doble espacio

En matemáticas, espacio vectorial de formas lineales.

En matemáticas , cualquier espacio vectorial tiene un espacio vectorial dual correspondiente (o simplemente un espacio dual para abreviar) que consta de todas las formas lineales junto con la estructura del espacio vectorial de suma puntual y multiplicación escalar por constantes. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V,}$

El espacio dual como se definió anteriormente se define para todos los espacios vectoriales y, para evitar ambigüedades, también puede denominarse espacio dual algebraico . Cuando se define para un espacio vectorial topológico , existe un subespacio del espacio dual, correspondiente a funcionales lineales continuos , llamado espacio dual continuo .

Los espacios vectoriales duales encuentran aplicación en muchas ramas de las matemáticas que utilizan espacios vectoriales, como en el análisis tensorial con espacios vectoriales de dimensión finita . Cuando se aplican a espacios vectoriales de funciones (que normalmente son de dimensión infinita), los espacios duales se utilizan para describir medidas , distribuciones y espacios de Hilbert . En consecuencia, el espacio dual es un concepto importante en el análisis funcional .

Los primeros términos para dual incluyen polarer Raum [Hahn 1927], espace conjugué , espacio adjunto [Alaoglu 1940] y transponierter Raum [Schauder 1930] y [Banach 1932]. El término dual se debe a Bourbaki 1938. ^[1]

Espacio dual algebraico

Dado cualquier espacio vectorial sobre un campo , el espacio dual (algebraico) ^[2] (alternativamente denotado por ^[3] o ^{[4] [5]} ) ^{[nb 1]} se define como el conjunto de todos los mapas lineales ( funcionales lineales ). Dado que los mapas lineales son homomorfismos del espacio vectorial , se puede denotar el espacio dual . ^[3] El espacio dual en sí mismo se convierte en un espacio vectorial cuando está equipado con una suma y una multiplicación escalar que satisfacen: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V^{\lor }}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle \varphi :V\to F}$ ${\displaystyle \hom(V,F)}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\varphi +\psi )(x)&=\varphi (x)+\psi (x)\\(a\varphi )(x)&=a\left(\varphi (x)\right)\end{aligned}}}$

para todos , , y . ${\displaystyle \varphi ,\psi \in V^{*}}$ ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle a\in F}$

Los elementos del espacio dual algebraico a veces se denominan covectores , formas unidireccionales o formas lineales . ${\displaystyle V^{*}}$

El emparejamiento de un funcional en el espacio dual y un elemento de a veces se indica mediante un corchete: ^[6] o . ^[7] Este emparejamiento define un mapeo bilineal no degenerado ^{[nb 2]} llamado emparejamiento natural . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \varphi (x)=[x,\varphi ]}$ ${\displaystyle \varphi (x)=\langle x,\varphi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V^{*}\to F}$

Caso de dimensión finita

Si es de dimensión finita, entonces tiene la misma dimensión que . Dada una base en , es posible construir una base específica en , llamada base dual . Esta base dual es un conjunto de funcionales lineales en , definidos por la relación ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} ^{1},\dots ,\mathbf {e} ^{n}\}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}(c^{1}\mathbf {e} _{1}+\cdots +c^{n}\mathbf {e} _{n})=c^{i},\quad i=1,\ldots ,n}$

para cualquier elección de coeficientes . En particular, haciendo a su vez que cada uno de esos coeficientes sea igual a uno y los demás coeficientes cero, se obtiene el sistema de ecuaciones ${\displaystyle c^{i}\in F}$

${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta _{j}^{i}}$

¿Dónde está el símbolo del delta de Kronecker ? Esta propiedad se conoce como propiedad de biortogonalidad . ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$

Por ejemplo, si es , elijamos su base como . Los vectores base no son ortogonales entre sí. Entonces, y son formas unifamiliares (funciones que asignan un vector a un escalar) tales que , , y . (Nota: el superíndice aquí es el índice, no un exponente). Este sistema de ecuaciones se puede expresar usando notación matricial como ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1}=(1/2,1/2),\mathbf {e} _{2}=(0,1)\}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}(\mathbf {e} _{1})=1}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}(\mathbf {e} _{2})=0}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{2}(\mathbf {e} _{1})=0}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{2}(\mathbf {e} _{2})=1}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}e^{11}&e^{12}\\e^{21}&e^{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e_{11}&e_{21}\\e_{12}&e_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}.}$

Al resolver los valores desconocidos en la primera matriz se muestra que la base dual es . Como y son funcionales, se pueden reescribir como y . ${\displaystyle \{\mathbf {e} ^{1}=(2,0),\mathbf {e} ^{2}=(-1,1)\}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}(x,y)=2x}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{2}(x,y)=-x+y}$

En general, cuando es , si es una matriz cuyas columnas son los vectores de base y es una matriz cuyas columnas son los vectores de base dual, entonces ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle E=[\mathbf {e} _{1}|\cdots |\mathbf {e} _{n}]}$ ${\displaystyle {\hat {E}}=[\mathbf {e} ^{1}|\cdots |\mathbf {e} ^{n}]}$

${\displaystyle {\hat {E}}^{\textrm {T}}\cdot E=I_{n},}$

¿Dónde está la matriz identidad de orden ? La propiedad de biortogonalidad de estos dos conjuntos de bases permite representar cualquier punto como ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \in V}$

${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {e} ^{i}\rangle \mathbf {e} _{i}=\sum _{i}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {e} _{i}\rangle \mathbf {e} ^{i},}$

incluso cuando los vectores base no son ortogonales entre sí. Estrictamente hablando, la afirmación anterior sólo tiene sentido una vez que se introducen el producto interno y el correspondiente emparejamiento de dualidad, como se describe a continuación en § Productos bilineales y espacios duales . ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

En particular, puede interpretarse como el espacio de columnas de números reales ; su espacio dual normalmente se escribe como el espacio de filas de números reales. Tal fila actúa como un funcional lineal mediante la multiplicación de matrices ordinaria . Esto se debe a que un funcional asigna cada vector a un número real . Entonces, viendo este funcional como una matriz , y como una matriz, y una matriz (trivialmente, un número real) respectivamente, si entonces, por razones de dimensión, debe ser una matriz; es decir, debe ser un vector fila. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n\times 1}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle 1\times 1}$ ${\displaystyle Mx=y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 1\times n}$ ${\displaystyle M}$

Si consta del espacio de vectores geométricos en el plano, entonces las curvas de nivel de un elemento de forman una familia de líneas paralelas en , porque el rango es unidimensional, de modo que cada punto en el rango es múltiplo de cualquier punto distinto de cero. elemento. Por tanto, un elemento de puede considerarse intuitivamente como una familia particular de líneas paralelas que cubren el plano. Para calcular el valor de una funcional en un vector dado, basta con determinar en cuál de las rectas se encuentra el vector. De manera informal, esto "cuenta" cuántas líneas cruza el vector. De manera más general, si es un espacio vectorial de cualquier dimensión, entonces los conjuntos de niveles de un funcional lineal en son hiperplanos paralelos en , y la acción de un funcional lineal sobre un vector se puede visualizar en términos de estos hiperplanos. ^[8] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$

Caso de dimensión infinita

Si no es de dimensión finita pero tiene una base ^{[nb 3]} indexada por un conjunto infinito , entonces la misma construcción que en el caso de dimensión finita produce elementos linealmente independientes ( ) del espacio dual, pero no formarán una base. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{\alpha }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha \in A}$

Por ejemplo, consideremos el espacio , cuyos elementos son aquellas secuencias de números reales que contienen sólo un número finito de entradas distintas de cero, que tiene una base indexada por los números naturales . Para , es la secuencia que consta de todos los ceros excepto en la posición -ésima, que es 1. El espacio dual de es (isomorfo a) , el espacio de todas las secuencias de números reales: cada secuencia real define una función donde el elemento de es enviado al numero ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$

${\displaystyle \sum _{n}a_{n}x_{n},}$

que es una suma finita porque solo hay un número finito distinto de cero . La dimensión de es contablemente infinita , mientras que no tiene una base contable. ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$

Esta observación se generaliza a cualquier ^{[nb 3]} espacio vectorial de dimensión infinita sobre cualquier campo : una elección de base se identifica con el espacio de funciones tal que es distinto de cero sólo para un número finito , donde dicha función se identifica con el vector ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{\alpha }:\alpha \in A\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (F^{A})_{0}}$ ${\displaystyle f:A\to F}$ ${\displaystyle f_{\alpha }=f(\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha \in A}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \sum _{\alpha \in A}f_{\alpha }\mathbf {e} _{\alpha }}$

en (la suma es finita según el supuesto de , y cualquiera puede escribirse únicamente de esta manera según la definición de la base). ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle v\in V}$

El espacio dual de puede entonces identificarse con el espacio de todas las funciones desde hasta : una funcional lineal on está determinada únicamente por los valores que toma en base a , y cualquier función (con ) define una funcional lineal on por ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F^{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \theta _{\alpha }=T(\mathbf {e} _{\alpha })}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \theta :A\to F}$ ${\displaystyle \theta (\alpha )=\theta _{\alpha }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle T\left(\sum _{\alpha \in A}f_{\alpha }\mathbf {e} _{\alpha }\right)=\sum _{\alpha \in A}f_{\alpha }T(e_{\alpha })=\sum _{\alpha \in A}f_{\alpha }\theta _{\alpha }.}$

Nuevamente, la suma es finita porque es distinta de cero sólo para un número finito . ${\displaystyle f_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$

El conjunto puede identificarse (esencialmente por definición) con la suma directa de infinitas copias de (visto como un espacio vectorial unidimensional sobre sí mismo) indexadas por , es decir, hay isomorfismos lineales. ${\displaystyle (F^{A})_{0}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle V\cong (F^{A})_{0}\cong \bigoplus _{\alpha \in A}F.}$

Por otro lado, es (nuevamente por definición) el producto directo de infinitas copias de indexado por , y por lo tanto la identificación ${\displaystyle F^{A}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle V^{*}\cong \left(\bigoplus _{\alpha \in A}F\right)^{*}\cong \prod _{\alpha \in A}F^{*}\cong \prod _{\alpha \in A}F\cong F^{A}}$

es un caso especial de un resultado general que relaciona sumas directas (de módulos ) con productos directos.

Si un espacio vectorial no es de dimensión finita, entonces su espacio dual (algebraico) es siempre de dimensión mayor (como número cardinal ) que el espacio vectorial original. Esto contrasta con el caso del espacio dual continuo, que se analiza más adelante, que puede ser isomorfo al espacio vectorial original incluso si este último es de dimensión infinita.

La prueba de esta desigualdad entre dimensiones resulta de lo siguiente.

Si es un espacio vectorial de dimensión infinita , las propiedades aritméticas de los números cardinales implican que ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \mathrm {dim} (V)=|A|<|F|^{|A|}=|V^{\ast }|=\mathrm {max} (|\mathrm {dim} (V^{\ast })|,|F|),}$

donde las cardinalidades se denotan como valores absolutos . Para demostrarlo basta probar lo que se puede hacer con un argumento similar al argumento diagonal de Cantor . ^{[ cita necesaria ]} La dimensión exacta del dual viene dada por el teorema de Erdős-Kaplansky . ${\displaystyle \mathrm {dim} (V)<\mathrm {dim} (V^{*}),}$ ${\displaystyle |F|\leq |\mathrm {dim} (V^{\ast })|,}$

Productos bilineales y espacios duales.

Si V es de dimensión finita, entonces V es isomorfo a V ^∗ . Pero en general no existe ningún isomorfismo natural entre estos dos espacios. ^[9] Cualquier forma bilineal ⟨·,·⟩ en V da un mapeo de V en su espacio dual vía

${\displaystyle v\mapsto \langle v,\cdot \rangle }$

donde el lado derecho se define como el funcional en V tomando cada w ∈ V a ⟨ v , w ⟩ . En otras palabras, la forma bilineal determina un mapeo lineal.

${\displaystyle \Phi _{\langle \cdot ,\cdot \rangle }:V\to V^{*}}$

definido por

${\displaystyle \left[\Phi _{\langle \cdot ,\cdot \rangle }(v),w\right]=\langle v,w\rangle .}$

Si la forma bilineal no es degenerada , entonces se trata de un isomorfismo en un subespacio de V ^∗ . Si V es de dimensión finita, entonces esto es un isomorfismo sobre todo V ^∗ . Por el contrario, cualquier isomorfismo de V a un subespacio de V ^∗ (resp., todo V ^∗ si V es de dimensión finita) define una forma bilineal no degenerada única en V por ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\Phi }}$

${\displaystyle \langle v,w\rangle _{\Phi }=(\Phi (v))(w)=[\Phi (v),w].\,}$

Por lo tanto , existe una correspondencia uno a uno entre los isomorfismos de V con un subespacio de (resp., todos) V ^∗ y las formas bilineales no degeneradas en V.

Si el espacio vectorial V está sobre el campo complejo , entonces a veces es más natural considerar formas sesquilineales en lugar de formas bilineales. En ese caso, una forma sesquilineal dada ⟨·,·⟩ determina un isomorfismo de V con el conjugado complejo del espacio dual

${\displaystyle \Phi _{\langle \cdot ,\cdot \rangle }:V\to {\overline {V^{*}}}.}$

El conjugado del espacio dual se puede identificar con el conjunto de todos los funcionales aditivos de valores complejos f  : V → C tales que ${\displaystyle {\overline {V^{*}}}}$

${\displaystyle f(\alpha v)={\overline {\alpha }}f(v).}$

Inyección en el doble-dual

Existe un homomorfismo natural desde el doble dual , definido por para todos . En otras palabras, si el mapa de evaluación está definido por , entonces se define como el mapa . Este mapa es siempre inyectivo ; ^{[nb 3]} y siempre es un isomorfismo si es de dimensión finita. ^[10] De hecho, el isomorfismo de un espacio vectorial de dimensión finita con su doble dual es un ejemplo arquetípico de isomorfismo natural . Los espacios de Hilbert de dimensión infinita no son isomorfos a sus dobles duales algebraicos, sino a sus dobles duales continuos. ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{**}=\{\Phi :V^{*}\to F:\Phi \ \mathrm {linear} \}}$ ${\displaystyle (\Psi (v))(\varphi )=\varphi (v)}$ ${\displaystyle v\in V,\varphi \in V^{*}}$ ${\displaystyle \mathrm {ev} _{v}:V^{*}\to F}$ ${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi (v)}$ ${\displaystyle \Psi :V\to V^{**}}$ ${\displaystyle v\mapsto \mathrm {ev} _{v}}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle V}$

Transposición de un mapa lineal

Si f  : V → W es un mapa lineal , entonces la transpuesta (o dual ) f ^∗  : W ^∗ → V ^∗ se define por

${\displaystyle f^{*}(\varphi )=\varphi \circ f\,}$

para cada . La función resultante se llama retroceso de a lo largo . ${\displaystyle \varphi \in W^{*}}$ ${\displaystyle f^{*}(\varphi )}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle f}$

La siguiente identidad es válida para todos y : ${\displaystyle \varphi \in W^{*}}$ ${\displaystyle v\in V}$

${\displaystyle [f^{*}(\varphi ),\,v]=[\varphi ,\,f(v)],}$

donde el corchete [·,·] de la izquierda es el emparejamiento natural de V con su espacio dual, y el de la derecha es el emparejamiento natural de W con su dual. Esta identidad caracteriza la transpuesta, ^[11] y es formalmente similar a la definición del adjunto .

La asignación f ↦ f ^∗ produce un mapa lineal inyectivo entre el espacio de operadores lineales de V a W y el espacio de operadores lineales de W ^∗ a V ^∗ ; este homomorfismo es un isomorfismo si y sólo si W es de dimensión finita. Si V = W entonces el espacio de mapas lineales es en realidad un álgebra bajo composición de mapas , y la asignación es entonces un antihomomorfismo de álgebras, lo que significa que ( fg ) ^∗ = g ^∗ f ^∗ . En el lenguaje de la teoría de categorías , tomar el dual de espacios vectoriales y la transpuesta de aplicaciones lineales es, por tanto, un funtor contravariante de la categoría de espacios vectoriales sobre F hacia sí mismo. Es posible identificar ( f ^∗ ) ^∗ con f usando la inyección natural en el doble dual.

Si la aplicación lineal f está representada por la matriz A con respecto a dos bases de V y W , entonces f ^∗ está representada por la matriz transpuesta A ^T con respecto a las bases duales de W ^∗ y V ^∗ , de ahí el nombre. Alternativamente, como f está representada por A que actúa a la izquierda sobre los vectores columna, f ^∗ está representada por la misma matriz que actúa a la derecha sobre los vectores fila. Estos puntos de vista están relacionados por el producto interno canónico en R ⁿ , que identifica el espacio de los vectores columna con el espacio dual de los vectores fila.

Espacios cocientes y aniquiladores.

Sea un subconjunto de . El aniquilador de in , denotado aquí , es la colección de funcionales lineales tales que para todos . Es decir, consta de todos los funcionales lineales tales que la restricción a desaparece: . Dentro de espacios vectoriales de dimensión finita, el aniquilador es dual (isomorfo) al complemento ortogonal . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle S^{0}}$ ${\displaystyle f\in V^{*}}$ ${\displaystyle [f,s]=0}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle S^{0}}$ ${\displaystyle f:V\to F}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f|_{S}=0}$

El aniquilador de un subconjunto es en sí mismo un espacio vectorial. El aniquilador del vector cero es todo el espacio dual: , y el aniquilador de todo el espacio es simplemente el covector cero: . Además, la asignación de un aniquilador a un subconjunto de inclusiones inversas, de modo que si , entonces ${\displaystyle \{0\}^{0}=V^{*}}$ ${\displaystyle V^{0}=\{0\}\subseteq V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \{0\}\subseteq S\subseteq T\subseteq V}$

${\displaystyle \{0\}\subseteq T^{0}\subseteq S^{0}\subseteq V^{*}.}$

Si y son dos subconjuntos de entonces ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle A^{0}+B^{0}\subseteq (A\cap B)^{0}.}$

Si alguna familia de subconjuntos está indexada por pertenecer a algún conjunto de índices , entonces ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)^{0}=\bigcap _{i\in I}A_{i}^{0}.}$

En particular si y son subespacios de entonces ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle (A+B)^{0}=A^{0}\cap B^{0}}$

y ^{[nota 3]}

${\displaystyle (A\cap B)^{0}=A^{0}+B^{0}.}$

Si es de dimensión finita y es un subespacio vectorial , entonces ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle W^{00}=W}$

luego de identificarse con su imagen en el segundo espacio dual bajo el isomorfismo de doble dualidad . En particular, la formación del aniquilador es una conexión de Galois en la red de subconjuntos de un espacio vectorial de dimensión finita. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V\approx V^{**}}$

Si es un subespacio de entonces el espacio cociente es un espacio vectorial por derecho propio y, por tanto, tiene un dual. Según el primer teorema del isomorfismo , un funcional se factoriza a través de si y sólo si está en el núcleo de . Hay entonces un isomorfismo ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V/W}$ ${\displaystyle f:V\to F}$ ${\displaystyle V/W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle (V/W)^{*}\cong W^{0}.}$

Como consecuencia particular, si es una suma directa de dos subespacios y , entonces es una suma directa de y . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle A^{0}}$ ${\displaystyle B^{0}}$

Análisis dimensional

El espacio dual es análogo a un espacio de dimensión "negativa". De manera más simple, dado que un vector se puede emparejar con un covector mediante el emparejamiento natural para obtener un escalar, un covector puede "cancelar" la dimensión de un vector, similar a reducir una fracción . Así, si bien la suma directa es un espacio -dimensional (si es -dimensional), se comporta como un espacio -dimensional, en el sentido de que sus dimensiones pueden cancelarse frente a las dimensiones de . Esto se formaliza mediante la contracción tensorial . ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle \varphi \in V^{*}}$ ${\displaystyle \langle x,\varphi \rangle :=\varphi (x)\in F}$ ${\displaystyle V\oplus V^{*}}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle (-n)}$ ${\displaystyle V}$

Esto surge en física a través del análisis dimensional , donde el espacio dual tiene unidades inversas. ^[12] En el emparejamiento natural, estas unidades se cancelan y el valor escalar resultante no tiene dimensiones , como se esperaba. Por ejemplo, en el análisis (continuo) de Fourier , o más ampliamente en el análisis tiempo-frecuencia : ^{[nb 4]} dado un espacio vectorial unidimensional con una unidad de tiempo , el espacio dual tiene unidades de frecuencia : ocurrencias por unidad de tiempo (unidades de ). Por ejemplo, si el tiempo se mide en segundos , la unidad dual correspondiente es el segundo inverso : en el transcurso de 3 segundos, un evento que ocurre 2 veces por segundo ocurre un total de 6 veces, correspondiente a . De manera similar, si el espacio primario mide la longitud, el espacio dual mide la longitud inversa . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 1/t}$ ${\displaystyle 3s\cdot 2s^{-1}=6}$

Espacio dual continuo

Cuando se trata de espacios vectoriales topológicos , los funcionales lineales continuos desde el espacio hasta el campo base (o ) son particularmente importantes. Esto da lugar a la noción de "espacio dual continuo" o "dual topológico", que es un subespacio lineal del espacio dual algebraico , denotado por . Para cualquier espacio vectorial normado de dimensión finita o espacio vectorial topológico, como el espacio n euclidiano , el dual continuo y el dual algebraico coinciden. Sin embargo, esto es falso para cualquier espacio normado de dimensión infinita, como lo muestra el ejemplo de mapas lineales discontinuos . Sin embargo, en la teoría de los espacios vectoriales topológicos, los términos "espacio dual continuo" y "espacio dual topológico" a menudo se reemplazan por "espacio dual". ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V'}$

Para un espacio vectorial topológico su espacio dual continuo , ^[13] o espacio dual topológico , ^[14] o simplemente espacio dual ^{[13] [14] [15] [16]} (en el sentido de la teoría de los espacios vectoriales topológicos) es definido como el espacio de todos los funcionales lineales continuos . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle \varphi :V\to {\mathbb {F} }}$

Ejemplos importantes de espacios duales continuos son el espacio de funciones de prueba soportadas de forma compacta y su espacio dual de distribuciones arbitrarias (funciones generalizadas); el espacio de funciones de prueba arbitrarias y su dual el espacio de distribuciones soportadas de forma compacta; y el espacio de funciones de prueba decrecientes rápidamente el espacio de Schwartz , y su dual el espacio de distribuciones templadas (distribuciones de crecimiento lento) en la teoría de funciones generalizadas . ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}',}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}',}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}',}$

Propiedades

Si X es un espacio vectorial topológico de Hausdorff (TVS), entonces el espacio dual continuo de X es idéntico al espacio dual continuo de la finalización de X. ^[1]

Topologías en el dual

Existe una construcción estándar para introducir una topología en el dual continuo de un espacio vectorial topológico . Arreglar una colección de subconjuntos acotados de . Esto da la topología de convergencia uniforme en conjuntos de o lo que es lo mismo, la topología generada por seminormas de la forma ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}},}$

${\displaystyle \|\varphi \|_{A}=\sup _{x\in A}|\varphi (x)|,}$

donde hay un funcional lineal continuo y recorre la clase ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}.}$

Esto significa que una red de funcionales tiende a ser funcional en si y sólo si ${\displaystyle \varphi _{i}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle V'}$

${\displaystyle {\text{ for all }}A\in {\mathcal {A}}\qquad \|\varphi _{i}-\varphi \|_{A}=\sup _{x\in A}|\varphi _{i}(x)-\varphi (x)|{\underset {i\to \infty }{\longrightarrow }}0.}$

Generalmente (pero no necesariamente) se supone que la clase cumple las siguientes condiciones: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• Cada punto de pertenece a algún conjunto : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$

  ${\displaystyle {\text{ for all }}x\in V\quad {\text{ there exists some }}A\in {\mathcal {A}}\quad {\text{ such that }}x\in A.}$

• Cada dos conjuntos y están contenidos en algún conjunto : ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {A}}}$

  ${\displaystyle {\text{ for all }}A,B\in {\mathcal {A}}\quad {\text{ there exists some }}C\in {\mathcal {A}}\quad {\text{ such that }}A\cup B\subseteq C.}$

• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$está cerrado bajo la operación de multiplicación por escalares:

  ${\displaystyle {\text{ for all }}A\in {\mathcal {A}}\quad {\text{ and all }}\lambda \in {\mathbb {F} }\quad {\text{ such that }}\lambda \cdot A\in {\mathcal {A}}.}$

Si se cumplen estos requisitos, entonces la topología correspondiente es Hausdorff y los conjuntos ${\displaystyle V'}$

${\displaystyle U_{A}~=~\left\{\varphi \in V'~:~\quad \|\varphi \|_{A}<1\right\},\qquad {\text{ for }}A\in {\mathcal {A}}}$

formar su base local.

A continuación se detallan los tres casos especiales más importantes.

• La topología fuerte es la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados en (por lo que aquí se puede elegir como la clase de todos los subconjuntos acotados en ). ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle V}$

Si es un espacio vectorial normado (por ejemplo, un espacio de Banach o un espacio de Hilbert ), entonces la topología fuerte está normada (de hecho, un espacio de Banach si el campo de escalares está completo), con la norma ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V'}$

${\displaystyle \|\varphi \|=\sup _{\|x\|\leq 1}|\varphi (x)|.}$

• La topología estereotipada es la topología de convergencia uniforme en conjuntos totalmente acotados en (por lo que aquí se puede elegir como la clase de todos los subconjuntos totalmente acotados en ). ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle V}$
• La topología débil es la topología de convergencia uniforme en subconjuntos finitos en (por lo que aquí se puede elegir como la clase de todos los subconjuntos finitos en ). ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle V}$

Cada una de estas tres opciones de topología conduce a una variante de la propiedad de reflexividad para espacios vectoriales topológicos: ${\displaystyle V'}$

• Si está dotado de una topología fuerte , entonces la noción correspondiente de reflexividad es la estándar: los espacios reflexivos en este sentido se llaman simplemente reflexivos . ^[17] ${\displaystyle V'}$
• Si el estereotipo está dotado de topología dual, entonces la reflexividad correspondiente se presenta en la teoría de los espacios estereotípicos : los espacios reflexivos en este sentido se denominan estereotipo . ${\displaystyle V'}$
• Si está dotado de la topología débil , entonces la reflexividad correspondiente se presenta en la teoría de los pares duales : ^[18] los espacios reflexivos en este sentido son espacios arbitrarios (Hausdorff) localmente convexos con la topología débil. ^[19] ${\displaystyle V'}$

Ejemplos

Sea 1 < p < ∞ un número real y considere el espacio de Banach ℓ  p de todas las secuencias a = ( a _n ) para las cuales

${\displaystyle \|\mathbf {a} \|_{p}=\left(\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}<\infty .}$

Defina el número q por 1/ p + 1/ q = 1 . Entonces, el dual continuo de ℓ ^p se identifica naturalmente con ℓ ^q : dado un elemento , el elemento correspondiente de ℓ ^q es la secuencia donde denota la secuencia cuyo n -ésimo término es 1 y todos los demás son cero. Por el contrario, dado un elemento a = ( a _n ) ∈ ℓ ^q , el funcional lineal continuo correspondiente en ℓ ^p se define por ${\displaystyle \varphi \in (\ell ^{p})'}$ ${\displaystyle (\varphi (\mathbf {e} _{n}))}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{n}}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi (\mathbf {b} )=\sum _{n}a_{n}b_{n}}$

para todo b = ( b _n ) ∈ ℓ ^p (ver desigualdad de Hölder ).

De manera similar, el dual continuo de ℓ ¹ se identifica naturalmente con ℓ ^∞ (el espacio de secuencias acotadas). Además, los duales continuos de los espacios de Banach c (que consisten en todas las secuencias convergentes , con la norma suprema ) y c ₀ (las secuencias que convergen a cero) se identifican naturalmente con ℓ ¹ .

Según el teorema de representación de Riesz , el dual continuo de un espacio de Hilbert es nuevamente un espacio de Hilbert que es antiisomorfo al espacio original. Esto da origen a la notación bracket utilizada por los físicos en la formulación matemática de la mecánica cuántica .

Según el teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani , el dual continuo de ciertos espacios de funciones continuas se puede describir mediante medidas.

Transposición de un mapa lineal continuo

Si T  : V → W es un mapa lineal continuo entre dos espacios vectoriales topológicos, entonces la transpuesta (continua) T′  : W′ → V′ se define mediante la misma fórmula que antes:

${\displaystyle T'(\varphi )=\varphi \circ T,\quad \varphi \in W'.}$

El funcional resultante T′ ( φ ) está en V′ . La asignación T → T′ produce un mapa lineal entre el espacio de mapas lineales continuos de V a W y el espacio de mapas lineales de W′ a V′ . Cuando T y U son mapas lineales continuos componibles, entonces

${\displaystyle (U\circ T)'=T'\circ U'.}$

Cuando V y W son espacios normados, la norma de la transpuesta en L ( W′ , V′ ) es igual a la de T en L ( V , W ) . Varias propiedades de la transposición dependen del teorema de Hahn-Banach . Por ejemplo, el mapa lineal acotado T tiene un rango denso si y sólo si la transpuesta T′ es inyectiva.

Cuando T es un mapa lineal compacto entre dos espacios de Banach V y W , entonces la transpuesta T′ es compacta. Esto se puede demostrar utilizando el teorema de Arzelà-Ascoli .

Cuando V es un espacio de Hilbert, hay un isomorfismo antilineal i _V desde V hacia su dual continuo V′ . Para cada mapa lineal acotado T en V , los operadores de transposición y adjuntos están vinculados por

${\displaystyle i_{V}\circ T^{*}=T'\circ i_{V}.}$

Cuando T es un mapa lineal continuo entre dos espacios vectoriales topológicos V y W , entonces la transpuesta T′ es continua cuando W′ y V′ están equipados con topologías "compatibles": por ejemplo, cuando para X = V y X = W , ambos duales X′ tienen la topología fuerte β ( X′ , X ) de convergencia uniforme en conjuntos acotados de X , o ambos tienen la topología débil ∗ σ ( X′ , X ) de convergencia puntual en  X . La transpuesta T′ es continua desde β ( W′ , W ) hasta β ( V′ , V ) , o desde σ ( W′ , W ) hasta σ ( V′ , V ) .

Aniquiladores

Supongamos que W es un subespacio lineal cerrado de un espacio normado  V y considere el aniquilador de W en V′ ,

${\displaystyle W^{\perp }=\{\varphi \in V':W\subseteq \ker \varphi \}.}$

Entonces, el dual del cociente V  /  W  se puede identificar con W ^⊥ , y el dual de W se puede identificar con el cociente V′  /  W ^⊥ . ^[20] De hecho, sea P la sobreyección canónica de V sobre el cociente V  /  W  ; entonces, la transpuesta P′ es un isomorfismo isométrico de ( V  /  W  )′ a V′ , con rango igual a W ^⊥ . Si j denota el mapa de inyección de W a V , entonces el núcleo de la transpuesta j′ es el aniquilador de W :

${\displaystyle \ker(j')=W^{\perp }}$

y del teorema de Hahn-Banach se deduce que j′ induce un isomorfismo isométrico V′  /  W ^⊥ → W′ .

Otras propiedades

Si el dual de un espacio normado V es separable , entonces también lo es el espacio V mismo. Lo contrario no es cierto: por ejemplo, el espacio ℓ ¹ es separable, pero su dual ℓ ^∞ no lo es.

doble doble

Esta es una transformación natural de la suma vectorial de un espacio vectorial a su doble dual. ⟨ x ₁ , x ₂ ⟩ denota el par ordenado de dos vectores. La suma + envía x ₁ y x ₂ a x ₁ + x ₂ . La suma +′ inducida por la transformación se puede definir como para cualquiera en el espacio dual. ${\displaystyle [\Psi (x_{1})+'\Psi (x_{2})](\varphi )=\varphi (x_{1}+x_{2})=\varphi (x)}$ ${\displaystyle \varphi }$

En analogía con el caso del doble dual algebraico, siempre existe un operador lineal continuo definido naturalmente Ψ : V → V′′ desde un espacio normado V hacia su doble dual continuo V′′ , definido por

${\displaystyle \Psi (x)(\varphi )=\varphi (x),\quad x\in V,\ \varphi \in V'.}$

Como consecuencia del teorema de Hahn-Banach , este mapa es de hecho una isometría , lo que significa ‖ Ψ( x ) ‖ = ‖ x ‖ para todo x ∈ V . Los espacios normados para los cuales el mapa Ψ es una biyección se denominan reflexivos .

Cuando V es un espacio vectorial topológico, entonces Ψ( x ) aún puede definirse mediante la misma fórmula, para cada x ∈ V , sin embargo, surgen varias dificultades. Primero, cuando V no es localmente convexo , el dual continuo puede ser igual a {0} y el mapa Ψ trivial. Sin embargo, si V es Hausdorff y localmente convexo, el mapa Ψ es inyectivo de V al dual algebraico V′ ^∗ del dual continuo, nuevamente como consecuencia del teorema de Hahn-Banach. ^{[nota 5]}

En segundo lugar, incluso en el entorno localmente convexo, se pueden definir varias topologías de espacio vectorial natural en el dual continuo V′ , de modo que el doble dual continuo V′′ no se define de forma única como un conjunto. Decir que Ψ se asigna de V a V′′ , o en otras palabras, que Ψ( x ) es continua en V′ para cada x ∈ V , es un requisito mínimo razonable en la topología de V′ , es decir, que las asignaciones de evaluación

${\displaystyle \varphi \in V'\mapsto \varphi (x),\quad x\in V,}$

ser continuo para la topología elegida en V′ . Además, todavía existe la posibilidad de elegir una topología en V′′ , y la continuidad de Ψ depende de esta elección. Como consecuencia, definir la reflexividad en este marco es más complicado que en el caso normado.

Ver también

• Covarianza y contravarianza de vectores.
• módulo dual
• Doble norma
• Dualidad (matemáticas)
• Dualidad (geometría proyectiva)
• Dualidad de Pontryagin
• Red recíproca - base de espacio dual, en cristalografía

Notas

1. Para su uso de esta manera, consulte Introducción a las variedades (Tu 2011, p. 19). Esta notación se utiliza a veces cuando se reserva para algún otro significado. Por ejemplo, en el texto anterior, se usa con frecuencia para denotar el codiferencial de , por lo que representa el retroceso de la forma . Halmos (1974, p. 20) utiliza para denotar el dual algebraico de . Sin embargo, otros autores lo utilizan para el dual continuo, reservando para el dual algebraico (Trèves 2006, p. 35). ${\displaystyle V^{\lor }}$ ${\displaystyle (\cdot )^{*}}$ ${\displaystyle F^{*}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F^{*}\omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V^{*}}$
2. En muchas áreas , como la mecánica cuántica , ⟨·,·⟩ está reservada para una forma sesquilineal definida en V × V.
3. Varias afirmaciones de este artículo requieren el axioma de elección para su justificación. El axioma de elección es necesario para demostrar que un espacio vectorial arbitrario tiene una base: en particular, es necesario demostrar que tiene una base. También es necesario demostrar que el dual de un espacio vectorial de dimensión infinita es distinto de cero y, por tanto, que el mapa natural desde su doble dual es inyectivo. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$
4. Para ser precisos, el análisis continuo de Fourier estudia el espacio de funcionales con dominio en un espacio vectorial y el espacio de funcionales en el espacio vectorial dual.
5. Si V es localmente convexo pero no Hausdorff, el núcleo de Ψ es el subespacio cerrado más pequeño que contiene {0}.

Referencias

1. Narici y Beckenstein 2011, págs.
2. Katznelson y Katznelson (2008) pág. 37, §2.1.3
3. Tu (2011) pág. 19, §3.1
4. Axler (2015) pág. 101, §3.94
5. Halmos (1974) pág. 20, §13
6. Halmos (1974) pág. 21, §14
7. Misner, Thorne y Wheeler 1973
8. Misner, Thorne y Wheeler 1973, §2.5
9. Mac Lane y Birkhoff 1999, §VI.4
10. Halmos (1974) págs.25, 28
11. Halmos (1974) §44
12. Tao, Terence (29 de diciembre de 2012). "Una formalización matemática del análisis dimensional". De manera similar, se puede definir como el espacio dual a ... ${\displaystyle V^{T^{-1}}}$ ${\displaystyle V^{T}}$
13. Robertson y Robertson 1964, II.2
14. Schaefer 1966, II.4
15. Rudin 1973, 3.1
16. Bourbaki 2003, II.42
17. Schaefer 1966, IV.5.5
18. Schaefer 1966, IV.1
19. Schaefer 1966, IV.1.2
20. Rudin 1991, capítulo 4

Bibliografía

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• Halmos, Paul Richard (1974) [1958]. Espacios vectoriales de dimensiones finitas (2ª ed.). Saltador . ISBN 0-387-90093-4.
• Katznelson, Yitzhak ; Katznelson, Yonatan R. (2008). Una introducción (concisa) al álgebra lineal . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-4419-9.
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• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Espacio vectorial dual". MundoMatemático .