Espacio nilpotente

En topología , una rama de las matemáticas , un espacio nilpotente , definido por primera vez por Emmanuel Dror (1969), ^[1] es un espacio topológico de base X tal que

• el grupo fundamental es un grupo nilpotente ; ${\displaystyle \pi =\pi _{1}(X)}$
• ${\displaystyle \pi }$actúa nilpotentemente ^[2] sobre los grupos de homotopía superiores , es decir, existe una serie central tal que la acción inducida de sobre el grupo cociente es trivial para todos los . ${\displaystyle \pi _{i}(X),i\geq 2}$ ${\displaystyle \pi _{i}(X)=G_{1}^{i}\triangleright G_{2}^{i}\triangleright \dots \triangleright G_{n_{i}}^{i}=1}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle G_{k}^{i}/G_{k+1}^{i}}$ ${\displaystyle k}$

Los espacios simplemente conexos y los espacios simples son ejemplos (triviales) de espacios nilpotentes; otros ejemplos son los espacios de bucles conexos . La fibra de homotopía de cualquier función entre espacios nilpotentes es una unión disjunta de espacios nilpotentes. Además, el componente nulo del espacio de función apuntado , donde K es un complejo CW apuntado de dimensión finita y X es cualquier espacio apuntado, es un espacio nilpotente. Los espacios proyectivos reales de dimensión impar son espacios nilpotentes, mientras que el plano proyectivo no lo es. ${\displaystyle \operatorname {Map} _{*}(K,X)}$

Un teorema básico sobre espacios nilpotentes ^[2] establece que cualquier función que induzca un isomorfismo de homología integral entre dos espacios nilpotentes es una equivalencia de homotopía débil. Para espacios simplemente conexos, este teorema recupera un corolario bien conocido de los teoremas de Whitehead y Hurewicz .

Los espacios nilpotentes son de gran interés en la teoría de homotopía racional , porque la mayoría de las construcciones aplicables a espacios simplemente conexos se pueden extender a espacios nilpotentes. La completitud nilpotente de Bousfield-Kan de un espacio asocia con cualquier espacio puntiagudo conexo X un espacio universal a través del cual cualquier función de X en un espacio nilpotente N se factoriza de forma única hasta un espacio contráctil de elecciones. A menudo, sin embargo, en sí misma no es nilpotente sino solo un límite inverso de una torre de espacios nilpotentes. Esta torre, como proespacio, siempre modela el tipo de homología del espacio puntiagudo dado X. Los espacios nilpotentes admiten una buena teoría de localización aritmética en el sentido de Bousfield y Kan citados anteriormente, y la secuencia espectral inestable de Adams converge fuertemente para cualquier espacio de ese tipo. ${\displaystyle {\widehat {X}}}$ ${\displaystyle {\widehat {X}}}$

Sea X un espacio nilpotente y sea h una teoría de homología generalizada reducida, como la teoría K. Si h ( X )=0, entonces h se anula en cualquier sección de Postnikov de X. Esto se desprende de un teorema que establece que cualquier sección de este tipo es X -celular.

Referencias

1. Bousfield, Aldridge K. ; Kan, Daniel M. (1987). Límites de homotopía, compleciones y localizaciones. Apuntes de clase de matemáticas. Vol. 304. Springer . p. 59. doi :10.1007/978-3-540-38117-4. ISBN 9783540061052.Sr. 0365573  .
2. Dror, Emmanuel (1971). "Una generalización del teorema de Whitehead". Simposio sobre topología algebraica (Battelle Seattle Res. Center, Seattle, Washington, 1971) . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 249. Springer . págs. 13–22. doi :10.1007/BFb0060891. ISBN. 978-3-540-37082-6.Sr. 0350725  .