlim \pi _{1}(U,x_{0})}$

donde el colimite se extiende sobre una cubierta abierta de X que consiste en subconjuntos abiertos conexos por trayectorias que contienen x ₀ de manera que la cubierta está cerrada bajo intersecciones finitas.

Más verde

Dualidad de Verdier .

Yo

Construcción en S de Waldhausen

Construcción S de Waldhausen .

Obstáculo de finitud de Wall

equivalencia débil

Una función ƒ: X → Y de espacios base es una equivalencia débil si para cada q , la función inducida es biyectiva. ${\displaystyle f_{*}:\pi _{q}X\to \pi _{q}Y}$

cuña

Para los espacios base X , Y , el producto de cuña de X e Y es el coproducto de X e Y ; concretamente, se obtiene tomando su unión disjunta y luego identificando los respectivos puntos base. ${\displaystyle X\wedge Y}$

bien puntiagudo

Un espacio basado está bien apuntado (o no degeneradamente basado) si la inclusión del punto base es una cofibración.

Cabeza blanca

1.   JHC Cabeza Blanca .

2.   El teorema de Whitehead dice que para los complejos CW , la equivalencia de homotopía es lo mismo que la equivalencia débil .

3.   Grupo Whitehead .

4.   Producto para puntos blancos .

número de bobinado

1.   número de bobinado .

Notas

1. Sean r y s la restricción y la sección. Para cada f en , defina . Luego . ${\displaystyle \operatorname {Top} (D^{n+1})}$ ${\displaystyle h_{t}(f)(x)=tf(x/t),|x|\leq t,h_{t}(f)(x)=|x|f(x/|x|),|x|>t}$ ${\displaystyle h_{t}:s\circ r\sim \operatorname {id} }$
2. A pesar del nombre, puede que no sea una variedad algebraica en sentido estricto; por ejemplo, puede que no sea irreducible. Además, sin algún supuesto de finitud en G , es solo un esquema.
3. Hatcher, Cap. 4. H.
4. Cómo pensar en las categorías de modelos?
5. "Complejo Moore en nLab".
6. "Complejo simplicial singular en nLab".
7. "Topología diferencial - Primer lema de isotopía de Thom".

Referencias

• Adams, JF (1974). Homotopía estable y homología generalizada. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-00524-9.
• Adams, JF (1978). Espacios de bucles infinitos. Princeton University Press. ISBN 0-691-08206-5.
• Borel, Armand (21 de mayo de 2009). Cohomología de intersección. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-4765-0.
• Bott, Raoul ; Tu, Loring (1982), Formas diferenciales en topología algebraica , Springer, ISBN 0-387-90613-4
• Bousfield, AK; Kan, DM (1987), Límites de homotopía, compleciones y localizaciones , Lecture Notes in Mathematics, vol. 304, Springer, ISBN 9783540061052
• Davis, James F.; Kirk, Paul. "Apuntes de clase sobre topología algebraica" (PDF) .
• Fulton, William (2013). Topología algebraica: un primer curso. Springer. ISBN 978-1-4612-4180-5.
• Hatcher, Allen. "Topología algebraica".
• Hess, Kathryn (2007). "Teoría de la homotopía racional: una breve introducción". Interacciones entre la teoría de la homotopía y el álgebra . Matemáticas contemporáneas. Vol. 436. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. págs. 175–202. arXiv : math/0604626 . doi :10.1090/conm/436/08409. ISBN . 978-0-8218-3814-3.Sr. 2355774  .
• "Topología algebraica" (PDF) . Otoño de 2010.Conferencias dictadas por Michael Hopkins y notas de Akhil Mathew, Harvard.
• Lurie, J. (2015). "Teoría K algebraica y topología de variedades". Math 281 . Universidad de Harvard.
• Lurie, J. (2011). "Teoría de la homotopía cromática". 252x . Universidad de Harvard.
• May, J. "Un curso conciso en topología algebraica" (PDF) .
• Mayo, J.; Ponto, K. "Topología algebraica más concisa: localización, completitud y categorías de modelos" (PDF) .
• Mayo; Sigurdsson. "Teoría de la homotopía parametrizada" (PDF) .(A pesar del título, contiene una cantidad significativa de resultados generales).
• Rudyak, Yuli B. (23 de diciembre de 2014). "Estructuras lineales por partes en variedades topológicas". arXiv : math/0105047 .
• Sullivan, Dennis . "Topología geométrica" ​​(PDF) .Las notas del MIT de 1970
• Whitehead, George William (1978). Elementos de la teoría de la homotopía. Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 61 (3.ª ed.). Springer-Verlag. pp. xxi+744. ISBN. 978-0-387-90336-1.Sr. 0516508  .
• Wickelgren, Kirsten Graham . "8803 Teoría de la homotopía estable".

Lectura adicional

• José I. Burgos Gil, Los reguladores de Beilinson y Borel
• Lecciones sobre grupos de esferas de homotopía por JP Levine
• BI Dundas, M. Levine, PA Østvær, O. Röndigs y V. Voevodsky. Motivic homotopy theory. Universitext. Springer-Verlag, Berlín, 2007. Conferencias de la Escuela de Verano celebrada en Nordfjordeid, agosto de 2002. [1]

Enlaces externos

• Topología algebraica: una guía para la literatura Archivado el 17 de diciembre de 2017 en Wayback Machine