Espacio topológico caracterizado por secuencias.
En topología y campos relacionados de las matemáticas , un espacio secuencial es un espacio topológico cuya topología puede caracterizarse completamente por sus secuencias convergentes/divergentes. Se pueden considerar como espacios que satisfacen un axioma de contabilidad muy débil , y todos los primeros espacios contables (especialmente los espacios métricos ) son secuenciales.
En cualquier espacio topológico, si una secuencia convergente está contenida en un conjunto cerrado , entonces el límite de esa secuencia también debe estar contenido . Los conjuntos con esta propiedad se conocen como secuencialmente cerrados . Los espacios secuenciales son precisamente aquellos espacios topológicos para los cuales los conjuntos secuencialmente cerrados son de hecho cerrados. (Estas definiciones también se pueden reformular en términos de conjuntos secuencialmente abiertos; ver más abajo). Dicho de otra manera, cualquier topología se puede describir en términos de redes (también conocidas como secuencias de Moore-Smith), pero esas secuencias pueden ser "demasiado largas" ( indexado por un ordinal demasiado grande) para comprimirlo en una secuencia. Los espacios secuenciales son aquellos espacios topológicos para los cuales redes de longitud contable (es decir, secuencias) son suficientes para describir la topología.
Cualquier topología se puede refinar (es decir, hacer más fina) a una topología secuencial, llamada correflexión secuencial de
Los conceptos relacionados de espacios de Fréchet-Urysohn , espacios T -secuenciales y espacios -secuenciales también se definen en términos de cómo la topología de un espacio interactúa con las secuencias, pero tienen propiedades sutilmente diferentes.
Los espacios secuenciales y los espacios secuenciales fueron introducidos por SP Franklin . [1]
Historia
Aunque los espacios que satisfacen tales propiedades se han estudiado implícitamente durante varios años, la primera definición formal se debe a SP Franklin en 1965. Franklin quería determinar "las clases de espacios topológicos que pueden especificarse completamente mediante el conocimiento de sus secuencias convergentes", y Comenzó investigando los primeros espacios contables , para lo cual ya se sabía que bastaba con secuencias. Luego, Franklin llegó a la definición moderna abstrayendo las propiedades necesarias de los primeros espacios contables.
Definiciones preliminares
Sea un conjunto y sea una secuencia en ; es decir, una familia de elementos de , indexados por los números naturales . En este artículo, significa que cada elemento de la secuencia es un elemento de y, si es un mapa, entonces Para cualquier índice , la cola que comienza en es la secuencia. Eventualmente se encuentra una secuencia si alguna cola de satisface
Sea una topología y una secuencia en la misma . La secuencia converge a un punto escrito (cuando el contexto lo permite ), si, para cada vecindad de eventualmente se encuentra entonces se llama punto límite de
Una función entre espacios topológicos es secuencialmente continua si implica
Cierre secuencial/interior
Sea un espacio topológico y sea un subconjunto. El cierre topológico (resp. interior topológico ) de in se denota por (resp. ).
El cierre secuencial de in es el conjunto que define un mapa, el operador de cierre secuencial , en el conjunto potenciado de Si es necesario para mayor claridad, este conjunto también puede escribirse o Siempre se da el caso, pero lo contrario puede fallar.
El interior secuencial de in es el conjunto (el espacio topológico nuevamente indicado con un subíndice si es necesario).
El cierre secuencial y el interior satisfacen muchas de las buenas propiedades del cierre topológico y el interior: para todos los subconjuntos
- y ;
- y ;
- ;
- ; y
Es decir, el cierre secuencial es un operador de precierre . A diferencia del cierre topológico, el cierre secuencial no es idempotente : la última contención puede ser estricta. Por lo tanto, el cierre secuencial no es un operador de cierre ( Kuratowski ) .
Conjuntos secuencialmente cerrados y abiertos.
Un conjunto se cierra secuencialmente si ; equivalentemente, para todos y tales que debemos tener [nota 1]
Se define que un conjunto es secuencialmente abierto si su complemento es secuencialmente cerrado. Las condiciones equivalentes incluyen:
- o
- Para todos y aquellos que eventualmente están en (es decir, existe algún número entero tal que la cola ).
Un conjunto es una vecindad secuencial de un punto si contiene en su interior secuencial; Las vecindades secuenciales no necesitan estar secuencialmente abiertas (consulte § Espacios secuenciales T y N a continuación).
Es posible que un subconjunto de esté secuencialmente abierto pero no abierto. De manera similar, es posible que exista un subconjunto secuencialmente cerrado que no lo sea.
Espacios secuenciales y correflexión.
Como se analizó anteriormente, el cierre secuencial no es en general idempotente y, por lo tanto, no es el operador de cierre de una topología. Se puede obtener un cierre secuencial idempotente mediante iteración transfinita : para un ordinal sucesor, defina (como de costumbre) y, para un ordinal límite, defina. Este proceso proporciona una secuencia creciente de conjuntos indexada por ordinales; resulta que esa secuencia siempre se estabiliza por índice (el primer ordinal incontable ). Por el contrario, el orden secuencial de es el ordinal mínimo en el que, para cualquier elección de la secuencia anterior, se estabilizará. [2]
El cierre secuencial transfinito de es el terminal establecido en la secuencia anterior: El operador es idempotente y, por tanto, un operador de cierre . En particular, define una topología, la correflexión secuencial. En la correflexión secuencial, cada conjunto secuencialmente cerrado está cerrado (y cada conjunto secuencialmente abierto está abierto). [3]
Espacios secuenciales
Un espacio topológico es secuencial si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- es su propia correflexión secuencial. [4]
- Cada subconjunto secuencialmente abierto de está abierto.
- Todo subconjunto secuencialmente cerrado de está cerrado.
- Para cualquier subconjunto que no esté cerrado existe alguna [nota 2] y una secuencia que converge a [5]
- (Propiedad universal) Para todo espacio topológico un mapa es continuo si y sólo si es secuencialmente continuo (si entonces ). [6]
- es el cociente de un primer espacio contable.
- es el cociente de un espacio métrico.
Al tomar y como mapa de identidad en la propiedad universal, se deduce que la clase de espacios secuenciales consiste precisamente en aquellos espacios cuya estructura topológica está determinada por secuencias convergentes. Si dos topologías coinciden en secuencias convergentes, entonces necesariamente tienen la misma correflexión secuencial. Además, una función de es secuencialmente continua si y sólo si es continua en la correflexión secuencial (es decir, cuando está precompuesta con ).
t- ynorte-espacios secuenciales
Un espacio T -secuencial es un espacio topológico con orden secuencial 1, que equivale a cualquiera de las siguientes condiciones: [1]
- El cierre secuencial (o interior) de cada subconjunto de está secuencialmente cerrado (o abierto).
- o son idempotentes.
- o
- Cualquier vecindad secuencial de puede reducirse a un conjunto secuencialmente abierto que contenga ; Formalmente, los barrios secuencialmente abiertos son una base de barrio para los barrios secuenciales.
- Para cualquier vecindad secuencial de existe una vecindad secuencial de tal que, para cada el conjunto es una vecindad secuencial de
Ser un espacio secuencial T es incomparable con ser un espacio secuencial; hay espacios secuenciales que no son T -secuenciales y viceversa. Sin embargo, un espacio topológico se llama secuencial (o secuencial de vecindad ) si es secuencial y T secuencial. Una condición equivalente es que cada vecindad secuencial contenga una vecindad abierta (clásica). [1]
Cada primer espacio contable (y por tanto cada espacio metrizable ) es secuencial. Existen espacios vectoriales topológicos que son secuenciales pero no secuenciales (y por lo tanto no T -secuenciales). [1]
Espacios de Fréchet-Urysohn
Un espacio topológico se denomina Fréchet-Urysohn si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- es hereditariamente secuencial; es decir, todo subespacio topológico es secuencial.
- Para cada subconjunto
- Para cualquier subconjunto que no está cerrado y cada existe una secuencia que converge a
A veces también se dice que los espacios de Fréchet-Urysohn son "Fréchet", pero no deben confundirse ni con los espacios de Fréchet en el análisis funcional ni con la condición T 1 .
Ejemplos y condiciones suficientes
Todo complejo CW es secuencial, ya que puede considerarse como un cociente de un espacio métrico.
El espectro primo de un anillo noetheriano conmutativo con topología de Zariski es secuencial. [7]
Tome la recta real e identifique el conjunto de números enteros hasta un punto. Como cociente de un espacio métrico, el resultado es secuencial, pero no es primero contable.
Cada primer espacio contable es Fréchet-Urysohn y cada espacio de Fréchet-Urysohn es secuencial. Así, todo espacio metrizable o pseudometrizable (en particular, cada segundo espacio contable , espacio métrico o espacio discreto ) es secuencial.
Sea un conjunto de aplicaciones desde espacios de Fréchet-Urysohn hasta Entonces la topología final que induce es secuencial.
Un espacio vectorial topológico de Hausdorff es secuencial si y sólo si no existe una topología estrictamente más fina con las mismas secuencias convergentes. [9]
Espacios secuenciales pero no Fréchet-Urysohn
El espacio de Schwartz y el espacio de funciones suaves , como se analiza en el artículo sobre distribuciones , son espacios secuenciales ampliamente utilizados. [10] [11]
De manera más general, todo espacio Montel DF de dimensión infinita es secuencial, pero no Fréchet-Urysohn .
El espacio de Arens es secuencial, pero no el de Fréchet-Urysohn. [12] [13]
No ejemplos (espacios que no son secuenciales)
El espacio más simple que no es secuencial es la topología contable en un conjunto incontable. Cada secuencia convergente en tal espacio es eventualmente constante; por tanto, todo conjunto es secuencialmente abierto. Pero la topología contable no es discreta . (Se podría llamar a la topología "secuencialmente discreta".) [14]
Denotemos el espacio de funciones de prueba suaves con su topología canónica y denotemos el espacio de distribuciones, el espacio dual fuerte de ; ninguno de los dos es secuencial (ni siquiera un espacio de Ascoli). [10] [11] Por otro lado, ambos y son espacios de Montel [15] y, en el espacio dual de cualquier espacio de Montel, una secuencia de funcionales lineales continuos converge en la topología dual fuerte si y sólo si converge en el topología débil* (es decir, converge puntualmente). [10]
Consecuencias
Cada espacio secuencial tiene una estanqueidad contable y se genera de forma compacta .
Si se trata de una sobreyección abierta continua entre dos espacios secuenciales de Hausdorff, entonces el conjunto de puntos con preimagen única es cerrado. (Por continuidad, también lo es su preimagen en el conjunto de todos los puntos en los que es inyectivo).
Si es un mapa sobreyectivo (no necesariamente continuo) en un espacio secuencial de Hausdorff y bases para la topología, entonces es un mapa abierto si y sólo si, para cada vecindad básica y secuencia en hay una subsecuencia de que finalmente está en
Propiedades categóricas
La subcategoría completa Seq de todos los espacios secuenciales se cierra bajo las siguientes operaciones en la categoría Top de espacios topológicos:
La categoría Seq no está cerrada bajo las siguientes operaciones en Top :
- Imágenes continuas
- Subespacios
- productos finitos
Dado que están cerrados bajo sumas y cocientes topológicos, los espacios secuenciales forman una subcategoría correflexiva de la categoría de espacios topológicos . De hecho, son el casco correflectivo de espacios metrizables (es decir, la clase más pequeña de espacios topológicos cerrados bajo sumas y cocientes y que contienen los espacios metrizables).
La subcategoría Seq es una categoría cerrada cartesiana respecto de su propio producto (no el de Top ). Los objetos exponenciales están equipados con la topología abierta (secuencia convergente).
PI Booth y A. Tillotson han demostrado que Seq es la subcategoría cerrada cartesiana más pequeña de Top que contiene los espacios topológicos subyacentes de todos los espacios métricos , complejos CW y variedades diferenciables y que está cerrada bajo colimites, cocientes y otras "ciertas identidades razonables". " que Norman Steenrod calificó de "conveniente". [17]
Cada espacio secuencial se genera de forma compacta , y los productos finitos en Seq coinciden con los de espacios generados de forma compacta, ya que los productos en la categoría de espacios generados de forma compacta conservan cocientes de espacios métricos.
Ver también
Notas
Citas
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Es un espacio de Montel, por tanto paracompacto y, por tanto, normal.
- ^ Steenrod 1967
Referencias
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