Categoría de espacios de Hausdorff débiles generados de forma compacta

En matemáticas, la categoría de espacios de Hausdorff débiles generados de forma compacta , CGWH, es una categoría utilizada en topología algebraica como una alternativa a la categoría de espacios topológicos , Top , ya que esta última carece de algunas propiedades que son comunes en la práctica y a menudo convenientes para usar en demostraciones. También existe una categoría de este tipo para el análogo CGWH de los espacios topológicos puntiagudos , definido al requerir que las aplicaciones preserven los puntos base. ^[1]

Los artículos espacio generado de forma compacta y espacio débil de Hausdorff definen las propiedades topológicas respectivas. Para conocer la motivación histórica detrás de estas condiciones en los espacios, consulte Espacio generado de forma compacta#Motivación . Este artículo se centra en las propiedades de la categoría.

Propiedades

CGWH tiene las siguientes propiedades:

• Es completo ^[2] y co-completo. ^[3]
• El funtor olvidadizo de los conjuntos conserva límites pequeños. ^[2]
• Contiene todos los espacios de Hausdorff localmente compactos ^[4] y todos los complejos CW . ^[5]
• Existe un homeomorfismo interno para cualquier par de espacios X e Y ; ^{[6] [7]} se denota por o y se llama espacio de aplicación (libre) de X a Y. Además, existe un homeomorfismo ${\displaystyle \operatorname {Map} (X,Y)}$ ${\displaystyle Y^{X}}$

  ${\displaystyle \operatorname {Map} (X\times Y,Z)\simeq \operatorname {Map} (X,\operatorname {Map} (Y,Z))}$

esto es natural en X , Y y Z. ^[8] En resumen , la categoría es cartesianamente cerrada en un sentido enriquecido .

• Un producto finito de complejos CW es un complejo CW. ^[9]
• Si y son espacios puntiagudos, entonces existe el producto de aplastamiento de ellos. ^{[10] El} espacio de aplicación (basado) de a consiste en todas las aplicaciones que preservan el punto base de a y es un subespacio cerrado del espacio de aplicación entre los espacios subyacentes sin puntos base. ^[11] Es un espacio basado con el punto base como la única aplicación constante. Además, para los espacios basados ​​, , y , existe un homeomorfismo ${\displaystyle (X,*)}$ ${\displaystyle (Y,\circ )}$ ${\displaystyle \operatorname {Map} ((X,*),(Y,\circ ))}$ ${\displaystyle (X,*)}$ ${\displaystyle (Y,\circ )}$ ${\displaystyle (X,*)}$ ${\displaystyle (Y,\circ )}$ ${\displaystyle (X,*)}$ ${\displaystyle (Y,\circ )}$ ${\displaystyle (Z,\star )}$

  ${\displaystyle \operatorname {Map} ((X,*)\wedge (Y,\circ ),(Z,\star ))\simeq \operatorname {Map} ((X,*),\operatorname {Map} ((Y,\circ ),(Z,\star )))}$

Esto es natural en , , y . ^[12] ${\displaystyle (X,*)}$ ${\displaystyle (Y,\circ )}$ ${\displaystyle (Z,\star )}$

Notas

1. Strickland 2009, Definición 4.1.
2. Strickland 2009, Proposición 2.30.
3. Strickland 2009, Corolario 2.23.
4. Strickland 2009, Proposición 1.7.
5. Frankland 2013, Proposición 3.2.
6. Strickland 2009, Proposición 2.24.
7. Frankland 2013, Proposición 2.10.
8. Strickland 2009, Proposición 2.12.
9. Frankland 2013, Proposición 4.2.
10. Strickland 2009, § 5.
11. Strickland 2009, Observación 5.6.
12. Strickland 2009, Proposición 5.7.

Referencias

• Frankland, Martin (4 de febrero de 2013). "Matemática 527 - Teoría de homotopía - Espacios generados de forma compacta" (PDF) .
• Steenrod, NE (1 de mayo de 1967). "Una categoría conveniente de espacios topológicos". Michigan Mathematical Journal . 14 (2): 133–152. doi : 10.1307/mmj/1028999711 .
• Strickland, Neil (2009). "La categoría de espacios CGWH" (PDF) .
• "Apéndice". Estructuras celulares en topología . 1990. págs. 241–305. doi :10.1017/CBO9780511983948.007. ISBN 9780521327848.

Lectura adicional

• Categoría CGWH, Dongryul Kim 2017