categoría monoidal

Categoría que admite productos tensoriales

En matemáticas , una categoría monoidal (o categoría tensorial ) es una categoría equipada con un bifunctor ${\displaystyle \mathbf {C} }$

${\displaystyle \otimes :\mathbf {C} \times \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$

que es asociativo hasta un isomorfismo natural , y un objeto I que es a la vez identidad izquierda y derecha para ⊗, nuevamente hasta un isomorfismo natural. Los isomorfismos naturales asociados están sujetos a ciertas condiciones de coherencia , que aseguran que todos los diagramas relevantes conmuten .

El producto tensorial ordinario convierte los espacios vectoriales , los grupos abelianos , los módulos R o las álgebras R en categorías monoidales. Las categorías monoidales pueden verse como una generalización de estos y otros ejemplos. Cada categoría monoide ( pequeña ) también puede verse como una " categorización " de un monoide subyacente , es decir, el monoide cuyos elementos son las clases de isomorfismo de los objetos de la categoría y cuya operación binaria está dada por el producto tensorial de la categoría.

Una aplicación bastante diferente, para la cual las categorías monoidales pueden considerarse una abstracción, es un sistema de tipos de datos cerrados bajo un constructor de tipos que toma dos tipos y construye un tipo agregado. Los tipos sirven como objetos y ⊗ es el constructor agregado. La asociatividad hasta el isomorfismo es entonces una forma de expresar que diferentes formas de agregar los mismos datos (como y) almacenan la misma información aunque los valores agregados no tengan por qué ser los mismos. El tipo agregado puede ser análogo a la operación de suma (tipo suma) o de multiplicación (tipo producto). Para el tipo producto, el objeto de identidad es la unidad , por lo que solo hay un habitante del tipo, y es por eso que un producto con él siempre es isomorfo al otro operando. Para el tipo suma, el objeto de identidad es el tipo vacío , que no almacena información y es imposible dirigirse a un habitante. El concepto de categoría monoidal no supone que los valores de tales tipos agregados puedan separarse; por el contrario, proporciona un marco que unifica la teoría de la información clásica y la cuántica . ^[1] ${\displaystyle ((a,b),c)}$ ${\displaystyle (a,(b,c))}$ ${\displaystyle ()}$

En teoría de categorías , las categorías monoidales se pueden utilizar para definir el concepto de objeto monoide y una acción asociada sobre los objetos de la categoría. También se utilizan en la definición de una categoría enriquecida .

Las categorías monoidales tienen numerosas aplicaciones fuera de la teoría de categorías propiamente dicha. Se utilizan para definir modelos para el fragmento multiplicativo de la lógica lineal intuicionista . También forman la base matemática del orden topológico en la física de la materia condensada . Las categorías monoidales trenzadas tienen aplicaciones en información cuántica , teoría cuántica de campos y teoría de cuerdas .

Definicion formal

Una categoría monoidal es una categoría equipada con una estructura monoidal. Una estructura monoidea consta de lo siguiente: ${\displaystyle \mathbf {C} }$

• un bifunctor llamado producto monoidal , ^[2] o producto tensorial , ${\displaystyle \otimes \colon \mathbf {C} \times \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$
• un objeto llamado unidad monoidal , ^[2] objeto unitario u objeto de identidad , ${\displaystyle I}$
• tres isomorfismos naturales sujetos a ciertas condiciones de coherencia que expresan el hecho de que la operación tensorial:
  • es asociativo: hay un isomorfismo natural (en cada uno de los tres argumentos , , ) , llamado asociador , con componentes , ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha _{A,B,C}\colon A\otimes (B\otimes C)\cong (A\otimes B)\otimes C}$
  • tiene como identidad izquierda y derecha: hay dos isomorfismos naturales y , llamados respectivamente unitor izquierdo y derecho , con componentes y . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \lambda _{A}\colon I\otimes A\cong A}$ ${\displaystyle \rho _{A}\colon A\otimes I\cong A}$

Tenga en cuenta que una buena forma de recordar cómo actuar es mediante la aliteración; Lambda , cancela la identidad de la izquierda , mientras que Rho , cancela la identidad de la derecha . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \rho }$

Las condiciones de coherencia para estas transformaciones naturales son:

• para todo , y en , el diagrama del pentágono ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Este es uno de los diagramas principales utilizados para definir una categoría monoide; es quizás el más importante.

viaja ;

• para todos y en , el diagrama triangular ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Este es uno de los diagramas utilizados en la definición de una categoría monoide. Se ocupa del caso cuando hay una instancia de identidad entre dos objetos.

viaja.

Una categoría monoidal estricta es aquella para la cual los isomorfismos naturales α , λ y ρ son identidades. Cada categoría monoidal es monoidalmente equivalente a una categoría monoidal estricta.

Ejemplos

• Cualquier categoría con productos finitos puede considerarse monoidal, siendo el producto el producto monoidal y el objeto terminal la unidad. Esta categoría a veces se denomina categoría monoidal cartesiana . Por ejemplo:
  • Conjunto , la categoría de conjuntos con el producto cartesiano, cualquier conjunto particular de un elemento que sirve como unidad.
  • Cat , la categoría de categorías pequeñas con la categoría de producto , donde la categoría con un objeto y solo su mapa de identidad es la unidad.
• Dualmente, cualquier categoría con coproductos finitos es monoidal con el coproducto como producto monoidal y el objeto inicial como unidad. Esta categoría monoidal se llama monoidal cocartesiana.
• R -Mod , la categoría de módulos sobre un anillo conmutativo R , es una categoría monoide en la que el producto tensor de módulos ⊗ _R sirve como producto monoide y el anillo R (considerado como un módulo sobre sí mismo) sirve como unidad. Como casos especiales se tiene:
  • K -Vect , la categoría de espacios vectoriales sobre un campo K , con el espacio vectorial unidimensional K sirviendo como unidad.
  • Ab , la categoría de grupos abelianos , con el grupo de números enteros Z como unidad.
• Para cualquier anillo conmutativo R , la categoría de R -álgebras es monoidal con el producto tensorial de las álgebras como producto y R como unidad.
• La categoría de espacios puntiagudos (restringida a espacios generados de forma compacta, por ejemplo) es monoidal con el producto smash como producto y la esfera 0 puntiaguda (un espacio discreto de dos puntos) como unidad.
• La categoría de todos los endofunctores en una categoría C es una categoría monoidal estricta con la composición de funtores como producto y el funtor de identidad como unidad.
• Al igual que para cualquier categoría E , la subcategoría completa abarcada por cualquier objeto dado es un monoide, es el caso que para cualquier E de 2 categorías y cualquier objeto C en Ob( E ), las 2 subcategorías completas de E abarcadas por { C } es una categoría monoide. En el caso E = Cat , obtenemos el ejemplo de endofunctores anterior.
• Las semiredes de encuentro acotadas por encima son categorías monoidales simétricas estrictas : el producto es encuentro y la identidad es el elemento superior.
• Cualquier monoide ordinario es una pequeña categoría monoide con conjunto de objetos , solo identidades para morfismos , como producto tensor y como su objeto de identidad. Por el contrario, el conjunto de clases de isomorfismo (si tal cosa tiene sentido) de una categoría monoide es un monoide frente al producto tensorial. ${\displaystyle (M,\cdot ,1)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle 1}$
• Cualquier monoide conmutativo se puede realizar como una categoría monoide con un solo objeto. Recuerde que una categoría con un solo objeto es lo mismo que un monoide ordinario. Según un argumento de Eckmann-Hilton , agregar otro producto monoidal requiere que el producto sea conmutativo. ${\displaystyle (M,\cdot ,1)}$ ${\displaystyle M}$

Propiedades y nociones asociadas

De las tres condiciones de coherencia que definen se deduce que una gran clase de diagramas (es decir, diagramas cuyos morfismos se construyen utilizando identidades y productos tensoriales) conmutan: este es el " teorema de coherencia " de Mac Lane . A veces se afirma erróneamente que todos estos diagramas conmutan. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \rho }$

Existe una noción general de objeto monoide en una categoría monoide, que generaliza la noción ordinaria de monoide del álgebra abstracta . Los monoides ordinarios son precisamente los objetos monoides en la categoría monoide cartesiana Conjunto . Además, cualquier categoría monoidal estricta (pequeña) puede verse como un objeto monoide en la categoría de categorías Cat (equipada con la estructura monoide inducida por el producto cartesiano).

Los funtores monoidales son los funtores entre categorías monoidales que preservan el producto tensorial y las transformaciones naturales monoidales son las transformaciones naturales, entre esos funtores, que son "compatibles" con el producto tensorial.

Cada categoría monoidal puede verse como la categoría B (∗, ∗) de una bicategoría B con un solo objeto, denotado ∗.

The concept of a category C enriched in a monoidal category M replaces the notion of a set of morphisms between pairs of objects in C with the notion of an M-object of morphisms between every two objects in C.

Free strict monoidal category

For every category C, the free strict monoidal category Σ(C) can be constructed as follows:

• its objects are lists (finite sequences) A₁, ..., A_n of objects of C;
• there are arrows between two objects A₁, ..., A_m and B₁, ..., B_n only if m = n, and then the arrows are lists (finite sequences) of arrows f₁: A₁ → B₁, ..., f_n: A_n → B_n of C;
• the tensor product of two objects A₁, ..., A_n and B₁, ..., B_m is the concatenation A₁, ..., A_n, B₁, ..., B_m of the two lists, and, similarly, the tensor product of two morphisms is given by the concatenation of lists. The identity object is the empty list.

This operation Σ mapping category C to Σ(C) can be extended to a strict 2-monad on Cat.

Specializations

• If, in a monoidal category, ${\displaystyle A\otimes B}$ and ${\displaystyle B\otimes A}$ are naturally isomorphic in a manner compatible with the coherence conditions, we speak of a braided monoidal category. If, moreover, this natural isomorphism is its own inverse, we have a symmetric monoidal category.
• A closed monoidal category is a monoidal category where the functor ${\displaystyle X\mapsto X\otimes A}$ has a right adjoint, which is called the "internal Hom-functor" ${\displaystyle X\mapsto \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(A,X)}$. Examples include cartesian closed categories such as Set, the category of sets, and compact closed categories such as FdVect, the category of finite-dimensional vector spaces.
• Las categorías autónomas (o categorías cerradas compactas o categorías rígidas ) son categorías monoidales en las que existen duales con buenas propiedades; abstraen la idea de FdVect .
• Categorías monoidales simétricas de daga , equipadas con un funtor de daga adicional, que abstrae la idea de FdHilb , espacios de Hilbert de dimensión finita. Estos incluyen las categorías de dagas compactas .
• Las categorías tannakianas son categorías monoidales enriquecidas sobre un campo, que son muy similares a las categorías de representación de grupos algebraicos lineales .

monoides reservados

Un monoide preordenado es una categoría monoide en la que por cada dos objetos existe como máximo un morfismo en C. En el contexto de pedidos anticipados, a veces se anota un morfismo . Las propiedades de reflexividad y transitividad de un orden, definido en el sentido tradicional, se incorporan a la estructura categórica mediante el morfismo de identidad y la fórmula de composición en C , respectivamente. Si y , entonces los objetos son isomórficos, lo cual se anota . ${\displaystyle c,c'\in \mathrm {Ob} (\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle c\to c'}$ ${\displaystyle c\to c'}$ ${\displaystyle c\leq c'}$ ${\displaystyle c\leq c'}$ ${\displaystyle c'\leq c}$ ${\displaystyle c,c'}$ ${\displaystyle c\cong c'}$

Introducir una estructura monoidea en el preorden C implica construir

• un objeto , llamado unidad monoidal , y ${\displaystyle I\in \mathbf {C} }$
• un funtor , denotado por " ", llamado multiplicación monoidal . ${\displaystyle \mathbf {C} \times \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \;\cdot \;}$

${\displaystyle I}$y debe ser unital y asociativo, hasta el isomorfismo, es decir: ${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle (c_{1}\cdot c_{2})\cdot c_{3}\cong c_{1}\cdot (c_{2}\cdot c_{3})}$y . ${\displaystyle I\cdot c\cong c\cong c\cdot I}$

Como · es un funtor,

si y entonces . ${\displaystyle c_{1}\to c_{1}'}$ ${\displaystyle c_{2}\to c_{2}'}$ ${\displaystyle (c_{1}\cdot c_{2})\to (c_{1}'\cdot c_{2}')}$

Las otras condiciones de coherencia de las categorías monoidales se cumplen a través de la estructura de preorden, ya que cada diagrama conmuta en un preorden.

Los números naturales son un ejemplo de un preorden monoidal: tener una estructura monoide (usando + y 0) y una estructura de preorden (usando ≤) forma un preorden monoide como e implica . ${\displaystyle m\leq n}$ ${\displaystyle m'\leq n'}$ ${\displaystyle m+m'\leq n+n'}$

El monoide libre en algún grupo electrógeno produce un preorden monoide, produciendo el sistema semi-Thue .

Ver también

• Portal de matemáticas

• Esqueleto (teoría de categorías)
• categoría esférica
• Acción de categoría monoidal

Referencias

1. Báez, Juan ; Quédate, Mike (2011). "Física, topología, lógica y computación: una Piedra Rosetta" (PDF) . En Coecke, Bob (ed.). Nuevas estructuras para la física . Apuntes de conferencias de física. vol. 813. Saltador. págs. 95-172. arXiv : 0903.0340 . CiteSeerX  10.1.1.296.1044 . doi :10.1007/978-3-642-12821-9_2. ISBN 978-3-642-12821-9. ISSN  0075-8450. S2CID  115169297. Zbl  1218.81008.
2. Fong, Brendan; Spivak, David I. (12 de octubre de 2018). "Siete bocetos de composicionalidad: una invitación a la teoría de categorías aplicada". arXiv : 1803.05316 [matemáticas.CT].

• Joyal, André ; Calle, Ross (1993). "Categorías de tensores trenzados" (PDF) . Avances en Matemáticas . 102 (1): 20–78. doi : 10.1006/aima.1993.1055 .
• Joyal, André; Calle, Ross (1988). «Diagramas planos y álgebra tensorial» (PDF) .
• Kelly, G. Max (1964). "Sobre las condiciones de MacLane para la coherencia de asociatividades naturales, conmutatividades, etc.". Revista de Álgebra . 1 (4): 397–402. doi : 10.1016/0021-8693(64)90018-3 .
• Kelly, GM (1982). Conceptos básicos de la teoría de categorías enriquecida (PDF) . Serie de notas de conferencias de la Sociedad Matemática de Londres. vol. 64. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-28702-9. OCLC  1015056596. Zbl  0478.18005.
• Mac Lane, Saunders (1963). "Asociatividad natural y conmutatividad". Estudios de la Universidad de Rice . 49 (4): 28–46. CiteSeerX  10.1.1.953.2731 . hdl : 1911/62865.
• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático que trabaja . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 5 (2ª ed.). Saltador. ISBN 0-387-98403-8. Zbl  0906.18001.
• Categoría monoidal en el n Lab

enlaces externos

• Medios relacionados con la categoría Monoidal en Wikimedia Commons