Producto Whitehead

En matemáticas, el producto de Whitehead es una estructura graduada de álgebra de Lie cuasi-álgebra sobre los grupos de homotopía de un espacio. Fue definido por JHC Whitehead en (Whitehead 1941).

El código MSC relevante es: 55Q15, Productos y generalizaciones de Whitehead.

Definición

Dados los elementos , el corchete de Whitehead ${\displaystyle f\in \pi _{k}(X),g\in \pi _{l}(X)}$

${\displaystyle [f,g]\in \pi _{k+l-1}(X)}$

Se define de la siguiente manera:

El producto se puede obtener adjuntando una celda a la suma de cuña ${\displaystyle S^{k}\times S^{l}}$ ${\displaystyle (k+l)}$

${\displaystyle S^{k}\vee S^{l}}$;

El mapa adjunto es un mapa

${\displaystyle S^{k+l-1}{\stackrel {\phi }{\ \longrightarrow \ }}S^{k}\vee S^{l}.}$

Representar y por mapas ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle f\colon S^{k}\to X}$

y

${\displaystyle g\colon S^{l}\to X,}$

Luego componen su cuña con el mapa adjunto, como

${\displaystyle S^{k+l-1}{\stackrel {\phi }{\ \longrightarrow \ }}S^{k}\vee S^{l}{\stackrel {f\vee g}{\ \longrightarrow \ }}X.}$

La clase de homotopía del mapa resultante no depende de las elecciones de los representantes, y por lo tanto se obtiene un elemento bien definido de

${\displaystyle \pi _{k+l-1}(X).}$

Calificación

Obsérvese que hay un desplazamiento de 1 en la gradación (en comparación con la indexación de los grupos de homotopía ), por lo que tiene grado ; equivalentemente, (estableciendo L como el álgebra de Lie cuasi graduada). Por lo tanto, actúa sobre cada componente graduado. ${\displaystyle \pi _{k}(X)}$ ${\displaystyle (k-1)}$ ${\displaystyle L_{k}=\pi _{k+1}(X)}$ ${\displaystyle L_{0}=\pi _{1}(X)}$

Propiedades

El producto Whitehead satisface las siguientes propiedades:

• Bilinealidad. ${\displaystyle [f,g+h]=[f,g]+[f,h],[f+g,h]=[f,h]+[g,h]}$
• Simetría graduada. ${\displaystyle [f,g]=(-1)^{pq}[g,f],f\in \pi _{p}X,g\in \pi _{q}X,p,q\geq 2}$
• Identidad de Jacobi graduada . ${\displaystyle (-1)^{pr}[[f,g],h]+(-1)^{pq}[[g,h],f]+(-1)^{rq}[[h,f],g]=0,f\in \pi _{p}X,g\in \pi _{q}X,h\in \pi _{r}X{\text{ with }}p,q,r\geq 2}$

A veces, los grupos de homotopía de un espacio, junto con la operación del producto de Whitehead, se denominan álgebra cuasi-Lie graduada ; esto se demuestra en Uehara y Massey (1957) a través del producto triple de Massey .

Relación con la acción de π 1 {\displaystyle \pi _{1}}

Si , entonces el corchete de Whitehead está relacionado con la acción usual de on por ${\displaystyle f\in \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \pi _{1}}$ ${\displaystyle \pi _{k}}$

${\displaystyle [f,g]=g^{f}-g,}$

donde denota la conjugación de por . ${\displaystyle g^{f}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$

Para , esto se reduce a ${\displaystyle k=1}$

${\displaystyle [f,g]=fgf^{-1}g^{-1},}$

que es el conmutador habitual en . Esto también se puede ver al observar que la celda del toro está unida a lo largo del conmutador en el esqueleto . ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle S^{1}\vee S^{1}}$

Productos de Whitehead en espacios H

Para un H-espacio conectado por caminos , todos los productos de Whitehead en se anulan. Por la subsección anterior, esto es una generalización tanto de los hechos de que los grupos fundamentales de H-espacios son abelianos, como de que los H-espacios son simples . ${\displaystyle \pi _{*}(X)}$

Suspensión

Todos los productos de Whitehead de las clases , se encuentran en el núcleo del homomorfismo de suspensión. ${\displaystyle \alpha \in \pi _{i}(X)}$ ${\displaystyle \beta \in \pi _{j}(X)}$ ${\displaystyle \Sigma \colon \pi _{i+j-1}(X)\to \pi _{i+j}(\Sigma X)}$

Ejemplos

• ${\displaystyle [\mathrm {id} _{S^{2}},\mathrm {id} _{S^{2}}]=2\cdot \eta \in \pi _{3}(S^{2})}$, ¿dónde está el mapa de Hopf ? ${\displaystyle \eta \colon S^{3}\to S^{2}}$

Esto se puede demostrar observando que el invariante de Hopf define un isomorfismo y calculando explícitamente el anillo de cohomología de la cofibra de una función que representa . Utilizando la construcción de Pontryagin–Thom hay un argumento geométrico directo, utilizando el hecho de que la preimagen de un punto regular es una copia del enlace de Hopf . ${\displaystyle \pi _{3}(S^{2})\cong \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle [\mathrm {id} _{S^{2}},\mathrm {id} _{S^{2}}]}$

Véase también

• Producto Whitehead generalizado
• Producto Massey
• Soporte de toda

Referencias

• Whitehead, JHC (abril de 1941), "Sobre la adición de relaciones a grupos de homotopía", Annals of Mathematics , 2, 42 (2): 409–428, doi :10.2307/1968907, JSTOR  1968907
• Uehara, Hiroshi; Massey, William S. (1957), "La identidad de Jacobi para productos de Whitehead", Geometría algebraica y topología. Un simposio en honor de S. Lefschetz , Princeton, NJ: Princeton University Press , pp. 361–377, MR  0091473
• Whitehead, George W. (julio de 1946), "Sobre productos en grupos de homotopía", Annals of Mathematics , 2, 47 (3): 460–475, doi :10.2307/1969085, JSTOR  1969085
• Whitehead, George W. (1978). "X.7 El producto de Whitehead". Elementos de la teoría de la homotopía . Springer-Verlag . pp. 472–487. ISBN 978-0387903361.