Lema de Riemann-Lebesgue

Teorema en análisis armónico

En matemáticas , el lema de Riemann-Lebesgue , que lleva el nombre de Bernhard Riemann y Henri Lebesgue , establece que la transformada de Fourier o transformada de Laplace de una función L 1 desaparece en el infinito . Es de importancia en el análisis armónico y el análisis asintótico .

Declaración

Sea una función integrable, es decir, es una función medible tal que ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} }$

${\displaystyle \|f\|_{L^{1}}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x)|\mathrm {d} x<\infty ,}$

y sea la transformada de Fourier de , es decir ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\hat {f}}\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} ,\ \xi \mapsto \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\cdot \xi }\mathrm {d} x.}$

Luego desaparece en el infinito: como . ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle |{\hat {f}}(\xi )|\to 0}$ ${\displaystyle |\xi |\to \infty }$

Debido a que la transformada de Fourier de una función integrable es continua, la transformada de Fourier es una función continua que desaparece en el infinito. Si denota el espacio vectorial de funciones continuas que desaparecen en el infinito, el lema de Riemann-Lebesgue se puede formular de la siguiente manera: La transformación de Fourier se asigna a . ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ^{n})}$

Prueba

Nos centraremos en el caso unidimensional , la demostración en dimensiones superiores es similar. Primero, supongamos que es continuo y compacto . Para , la sustitución conduce a ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \xi \neq 0}$ ${\displaystyle \textstyle x\to x+{\frac {\pi }{\xi }}}$

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} }f(x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\xi }\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} }f\left(x+{\frac {\pi }{\xi }}\right)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\xi }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \pi }\mathrm {d} x=-\int _{\mathbb {R} }f\left(x+{\frac {\pi }{\xi }}\right)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\xi }\mathrm {d} x}$.

Esto da una segunda fórmula para . Tomando la media de ambas fórmulas llegamos a la siguiente estimación: ${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}$

${\displaystyle |{\hat {f}}(\xi )|\leq {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }\left|f(x)-f\left(x+{\frac {\pi }{\xi }}\right)\right|\mathrm {d} x}$.

Porque es continuo, converge a como para todos . Por tanto, converge a 0 debido al teorema de convergencia dominada . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \left|f(x)-f\left(x+{\tfrac {\pi }{\xi }}\right)\right|}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle |\xi |\to \infty }$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |{\hat {f}}(\xi )|}$ ${\displaystyle |\xi |\to \infty }$

Si es una función integrable arbitraria, puede aproximarse en la norma mediante una función continua soportada de forma compacta. Para , elija una función continua con soporte compacto tal que . Entonces ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \|f-g\|_{L^{1}}\leq \varepsilon }$

${\displaystyle \limsup _{\xi \rightarrow \pm \infty }|{\hat {f}}(\xi )|\leq \limsup _{\xi \to \pm \infty }\left|\int (f(x)-g(x))\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\xi }\,\mathrm {d} x\right|+\limsup _{\xi \rightarrow \pm \infty }\left|\int g(x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\xi }\,\mathrm {d} x\right|\leq \varepsilon +0=\varepsilon .}$

Como esto es válido para any , se deduce que . ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle |{\hat {f}}(\xi )|\to 0}$ ${\displaystyle |\xi |\to \infty }$

Otras versiones

El lema de Riemann-Lebesgue se cumple en una variedad de otras situaciones.

• Si , entonces el lema de Riemann-Lebesgue también es válido para la transformada de Laplace de , es decir, ${\displaystyle f\in L^{1}[0,\infty )}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)\mathrm {e} ^{-tz}\mathrm {d} t\to 0}$

como dentro del semiplano . ${\displaystyle |z|\to \infty }$ ${\displaystyle \mathrm {Re} (z)\geq 0}$

• Una versión también es válida para las series de Fourier : si es una función integrable en un intervalo acotado, entonces los coeficientes de Fourier tienden a 0 como . A esto le sigue extendiendo por cero fuera del intervalo y luego aplicando la versión del lema de Riemann-Lebesgue en toda la recta real. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\hat {f}}_{k}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k\to \pm \infty }$ ${\displaystyle f}$

• Sin embargo, el lema de Riemann-Lebesgue no se cumple para distribuciones arbitrarias. Por ejemplo, la distribución de la función delta de Dirac tiene formalmente una integral finita sobre la línea real, pero su transformada de Fourier es una constante y no desaparece en el infinito.

Aplicaciones

El lema de Riemann-Lebesgue se puede utilizar para demostrar la validez de aproximaciones asintóticas para integrales. Los tratamientos rigurosos del método de descenso más pronunciado y el método de fase estacionaria , entre otros, se basan en el lema de Riemann-Lebesgue.

Referencias

• Bochner S. , Chandrasekharan K. (1949). Transformadas de Fourier . Prensa de la Universidad de Princeton.
• Weisstein, Eric W. "Lema de Riemann-Lebesgue". MundoMatemático .