Categoría de plataforma

En teoría de categorías , una categoría de plataforma (también conocida como categoría bimonoidal o 2-plataforma ) es una categoría equipada con dos estructuras monoidales , una que se distribuye sobre la otra.

Definición

La categoría de plataforma se determina por la categoría equipada con: ${\displaystyle \mathbf {C} }$

• una estructura monoidal simétrica ${\displaystyle (\mathbf {C} ,\oplus ,O)}$
• una estructura monoidal ${\displaystyle (\mathbf {C} ,\otimes ,I)}$
• distribuyendo isomorfismos naturales: y ${\displaystyle \delta _{A,B,C}:A\otimes (B\oplus C)\simeq (A\otimes B)\oplus (A\otimes C)}$ ${\displaystyle \delta '_{A,B,C}:(A\oplus B)\otimes C\simeq (A\otimes C)\oplus (B\otimes C)}$
• aniquilando (o absorbiendo ) los isomorfismos naturales: y ${\displaystyle a_{A}:O\otimes A\simeq O}$ ${\displaystyle a'_{A}:A\otimes O\simeq O}$

Se requiere que esas estructuras satisfagan una serie de condiciones de coherencia. ^{[1] [2]}

Ejemplos

• Conjunto , la categoría de conjuntos con la unión disjunta como y el producto cartesiano como . Tales categorías donde la estructura monoidal multiplicativa es el producto categórico y la estructura monoidal aditiva es el coproducto se denominan categorías distributivas . ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \otimes }$
• Vect , la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo, con la suma directa como y el producto tensorial como . ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \otimes }$

Estrictificación

Exigir que todos los isomorfismos implicados en la definición de una categoría de plataforma sean estrictos no proporciona una definición útil, ya que implica una igualdad que indica una estructura degenerada. Sin embargo, es posible convertir la mayoría de los isomorfismos implicados en igualdades. ^[1] ${\displaystyle A\oplus B=B\oplus A}$

Una categoría de plataforma es semiestricta si las dos estructuras monoidales involucradas son estrictas, ambos de sus aniquiladores son igualdades y uno de sus distribuidores es una igualdad. Cualquier categoría de plataforma es equivalente a una semiestricta. ^[3]

Referencias

1. Kelly, GM (1974). "Teoremas de coherencia para álgebras laxas y para leyes distributivas". Categoría Seminario . Apuntes de clase en matemáticas. Vol. 420. págs. 281–375. doi :10.1007/BFb0063106. ISBN 978-3-540-37270-7.
2. Laplaza, Miguel L. (1972). "Coherencia para la distributividad" (PDF) . En GM Kelly; M. Laplaza; G. Lewis; Saunders Mac Lane (eds.). Coherencia en categorías . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 281. Springer Berlin Heidelberg. págs. 29–65. doi :10.1007/BFb0059555. ISBN. 978-3-540-05963-9. Recuperado el 15 de enero de 2020 .
3. Guillou, Bertrand (2010). "Estrictificación de categorías débilmente enriquecidas en categorías monoidales simétricas". Teoría y aplicaciones de categorías . 24 (20): 564–579. arXiv : 0909.5270 .

• Categoría de plataforma en el laboratorio n