Topología ultrafuerte

En análisis funcional , la topología ultrafuerte , o topología σ-fuerte , o topología más fuerte en el conjunto B(H) de operadores acotados en un espacio de Hilbert es la topología definida por la familia de seminormas

$${\displaystyle p_{\omega }(x)=\omega (x^{*}x)^{1/2}}$$

predualde clase de seguimiento^{[1] : 68} ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle L_{*}(H)}$

Fue introducido por John von Neumann en 1936. ^[2]

Relación con la topología fuerte (operador)

La topología ultrafuerte es similar a la topología fuerte (de operador). Por ejemplo, en cualquier conjunto delimitado por normas, las topologías de operador fuerte y ultrafuerte son las mismas. La topología ultrafuerte es más fuerte que la topología de operador fuerte.

Un problema con la topología de operador fuerte es que el dual de B(H) con la topología de operador fuerte es "demasiado pequeño". La topología ultrafuerte soluciona este problema: el dual es el predual B _* (H) completo de todos los operadores de clase de traza. En general, la topología ultrafuerte es mejor que la topología de operador fuerte, pero es más complicada de definir, por lo que la gente suele utilizar la topología de operador fuerte si puede salirse con la suya.

La topología ultrafuerte se puede obtener a partir de la topología de operador fuerte de la siguiente manera. Si H ₁ es un espacio de Hilbert separable de dimensión infinita, entonces B(H) puede incrustarse en B ( H ⊗ H ₁ ) tensorizando con el mapa de identidad en H ₁ . Entonces, la restricción de la topología de operador fuerte en B ( H ⊗ H ₁ ) es la topología ultrafuerte de B(H) . De manera equivalente, está dada por la familia de seminormas.

$${\displaystyle x\mapsto \left(\sum _{n=1}^{\infty }\|x\xi _{n}\|^{2}\right)^{1/2},}$$

^{[1] : 68} ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\|\xi _{n}\|^{2}<\infty .}$

El mapa adjunto no es continuo en la topología ultrafuerte. Existe otra topología llamada topología ultrafuerte*, que es la topología más débil y más fuerte que la topología ultrafuerte, de modo que el mapa adjunto es continuo. ^{[1] : 68}

Ver también

• Topología de operador fuerte  : topología localmente convexa en espacios funcionales
• Producto tensorial topológico  : construcciones de productos tensoriales para espacios vectoriales topológicos
• Topologías sobre el conjunto de operadores en un espacio de Hilbert
• Topología ultradébil

Referencias

1. Takesaki, Masamichi (2002). Teoría de álgebras de operadores. I . Berlín : Springer-Verlag. ISBN 3-540-42248-X.
2. von Neumann, John (1936), "Sobre cierta topología de anillos de operadores", Annals of Mathematics , segunda serie, 37 (1): 111–115, doi :10.2307/1968692, JSTOR  1968692

• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.