Topología débil

En matemáticas , topología débil es un término alternativo para ciertas topologías iniciales , a menudo en espacios vectoriales topológicos o espacios de operadores lineales , por ejemplo en un espacio de Hilbert . El término se utiliza más comúnmente para la topología inicial de un espacio vectorial topológico (como un espacio vectorial normado ) con respecto a su dual continuo . El resto de este artículo abordará este caso, que es uno de los conceptos del análisis funcional .

Se pueden llamar subconjuntos de un espacio vectorial topológico débilmente cerrados (respectivamente, débilmente compactos , etc.) si están cerrados (respectivamente, compactos , etc.) con respecto a la topología débil. Asimismo, las funciones a veces se denominan débilmente continuas (respectivamente, débilmente diferenciables , débilmente analíticas , etc.) si son continuas (respectivamente, diferenciables , analíticas , etc.) con respecto a la topología débil.

Historia

A principios del siglo XX, David Hilbert y Marcel Riesz hicieron un uso extensivo de la convergencia débil. Los primeros pioneros del análisis funcional no elevaron la convergencia de normas por encima de la convergencia débil y muchas veces consideraron que la convergencia débil era preferible. ^[1] En 1929, Banach introdujo la convergencia débil para espacios normados y también introdujo la convergencia débil-* análoga . ^[1] La topología débil también se llama topologie faible en francés y schwache Topologie en alemán.

Las topologías débiles y fuertes.

Sea un campo topológico , es decir, un campo con una topología tal que la suma, la multiplicación y la división son continuas . En la mayoría de las aplicaciones será el campo de números complejos o el campo de números reales con las topologías familiares. $\mathbb {K}$ $\mathbb {K}$

Topología débil con respecto a un emparejamiento.

Tanto la topología débil como la topología débil* son casos especiales de una construcción más general para emparejamientos , que ahora describimos. El beneficio de esta construcción más general es que cualquier definición o resultado demostrado se aplica tanto a la topología débil como a la topología débil*, lo que hace redundante la necesidad de muchas definiciones, enunciados de teoremas y demostraciones. Esta es también la razón por la que la topología débil* también se denomina frecuentemente "topología débil"; porque es sólo un ejemplo de la topología débil en el marco de esta construcción más general.

Supongamos que $(X, Y, b)$ es un par de espacios vectoriales sobre un campo topológico (es decir, $X$ $e$ Y $son$ espacios vectoriales sobre yb $:$ $X$ $\times$ $Y$ $\to$ es un mapa bilineal ). $\mathbb {K}$ $\mathbb {K}$ $\mathbb {K}$

Notación. Para todo

x \in X

, sea

\mathbb {K}

denota el funcional lineal en

Y

definido por

y \mapsto b (x, y)

. De manera similar, para todo

y \in Y

, definamos

\mathbb {K}

por

x \mapsto b (x, y)

Definición. La topología débil en $X$ inducida por

Y

b

) es la topología más débil en

X

, denotada por

𝜎(X, Y, b)

o simplemente

𝜎(X, Y)

, lo que hace que todas las aplicaciones

\mathbb {K}

continuo, ya que

y

oscila sobre

Y

. ^[1]

La topología débil en $Y$ ahora se define automáticamente como se describe en el artículo Sistema dual . Sin embargo, para mayor claridad, lo repetimos ahora.

Definición. La topología débil en $Y$ inducida por

X

b

) es la topología más débil en

Y

, denotada por

𝜎(Y, X, b)

o simplemente

𝜎(Y, X)

, lo que hace que todas las aplicaciones

\mathbb {K}

continuo, ya que

x

oscila sobre

X

. ^[1]

Si el campo tiene un valor absoluto $|$ $\cdot$ $|$ , entonces la topología débil $𝜎($ $X$ $,$ $Y$ $,$ $b$ $)$ en $X$ es inducida por la familia de seminormas , $p$ $y$ $:$ $X$ $\to$ , definida por $\mathbb {K}$ $\mathbb {R}$

p y (x) := | segundo (x, y) |

para todo $y \in Y$ y $x \in X$ . Esto muestra que las topologías débiles son localmente convexas .

Suposición. De ahora en adelante asumiremos que se trata de números reales o números complejos .

\mathbb {K}

\mathbb {R}

\mathbb {C}

Dualidad canónica

Ahora consideramos el caso especial donde $Y$ es un subespacio vectorial del espacio dual algebraico de $X$ (es decir, un espacio vectorial de funcionales lineales en $X$ ).

Existe un emparejamiento, denotado por o , llamado emparejamiento canónico cuyo mapa bilineal es el mapa de evaluación canónico , definido por para todos y . Tenga en cuenta en particular que es sólo otra forma de denotar, es decir . $(X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ $(X,Y)$ $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ $\langle x,x'\rangle =x'(x)$ $x\en X$ $x'\en Y$ $\langle \cdot,x'\rangle$ $x'$ $\langle \cdot ,x'\rangle =x'(\cdot )$

Suposición. Si

Y

es un subespacio vectorial del espacio dual algebraico de

X

, entonces asumiremos que están asociados con el par canónico

⟨ X, Y ⟩

En este caso, la topología débil en $X$ (resp. la topología débil en Y ), denotada por $𝜎(X, Y)$ (resp. por $𝜎(Y, X)$ ) es la topología débil en $X$ (resp. en $Y$ ) con respecto al emparejamiento canónico $⟨ X, Y ⟩$ .

La topología $σ(X, Y)$ es la topología inicial de $X$ con respecto a $Y$ .

Si $Y$ es un espacio vectorial de funcionales lineales en $X$ , entonces el dual continuo de $X$ con respecto a la topología $σ(X, Y)$ es precisamente igual a $Y.$ ^[1] (Rudin 1991, Teorema 3.10)

Las topologías débil y débil*

Sea $X$ un espacio vectorial topológico (TVS) sobre , es decir, $X$ es un espacio vectorial equipado con una topología de modo que la suma de vectores y la multiplicación escalar sean continuas. $A la topología que X$ comienza la llamamos topología original , inicial o dada (se advierte al lector contra el uso de los términos " topología inicial " y " topología fuerte " para referirse a la topología original, ya que estos ya tienen significados bien conocidos, por lo que usarlos puede causar confusión). Podemos definir una topología posiblemente diferente en $X usando el$ espacio dual topológico o continuo , que consta de todos los funcionales lineales desde $X$ hasta el campo base que son continuos con respecto a la topología dada. $\mathbb {K}$ $\mathbb {K}$ $X^{*}$ $\mathbb {K}$

Recordemos que es el mapa de evaluación canónico definido por para todos y , donde en particular, . $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ $\langle x,x'\rangle =x'(x)$ $x\en X$ $x'\en X^{*}$ $\langle \cdot ,x'\rangle =x'(\cdot )=x'$

Definición. La topología débil en $X$ es la topología débil en

X

con respecto al emparejamiento canónico . Es decir, es la topología más débil en

X

, lo que hace que todos los mapas sean continuos, en rangos superiores a . ^[1]

\langle X,X^{*}\rangle

x'=\langle \cdot ,x'\rangle :X\to \mathbb {K}

x'

X^{*}

Definición : La topología débil $X^{*}$ es la topología débil con respecto al emparejamiento canónico . Es decir, es la topología más débil para hacer que todos los mapas sean continuos, ya que

x

abarca

X

. ^[1] Esta topología también se denomina topología débil* .

X^{*}

\langle X,X^{*}\rangle

X^{*}

\langle x,\cdot \rangle :X^{*}\to \mathbb {K}

A continuación damos definiciones alternativas.

Topología débil inducida por el espacio dual continuo.

Alternativamente, la topología débil en un TVS $X$ es la topología inicial con respecto a la familia . En otras palabras, es la topología más burda en X tal que cada elemento de sigue siendo una función continua . $X^{*}$ $X^{*}$

Una subbase para la topología débil es la colección de conjuntos de la forma donde y $U$ es un subconjunto abierto del campo base . En otras palabras, un subconjunto de $X$ es abierto en la topología débil si y sólo si puede escribirse como una unión de (posiblemente infinitos) conjuntos, cada uno de los cuales es una intersección de un número finito de conjuntos de la forma . $\phi ^{-1}(U)$ $\phi \en X^{*}$ $\mathbb {K}$ $\phi ^{-1}(U)$

Desde este punto de vista, la topología débil es la topología polar más burda .

Convergencia débil

La topología débil se caracteriza por la siguiente condición: una red en $X$ converge en la topología débil al elemento $x$ de $X$ si y sólo si converge a in o for all . $(x_{\lambda })$ $\phi (x_{\lambda })$ $\phi (x)$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\phi \en X^{*}$

En particular, si es una secuencia en $X$ , entonces converge débilmente a $x$ si $x_{n}$ $x_{n}$

\varphi (x_ {n})\to \varphi (x)

como $n \to \infty$ para todos . En este caso, se acostumbra escribir $\varphi \en X^{*}$

x_{n}{\overset {\mathrm {w} }{\longrightarrow }}x

o algunas veces,

x_{n}\rightharpoonup x.

Otras propiedades

Si $X$ está equipado con la topología débil, entonces la suma y la multiplicación escalar siguen siendo operaciones continuas, y $X$ es un espacio vectorial topológico localmente convexo .

Si $X$ es un espacio normado, entonces el espacio dual es en sí mismo un espacio vectorial normado utilizando la norma $X^{*}$

\|\phi \|=\sup _{\|x\|\leq 1}|\phi (x)|.

Esta norma da lugar a una topología, llamada topología fuerte . Ésta es la topología de la convergencia uniforme . Las topologías uniformes y fuertes son generalmente diferentes para otros espacios de mapas lineales; vea abajo. $X^{*}$

Topología débil*

La topología débil* es un ejemplo importante de topología polar .

Un espacio $X$ puede incrustarse en su doble dual X** mediante

x\mapsto {\begin{cases}T_{x}:X^{*}\to \mathbb {K} \\T_{x}(\phi )=\phi (x)\end{cases} }

Por lo tanto, se trata de un mapeo lineal inyectivo , aunque no necesariamente sobreyectivo (los espacios para los cuales esta incrustación canónica es sobreyectiva se llaman reflexivos ). La topología débil-* es la topología débil inducida por la imagen de . En otras palabras, es la topología más burda tal que los mapas T _x , definidos por desde hasta el campo base o permanecen continuos. $T:X\a X^{**}$ $X^{*}$ $T:T(X)\subconjunto X^{**}$ $T_{x}(\phi )=\phi (x)$ $X^{*}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Convergencia débil-*

Una red in es convergente a in la topología débil-* si converge puntualmente: $\phi _{\lambda }$ $X^{*}$ $\phi$

\phi _{\lambda }(x)\to \phi (x)

para todos . En particular, una secuencia de converge a siempre que $x\en X$ $\phi _{n}\en X^{*}$ $\phi$

\phi _{n}(x)\to \phi (x)

para todo $x \in X$ . En este caso se escribe

\phi _{n}{\overset {w^{*}}{\to }}\phi

como $norte \to \infty$ .

La convergencia débil* a veces se denomina convergencia simple o convergencia puntual . De hecho, coincide con la convergencia puntual de funcionales lineales.

Propiedades

Si $X$ es un espacio localmente convexo separable (es decir, tiene un subconjunto denso contable) y H es un subconjunto acotado por normas de su espacio dual continuo, entonces H dotado de la topología débil* (subespacio) es un espacio topológico metrizable . ^[1] Sin embargo, para espacios de dimensiones infinitas, la métrica no puede ser invariante en la traducción. ^[2] Si $X es un espacio$ localmente convexo metrizable separable , entonces la topología débil* en el espacio dual continuo de $X$ es separable. ^[1]

Propiedades en espacios normados

Por definición, la topología débil* es más débil que la topología débil en . Un hecho importante acerca de la topología débil* es el teorema de Banach-Alaoglu : si $X$ está normado, entonces la bola unidad cerrada es débil* -compacta (de manera más general, la entrada polar de una vecindad de 0 en $X$ es débil*-compacta ). Además, la bola unitaria cerrada en un espacio normado $X$ es compacta en la topología débil si y sólo si $X$ es reflexivo . $X^{*}$ $X^{*}$ $X^{*}$

En términos más generales, sea $F$ un campo valorado localmente compacto (por ejemplo, los números reales, los números complejos o cualquiera de los sistemas numéricos p-ádicos). Sea $X$ un espacio vectorial topológico normado sobre $F$ , compatible con el valor absoluto en $F$ . Luego , en el espacio dual topológico $X$ de funcionales lineales continuos con valores $F en$ $X$ , todas las bolas de norma cerrada son compactas en la topología débil-*. $X^{*}$

Si $X$ es un espacio normado, se cumple una versión del teorema de Heine-Borel . En particular, un subconjunto del dual continuo es débil* compacto si y sólo si es débil* cerrado y acotado por normas. ^[1] Esto implica, en particular, que cuando $X$ es un espacio normado de dimensión infinita, entonces la bola unitaria cerrada en el origen en el espacio dual de $X$ no contiene ninguna vecindad débil* de 0 (ya que dicha vecindad es normal). ilimitado). ^[1] Por lo tanto, aunque las bolas de norma cerrada son compactas, X* no es débil* localmente compacta .

Si $X$ es un espacio normado, entonces $X$ es separable si y sólo si la topología débil* en la bola unitaria cerrada de es metrizable, ^[1] en cuyo caso la topología débil* es metrizable en subconjuntos acotados por normas de . Si un espacio normado $X$ tiene un espacio dual que es separable (con respecto a la topología de norma dual), entonces $X$ es necesariamente separable. ^[1] Si $X$ es un espacio de Banach , la topología débil-* no es metrizable en todos a menos que $X$ sea de dimensión finita. ^[3] $X^{*}$ $X^{*}$ $X^{*}$

Ejemplos

Espacios de Hilbert

Considere, por ejemplo, la diferencia entre convergencia fuerte y débil de funciones en el espacio de Hilbert $\mathbb {R} ^{n}$ . La fuerte convergencia de una secuencia a un elemento $ψ$ significa que $\psi _{k}\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$

\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\psi _{k}-\psi |^{2}\,{\rm {d}}\mu \,\to 0

como $k \to \infty$ . Aquí la noción de convergencia corresponde a la norma en $L 2$ .

Por el contrario, una convergencia débil sólo exige que

\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\bar {\psi }}_{k}f\,\mathrm {d} \mu \to \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\bar {\psi }}f\,\mathrm {d} \mu

para todas las funciones $f \in L 2$ (o, más típicamente, todas f en un subconjunto denso de $L 2$ como un espacio de funciones de prueba , si la secuencia { ψ _k } está acotada). Para funciones de prueba dadas, la noción relevante de convergencia solo corresponde a la topología utilizada en . $\mathbb {C}$

Por ejemplo, en el espacio de Hilbert $L 2 (0,π)$ , la secuencia de funciones

\psi _{k}(x)={\sqrt {2/\pi }}\sin(kx)

forman una base ortonormal . En particular, el límite (fuerte) de as $k$ $\to \infty$ no existe. Por otro lado, según el lema de Riemann-Lebesgue , el límite débil existe y es cero. $\psi _{k}$

Distribuciones

Normalmente se obtienen espacios de distribuciones formando el dual fuerte de un espacio de funciones de prueba (como las funciones suaves soportadas de forma compacta en ). En una construcción alternativa de tales espacios, se puede tomar el dual débil de un espacio de funciones de prueba dentro de un espacio de Hilbert como $L$ $2$ . Así, uno se ve llevado a considerar la idea de un espacio de Hilbert amañado . $\mathbb {R} ^{n}$

Topología débil inducida por el dual algebraico

Supongamos que $X$ es un espacio vectorial y X ^# es el espacio dual algebraico de $X$ (es decir, el espacio vectorial de todos los funcionales lineales en $X$ ). Si $X$ está dotado de la topología débil inducida por X ^# entonces el espacio dual continuo de $X$ es $X #$ , cada subconjunto acotado de $X$ está contenido en un subespacio vectorial de dimensión finita de $X$ , cada subespacio vectorial de $X$ es cerrado y tiene un complemento topológico . ^[4]

Topologías de operador

Si $X$ e $Y$ son espacios vectoriales topológicos, el espacio $L (X, Y)$ de operadores lineales continuos $f : X \to Y$ puede tener una variedad de topologías posibles diferentes. La denominación de dichas topologías depende del tipo de topología que se esté utilizando en el espacio objetivo $Y$ para definir la convergencia del operador (Yosida 1980, IV.7 Topologías de mapas lineales). En general, existe una amplia gama de posibles topologías de operadores en $L (X, Y)$ , cuya denominación no es del todo intuitiva.

Por ejemplo, la topología de operador fuerte en $L (X, Y)$ es la topología de convergencia puntual . Por ejemplo, si $Y$ es un espacio normado, entonces esta topología está definida por las seminormas indexadas por $x \in X$ :

f\mapsto \|f(x)\|_{Y}.

De manera más general, si una familia de seminormas Q define la topología en $Y$ , entonces las seminormas $p q, x$ en $L (X, Y)$ que definen la topología fuerte están dadas por

p_{q,x}:f\mapsto q(f(x)),

indexado por $q \in Q$ y $x \in X$ .

En particular, consulte la topología de operador débil y la topología de operador débil* .

Ver también

Eberlein compactum , un conjunto compacto en la topología débil
Convergencia débil (espacio de Hilbert)
Topología del operador de estrella débil
Débil convergencia de medidas
Topologías en espacios de mapas lineales.
Topologías sobre el conjunto de operadores en un espacio de Hilbert
Topología vaga

Referencias

^ abcdefghijklm Narici y Beckenstein 2011, págs. 225-273.
^ Folland 1999, págs.170.
^ Proposición 2.6.12, pág. 226 en Megginson, Robert E. (1998), Introducción a la teoría del espacio de Banach , Graduate Texts in Mathematics, vol. 183, Nueva York: Springer-Verlag, págs. xx+596, ISBN 0-387-98431-3.
^ Trèves 2006, págs.36, 201.

Bibliografía

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