En el análisis funcional , una rama de las matemáticas , la topología ultradébil , también llamada topología débil-* , o topología de operadores débiles-* o topología σ-débil , es una topología en B ( H ), el espacio de operadores acotados en un espacio de Hilbert H . B ( H ) admite un predual B * ( H ), los operadores de la clase traza en H . La topología ultradébil es la topología débil-* así inducida; en palabras, la topología ultradébil es la topología más débil tal que los elementos preduales permanecen continuos en B ( H ). [1]
La topología ultradébil es similar a la topología del operador débil. Por ejemplo, en cualquier conjunto acotado por una norma, las topologías del operador débil y ultradébil son las mismas y, en particular, la bola unitaria es compacta en ambas topologías. La topología ultradébil es más fuerte que la topología del operador débil.
Un problema con la topología de operador débil es que el dual de B ( H ) con la topología de operador débil es "demasiado pequeño". La topología ultradébil soluciona este problema: el dual es el predual completo B * ( H ) de todos los operadores de clase de traza. En general, la topología ultradébil es más útil que la topología de operador débil, pero es más complicada de definir y la topología de operador débil a menudo es aparentemente más conveniente.
La topología ultradébil se puede obtener a partir de la topología del operador débil de la siguiente manera. Si H 1 es un espacio de Hilbert de dimensión infinita separable, entonces B ( H ) se puede incrustar en B ( H ⊗ H 1 ) mediante tensado con el mapa identidad en H 1 . Entonces, la restricción de la topología del operador débil en B ( H ⊗ H 1 ) es la topología ultradébil de B ( H ).
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