Glosario de teoría de categorías

Glosario de matemáticas

Este es un glosario de propiedades y conceptos de la teoría de categorías en matemáticas . (ver también Esquema de la teoría de categorías ).

• Notas sobre los fundamentos : En muchas exposiciones (por ejemplo, Vistoli), se ignoran las cuestiones de teoría de conjuntos; esto significa, por ejemplo, que no se distingue entre categorías pequeñas y grandes y que se puede formar arbitrariamente una localización de una categoría. ^[1] Al igual que esas exposiciones, este glosario también ignora generalmente las cuestiones de teoría de conjuntos, excepto cuando son relevantes (por ejemplo, la discusión sobre la accesibilidad).

En el caso de categorías superiores, los conceptos de la topología algebraica también se utilizan en la teoría de categorías. Para ello, véase también el glosario de topología algebraica .

Las notaciones y convenciones utilizadas a lo largo del artículo son:

• [ n ] = {0, 1, 2, …, n }, que se considera una categoría (escribiendo .) ${\displaystyle i\to j\Leftrightarrow i\leq j}$
• Gato , la categoría de categorías (pequeñas) , donde los objetos son categorías (que son pequeñas con respecto a algún universo) y los morfismos funtores .
• Fct ( C , D ), la categoría de funtores : la categoría de funtores de una categoría C a una categoría D .
• Conjunto , categoría de conjuntos (pequeños).
• s Conjunto , la categoría de conjuntos simpliciales .
• "débil" en lugar de "estricto" recibe el estado predeterminado; por ejemplo, " n -categoría" significa " n -categoría débil", no estricta, de manera predeterminada.
• Por una ∞-categoría queremos decir una cuasi-categoría , el modelo más popular, a menos que se estén discutiendo otros modelos.
• El número cero 0 es un número natural.

A

abeliano

Una categoría es abeliana si tiene un objeto cero, tiene todos los retrocesos y retrocesos, y todos los monomorfismos y epimorfismos son normales.

accesible

1. Dado un número cardinal κ, un objeto X en una categoría es κ-accesible (o κ-compacto o κ-presentable) si conmuta con colimites filtrados κ. ${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,-)}$

2. Dado un cardinal regular κ, una categoría es κ-accesible si tiene colímites κ-filtrados y existe un pequeño conjunto S de objetos κ-compactos que genera la categoría bajo colímites, lo que significa que cada objeto puede escribirse como un colímite de diagramas de objetos en S.

aditivo

Una categoría es aditiva si es preaditiva (para ser precisos, tiene alguna estructura preaditiva) y admite todos los coproductos finitos . Aunque "preaditiva" es una estructura adicional, se puede demostrar que "aditiva" es una propiedad de una categoría; es decir, se puede preguntar si una categoría dada es aditiva o no. ^[2]

adición

Una adjunción (también llamada par adjunto) es un par de funtores F : C → D , G : D → C tales que existe una biyección "natural".

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{D}(F(X),Y)\simeq \operatorname {Hom} _{C}(X,G(Y))}$;

Se dice que F es adjunto por la izquierda de G y que G es adjunto por la derecha de F. Aquí, "natural" significa que hay un isomorfismo natural de bifunctores (que son contravariantes en la primera variable). ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{D}(F(-),-)\simeq \operatorname {Hom} _{C}(-,G(-))}$

álgebra para una mónada

Dada una mónada T en una categoría X , un álgebra para T o un T -álgebra es un objeto en X con una acción monoide de T ("álgebra" es engañoso y " T -objeto" es quizás un mejor término). Por ejemplo, dado un grupo G que determina una mónada T en un conjunto de la manera estándar, un T -álgebra es un conjunto con una acción de G.

amnésico

Un funtor es amnésico si tiene la propiedad: si k es un isomorfismo y F ( k ) es una identidad, entonces k es una identidad.

B

equilibrado

Una categoría está equilibrada si cada bimorfismo (es decir, tanto mono como epi) es un isomorfismo.

Teorema de Beck

El teorema de Beck caracteriza la categoría de álgebras para una mónada dada .

bicategoría

Una bicategoría es un modelo de una 2-categoría débil .

bifunctor

Un bifuntor de un par de categorías C y D a una categoría E es un funtor C × D → E . Por ejemplo, para cualquier categoría C , es un bifuntor de C ^op y C a Set . ${\displaystyle \operatorname {Hom} (-,-)}$

bimonoidal

Una categoría bimonoidal es una categoría con dos estructuras monoidales, una que se distribuye sobre la otra.

bimorfismo

Un bimorfismo es un morfismo que es a la vez un epimorfismo y un monomorfismo.

Localización de Bousfield

Véase localización de Bousfield .

do

cálculo de funtores

El cálculo de funtores es una técnica de estudio de funtores de manera similar a como se estudia una función a través de su expansión en serie de Taylor ; de ahí el término "cálculo".

cartesiano cerrado

Una categoría es cartesiana cerrada si tiene un objeto terminal y dos objetos cualesquiera tienen un producto y una exponencial.

functor cartesiano

Dadas categorías relativas sobre la misma categoría base C , un funtor sobre C es cartesiano si envía morfismos cartesianos a morfismos cartesianos. ${\displaystyle p:F\to C,q:G\to C}$ ${\displaystyle f:F\to G}$

morfismo cartesiano

1. Dado un funtor π: C → D (por ejemplo, un preapilado sobre esquemas), un morfismo f : x → y en C es π-cartesiano si, para cada objeto z en C , cada morfismo g : z → y en C y cada morfismo v : π( z ) → π( x ) en D tal que π( g ) = π( f ) ∘ v , existe un morfismo único u : z → x tal que π( u ) = v y g = f ∘ u .

2. Dado un funtor π: C → D (por ejemplo, un preapilado sobre anillos), un morfismo f : x → y en C es π-cocartesiano si, para cada objeto z en C , cada morfismo g : x → z en C y cada morfismo v : π( y ) → π( z ) en D tal que π( g ) = v ∘ π( f ), existe un morfismo único u : y → z tal que π( u ) = v y g = u ∘ f . (En resumen, f es el dual de un morfismo π-cartesiano).

Cuadrado cartesiano

Un diagrama conmutativo que es isomorfo al diagrama dado como producto de fibra.

lógica categórica

La lógica categórica es un enfoque de la lógica matemática que utiliza la teoría de categorías.

probabilidad categórica

probabilidad categórica

categorización

La categorización es un proceso de sustitución de conjuntos y conceptos de teoría de conjuntos por categorías y conceptos de teoría de categorías de alguna manera no trivial para capturar matices categóricos. La descategorización es lo inverso de la categorización.

La teoría de categorías se originó... con la necesidad de guiar cálculos complicados que implicaban el paso al límite en el estudio del salto cualitativo de los espacios a los objetos homotópicos/homológicos. ... Pero la teoría de categorías no se contenta con la mera clasificación en el espíritu de la metafísica wolffiana (aunque algunos de sus practicantes pueden hacerlo); más bien, es la mutabilidad de estructuras matemáticamente precisas (por morfismos) lo que constituye el contenido esencial de la teoría de categorías.

Guillermo Lawvere, ^[3]

categoría

Una categoría consta de los siguientes datos

1. Una clase de objetos,
2. Para cada par de objetos X , Y , se forma un conjunto , cuyos elementos se denominan morfismos de X a Y , ${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y)}$
3. Para cada triple de objetos X , Y , Z , se obtiene un mapa (llamado composición)

   ${\displaystyle \circ :\operatorname {Hom} (Y,Z)\times \operatorname {Hom} (X,Y)\to \operatorname {Hom} (X,Z),\,(g,f)\mapsto g\circ f}$,

4. Para cada objeto X , un morfismo identidad ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}\in \operatorname {Hom} (X,X)}$

sujeto a las condiciones: para cualquier morfismos , y , ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle g:Y\to Z}$ ${\displaystyle h:Z\to W}$

• ${\displaystyle (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)}$y . ${\displaystyle \operatorname {id} _{Y}\circ f=f\circ \operatorname {id} _{X}=f}$

Por ejemplo, un conjunto parcialmente ordenado puede verse como una categoría: los objetos son los elementos del conjunto y para cada par de objetos x , y , hay un morfismo único si y sólo si ; la asociatividad de la composición significa transitividad. ${\displaystyle x\to y}$ ${\displaystyle x\leq y}$

categoría de

1. La categoría de categorías (pequeñas) , denotada por Cat , es una categoría donde los objetos son todas las categorías que son pequeñas con respecto a algún universo fijo y los morfismos son todos los funtores .

2.   Categoría de módulos , Categoría de espacios topológicos , Categoría de grupos , Categoría de espacios métricos , etc.

espacio clasificador

El espacio clasificatorio de una categoría C es la realización geométrica del nervio de C.

co-

A menudo se utiliza como sinónimo de op-; por ejemplo, un colimite se refiere a un op-limit en el sentido de que es un límite en la categoría opuesta. Pero puede haber una distinción; por ejemplo, una op-fibración no es lo mismo que una cofibración .

cofin

El co-fin de un funtor es el dual del fin de F y se denota por ${\displaystyle F:C^{\text{op}}\times C\to X}$

${\displaystyle \int ^{c\in C}F(c,c)}$.

Por ejemplo, si R es un anillo, M un módulo R derecho y N un módulo R izquierdo , entonces el producto tensorial de M y N es

${\displaystyle M\otimes _{R}N=\int ^{R}M\otimes _{\mathbb {Z} }N}$

donde R se considera como una categoría con un objeto cuyos morfismos son los elementos de R.

coecualizador

El coecualizador de un par de morfismos es el colimite del par. Es el dual de un ecualizador. ${\displaystyle f,g:A\to B}$

teorema de coherencia

Un teorema de coherencia es un teorema de una forma que establece que una estructura débil es equivalente a una estructura estricta.

coherente

1. Una categoría coherente (por ahora, ver https://ncatlab.org/nlab/show/coherent+category).

2. Un topos coherente .

cohesivo

categoría cohesiva.

coimage

La coimagen de un morfismo f : X → Y es el coecualizador de . ${\displaystyle X\times _{Y}X\rightrightarrows X}$

ópera coloreada

Otro término para multicategoría , una categoría generalizada en la que un morfismo puede tener varios dominios. La noción de "operado coloreado" es más primitiva que la de operado: de hecho, un operado puede definirse como un operado coloreado con un único objeto.

coma

Dados los funtores , la categoría de coma es una categoría donde (1) los objetos son morfismos y (2) un morfismo de a consiste en y tal que es Por ejemplo, si f es el funtor identidad y g es el funtor constante con un valor b , entonces es la categoría de porción de B sobre un objeto b . ${\displaystyle f:C\to B,g:D\to B}$ ${\displaystyle (f\downarrow g)}$ ${\displaystyle f(c)\to g(d)}$ ${\displaystyle \alpha :f(c)\to g(d)}$ ${\displaystyle \beta :f(c')\to g(d')}$ ${\displaystyle c\to c'}$ ${\displaystyle d\to d'}$ ${\displaystyle f(c)\to f(c'){\overset {\beta }{\to }}g(d')}$ ${\displaystyle f(c){\overset {\alpha }{\to }}g(d)\to g(d').}$

comonada

Una comonada en una categoría X es un comonoide en la categoría monoidal de endofunctores de X.

compacto

Probablemente sinónimo de #accesible.

completo

Una categoría está completa si existen todos los pequeños límites.

lo completo

Teorema de completitud de Deligne; ver [1].

composición

1. Una composición de morfismos en una categoría es parte del dato que define la categoría.

2. Si son funtores, entonces la composición o es el funtor definido por: para un objeto x y un morfismo u en C , . ${\displaystyle f:C\to D,\,g:D\to E}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle gf}$ ${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x)),\,(g\circ f)(u)=g(f(u))}$

3. Las transformaciones naturales se componen puntualmente: si son transformaciones naturales, entonces la transformación natural es dada por . ${\displaystyle \varphi :f\to g,\,\psi :g\to h}$ ${\displaystyle \psi \circ \varphi }$ ${\displaystyle (\psi \circ \varphi )_{x}=\psi _{x}\circ \varphi _{x}}$

computacion

computad .

concreto

Una categoría concreta C es una categoría tal que existe un funtor fiel de C a Set ; por ejemplo, Vec , Grp y Top .

cono

Un cono es una forma de expresar la propiedad universal de un colimite (o dualmente un límite). Se puede demostrar ^[4] que el colimite es el adjunto izquierdo del funtor diagonal , que envía un objeto X al funtor constante con valor X ; es decir, para cualquier X y cualquier funtor , ${\displaystyle \varinjlim }$ ${\displaystyle \Delta :C\to \operatorname {Fct} (I,C)}$ ${\displaystyle f:I\to C}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (\varinjlim f,X)\simeq \operatorname {Hom} (f,\Delta _{X}),}$

siempre que exista el colimite en cuestión. El lado derecho es entonces el conjunto de conos con vértice X . ^[5]

conectado

Una categoría está conexa si, para cada par de objetos x , y , existe una secuencia finita de objetos z _i tales que o no está vacío para cualquier i . ${\displaystyle z_{0}=x,z_{n}=y}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (z_{i},z_{i+1})}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (z_{i+1},z_{i})}$

functor conservador

Un funtor conservativo es un funtor que refleja isomorfismos. Muchos funtores olvidadizos son conservativos, pero el funtor olvidadizo de Cima a Conjunto no es conservativo.

constante

Un funtor es constante si asigna cada objeto en una categoría al mismo objeto A y cada morfismo a la identidad en A. Dicho de otra manera, un funtor es constante si se factoriza como: para algún objeto A en D , donde i es la inclusión de la categoría discreta { A }. ${\displaystyle f:C\to D}$ ${\displaystyle C\to \{A\}{\overset {i}{\to }}D}$

funtor contravariante

Un funtor contravariante F de una categoría C a una categoría D es un funtor (covariante) de C ^op a D . A veces también se lo llama prehaz, especialmente cuando D es un conjunto o las variantes. Por ejemplo, para cada conjunto S , sea el conjunto potencia de S y para cada función , defina ${\displaystyle {\mathfrak {P}}(S)}$ ${\displaystyle f:S\to T}$

${\displaystyle {\mathfrak {P}}(f):{\mathfrak {P}}(T)\to {\mathfrak {P}}(S)}$

enviando un subconjunto A de T a la preimagen . Con esto, es un funtor contravariante. ${\displaystyle f^{-1}(A)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {P}}:\mathbf {Set} \to \mathbf {Set} }$

coproducto

El coproducto de una familia de objetos _Xi en una categoría C indexada por un conjunto I es el límite inductivo del funtor , donde I se considera una categoría discreta. Es el dual del producto de la familia. Por ejemplo, un coproducto en Grp es un producto libre . ${\displaystyle \varinjlim }$ ${\displaystyle I\to C,\,i\mapsto X_{i}}$

centro

El núcleo de una categoría es el grupoide máximo contenido en la categoría.

D

Convolución diurna

Dado un grupo o monoide M , la convolución de Day es el producto tensorial en . ^[6] ${\displaystyle \mathbf {Fct} (M,\mathbf {Set} )}$

Dendroidal

Conjunto dendroidal .

teorema de densidad

El teorema de densidad establece que cada prehaz (un funtor contravariante de valor conjunto) es un colímite de prehaces representables. El lema de Yoneda incorpora una categoría C en la categoría de prehaces en C. El teorema de densidad dice entonces que la imagen es "densa", por así decirlo. El nombre "densidad" se debe a la analogía con el teorema de densidad de Jacobson (u otras variantes) en álgebra abstracta.

funtor diagonal

Dadas las categorías I , C , el funtor diagonal es el funtor

${\displaystyle \Delta :C\to \mathbf {Fct} (I,C),\,A\mapsto \Delta _{A}}$

que envía cada objeto A al funtor constante con valor A y cada morfismo a la transformación natural que es f en cada i . ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle \Delta _{f,i}:\Delta _{A}(i)=A\to \Delta _{B}(i)=B}$

diagrama

Dada una categoría C , un diagrama en C es un funtor de una categoría pequeña I. ${\displaystyle f:I\to C}$

categoría graduada diferencial

Una categoría con grado diferencial es una categoría cuyos conjuntos Hom están equipados con estructuras de módulos con grado diferencial . En particular, si la categoría tiene un solo objeto, es lo mismo que un módulo con grado diferencial.

límite directo

Un límite directo es el colimite de un sistema directo .

discreto

Una categoría es discreta si cada morfismo es un morfismo identidad (de algún objeto). Por ejemplo, un conjunto puede considerarse una categoría discreta.

distribuidor

Otro término para "profunctor".

Equivalencia Dwyer-Kan

Una equivalencia Dwyer-Kan es una generalización de una equivalencia de categorías al contexto simplicial. ^[7]

mi

Teoría elemental de la categoría de conjuntos

La teoría elemental de la categoría de conjuntos . El enlace es una redirección; por ahora, consulte https://ncatlab.org/nlab/show/ETCS.

Categoría Eilenberg-Moore

Otro nombre para la categoría de álgebras para una mónada dada .

vacío

La categoría vacía es una categoría sin objeto. Es lo mismo que el conjunto vacío cuando este último se considera una categoría discreta.

fin

El final de un funtor es el límite ${\displaystyle F:C^{\text{op}}\times C\to X}$

${\displaystyle \int _{c\in C}F(c,c)=\varprojlim (F^{\#}:C^{\#}\to X)}$

donde es la categoría (llamada categoría de subdivisión de C ) cuyos objetos son símbolos para todos los objetos c y todos los morfismos u en C y cuyos morfismos son y si y donde es inducido por F de modo que iría a y iría a . Por ejemplo, para los funtores , ${\displaystyle C^{\#}}$ ${\displaystyle c^{\#},u^{\#}}$ ${\displaystyle b^{\#}\to u^{\#}}$ ${\displaystyle u^{\#}\to c^{\#}}$ ${\displaystyle u:b\to c}$ ${\displaystyle F^{\#}}$ ${\displaystyle c^{\#}}$ ${\displaystyle F(c,c)}$ ${\displaystyle u^{\#},u:b\to c}$ ${\displaystyle F(b,c)}$ ${\displaystyle F,G:C\to X}$

${\displaystyle \int _{c\in C}\operatorname {Hom} (F(c),G(c))}$

es el conjunto de transformaciones naturales de F a G. Para más ejemplos, consulte este hilo de mathoverflow. El dual de un fin es un cofin.

endofunctor

Un funtor entre la misma categoría.

categoría enriquecida

Dada una categoría monoidal ( C , ⊗, 1), una categoría enriquecida sobre C es, informalmente, una categoría cuyos conjuntos Hom están en C . Más precisamente, una categoría D enriquecida sobre C es un dato que consiste en

1. Una clase de objetos,
2. Para cada par de objetos X , Y en D , un objeto en C , llamado objeto de mapeo de X a Y , ${\displaystyle \operatorname {Map} _{D}(X,Y)}$
3. Para cada triple de objetos X , Y , Z en D , un morfismo en C ,

   ${\displaystyle \circ :\operatorname {Map} _{D}(Y,Z)\otimes \operatorname {Map} _{D}(X,Y)\to \operatorname {Map} _{D}(X,Z)}$,

   llamada la composición,

4. Para cada objeto X en D , un morfismo en C , llamado morfismo unitario de X ${\displaystyle 1_{X}:1\to \operatorname {Map} _{D}(X,X)}$

Sujeto a las condiciones de que (a grandes rasgos) las composiciones sean asociativas y los morfismos unitarios actúen como identidad multiplicativa. Por ejemplo, una categoría enriquecida con conjuntos es una categoría ordinaria.

epimorfismo

Un morfismo f es un epimorfismo si siempre que . En otras palabras, f es el dual de un monomorfismo. ${\displaystyle g=h}$ ${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$

igualada

El ecualizador de un par de morfismos es el límite del par. Es el dual de un coecualizador. ${\displaystyle f,g:A\to B}$

equivalencia

1. Un funtor es una equivalencia si es fiel, completo y esencialmente sobreyectivo.

2. Un morfismo en una ∞-categoría C es una equivalencia si da un isomorfismo en la categoría de homotopía de C.

equivalente

Una categoría es equivalente a otra categoría si existe una equivalencia entre ellas.

esencialmente sobreyectiva

Un funtor F se llama esencialmente sobreyectivo (o denso en isomorfismo) si para cada objeto B existe un objeto A tal que F ( A ) es isomorfo a B .

evaluación

Dadas las categorías C , D y un objeto A en C , la evaluación en A es el funtor

${\displaystyle \mathbf {Fct} (C,D)\to D,\,\,F\mapsto F(A).}$

Por ejemplo, los axiomas de Eilenberg-Steenrod dan un caso en el que el funtor es una equivalencia.

exacto

1. Una secuencia exacta es típicamente una secuencia (desde números enteros negativos arbitrarios hasta números enteros positivos arbitrarios) de mapas.

${\displaystyle \cdots \to E_{1}{\overset {f_{1}}{\to }}E_{2}{\overset {f_{2}}{\to }}E_{3}\to \cdots }$

de modo que la imagen de es el núcleo de . La noción puede generalizarse de varias maneras. ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle f_{i+1}}$

2. Una secuencia exacta corta es una secuencia de la forma . ${\displaystyle 0\to E\to F\to G\to 0}$

3. Se dice que un funtor (por ejemplo, entre categorías abelianas) es exacto si toma secuencias exactas cortas de secuencias exactas cortas.

4. Una categoría exacta es, en términos generales, una categoría en la que existe la noción de una secuencia exacta corta.

F

fiel

Un funtor es fiel si es inyectivo cuando está restringido a cada conjunto hom .

categoría fundamental

El funtor de categoría fundamental es el adjunto izquierdo del funtor nervioso N . Para cada categoría C , . ${\displaystyle \tau _{1}:s\mathbf {Set} \to \mathbf {Cat} }$ ${\displaystyle \tau _{1}NC=C}$

grupoide fundamental

El grupoide fundamental de un complejo Kan X es la categoría donde un objeto es un 0-símplex (vértice) , un morfismo es una clase de homotopía de un 1-símplex (camino) y una composición está determinada por la propiedad Kan. ${\displaystyle \Pi _{1}X}$ ${\displaystyle \Delta ^{0}\to X}$ ${\displaystyle \Delta ^{1}\to X}$

categoría de fibra

Se dice que un funtor π: C → D exhibe C como una categoría fibrada sobre D si, para cada morfismo g : x → π( y ) en D , existe un morfismo π-cartesiano f : x' → y en C tal que π( f ) = g . Si D es la categoría de esquemas afines (digamos de tipo finito sobre algún cuerpo), entonces π se llama más comúnmente un preapilado . Nota : π es a menudo un funtor olvidadizo y de hecho la construcción de Grothendieck implica que cada categoría fibrada puede tomarse como esa forma (hasta equivalencias en un sentido adecuado).

producto de fibra

Dada una categoría C y un conjunto I , el producto de fibras sobre un objeto S de una familia de objetos _Xi en C indexados por I es el producto de la familia en la categoría de corte de C sobre S (siempre que haya ). El producto de fibras de dos objetos X e Y sobre un objeto S se denota por y también se llama cuadrado cartesiano . ${\displaystyle C_{/S}}$ ${\displaystyle X_{i}\to S}$ ${\displaystyle X\times _{S}Y}$

filtrado

1. Una categoría filtrada (también llamada categoría filtrante) es una categoría no vacía con las propiedades (1) dados los objetos i y j , hay un objeto k y morfismos i → k y j → k y (2) dados los morfismos u , v : i → j , hay un objeto k y un morfismo w : j → k tales que w ∘ u = w ∘ v . Una categoría I se filtra si y solo si, para cada categoría finita J y funtor f : J → I , el conjunto no está vacío para algún objeto i en I . ${\displaystyle \varprojlim \operatorname {Hom} (f(j),i)}$

2. Dado un número cardinal π, se dice que una categoría es π-filtrante si, para cada categoría J cuyo conjunto de morfismos tiene un número cardinal estrictamente menor que π, el conjunto no está vacío para algún objeto i en I. ${\displaystyle \varprojlim \operatorname {Hom} (f(j),i)}$

mónada finitaria

Una mónada finitaria o una mónada algebraica es una mónada en Set cuyo endofunctor subyacente conmuta con colimites filtrados.

finito

Una categoría es finita si sólo tiene un número finito de morfismos.

functor olvidadizo

El funtor olvidadizo es, a grandes rasgos, un funtor que pierde algunos datos de los objetos; por ejemplo, el funtor que envía un grupo a su conjunto subyacente y un homomorfismo de grupo a sí mismo es un funtor olvidadizo. ${\displaystyle \mathbf {Grp} \to \mathbf {Set} }$

categoría libre

categoría libre

Finalización libre

finalización libre , co-finalización libre .

functor libre

Un funtor libre es un adjunto izquierdo de un funtor olvidadizo. Por ejemplo, para un anillo R , el funtor que envía un conjunto X al módulo R libre generado por X es un funtor libre (de ahí el nombre).

Categoría de Frobenius

Una categoría de Frobenius es una categoría exacta que tiene suficientes objetos inyectivos y suficientes objetos proyectivos y tal que la clase de objetos inyectivos coincide con la de objetos proyectivos.

Categoría Fukaya

Ver categoría Fukaya .

lleno

1. Un funtor es completo si es sobreyectivo cuando está restringido a cada conjunto hom .

2. Una categoría A es una subcategoría completa de una categoría B si el funtor de inclusión de A a B está completo.

funtor

Dadas las categorías C , D , un funtor F de C a D es una función que preserva la estructura de C a D ; es decir, consiste en un objeto F ( x ) en D para cada objeto x en C y un morfismo F ( f ) en D para cada morfismo f en C que satisface las condiciones: (1) siempre que esté definido y (2) . Por ejemplo, ${\displaystyle F(f\circ g)=F(f)\circ F(g)}$ ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle F(\operatorname {id} _{x})=\operatorname {id} _{F(x)}}$

${\displaystyle {\mathfrak {P}}:\mathbf {Set} \to \mathbf {Set} ,\,S\mapsto {\mathfrak {P}}(S)}$,

donde es el conjunto potencia de S es un funtor si definimos: para cada función , por . ${\displaystyle {\mathfrak {P}}(S)}$ ${\displaystyle f:S\to T}$ ${\displaystyle {\mathfrak {P}}(f):{\mathfrak {P}}(S)\to {\mathfrak {P}}(T)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {P}}(f)(A)=f(A)}$

categoría de funtor

La categoría funtora Fct ( C , D ) o de una categoría C a una categoría D es la categoría donde los objetos son todos los funtores de C a D y los morfismos son todas las transformaciones naturales entre los funtores. ${\displaystyle D^{C}}$

GRAMO

Teorema de Gabriel-Popescu

El teorema de Gabriel-Popescu dice que una categoría abeliana es un cociente de la categoría de módulos.

Categoría de Galois

1. En SGA 1 , Exposé V (Definición 5.1.), una categoría se denomina categoría de Galois si es equivalente a la categoría de G -conjuntos finitos para algún grupo profinito G .

2. Por razones técnicas, algunos autores (por ejemplo, el proyecto Stacks ^[8] o ^[9] ) utilizan definiciones ligeramente diferentes.

generador

En una categoría C , una familia de objetos es un sistema de generadores de C si el funtor es conservativo. Su dual se denomina sistema de cogeneradores. ${\displaystyle G_{i},i\in I}$ ${\displaystyle X\mapsto \prod _{i\in I}\operatorname {Hom} (G_{i},X)}$

generalizado

espacio métrico generalizado .

Gris

1. Un producto tensorial de Gray es un análogo laxo de un producto cartesiano. ^[10]

2. Una categoría gris es una determinada categoría semiestricta de 3 categorías; consulte https://ncatlab.org/nlab/show/Gray-category

topos grandes

La noción de gros topos (de espacios topológicos) se debe a Jean Giraud .

La teoría de Galois de Grothendieck

Una generalización de la teoría de Galois desde la perspectiva de la categoría ; véase la teoría de Galois de Grothendieck .

Categoría Grothendieck

Una categoría de Grothendieck es un tipo de categoría abeliana que se comporta bien.

Construcción de Grothendieck

Dado un funtor , sea D _U la categoría donde los objetos son pares ( x , u ) que consisten en un objeto x en C y un objeto u en la categoría U ( x ) y un morfismo de ( x , u ) a ( y , v ) es un par que consiste en un morfismo f : x → y en C y un morfismo U ( f )( u ) → v en U ( y ). El paso de U a D _U se llama entonces construcción de Grothendieck . ${\displaystyle U:C\to \mathbf {Cat} }$

Fibración de Grothendieck

Una categoría fibrosa .

grupoide

1. Una categoría se denomina grupoide si cada morfismo que contiene es un isomorfismo.

2. Una ∞-categoría se denomina ∞-grupoide si cada morfismo en ella es una equivalencia (o equivalentemente si es un complejo Kan ).

yo

Álgebra de Hall de una categoría

Véase álgebra de Ringel-Hall .

corazón

El corazón de una estructura t ( , ) en una categoría triangulada es la intersección . Es una categoría abeliana. ${\displaystyle D^{\geq 0}}$ ${\displaystyle D^{\leq 0}}$ ${\displaystyle D^{\geq 0}\cap D^{\leq 0}}$

Teoría de categorías superiores

La teoría de categorías superiores es un subcampo de la teoría de categorías que se ocupa del estudio de las n -categorías y las ∞-categorías .

dimensión homológica

La dimensión homológica de una categoría abeliana con suficientes inyectivos es el menor entero no negativo n tal que cada objeto en la categoría admita una resolución inyectiva de longitud n como máximo . La dimensión es ∞ si no existe tal entero. Por ejemplo, la dimensión homológica de Mod _R con un dominio ideal principal R es como máximo uno.

categoría de homotopía

Véase categoría de homotopía . Está estrechamente relacionada con la localización de una categoría .

hipótesis de homotopía

La hipótesis de homotopía establece que un ∞-grupoide es un espacio (de manera menos equívoca, un n -grupoide puede usarse como un n -tipo de homotopía).

I

idempotente

Un endomorfismo f es idempotente si . ${\displaystyle f\circ f=f}$

identidad

1. El morfismo identidad f de un objeto A es un morfismo de A a A tal que para cualesquiera morfismos g con dominio A y h con codominio A , y . ${\displaystyle g\circ f=g}$ ${\displaystyle f\circ h=h}$

2. El funtor identidad de una categoría C es un funtor de C a C que envía objetos y morfismos a sí mismos.

3. Dado un funtor F : C → D , la transformación natural identidad de F a F es una transformación natural que consiste en los morfismos identidad de F ( X ) en D para los objetos X en C .

imagen

La imagen de un morfismo f : X → Y es el ecualizador de . ${\displaystyle Y\rightrightarrows Y\sqcup _{X}Y}$

límite ind

Un colimite (o límite inductivo) en . ${\displaystyle \mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} )}$

límite inductivo

Otro nombre para colimit .

∞-categoría

Una ∞-categoría se obtiene a partir de una categoría reemplazando la clase/conjunto de objetos y morfismos por los espacios de objetos y morfismos. Precisamente, una ∞-categoría C es un conjunto simplicial que satisface la siguiente condición: para cada 0 < i < n ,

• Cada mapa de conjuntos simples se extiende a un n -simplex ${\displaystyle f:\Lambda _{i}^{n}\to C}$ ${\displaystyle f:\Delta ^{n}\to C}$

donde Δ ⁿ es el n -símplex estándar y se obtiene a partir de Δ ⁿ eliminando la cara i -ésima y el interior (véase Fibración Kan#Definiciones ). Por ejemplo, el nervio de una categoría satisface la condición y, por lo tanto, puede considerarse como una ∞-categoría. ${\displaystyle \Lambda _{i}^{n}}$

(∞, n )-categoría

Una (∞, n)-categoría se obtiene a partir de una ∞-categoría reemplazando el espacio de morfismos por la (∞, n - 1)-categoría de morfismos. ^[11]

inicial

1. Un objeto A es inicial si hay exactamente un morfismo de A a cada objeto; por ejemplo, un conjunto vacío en el conjunto .

2. Un objeto A en una ∞-categoría C es inicial si es contráctil para cada objeto B en C . ${\displaystyle \operatorname {Map} _{C}(A,B)}$

inyectivo

1. Un objeto A en una categoría abeliana es inyectivo si el funtor es exacto. Es el dual de un objeto proyectivo. ${\displaystyle \operatorname {Hom} (-,A)}$

2. El término “límite inyectivo” es otro nombre para un límite directo .

Hogar interno

Dada una categoría monoidal ( C , ⊗), el Hom interno es un funtor tal que es el adjunto derecho de para cada objeto Y en C . Por ejemplo, la categoría de módulos sobre un anillo conmutativo R tiene el Hom interno dado como , el conjunto de aplicaciones R -lineales. ${\displaystyle [-,-]:C^{\text{op}}\times C\to C}$ ${\displaystyle [Y,-]}$ ${\displaystyle -\otimes Y}$ ${\displaystyle [M,N]=\operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$

inverso

1. Un morfismo f es un inverso de un morfismo g si está definido y es igual al morfismo identidad en el codominio de g , y está definido y es igual al morfismo identidad en el dominio de g . El inverso de g es único y se denota por g ⁻¹ . f es un inverso por la izquierda de g si está definido y es igual al morfismo identidad en el dominio de g , y de manera similar para un inverso por la derecha. ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle f\circ g}$

2. Un límite inverso es el límite de un sistema inverso .

Isabella

1.   Dualidad de Isbell / Conjugación de Isbell

2.   Finalización de Isbell .

3. Sobre Isbell.

isomorfo

1. Un objeto es isomorfo a otro objeto si existe un isomorfismo entre ellos.

2. Una categoría es isomorfa a otra categoría si existe un isomorfismo entre ellas.

isomorfismo

Un morfismo f es un isomorfismo si existe una inversa de f .

K

Complejo Kan

Un complejo Kan es un objeto fibrante en la categoría de conjuntos simpliciales.

Extensión Kan

1. Dada una categoría C , el funtor de extensión Kan izquierda a lo largo de un funtor es el adjunto izquierdo (si existe) de y se denota por . Para cualquier , el funtor se llama la extensión Kan izquierda de α a lo largo de f . ^[12] Se puede demostrar: ${\displaystyle f:I\to J}$ ${\displaystyle f^{*}=-\circ f:\operatorname {Fct} (J,C)\to \operatorname {Fct} (I,C)}$ ${\displaystyle f_{!}}$ ${\displaystyle \alpha :I\to C}$ ${\displaystyle f_{!}\alpha :J\to C}$

${\displaystyle (f_{!}\alpha )(j)=\varinjlim _{f(i)\to j}\alpha (i)}$

donde el colimit se extiende sobre todos los objetos en la categoría de coma. ${\displaystyle f(i)\to j}$

2. El funtor de extensión Kan derecho es el adjunto derecho (si existe) a . ${\displaystyle f^{*}}$

El lema de Ken Brown

El lema de Ken Brown es un lema en la teoría de categorías modelo.

Categoría Kleisli

Dada una mónada T , la categoría Kleisli de T es la subcategoría completa de la categoría de T -álgebras (llamada categoría de Eilenberg-Moore) que consiste en T -álgebras libres.

yo

flojo

Un funtor laxo es una generalización de un pseudofuntor , en el que no se requiere que las transformaciones estructurales asociadas a la composición y las identidades sean invertibles.

longitud

Se dice que un objeto en una categoría abeliana tienelongitud finita si tiene una serie de composición . El número máximo de subobjetos propios en cualquier serie de composición de este tipo se denomina longitud de A . ^[13]

límite

1. El límite (o límite proyectivo ) de un funtor es ${\displaystyle f:I^{\text{op}}\to \mathbf {Set} }$

${\displaystyle \varprojlim _{i\in I}f(i)=\{(x_{i}|i)\in \prod _{i}f(i)|f(s)(x_{j})=x_{i}{\text{ for any }}s:i\to j\}.}$

2. El límite de un funtor es un objeto, si lo hay, en C que satisface: para cualquier objeto X en C , ; es decir, es un objeto que representa al funtor ${\displaystyle \varprojlim _{i\in I}f(i)}$ ${\displaystyle f:I^{\text{op}}\to C}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,\varprojlim _{i\in I}f(i))=\varprojlim _{i\in I}\operatorname {Hom} (X,f(i))}$ ${\displaystyle X\mapsto \varprojlim _{i}\operatorname {Hom} (X,f(i)).}$

3. El colimite (o límite inductivo ) es el dual de un límite; es decir, dado un funtor , satisface: para cualquier X , . Explícitamente, dar es dar una familia de morfismos tales que para cualquier , es . Quizás el ejemplo más simple de un colimite es un coecualizador . Para otro ejemplo, tome f como el funtor identidad en C y suponga que existe ; entonces el morfismo identidad en L corresponde a una familia compatible de morfismos tales que es la identidad. Si es cualquier morfismo, entonces ; es decir, L es un objeto final de C . ${\displaystyle \varinjlim _{i\in I}f(i)}$ ${\displaystyle f:I\to C}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (\varinjlim f(i),X)=\varprojlim \operatorname {Hom} (f(i),X)}$ ${\displaystyle \varinjlim f(i)\to X}$ ${\displaystyle f(i)\to X}$ ${\displaystyle i\to j}$ ${\displaystyle f(i)\to X}$ ${\displaystyle f(i)\to f(j)\to X}$ ${\displaystyle L=\varinjlim _{X\in C}f(X)}$ ${\displaystyle \alpha _{X}:X\to L}$ ${\displaystyle \alpha _{L}}$ ${\displaystyle f:X\to L}$ ${\displaystyle f=\alpha _{L}\circ f=\alpha _{X}}$

localización de una categoría

Ver localización de una categoría .

METRO

Condición de Mittag-Leffler

Se dice que un sistema inverso satisface la condición de Mittag-Leffler si para cada entero , hay un entero tal que para cada , las imágenes de y son las mismas. ${\displaystyle \cdots \to X_{2}\to X_{1}\to X_{0}}$ ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle m\geq n}$ ${\displaystyle l\geq m}$ ${\displaystyle X_{m}\to X_{n}}$ ${\displaystyle X_{l}\to X_{n}}$

monada

Una mónada en una categoría X es un objeto monoide en la categoría monoidal de endofuntores de X con la estructura monoidal dada por composición. Por ejemplo, dado un grupo G , defina un endofuntor T en Set por . Luego defina la multiplicación μ en T como la transformación natural dada por ${\displaystyle T(X)=G\times X}$ ${\displaystyle \mu :T\circ T\to T}$

${\displaystyle \mu _{X}:G\times (G\times X)\to G\times X,\,\,(g,(h,x))\mapsto (gh,x)}$

y también defina el mapa identidad η de manera análoga. Entonces ( T , μ , η ) constituye una mónada en Set . Más sustancialmente, una adjunción entre funtores determina una mónada en X ; es decir, se toma , el mapa identidad η en T como una unidad de la adjunción y también se define μ utilizando la adjunción. ${\displaystyle F:X\rightleftarrows A:G}$ ${\displaystyle T=G\circ F}$

monádico

1. Se dice que una adjunción es monádica si proviene de la mónada que determina por medio de la categoría de Eilenberg-Moore (la categoría de las álgebras para la mónada).

2. Se dice que un funtor es monádico si es constituyente de una adjunción monádica.

categoría monoidal

Una categoría monoidal , también llamada categoría tensorial, es una categoría C equipada con (1) un bifuntor , (2) un objeto identidad y (3) isomorfismos naturales que hacen que ⊗ sea asociativo y que el objeto identidad sea una identidad para ⊗, sujeto a ciertas condiciones de coherencia. ${\displaystyle \otimes :C\times C\to C}$

objeto monoide

Un objeto monoide en una categoría monoide es un objeto junto con la función de multiplicación y la función de identidad que satisfacen las condiciones esperadas, como la asociatividad. Por ejemplo, un objeto monoide en Set es un monoide usual (semigrupo unitario) y un objeto monoide en R -mod es un álgebra asociativa sobre un anillo conmutativo R .

monomorfismo

Un morfismo f es un monomorfismo (también llamado mónico) si siempre que ; por ejemplo, una inyección en el conjunto . En otras palabras, f es el dual de un epimorfismo. ${\displaystyle g=h}$ ${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$

multicategoría

Una multicategoría es una generalización de una categoría en la que se permite que un morfismo tenga más de un dominio. Es lo mismo que un operado coloreado . ^[14]

norte

n -categoría

[L]a cuestión de comparar definiciones de n -categorías débiles es escurridiza, ya que es difícil decir qué significa que dos de esas definiciones sean equivalentes. [...] Se acepta ampliamente que la estructura formada por n -categorías débiles y los funtores, transformaciones, ... entre ellas debería ser una ( n + 1)-categoría débil; y si este es el caso, entonces la pregunta es si su ( n + 1)-categoría débil de n- categorías débiles es equivalente a la mía, pero ¿de quién es la definición de ( n + 1)-categoría débil que estamos usando aquí...?

Tom Leinster, Un estudio de las definiciones de la categoría n

1. Una n -categoría estricta se define inductivamente: una 0-categoría estricta es un conjunto y una n -categoría estricta es una categoría cuyos conjuntos Hom son ( n -1)-categorías estrictas. Precisamente, una n -categoría estricta es una categoría enriquecida con ( n -1)-categorías estrictas. Por ejemplo, una 1-categoría estricta es una categoría ordinaria.

2. La noción de una n -categoría débil se obtiene a partir de la estricta debilitando las condiciones como la asociatividad de la composición para que se mantengan sólo hasta isomorfismos coherentes en el sentido débil.

3. Se puede definir una ∞-categoría como un tipo de colim de n -categorías. A la inversa, si se tiene la noción de una ∞-categoría (débil) (por ejemplo, una cuasi-categoría ) al principio, entonces una n -categoría débil se puede definir como un tipo de una ∞-categoría truncada.

natural

1. Una transformación natural es, a grandes rasgos, una función entre funtores. Precisamente, dado un par de funtores F , G de una categoría C a una categoría D , una transformación natural φ de F a G es un conjunto de morfismos en D

${\displaystyle \{\phi _{x}:F(x)\to G(x)\mid x\in \operatorname {Ob} (C)\}}$

que satisface la condición: para cada morfismo f : x → y en C , . Por ejemplo, escribiendo para el grupo de matrices n -por- n invertibles con coeficientes en un anillo conmutativo R , podemos ver como un funtor de la categoría CRing de anillos conmutativos a la categoría Grp de grupos. De manera similar, es un funtor de CRing a Grp . Entonces el determinante det es una transformación natural de a - ^* . ${\displaystyle \phi _{y}\circ F(f)=G(f)\circ \phi _{x}}$ ${\displaystyle GL_{n}(R)}$ ${\displaystyle GL_{n}}$ ${\displaystyle R\mapsto R^{*}}$ ${\displaystyle GL_{n}}$

2. Un isomorfismo natural es una transformación natural que es un isomorfismo (es decir, admite la inversa).

La composición está codificada como 2-símplex.

nervio

El funtor nervioso N es el funtor de Cat a s Conjunto dado por . Por ejemplo, si es un funtor en (llamado 2-símplex), sea . Entonces es un morfismo en C y también para algún g en C . Como es seguido por y como es un funtor, . En otras palabras, codifica f , g y sus composiciones. ${\displaystyle N(C)_{n}=\operatorname {Hom} _{\mathbf {Cat} }([n],C)}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle N(C)_{2}}$ ${\displaystyle x_{i}=\varphi (i),\,0\leq i\leq 2}$ ${\displaystyle \varphi (0\to 1)}$ ${\displaystyle f:x_{0}\to x_{1}}$ ${\displaystyle \varphi (1\to 2)=g:x_{1}\to x_{2}}$ ${\displaystyle 0\to 2}$ ${\displaystyle 0\to 1}$ ${\displaystyle 1\to 2}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (0\to 2)=g\circ f}$ ${\displaystyle \varphi }$

normal

Un monomorfismo es normal si es el núcleo de algún morfismo, y un epimorfismo es conormal si es el conúcleo de algún morfismo. Una categoría es normal si todo monomorfismo es normal.

Oh

objeto

1. Un objeto es parte de unos datos que definen una categoría.

2. Un objeto [adjetivo] en una categoría C es un funtor contravariante (o prehaz) de alguna categoría fija correspondiente al "adjetivo" a C. Por ejemplo, un objeto simplicial en C es un funtor contravariante de la categoría simplicial a C y un objeto Γ es un funtor contravariante puntiagudo de Γ (aproximadamente la categoría puntiaguda de conjuntos finitos puntiagudos) a C siempre que C sea puntiagudo.

op-fibración

Un funtor π: C → D es una op-fibración si, para cada objeto x en C y cada morfismo g  : π( x ) → y en D , existe al menos un morfismo π-cocartesiano f : x → y' en C tal que π( f ) = g . En otras palabras, π es el dual de una fibración de Grothendieck .

opuesto

La categoría opuesta de una categoría se obtiene invirtiendo las flechas. Por ejemplo, si se considera un conjunto parcialmente ordenado como una categoría, se toman sus cantidades opuestas para invertir el orden.

PAG

perfecto

A veces sinónimo de "compacto". Véase complejo perfecto .

puntiagudo

Una categoría (o ∞-categoría) se llama puntiaguda si tiene un objeto cero.

polígrafo

Un polígrafo es una generalización de un gráfico dirigido.

polinomio

Un funtor de la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita hacia sí mismo se denomina funtor polinomial si, para cada par de espacios vectoriales V , W , F : Hom( V , W ) → Hom( F ( V ), F ( W )) es una función polinomial entre los espacios vectoriales. Un funtor de Schur es un ejemplo básico.

pre-abeliano

Una categoría pre-abeliana es una categoría aditiva que tiene todos los núcleos y co-núcleos.

preaditivo

Una categoría es preaditiva si está enriquecida sobre la categoría monoidal de grupos abelianos . De manera más general, es R -lineal si está enriquecida sobre la categoría monoidal de R -módulos , siendo R un anillo conmutativo .

presentable

Dado un cardinal regular κ, una categoría es κ-presentable si admite todos los colimites pequeños y es κ-accesible. Una categoría es presentable si es κ-presentable para algún cardinal regular κ (y, por lo tanto, presentable para cualquier cardinal mayor). Nota : Algunos autores denominan categoría presentable a una categoría localmente presentable .

pregavilla

Otro término para un funtor contravariante: un funtor de una categoría C ^op a Set es un prehaz de conjuntos en C y un funtor de C ^op a s Set es un prehaz de conjuntos simpliciales o un prehaz simplicial , etc. Una topología en C , si la hay, indica qué prehaz es un haz (con respecto a esa topología).

producto

1. El producto de una familia de objetos _Xi en una categoría C indexada por un conjunto I es el límite proyectivo del funtor , donde I se considera una categoría discreta. Se denota por y es el dual del coproducto de la familia. ${\displaystyle \varprojlim }$ ${\displaystyle I\to C,\,i\mapsto X_{i}}$ ${\displaystyle \prod _{i}X_{i}}$

2. El producto de una familia de categorías C _i 's indexadas por un conjunto I es la categoría denotada por cuya clase de objetos es el producto de las clases de objetos de C _i 's y cuyos hom-conjuntos son ; los morfismos se componen componente por componente. Es el dual de la unión disjunta. ${\displaystyle \prod _{i}C_{i}}$ ${\displaystyle \prod _{i}\operatorname {Hom} _{\operatorname {C_{i}} }(X_{i},Y_{i})}$

profunctor

Dadas las categorías C y D , un profuntor (o un distribuidor) de C a D es un funtor de la forma . ${\displaystyle D^{\text{op}}\times C\to \mathbf {Set} }$

descriptivo

1. Un objeto A en una categoría abeliana es proyectivo si el funtor es exacto. Es el dual de un objeto inyectivo. ${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,-)}$

2. El término “límite proyectivo” es otro nombre para un límite inverso .

APUNTALAR

Una PROP es una categoría monoidal estricta simétrica cuyos objetos son números naturales y cuyo producto tensorial es la suma de números naturales.

pseudoálgebra

Una pseudoálgebra es una versión de 2 categorías de un álgebra para una mónada (con una mónada reemplazada por una 2-mónada).

Q

Q

Categoría Q.

Quillen

El teorema A de Quillen proporciona un criterio para que un funtor sea una equivalencia débil.

cuasi-abeliano

una categoría cuasi-abeliana .

cuasitopos

un cuasitopos .

R

reflejar

1. Se dice que un funtor refleja identidades si tiene la propiedad: si F ( k ) es una identidad, entonces k también es una identidad.

2. Se dice que un funtor refleja isomorfismos si tiene la propiedad: F ( k ) es un isomorfismo, entonces k también es un isomorfismo.

regular

Una categoría regular .

representable

Se dice que un funtor contravariante de valor conjunto F en una categoría C es representable si pertenece a la imagen esencial de la incrustación de Yoneda ; es decir, para algún objeto Z. Se dice que el objeto Z es el objeto que representa a F. ${\displaystyle C\to \mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} )}$ ${\displaystyle F\simeq \operatorname {Hom} _{C}(-,Z)}$

retracción

f es una retracción de g . g es una sección de f .

Un morfismo es una retracción si tiene una inversa derecha.

aparejo

Una categoría de plataforma es una categoría con dos estructuras monoidales, una que se distribuye sobre la otra.

S

sección

Un morfismo es una sección si tiene una inversa izquierda. Por ejemplo, el axioma de elección dice que cualquier función sobreyectiva admite una sección.

Segal

1.   Estado de Segal . Por ahora, consulte https://ncatlab.org/nlab/show/Segal+condition

2.   Los espacios segales eran ciertos espacios simpliciales, introducidos como modelos para las (∞, 1)-categorías .

semi-abeliano

Una categoría semi-abeliana .

semisimple

Una categoría abeliana es semisimple si toda sucesión corta exacta se divide. Por ejemplo, un anillo es semisimple si y solo si la categoría de módulos sobre él es semisimple.

Función de Serre

Dada una categoría k -lineal C sobre un cuerpo k , un funtor de Serre es una autoequivalencia tal que para cualquier objeto A , B . ${\displaystyle f:C\to C}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,B)\simeq \operatorname {Hom} (B,f(A))^{*}}$

objeto simple

Un objeto simple en una categoría abeliana esun objeto A que no es isomorfo al objeto cero y cuyos subobjetos son isomorfos a cero o a A. Por ejemplo, un módulo simple es precisamente un objeto simple en la categoría de módulos (digamos de la izquierda).

categoría simplex

La categoría simplex Δ es la categoría donde un objeto es un conjunto [ n ] = { 0, 1, …, n }, n ≥ 0, totalmente ordenado de la forma estándar y un morfismo es una función que preserva el orden.

categoría simple

Una categoría enriquecida con conjuntos simples.

Localización simplista

La localización simple es un método para localizar una categoría.

objeto simple

Un objeto simplicial en una categoría C es, en líneas generales, una secuencia de objetos en C que forma un conjunto simplicial. En otras palabras, es un funtor covariante o contravariante Δ → C . Por ejemplo, un prehaz simplicial es un objeto simplicial en la categoría de prehaces. ${\displaystyle X_{0},X_{1},X_{2},\dots }$

Simpson

Conjetura de semiestricción de Simpson (dado que este es un enlace interesante por ahora, véase [2]).

conjunto simple

Un conjunto simplicial es un funtor contravariante de Δ a Set , donde Δ es la categoría simplex , una categoría cuyos objetos son los conjuntos [ n ] = { 0, 1, …, n } y cuyos morfismos son funciones que preservan el orden. Se escribe y un elemento del conjunto se llama n -simplex. Por ejemplo, es un conjunto simplicial llamado n -simplex estándar . Por el lema de Yoneda, . ${\displaystyle X_{n}=X([n])}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}=\operatorname {Hom} _{\Delta }(-,[n])}$ ${\displaystyle X_{n}\simeq \operatorname {Nat} (\Delta ^{n},X)}$

sitio

Una categoría equipada con una topología de Grothendieck .

esquelético

1. Una categoría es esquelética si los objetos isomorfos son necesariamente idénticos.

2. Un esqueleto (no único) de una categoría es una subcategoría completa que es esquelética.

rebanada

Dada una categoría C y un objeto A en ella, la categoría de porción C _{/ A} de C sobre A es la categoría cuyos objetos son todos los morfismos en C con codominio A , cuyos morfismos son morfismos en C tales que si f es un morfismo de a , entonces en C y cuya composición es la de C. ${\displaystyle p_{X}:X\to A}$ ${\displaystyle p_{Y}:Y\to A}$ ${\displaystyle p_{Y}\circ f=p_{X}}$

pequeño

1. Una categoría pequeña es una categoría en la que la clase de todos los morfismos es un conjunto (es decir, no una clase propia ); en caso contrario, es grande . Una categoría es localmente pequeña si los morfismos entre cada par de objetos A y B forman un conjunto. Algunos autores suponen una base en la que la colección de todas las clases forma un "conglomerado", en cuyo caso una cuasicategoría es una categoría cuyos objetos y morfismos simplemente forman un conglomerado . ^[15] (NB: algunos autores utilizan el término "cuasicategoría" con un significado diferente. ^[16] )

2. Se dice que un objeto de una categoría es pequeño si es κ-compacto para algún cardinal regular κ. La noción aparece de forma destacada en el argumento de Quiilen sobre el objeto pequeño (cf. https://ncatlab.org/nlab/show/small+object+argument)

especies

Una especie (combinatoria) es un endofunctor en el grupoide de conjuntos finitos con biyecciones. Es categóricamente equivalente a una secuencia simétrica .

estable

Una ∞-categoría es estable si (1) tiene un objeto cero, (2) cada morfismo en ella admite una fibra y una cofibra y (3) un triángulo en ella es una secuencia de fibras si y solo si es una secuencia de cofibras.

estricto

Un morfismo f en una categoría que admite límites finitos y colímites finitos es estricto si el morfismo natural es un isomorfismo. ${\displaystyle \operatorname {Coim} (f)\to \operatorname {Im} (f)}$

n -categoría estricta

Una categoría 0 estricta es un conjunto y, para cualquier entero n > 0, una categoría n estricta es una categoría enriquecida con categorías ( n -1) estrictas. Por ejemplo, una categoría 1 estricta es una categoría ordinaria. Nota : el término " categoría n " normalmente se refiere a una " categoría n débil ", no estricta.

estricción

Una estrictificación es un proceso de reemplazo de igualdades que se cumplen débilmente (es decir, hasta isomorfismos coherentes) por igualdades reales.

subcanónico

Una topología sobre una categoría es subcanónica si cada funtor contravariante representable sobre C es un haz con respecto a esa topología. ^[17] En términos generales, algunas topologías planas pueden no ser subcanónicas; pero las topologías planas que aparecen en la práctica tienden a ser subcanónicas.

subcategoría

Una categoría A es una subcategoría de una categoría B si hay un funtor de inclusión de A a B.

subobjeto

Dado un objeto A en una categoría, un subobjeto de A es una clase de equivalencia de monomorfismos a A ; dos monomorfismos f , g se consideran equivalentes si f se factoriza a través de g y g se factoriza a través de f .

subcociente

Un subcociente es un cociente de un subobjeto.

objeto subterminal

Un objeto subterminal es un objeto X tal que cada objeto tiene como máximo un morfismo en X.

categoría monoidal simétrica

Una categoría monoidal simétrica es una categoría monoidal (es decir, una categoría con ⊗) que tiene un trenzado máximamente simétrico.

secuencia simétrica

Una secuencia simétrica es una secuencia de objetos con acciones de grupos simétricos . Es categóricamente equivalente a una especie (combinatoria) .

yo

estructura t

Una t-estructura es una estructura adicional en una categoría triangulada (más generalmente, una ∞-categoría estable ) que axiomatiza las nociones de complejos cuya cohomología se concentra en grados no negativos o grados no positivos.

La dualidad tannakiana

La dualidad de Tannaki establece que, en una configuración apropiada, dar un morfismo es dar un funtor de pullback a lo largo de él. En otras palabras, el conjunto Hom puede identificarse con la categoría del funtor , tal vez en el sentido derivado , donde es la categoría asociada a X (por ejemplo, la categoría derivada). ^{[18] [19]} ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y)}$ ${\displaystyle \operatorname {Fct} (D(Y),D(X))}$ ${\displaystyle D(X)}$

categoría tensorial

Generalmente sinónimo de categoría monoidal (aunque algunos autores distinguen entre ambos conceptos).

categoría triangulada tensorial

Una categoría triangulada tensorial es una categoría que lleva la estructura de una categoría monoidal simétrica y la de una categoría triangulada de manera compatible.

producto tensorial

Dada una categoría monoidal B , el producto tensorial de los funtores y es el coend: ${\displaystyle F:C^{\text{op}}\to B}$ ${\displaystyle G:C\to B}$

${\displaystyle F\otimes _{C}G=\int ^{c\in C}F(c)\otimes G(c).}$

Terminal

1. Un objeto A es terminal (también llamado final) si hay exactamente un morfismo de cada objeto a A ; por ejemplo, singletons en Set . Es el dual de un objeto inicial .

2. Un objeto A en una ∞-categoría C es terminal si es contráctil para cada objeto B en C . ${\displaystyle \operatorname {Map} _{C}(B,A)}$

subcategoría gruesa

Una subcategoría completa de una categoría abeliana es gruesa si está cerrada bajo extensiones.

delgado

Una categoría delgada es una categoría en la que hay como máximo un morfismo entre cualquier par de objetos.

diminuto

Un objeto diminuto. Por ahora, véase https://ncatlab.org/nlab/show/tiny+object

topos topológicos

Un topos topológico , un posible sustituto de la categoría de espacios topológicos. Véase https://golem.ph.utexas.edu/category/2014/04/on_a_topological_topos.html

categoría triangulada

Una categoría triangulada es una categoría en la que se puede hablar de triángulos distinguidos, generalización de sucesiones exactas. Una categoría abeliana es un ejemplo prototípico de una categoría triangulada. Una categoría derivada es una categoría triangulada que no es necesariamente una categoría abeliana.

tú

universal

1. Dado un funtor y un objeto X en D , un morfismo universal de X a f es un objeto inicial en la categoría de coma . (Su dual también se llama morfismo universal.) Por ejemplo, tome f como el funtor olvidadizo y X como un conjunto. Un objeto inicial de es una función . Que sea inicial significa que si es otro morfismo, entonces hay un morfismo único de j a k , que consiste en una función lineal que extiende k a través de j ; es decir, es el espacio vectorial libre generado por X . ${\displaystyle f:C\to D}$ ${\displaystyle (X\downarrow f)}$ ${\displaystyle \mathbf {Vec} _{k}\to \mathbf {Set} }$ ${\displaystyle (X\downarrow f)}$ ${\displaystyle j:X\to f(V_{X})}$ ${\displaystyle k:X\to f(W)}$ ${\displaystyle V_{X}\to W}$ ${\displaystyle V_{X}}$

2. Dicho de forma más explícita, dado f como se indica arriba, un morfismo en D es universal si y sólo si la función natural ${\displaystyle X\to f(u_{X})}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(u_{X},c)\to \operatorname {Hom} _{D}(X,f(c)),\,\alpha \mapsto (X\to f(u_{x}){\overset {f(\alpha )}{\to }}f(c))}$

es biyectiva. En particular, si , entonces tomando c como u _X se obtiene un morfismo universal enviando el morfismo identidad. En otras palabras, tener un morfismo universal es equivalente a la representabilidad del funtor . ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(u_{X},-)\simeq \operatorname {Hom} _{D}(X,f(-))}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{D}(X,f(-))}$

Yo

Categoría Waldhausen

Una categoría de Waldhausen es, aproximadamente, una categoría con familias de cofibraciones y equivalencias débiles.

bien potenciado

Una categoría está bien potenciada si para cada objeto solo hay un conjunto de subobjetos no isomorfos por pares .

Y

Yoneda

1.  

El lema de Yoneda afirma... en términos más evocadores, un objeto matemático X se considera mejor en el contexto de una categoría que lo rodea, y está determinado por la red de relaciones que tiene con todos los objetos de esa categoría. Además, para entender X podría ser más pertinente tratar directamente con el funtor que lo representa. Esto recuerda al "juego del lenguaje" de Wittgenstein; es decir, que el significado de una palabra está -en esencia- determinado por, y de hecho no es nada más que, sus relaciones con todos los enunciados de un lenguaje.

Barry Mazur , pensando en Grothendieck

El lema de Yoneda dice: para cada funtor contravariante de valor conjunto F en C y un objeto X en C , existe una biyección natural

${\displaystyle F(X)\simeq \operatorname {Nat} (\operatorname {Hom} _{C}(-,X),F)}$

donde Nat significa el conjunto de transformaciones naturales. En particular, el funtor

${\displaystyle y:C\to \mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} ),\,X\mapsto \operatorname {Hom} _{C}(-,X)}$

es completamente fiel y se llama incrustación Yoneda. ^[20]

2. Si es un funtor e y es la incrustación de Yoneda de C , entonces la extensión de Yoneda de F es la extensión Kan izquierda de F a lo largo de y . ${\displaystyle F:C\to D}$

O

cero

Un objeto cero es un objeto que es a la vez inicial y terminal, como un grupo trivial en Grp .

Notas

1. Si uno cree en la existencia de cardinales fuertemente inaccesibles , entonces puede haber una teoría rigurosa donde los enunciados y construcciones tengan referencias a los universos de Grothendieck .
2. Observación 2.7 de https://ncatlab.org/nlab/show/additive+category
3. * Lawvere, FW (1986), "Tomando en serio las categorías", Revista Colombiana de Matemáticas , 20 (3–4): 147–178, SEÑOR  0948965
4. Kashiwara y Schapira 2006, cap. 2, Ejercicio 2.8.
5. Mac Lane 1998, cap. III, § 3.
6. "Convolución diurna en nLab".
7. Hinich, V. (17 de noviembre de 2013). "Revisión de la localización de Dwyer-Kan". arXiv : 1311.4128 [math.QA].
8. Definición 3.6. en https://stacks.math.columbia.edu/download/pione.pdf#nameddest=0BQ6
9. Definición 7.2.1. en Bhatt, Bhargav; Scholze, Peter (2015), "La topología pro-étale para esquemas", Astérisque : 99–201, arXiv : 1309.1198 , Bibcode :2013arXiv1309.1198B, MR  3379634
10. "Producto tensorial de Gray en nLab".
11. Loubaton, Félix (2024). "Teoría categórica de $(\infty,ω)$-categorías". arXiv : 2406.05425 [math.CT].
12. "Equivalencias de homología universal (Conferencia 11)" (PDF) . www.math.harvard.edu .
13. Kashiwara y Schapira 2006, ejercicio 8.20
14. "Multicategoría en nLab".
15. Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E (2004) [1990]. Categorías abstractas y concretas (La alegría de los gatos) (PDF) . Nueva York: Wiley & Sons. p. 40. ISBN 0-471-60922-6.
16. Joyal, A. (2002). "Cuasicategorías y complejos Kan". Revista de álgebra pura y aplicada . 175 (1–3): 207–222. doi :10.1016/S0022-4049(02)00135-4.
17. Vistoli 2004, Definición 2.57.
18. Jacob Lurie. Dualidad de Tannaka para pilas geométricas. http://math.harvard.edu/~lurie/, 2004.
19. Bhatt, Bhargav (29 de abril de 2014). "Algebraización y dualidad de Tannaka". arXiv : 1404.7483 [matemáticas.AG].
20. Nota técnica: el lema implica implícitamente una elección de conjunto ; es decir, una elección de universo.

Referencias

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• Grothendieck, Alexandre (1971). Revêtements Etales et Groupe Fondamental . Apuntes de conferencias de matemáticas (en francés). vol. 224. Berlín; Nueva York: Springer-Verlag . XXII+447. doi :10.1007/BFb0058656. ISBN 978-3-540-05614-0.Sr. 0354651  .
• Kashiwara, Masaki ; Schapira, Pierre (2006). Categorías y haces .
• A. Joyal , La teoría de las cuasi-categorías II (¿Falta el volumen I?)
• Lurie, J. , Álgebra superior
• Lurie, J., Teoría de los topos superiores
• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático en activo . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 5 (2.ª ed.). Nueva York, NY: Springer-Verlag . ISBN. 0-387-98403-8.Zbl 0906.18001  .
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Fundamentos categóricos. Temas especiales en orden, topología, álgebra y teoría de haces . Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones. Vol. 97. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN. 0-521-83414-7.Zbl 1034.18001  .
• Vistoli, Angelo (28 de diciembre de 2004). "Notas sobre topologías de Grothendieck, categorías fibrosas y teoría de la descendencia". arXiv : math/0412512 .

Lectura adicional

• Groth, M., Un curso breve sobre categorías ∞ Archivado el 3 de marzo de 2016 en Wayback Machine.
• Notas de Cisinski
• Historia de la teoría de topos
• Leinster, Tom (2014). Teoría básica de categorías . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 143. Cambridge University Press. arXiv : 1612.09375 . Código Bibliográfico :2016arXiv161209375L.
• Leinster, Operaciones superiores, Categorías superiores, 2003.
• Emily Riehl, Una introducción relajada a los decorados sencillos
• Notas de clase sobre lógica categórica por Steve Awodey
• Street, Ross (20 de marzo de 2003). "Aspectos categóricos y combinatorios de la teoría de la descendencia". arXiv : math/0303175 .(una discusión detallada de una categoría 2)
• Lawvere, Las categorías de espacios no pueden ser espacios generalizados como lo ejemplifican los gráficos dirigidos.
• Teoría de categorías en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford