Espacio generado de forma compacta

Propiedad de los espacios topológicos.

En topología , un espacio topológico se denomina espacio generado de forma compacta o espacio k si su topología está determinada por espacios compactos de la manera que se detalla a continuación. De hecho, no existe una definición común para tales espacios, ya que diferentes autores utilizan variaciones de la definición que no son exactamente equivalentes entre sí. Además, algunos autores incluyen algún axioma de separación (como el espacio de Hausdorff o el espacio débil de Hausdorff ) en la definición de uno o ambos términos, y otros no. ${\displaystyle X}$

En la definición más simple, un espacio generado de forma compacta es un espacio que es coherente con la familia de sus subespacios compactos, lo que significa que para cada conjunto está abierto en si y sólo si está abierto en para cada subespacio compacto. Otras definiciones utilizan una familia de mapas continuos desde espacios compactos hasta y declara ser generado de forma compacta si su topología coincide con la topología final con respecto a esta familia de mapas. Y otras variaciones de la definición reemplazan los espacios compactos por espacios compactos de Hausdorff . ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\cap K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K\subseteq X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Se desarrollaron espacios generados de forma compacta para remediar algunas de las deficiencias de la categoría de espacios topológicos . En particular, según algunas de las definiciones, forman una categoría cerrada cartesiana y al mismo tiempo contienen los espacios de interés típicos, lo que los hace convenientes para su uso en topología algebraica .

Definiciones

Marco general para las definiciones.

Sea un espacio topológico , donde está la topología , es decir, la colección de todos los conjuntos abiertos en ${\displaystyle (X,T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X.}$

Existen múltiples definiciones (no equivalentes) de espacio generado de forma compacta o espacio k en la literatura. Estas definiciones comparten una estructura común, comenzando con una familia adecuadamente especificada de mapas continuos desde algunos espacios compactos hasta Las diversas definiciones difieren en la elección de la familia como se detalla a continuación. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$

La topología final con respecto a la familia se llama k-ificación de Dado que todas las funciones en fueron continuas en la k-ificación de es más fina (o igual a) la topología original . Los conjuntos abiertos en la k-ificación se llaman ${\displaystyle T_{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle T.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle (X,T),}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$k-conjuntos abiertos enson los conjuntostales queson abiertos enpara cadaen De manera similar, el ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f:K\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$Los conjuntos k-cerrados son los conjuntos cerrados en su k-ificación, con su correspondiente caracterización. En el espaciotodo conjunto abierto es k-abierto y todo conjunto cerrado es k-cerrado. El espaciojunto con la nueva topologíasuele denotarse^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T_{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle kX.}$

El espacio se llama generado compactamente o espacio k (con respecto a la familia ) si su topología está determinada por todos los mapas en , en el sentido de que la topología en es igual a su k-ificación; de manera equivalente, si cada k-conjunto abierto está abierto en o si cada k-conjunto cerrado está cerrado en o en corto, si ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle kX=X.}$

En cuanto a las diferentes opciones para la familia , se pueden tomar todos los mapas de inclusiones de ciertos subespacios de, por ejemplo, todos los subespacios compactos o todos los subespacios compactos de Hausdorff. Esto corresponde a elegir un conjunto de subespacios de El espacio se genera entonces de forma compacta exactamente cuando su topología es coherente con esa familia de subespacios; es decir, un conjunto está abierto (o cerrado) exactamente cuando la intersección está abierta (o cerrada) para cada otra opción es tomar la familia de todos los mapas continuos de espacios arbitrarios de un cierto tipo en, por ejemplo, todos esos mapas. desde espacios compactos arbitrarios, o desde espacios compactos arbitrarios de Hausdorff. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\cap K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K\in {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle X,}$

Estas diferentes opciones para la familia de mapas continuos conducen a diferentes definiciones de espacio generado de forma compacta . Además, algunos autores exigen satisfacer un axioma de separación (como Hausdorff o Hausdorff débil ) como parte de la definición, mientras que otros no. Las definiciones de este artículo no comprenderán ningún axioma de separación. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Como nota general adicional, una condición suficiente que puede ser útil para demostrar que un espacio se genera de forma compacta (con respecto a ) es encontrar una subfamilia tal que se genere de forma compacta con respecto a Para espacios coherentes, eso corresponde a mostrar que el espacio es coherente con una subfamilia de la familia de subespacios. Por ejemplo, esto proporciona una forma de mostrar que los espacios localmente compactos se generan de forma compacta. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}.}$

A continuación se presentan con más detalle algunas de las definiciones más utilizadas, en orden creciente de especificidad.

Para los espacios de Hausdorff, las tres definiciones son equivalentes. Entonces la terminologíaEl espacio de Hausdorff generado de forma compacta no es ambiguo y se refiere a un espacio generado de forma compacta (en cualquiera de las definiciones) que también esHausdorff.

Definición 1

Informalmente, un espacio cuya topología está determinada por sus subespacios compactos, o de manera equivalente en este caso, por todos los mapas continuos de espacios compactos arbitrarios.

Un espacio topológico se llama espacio generado de forma compacta o k-espacio si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ^{[2] [3] [4]} ${\displaystyle X}$

(1) La topología es coherente con la familia de sus subespacios compactos; es decir, satisface la propiedad: ${\displaystyle X}$

un conjunto está abierto (o cerrado) exactamente cuando la intersección está abierta (o cerrada) para cada subespacio compacto ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\cap K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K\subseteq X.}$

(2) La topología coincide con la topología final con respecto a la familia de todos los mapas continuos de todos los espacios compactos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:K\to X}$ ${\displaystyle K.}$

(3) es un espacio cociente de una suma topológica de espacios compactos. ${\displaystyle X}$

(4) es un espacio cociente de un espacio débilmente localmente compacto . ${\displaystyle X}$

Como se explica en el artículo final sobre topología , la condición (2) está bien definida, aunque la familia de mapas continuos de espacios compactos arbitrarios no es un conjunto sino una clase adecuada.

La equivalencia entre las condiciones (1) y (2) se deriva del hecho de que cada inclusión de un subespacio es un mapa continuo; y por otro lado, cada mapa continuo de un espacio compacto tiene una imagen compacta y, por lo tanto, tiene en cuenta la inclusión del subespacio compacto en ${\displaystyle f:K\to X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f(K)}$ ${\displaystyle f(K)}$ ${\displaystyle X.}$

Definición 2

Informalmente, un espacio cuya topología está determinada por todos los mapas continuos de espacios compactos arbitrarios de Hausdorff.

Un espacio topológico se llama espacio generado de forma compacta o espacio k si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ^{[5] [6] [7]} ${\displaystyle X}$

(1) La topología coincide con la topología final con respecto a la familia de todos los mapas continuos de todos los espacios compactos de Hausdorff. En otras palabras, satisface la condición: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:K\to X}$ ${\displaystyle K.}$

un conjunto está abierto (o cerrado) exactamente cuando está abierto (o cerrado) para cada espacio compacto de Hausdorff y cada mapa continuo ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f^{-1}(A)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f:K\to X.}$

(2) es un espacio cociente de una suma topológica de espacios compactos de Hausdorff. ${\displaystyle X}$

(3) es un espacio cociente de un espacio de Hausdorff localmente compacto . ${\displaystyle X}$

Como se explica en el artículo final sobre topología , la condición (1) está bien definida, aunque la familia de mapas continuos de espacios compactos arbitrarios de Hausdorff no es un conjunto sino una clase adecuada. ^[5]

Todo espacio que satisface la Definición 2 también satisface la Definición 1. Lo contrario no es cierto. Por ejemplo, la compactación de un punto del espacio de Arens-Fort es compacta y, por tanto, satisface la Definición 1, pero no satisface la Definición 2.

La definición 2 es la que se usa más comúnmente en topología algebraica. Esta definición a menudo se combina con la propiedad débil de Hausdorff para formar la categoría CGWH de espacios de Hausdorff débiles generados de forma compacta .

Definición 3

Informalmente, un espacio cuya topología está determinada por sus subespacios compactos de Hausdorff.

Un espacio topológico se llama espacio generado de forma compacta o k-espacio si su topología es coherente con la familia de sus subespacios compactos de Hausdorff; es decir, satisface la propiedad: ${\displaystyle X}$

un conjunto está abierto (o cerrado) exactamente cuando la intersección está abierta (o cerrada) para cada subespacio compacto de Hausdorff ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\cap K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K\subseteq X.}$

Todo espacio que satisface la Definición 3 también satisface la Definición 2. Lo contrario no es cierto. Por ejemplo, el espacio de Sierpiński con topología no satisface la Definición 3, porque sus subespacios compactos de Hausdorff son los singletons y , y la topología coherente que inducen sería la topología discreta . Por otro lado, satisface la Definición 2 porque es homeomorfo al espacio cociente del intervalo compacto obtenido al identificar todos los puntos en ${\displaystyle X=\{0,1\}}$ ${\displaystyle \{\emptyset ,\{1\},X\}}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle (0,1].}$

Por sí sola, la Definición 3 no es tan útil como las otras dos definiciones ya que carece de algunas de las propiedades implicadas en las otras. Por ejemplo, todo espacio cociente de un espacio que satisface la Definición 1 o la Definición 2 es un espacio del mismo tipo. Pero eso no es válido para la Definición 3.

Sin embargo, para espacios débiles de Hausdorff, las definiciones 2 y 3 son equivalentes. ^[8] Por lo tanto, la categoría CGWH también se puede definir emparejando la propiedad débil de Hausdorff con la Definición 3, que puede ser más fácil de enunciar y trabajar que la Definición 2.

Motivación

Los espacios generados de forma compacta se denominaron originalmente espacios k , en honor a la palabra alemana kompakt . Fueron estudiados por Hurewicz y se pueden encontrar en Topología general de Kelley, Topología de Dugundji, Teoría de la homotopía racional de Félix, Halperin y Thomas.

La motivación para su estudio más profundo provino en la década de 1960 de deficiencias bien conocidas de la categoría habitual de espacios topológicos . Esto no es una categoría cartesiana cerrada , el producto cartesiano habitual de los mapas de identificación no siempre es un mapa de identificación, y el producto habitual de los complejos CW no tiene por qué ser un complejo CW. ^[9] Por el contrario, la categoría de conjuntos simpliciales tenía muchas propiedades convenientes, incluida la de ser cartesiano cerrado. La historia del estudio de la reparación de esta situación se detalla en el artículo del n Lab sobre categorías convenientes de espacios.

La primera sugerencia (1962) para remediar esta situación fue restringirse a la subcategoría completa de espacios de Hausdorff generados de forma compacta, que de hecho es cartesiana cerrada. Estas ideas se extienden al teorema de dualidad de De Vries. A continuación se proporciona una definición del objeto exponencial . Otra sugerencia (1964) fue considerar los espacios habituales de Hausdorff pero utilizar funciones continuas en subconjuntos compactos.

Estas ideas se generalizan al caso distinto de Hausdorff; ^[10] es decir, con una definición diferente de espacios generados de forma compacta. Esto es útil ya que los espacios de identificación de espacios de Hausdorff no necesitan ser Hausdorff. ^[11]

En la topología algebraica moderna , esta propiedad se combina más comúnmente con la propiedad débil de Hausdorff , de modo que se trabaja en la categoría CGWH de espacios de Hausdorff débiles generados de forma compacta .

Ejemplos

Como se explica en la sección Definiciones, no existe una definición universalmente aceptada en la literatura para espacios generados de forma compacta; pero las Definiciones 1, 2, 3 de esa sección son algunas de las más utilizadas. Para expresar los resultados de una manera más concisa, esta sección utilizará las abreviaturas CG-1 , CG-2 , CG-3 para indicar cada una de las tres definiciones sin ambigüedades. Esto se resume en la siguiente tabla (consulte la sección Definiciones para conocer otras condiciones equivalentes para cada una).

Para los espacios de Hausdorff las propiedades CG-1, CG-2, CG-3 son equivalentes. Estos espacios pueden denominarse Hausdorff generados de forma compacta sin ambigüedad.

Cada espacio CG-3 es CG-2 y cada espacio CG-2 es CG-1. Las implicaciones inversas no se cumplen en general, como lo muestran algunos de los ejemplos siguientes.

Para espacios débiles de Hausdorff las propiedades CG-2 y CG-3 son equivalentes. ^[8]

Los espacios secuenciales son CG-2. ^[12] Esto incluye los primeros espacios contables , los espacios discretos de Alexandrov y los espacios finitos .

Cada espacio CG-3 es un espacio T 1 (porque dado un singleton su intersección con cada subespacio compacto de Hausdorff es el conjunto vacío o un solo punto, que está cerrado, por lo tanto, el singleton está cerrado ). Los espacios finitos T ₁ tienen topología discreta . Entonces, entre los espacios finitos, que son todos CG-2, los espacios CG-3 son los que tienen topología discreta. Cualquier espacio finito no discreto, como el espacio de Sierpiński , es un ejemplo de espacio CG-2 que no es CG-3. ${\displaystyle \{x\}\subseteq X,}$ ${\displaystyle K\subseteq X}$ ${\displaystyle K;}$ ${\displaystyle X}$

Los espacios compactos y los espacios débilmente compactos localmente son CG-1, pero no necesariamente CG-2 (ver ejemplos a continuación).

Los espacios de Hausdorff generados de forma compacta incluyen la versión de Hausdorff de las diversas clases de espacios mencionados anteriormente como CG-1 o CG-2, a saber, espacios secuenciales de Hausdorff, primeros espacios contables de Hausdorff, espacios de Hausdorff localmente compactos , etc. En particular, espacios métricos y variedades topológicas. se generan de forma compacta. Los complejos CW también se generan de forma compacta según Hausdorff.

Para proporcionar ejemplos de espacios que no se generan de forma compacta, es útil examinar los espacios anticompactos ^[13] , es decir, espacios cuyos subespacios compactos son todos finitos. Si un espacio es anticompacto y T ₁ , cada subespacio compacto de tiene la topología discreta y la k-ificación correspondiente de es la topología discreta. Por lo tanto, cualquier espacio anticompacto T ₁ no discreto no es CG-1. Ejemplos incluyen: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

• La topología contable en un espacio incontable.
• La Lindelöficación de un punto de un espacio discreto incontable (también llamado espacio Fortissimo ).
• El espacio Arens-Fort .
• El espacio Appert .
• La "topología de ultrafiltro único". ^[14]

Otros ejemplos de espacios (Hausdorff) que no se generan de forma compacta incluyen:

• El producto de innumerables copias de (cada una con la topología euclidiana habitual ). ^[15] ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• El producto de incontables copias de (cada una con la topología discreta ). ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Para ejemplos de espacios que son CG-1 y no CG-2, se puede comenzar con cualquier espacio que no sea CG-1 (por ejemplo, el espacio Arens-Fort o un producto incontable de copias de ) y dejar que sea el de un punto compactificación del El espacio es compacto, de ahí CG-1. Pero no es CG-2 porque los subespacios abiertos heredan la propiedad CG-2 y son un subespacio abierto que no es CG-2. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Propiedades

(Consulte la sección de Ejemplos para conocer el significado de las abreviaturas CG-1, CG-2, CG-3).

Subespacios

Los subespacios de un espacio generado de forma compacta no se generan de forma compacta en general, ni siquiera en el caso de Hausdorff. Por ejemplo, el espacio ordinal donde está el primer ordinal incontable es compacto de Hausdorff y, por tanto, generado de forma compacta. Su subespacio con todos los ordinales límite excepto eliminados es isomorfo al espacio Fortissimo , que no se genera de forma compacta (como se menciona en la sección de Ejemplos, es anticompacto y no discreto). ^[16] Otro ejemplo es el espacio de Arens, ^{[17] [18]} que es secuencial de Hausdorff y, por lo tanto, se genera de forma compacta. Contiene como subespacio el espacio Arens-Fort , que no se genera de forma compacta. ${\displaystyle \omega _{1}+1=[0,\omega _{1}]}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$

En un espacio CG-1, todo conjunto cerrado es CG-1. No ocurre lo mismo con los conjuntos abiertos. Por ejemplo, como se muestra en la sección de Ejemplos, hay muchos espacios que no son CG-1, pero están abiertos en su compactación de un punto , que es CG-1.

En un espacio CG-2 todo conjunto cerrado es CG-2; y también lo es todo conjunto abierto (porque hay un mapa de cociente para algún espacio de Hausdorff localmente compacto y para un conjunto abierto la restricción de a también es un mapa de cociente en un espacio de Hausdorff localmente compacto). Lo mismo es cierto de manera más general para todo conjunto localmente cerrado , es decir, la intersección de un conjunto abierto y un conjunto cerrado. ^[19] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle q:Y\to X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q^{-1}(U)}$

En un espacio CG-3, todo conjunto cerrado es CG-3.

Cocientes

La unión disjunta de una familia de espacios topológicos es CG-1 si y sólo si cada espacio es CG-1. Las declaraciones correspondientes también son válidas para CG-2 ^{[20] [21]} y CG-3. ${\displaystyle {\coprod }_{i}X_{i}}$ ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle X_{i}}$

Un espacio cociente de un espacio CG-1 es CG-1. ^[22] En particular, cada espacio cociente de un espacio débilmente compacto localmente es CG-1. Por el contrario, cada espacio CG-1 es el espacio cociente de un espacio débilmente compacto localmente, que puede tomarse como la unión disjunta de los subespacios compactos de ^[22] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Un espacio cociente de un espacio CG-2 es CG-2. ^[23] En particular, cada espacio cociente de un espacio de Hausdorff localmente compacto es CG-2. Por el contrario, cada espacio CG-2 es el espacio cociente de un espacio de Hausdorff localmente compacto. ^{[24] [25]}

Un espacio cociente de un espacio CG-3 no es CG-3 en general. De hecho, todo espacio CG-2 es un espacio cociente de un espacio CG-3 (es decir, algún espacio de Hausdorff localmente compacto); pero hay espacios CG-2 que no son CG-3. Para un ejemplo concreto, el espacio de Sierpiński no es CG-3, pero es homeomorfo al cociente del intervalo compacto obtenido al identificarse con un punto. ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle (0,1]}$

De manera más general, cualquier topología final en un conjunto inducido por una familia de funciones de espacios CG-1 también es CG-1. Y lo mismo ocurre con CG-2. Esto se logra combinando los resultados anteriores para uniones disjuntas y espacios cocientes, junto con el comportamiento de las topologías finales bajo composición de funciones.

Una suma de cuña de espacios CG-1 es CG-1. Lo mismo ocurre con CG-2. Esta es también una aplicación de los resultados anteriores para uniones disjuntas y espacios cocientes.

Productos

El producto de dos espacios generados de forma compacta no necesita generarse de forma compacta, incluso si ambos espacios son de Hausdorff y secuenciales . Por ejemplo, el espacio con la topología subespacial de la línea real es primero contable ; el espacio con la topología del cociente desde la recta real con los enteros positivos identificados hasta un punto es secuencial. Ambos espacios son Hausdorff generados de forma compacta, pero su producto no se genera de forma compacta. ^[26] ${\displaystyle X=\mathbb {R} \setminus \{1,1/2,1/3,\ldots \}}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {R} /\{1,2,3,\ldots \}}$ ${\displaystyle X\times Y}$

Sin embargo, en algunos casos el producto de dos espacios generados de forma compacta se genera de forma compacta:

• El producto de dos primeros espacios contables es el primero contable, por lo tanto CG-2.
• El producto de un espacio CG-1 y un espacio localmente compacto es CG-1. ^[27] (Aquí, localmente compacto tiene el sentido de la condición (3) del artículo correspondiente, es decir, cada punto tiene una base local de vecindades compactas).
• El producto de un espacio CG-2 y un espacio Hausdorff localmente compacto es CG-2. ^{[28] [29]}

Cuando se trabaja en una categoría de espacios generados de forma compacta (como todos los espacios CG-1 o todos los espacios CG-2), la topología de producto habitual no se genera de forma compacta en general, por lo que no puede servir como un producto categórico . Pero su k-ificación sí pertenece a la categoría esperada y es el producto categórico. ^{[30] [31]} ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle k(X\times Y)}$

Continuidad de funciones

Las funciones continuas en espacios generados de forma compacta son aquellas que se comportan bien en subconjuntos compactos. Más precisamente, sea una función de un espacio topológico a otro y supongamos que el dominio se genera de forma compacta según una de las definiciones de este artículo. Dado que los espacios generados de forma compacta se definen en términos de una topología final , se puede expresar la continuidad de en términos de la continuidad de la composición de con los diversos mapas de la familia utilizados para definir la topología final. Los detalles son los siguientes. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Si es CG-1, la función es continua si y sólo si la restricción es continua para cada compacto ^[32] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\vert _{K}:K\to Y}$ ${\displaystyle K\subseteq X.}$

Si es CG-2, la función es continua si y sólo si la composición es continua para cada espacio compacto de Hausdorff y mapa continuo ^[33] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\circ u:K\to Y}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle u:K\to X.}$

Si es CG-3, la función es continua si y sólo si la restricción es continua para cada Hausdorff compacto ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\vert _{K}:K\to Y}$ ${\displaystyle K\subseteq X.}$

Misceláneas

Para espacios topológicos , denotemos el espacio de todos los mapas continuos desde hasta topologíados por la topología compacta-abierta . Si es CG-1, los componentes de la ruta son precisamente las clases de equivalencia de homotopía . ^[34] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle C(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C(X,Y)}$

K-ificación

Dado cualquier espacio topológico, podemos definir una topología posiblemente más fina que se genera de forma compacta, a veces llamada ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$k-ificación de la topología. Denotemosla familia de subconjuntos compactos deDefinimos la nueva topologíadeclarando que un subconjuntoestá cerradosi y sólo siestá cerradopara cada índice.Denotamos este nuevo espacio porSe puede demostrar que los subconjuntos compactos deycoinciden, y el inducido Las topologías en subconjuntos compactos son las mismas. Se deduce quese genera de forma compacta. Sise generó de forma compacta para empezar, entonces, de lo contrario, la topologíaes estrictamente más fina que(es decir, hay más conjuntos abiertos). ${\displaystyle \{K_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\cap K_{\alpha }}$ ${\displaystyle K_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha .}$ ${\displaystyle kX.}$ ${\displaystyle kX}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle kX}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle kX=X.}$ ${\displaystyle kX}$ ${\displaystyle X}$

Esta construcción es funcional . Denotamos la subcategoría completa de con objetos los espacios generados de forma compacta, y la subcategoría completa de con objetos los espacios de Hausdorff. El funtor de a que lleva a está junto al funtor de inclusión. ${\displaystyle \mathbf {CGTop} }$ ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ ${\displaystyle \mathbf {CGHaus} }$ ${\displaystyle \mathbf {CGTop} }$ ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ ${\displaystyle \mathbf {CGTop} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle kX}$ ${\displaystyle \mathbf {CGTop} \to \mathbf {Top} .}$

El objeto exponencial está dado por dónde está el espacio de mapas continuos desde hasta con la topología compacta-abierta . ${\displaystyle \mathbf {CGHaus} }$ ${\displaystyle k(Y^{X})}$ ${\displaystyle Y^{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Estas ideas pueden generalizarse al caso distinto de Hausdorff. ^[10] Esto es útil ya que los espacios de identificación de espacios de Hausdorff no necesitan ser Hausdorff.

Ver también

• Topología abierta y compacta
• Espacio generado contablemente  : espacio topológico en el que la topología está determinada por sus subconjuntos contables.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio finitamente generado  : espacio topológico en el que la intersección de cualquier familia de conjuntos abiertos es abierta.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio K (análisis funcional)

Notas

1. Strickland 2009, Definición 1.1.
2. Lawson, J.; Madison, B. (1974). "Cocientes de k-semigrupos". Foro Semigrupo . 9 : 1–18. doi :10.1007/BF02194829.
3. Willard 2004, Definición 43.8.
4. Munkres 2000, pag. 283.
5. Brown 2006, pág. 182.
6. Strickland 2009.
7. espacio topológico generado de forma compacta en el n Lab
8. Strickland 2009, Lema 1.4 (c).
9. Hatcher, Allen (2001). Topología algebraica (PDF) .( Ver el Apéndice )
10. Brown 2006, sección 5.9.
11. Stand, Pedro; Tillotson, J. (1980). "Categorías monoidales cerradas, cartesianas cerradas y convenientes de espacios topológicos" (PDF) . Revista Pacífico de Matemáticas . 88 (1): 35–53. doi :10.2140/pjm.1980.88.35.
12. Strickland 2009, Proposición 1.6.
13. Bankston, Paul (1979). "La negación total de una propiedad topológica". Revista de Matemáticas de Illinois . 23 (2): 241–252. doi : 10.1215/ijm/1256048236 .
14. Steen y Seebach 1995, ejemplo 114, p. 136.
15. Willard 2004, Problema 43H (2).
16. Lamartin 1977, pag. 8.
17. Engelking 1989, Ejemplo 1.6.19.
18. Mamá, Dan (19 de agosto de 2010). "Una nota sobre el espacio de Arens".
19. Lamartin 1977, Proposición 1.8.
20. Strickland 2009, Proposición 2.2.
21. Rezk 2018, Proposición 3.4 (3).
22. Lawson y Madison 1974, pág. 3.
23. Brown 2006, 5.9.1 (Corolario 2).
24. Brown 2006, Proposición 5.9.1.
25. Lamartin 1977, Proposición 1.7.
26. Engelking 1989, ejemplo 3.3.29.
27. Lawson y Madison 1974, Proposición 1.2.
28. Strickland 2009, Proposición 2.6.
29. Rezk 2018, Proposición 7.5.
30. Lamartin 1977, Proposición 1.11.
31. Rezk 2018, sección 3.5.
32. Willard 2004, Teorema 43.10.
33. Strickland 2009, Proposición 1.11.
34. Willard 2004, Problema 43J (1).

Referencias

• Brown, Ronald (2006), Topología y grupoides, Booksurge, ISBN 1-4196-2722-8
• Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3-88538-006-4.
• Lamartin, WF (1977), Sobre los fundamentos de la teoría de grupos k, Warszawa: Instytut Matematyczny Polskiej Akademi Nauk
• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático que trabaja . Textos de Posgrado en Matemáticas 5 (2ª ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8.
• Mayo, J. Peter (1999). Un curso conciso en topología algebraica (PDF) . Chicago: Prensa de la Universidad de Chicago. ISBN 0-226-51183-9.
• Munkres, James R. (2000). Topología (Segunda ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.
• Rezk, Charles (2018). "Espacios generados de forma compacta" (PDF) .
• Steen, Lynn Arturo ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de 1978 ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3. SEÑOR  0507446.
• Strickland, Neil P. (2009). «La categoría de espacios CGWH» (PDF) .
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general. Mineola, Nueva York : Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.

enlaces externos

• Espacios generados de forma compacta - contiene un excelente catálogo de propiedades y construcciones con espacios generados de forma compacta
• Espacio topológico generado de forma compacta en el n Lab
• Categoría conveniente de espacios topológicos en el n Lab