Red recíproca

Transformada de Fourier de una red en el espacio real, importante en la física del estado sólido

La red recíproca generada por computadora de un cristal monoclínico 3D ficticio.

Un cristal bidimensional y su red recíproca

La red recíproca es un término asociado a los sólidos con simetría traslacional , y desempeña un papel importante en muchas áreas como la difracción de rayos X y de electrones , así como las energías de los electrones en un sólido. Surge de la transformada de Fourier de la red asociada a la disposición de los átomos. La red directa o red real es una función periódica en el espacio físico , como un sistema cristalino (normalmente una red de Bravais ). La red recíproca existe en el espacio matemático de frecuencias espaciales , conocido como espacio recíproco o espacio k , que es el dual del espacio físico considerado como un espacio vectorial, y la red recíproca es la subred de ese espacio que es dual a la red directa .

En física cuántica , el espacio recíproco está estrechamente relacionado con el espacio de momento según la proporcionalidad , donde es el vector de momento y es la constante de Planck reducida . La red recíproca de una red recíproca es equivalente a la red directa original, porque las ecuaciones que la definen son simétricas con respecto a los vectores en el espacio real y recíproco. Matemáticamente, los vectores de red directa y recíproca representan vectores covariantes y contravariantes , respectivamente. ${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \hbar }$

La red recíproca es el conjunto de todos los vectores , que son vectores de onda de ondas planas en la serie de Fourier de una función espacial cuya periodicidad es la misma que la de una red directa . Cada onda plana en esta serie de Fourier tiene la misma fase o fases que difieren en múltiplos de en cada punto de la red directa (por lo que esencialmente tienen la misma fase en todos los puntos de la red directa). ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$ ${\displaystyle 2\pi }$

La zona de Brillouin es una celda de Wigner-Seitz de la red recíproca.

Descripción basada en ondas

Las especies adsorbidas en la superficie con superestructura 1×2 dan lugar a puntos adicionales en la difracción de electrones de baja energía (LEED).

Espacio recíproco

El espacio recíproco (también llamado k -espacio) proporciona una forma de visualizar los resultados de la transformada de Fourier de una función espacial. Es similar en su función al dominio de frecuencia que surge de la transformada de Fourier de una función dependiente del tiempo; el espacio recíproco es un espacio sobre el cual la transformada de Fourier de una función espacial se representa en frecuencias espaciales o vectores de onda de ondas planas de la transformada de Fourier. El dominio de la función espacial en sí se conoce a menudo como espacio real. En aplicaciones físicas, como la cristalografía, tanto el espacio real como el recíproco a menudo serán bidimensionales o tridimensionales. Mientras que el número de dimensiones espaciales de estos dos espacios asociados será el mismo, los espacios diferirán en su dimensión de cantidad, de modo que cuando el espacio real tiene la dimensión longitud ( L ), su espacio recíproco tendrá longitud inversa, por lo que L ⁻¹ (el recíproco de la longitud).

El espacio recíproco entra en juego en relación con las ondas, tanto clásicas como mecanocuánticas. Debido a que una onda plana sinusoidal con amplitud unitaria se puede escribir como un término oscilatorio , con fase inicial , número de onda angular y frecuencia angular , se puede considerar como una función tanto de como (y la parte variable en el tiempo como una función tanto de como ) . Este papel complementario de y conduce a su visualización dentro de espacios complementarios (el espacio real y el espacio recíproco). La periodicidad espacial de esta onda se define por su longitud de onda , donde ; por lo tanto, el número de onda correspondiente en el espacio recíproco será . ${\displaystyle \cos(kx-\omega t+\varphi _{0})}$ ${\displaystyle \varphi _{0}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k\lambda =2\pi }$ ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$

En tres dimensiones, el término de onda plana correspondiente se convierte en , que se simplifica a en un tiempo fijo , donde es el vector de posición de un punto en el espacio real y ahora es el vector de onda en el espacio recíproco tridimensional. (La magnitud de un vector de onda se llama número de onda). La constante es la fase del frente de onda (un plano de una fase constante) a través del origen en el tiempo , y es un vector unitario perpendicular a este frente de onda. Los frentes de onda con fases , donde representa cualquier número entero , comprenden un conjunto de planos paralelos, espaciados de manera uniforme por la longitud de onda . ${\displaystyle \cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\varphi _{0})}$ ${\displaystyle \cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\varphi )}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} =2\pi \mathbf {e} /\lambda }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbf {r} =0}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {e} }$ ${\displaystyle \varphi +(2\pi )n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda }$

Red recíproca

En general, una red geométrica es una matriz infinita y regular de vértices (puntos) en el espacio, que se puede modelar vectorialmente como una red de Bravais . Algunas redes pueden estar sesgadas, lo que significa que sus líneas primarias pueden no estar necesariamente en ángulos rectos. En el espacio recíproco, una red recíproca se define como el conjunto de vectores de onda de ondas planas en la serie de Fourier de cualquier función cuya periodicidad sea compatible con la de una red directa inicial en el espacio real. De manera equivalente, un vector de onda es un vértice de la red recíproca si corresponde a una onda plana en el espacio real cuya fase en cualquier momento dado es la misma (en realidad difiere en con un entero ) en cada vértice de la red directa. ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle (2\pi )n}$ ${\displaystyle n}$

Un enfoque heurístico para construir la red recíproca en tres dimensiones es escribir el vector de posición de un vértice de la red directa como , donde son números enteros que definen el vértice y son vectores de traslación primitivos linealmente independientes (o llamados abreviadamente vectores primitivos) que son característicos de la red. Entonces hay una onda plana única (hasta un factor de uno negativo), cuyo frente de onda a través del origen contiene los puntos de la red directa en y , y con su frente de onda adyacente (cuya fase difiere en o del frente de onda anterior que pasa por el origen) pasando por . Su vector de onda angular toma la forma , donde es el vector unitario perpendicular a estos dos frentes de onda adyacentes y la longitud de onda debe satisfacer , significa que es igual a la distancia entre los dos frentes de onda. Por lo tanto, por construcción y . ${\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{3}}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle -2\pi }$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}=2\pi \mathbf {e} _{1}/\lambda _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}=\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {e} _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {b} _{1}=2\pi }$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {b} _{1}=\mathbf {a} _{3}\cdot \mathbf {b} _{1}=0}$

Al recorrer los índices uno por uno, el mismo método produce tres vectores de onda con , donde el delta de Kronecker es igual a uno cuando y es cero en caso contrario. Los comprenden un conjunto de tres vectores de onda primitivos o tres vectores de traslación primitivos para la red recíproca, cada uno de cuyos vértices toma la forma , donde son números enteros. La red recíproca también es una red de Bravais , ya que está formada por combinaciones enteras de los vectores primitivos, que son , , y en este caso. El álgebra simple muestra entonces que, para cualquier onda plana con un vector de onda en la red recíproca, el cambio de fase total entre el origen y cualquier punto en la red directa es un múltiplo de (que puede ser posiblemente cero si el multiplicador es cero), por lo que la fase de la onda plana con será esencialmente igual para cada vértice de la red directa, de conformidad con la definición de red recíproca anterior. (Aunque cualquier vector de onda en la red recíproca siempre toma esta forma, esta derivación es motivacional, más que rigurosa, porque ha omitido la prueba de que no existen otras posibilidades). ${\displaystyle \mathbf {b} _{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=2\pi \,\delta _{ij}}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle i=j}$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} =m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}}$ ${\displaystyle m_{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} \cdot \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$

La zona de Brillouin es una celda primitiva (más específicamente, una celda de Wigner-Seitz ) de la red recíproca, que desempeña un papel importante en la física del estado sólido debido al teorema de Bloch . En matemáticas puras , el espacio dual de formas lineales y la red dual proporcionan generalizaciones más abstractas del espacio recíproco y la red recíproca.

Descripción matemática

Demostración de la relación entre la red real y la recíproca. Una red 2D del espacio real (puntos rojos) con vectores primitivos y se muestran con flechas azules y verdes respectivamente. En la parte superior, se representan gráficamente ondas planas de la forma. A partir de esto, vemos que cuando es cualquier combinación entera de la base del vector de red recíproco y (es decir, cualquier vector de red recíproco), las ondas planas resultantes tienen la misma periodicidad de la red, es decir, cualquier traslación desde el punto (mostrado en naranja) a un punto ( mostrado en rojo), el valor de la onda plana es el mismo. Estas ondas planas se pueden sumar y la relación anterior seguirá aplicándose. ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle e^{iG\cdot r}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle b_{1}}$ ${\displaystyle b_{2}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R+r}$ ${\displaystyle R}$

Suponiendo una red de Bravais tridimensional y etiquetando cada vector de la red (un vector que indica un punto de la red) con el subíndice como 3-tupla de números enteros, ${\displaystyle n=(n_{1},n_{2},n_{3})}$

${\displaystyle \mathbf {R} _{n}=n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$dónde ${\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3}\in \mathbb {Z} }$

donde es el conjunto de los números enteros y es un vector de traslación primitivo o, abreviado, vector primitivo. Si tomamos una función donde es un vector de posición desde el origen hasta cualquier posición, si sigue la periodicidad de esta red, por ejemplo, la función que describe la densidad electrónica en un cristal atómico, es útil escribirla como una serie de Fourier multidimensional. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{n}=0}$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \sum _{m}f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r} }=f\left(\mathbf {r} \right)}$

donde ahora está el subíndice , por lo que esta es una suma triple. ${\displaystyle m=(m_{1},m_{2},m_{3})}$

Como sigue la periodicidad de la red, traduciendo por cualquier vector de red obtenemos el mismo valor, por lo tanto ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$

${\displaystyle f(\mathbf {r} +\mathbf {R} _{n})=f(\mathbf {r} ).}$

Expresando lo anterior en términos de su serie de Fourier tenemos $${\displaystyle \sum _{m}f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r} }=\sum _{m}f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot (\mathbf {r} +\mathbf {R} _{n})}=\sum _{m}f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}}\,e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r} }.}$$

Debido a que la igualdad de dos series de Fourier implica la igualdad de sus coeficientes, , lo que sólo se cumple cuando ${\displaystyle e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}}=1}$

${\displaystyle \mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}=2\pi N}$dónde ${\displaystyle N\in \mathbb {Z} .}$

Matemáticamente, la red recíproca es el conjunto de todos los vectores , que son vectores de onda de ondas planas en la serie de Fourier de una función espacial cuya periodicidad es la misma que la de una red directa como el conjunto de todos los vectores de posición de punto de red directa , y satisfacen esta igualdad para todos . Cada onda plana en la serie de Fourier tiene la misma fase (en realidad puede diferir en un múltiplo de ) en todos los puntos de la red . ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$

Como se muestra en la sección , las series de Fourier multidimensionales pueden elegirse en la forma de donde . Con esta forma, la red recíproca como el conjunto de todos los vectores de onda para la serie de Fourier de una función espacial cuya periodicidad sigue , es en sí misma una red de Bravais ya que está formada por combinaciones enteras de sus propios vectores de traducción primitivos , y el recíproco de la red recíproca es la red original, lo que revela la dualidad de Pontryagin de sus respectivos espacios vectoriales . (Puede haber otra forma de . Cualquier forma válida de da como resultado la misma red recíproca). ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}=m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=2\pi \,\delta _{ij}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$

Dos dimensiones

Para una red bidimensional infinita, definida por sus vectores primitivos , su red recíproca se puede determinar generando sus dos vectores primitivos recíprocos, a través de las siguientes fórmulas, ${\displaystyle \left(\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {G} _{m}=m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}}$

donde es un entero y ${\displaystyle m_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&=2\pi {\frac {-\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{2}}{-\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{2}}}=2\pi {\frac {\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{2}}{\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{2}}}\\[8pt]\mathbf {b} _{2}&=2\pi {\frac {\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{1}}{\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{1}}}\end{aligned}}}$

Aquí se representa una matriz de rotación de 90 grados , es decir, un cuarto de vuelta. Tanto la rotación en sentido antihorario como la rotación en sentido horario se pueden utilizar para determinar la red recíproca: Si es la rotación en sentido antihorario y es la rotación en sentido horario, para todos los vectores . Por lo tanto, utilizando la permutación ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q'} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} \,\mathbf {v} =-\mathbf {Q'} \,\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}}}$

Nosotros obtenemos

${\displaystyle \mathbf {b} _{n}=2\pi {\frac {\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}{\mathbf {a} _{n}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}}=2\pi {\frac {\mathbf {Q} '\,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}{\mathbf {a} _{n}\cdot \mathbf {Q} '\,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}}.}$

Cabe destacar que, en un espacio 3D, esta red recíproca 2D es un conjunto infinitamente extendido de barras de Bragg, descrito por Sung et al. ^[1].

Tres dimensiones

Para una red tridimensional infinita , definida por sus vectores primitivos y el subíndice de números enteros , su red recíproca con el subíndice de números enteros se puede determinar generando sus tres vectores primitivos recíprocos donde es el triple producto escalar . La elección de estos es satisfacer como la condición conocida (Puede haber otra condición.) de vectores de traducción primitivos para la red recíproca derivada en el enfoque heurístico anterior y la sección de series de Fourier multidimensionales . Esta elección también satisface el requisito de la red recíproca derivada matemáticamente anteriormente. Usando la representación de vector columna de vectores primitivos (recíprocos), las fórmulas anteriores se pueden reescribir usando inversión de matriz : ${\displaystyle \mathbf {R} _{n}=n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3}\right)}$ ${\displaystyle n=\left(n_{1},n_{2},n_{3}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}=m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}}$ ${\displaystyle m=(m_{1},m_{2},m_{3})}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\\[8pt]\mathbf {b} _{2}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\\[8pt]\mathbf {b} _{3}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle V=\mathbf {a} _{1}\cdot \left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)=\mathbf {a} _{2}\cdot \left(\mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\right)=\mathbf {a} _{3}\cdot \left(\mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\right)}$$ ${\displaystyle \left(\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=2\pi \,\delta _{ij}}$ ${\displaystyle e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}}=1}$

${\displaystyle \left[\mathbf {b} _{1}\mathbf {b} _{2}\mathbf {b} _{3}\right]^{\mathsf {T}}=2\pi \left[\mathbf {a} _{1}\mathbf {a} _{2}\mathbf {a} _{3}\right]^{-1}.}$

Este método apela a la definición y permite la generalización a dimensiones arbitrarias. La fórmula del producto vectorial predomina en los materiales introductorios sobre cristalografía.

La definición anterior se denomina definición de "física", ya que el factor de surge naturalmente del estudio de las estructuras periódicas. Una definición esencialmente equivalente, la definición del "cristalógrafo", surge de la definición de la red recíproca . que cambia los vectores primitivos recíprocos a ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \mathbf {K} _{m}=\mathbf {G} _{m}/2\pi }$

${\displaystyle \mathbf {b} _{1}={\frac {\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}}{\mathbf {a} _{1}\cdot \left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)}}}$

y así sucesivamente para los demás vectores primitivos. La definición del cristalógrafo tiene la ventaja de que la definición de es simplemente la magnitud recíproca de en la dirección de , eliminando el factor de . Esto puede simplificar ciertas manipulaciones matemáticas y expresa las dimensiones recíprocas de la red en unidades de frecuencia espacial . Es una cuestión de gusto qué definición de la red se utiliza, siempre que no se mezclen las dos. ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}}$ ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle m=(m_{1},m_{2},m_{3})}$se escribe convencionalmente como o , llamados índices de Miller ; se reemplaza con , se reemplaza con y se reemplaza con . Cada punto reticular en la red recíproca corresponde a un conjunto de planos reticulares en la red del espacio real . (Un plano reticular es un plano que cruza puntos reticulares). La dirección del vector reticular recíproco corresponde a la normal a los planos del espacio real. La magnitud del vector reticular recíproco se da en longitud recíproca y es igual al recíproco del espaciamiento interplanar de los planos del espacio real. ${\displaystyle (h,k,\ell )}$ ${\displaystyle (hk\ell )}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m_{3}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle (hk\ell )}$ ${\displaystyle (hk\ell )}$ ${\displaystyle \mathbf {K} _{m}}$

Dimensiones superiores

La fórmula para las dimensiones se puede derivar suponiendo un espacio vectorial real dimensional con una base y un producto interno . Los vectores reticulares recíprocos se determinan de forma única mediante la fórmula . Utilizando la permutación ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})}$ ${\displaystyle g\colon V\times V\to \mathbf {R} }$ ${\displaystyle g(\mathbf {a} _{i},\mathbf {b} _{j})=2\pi \delta _{ij}}$

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\2&3&\cdots &1\end{pmatrix}},}$

Se pueden determinar con la siguiente fórmula:

${\displaystyle \mathbf {b} _{i}=2\pi {\frac {\varepsilon _{\sigma ^{1}i\ldots \sigma ^{n}i}}{\omega (\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})}}g^{-1}(\mathbf {a} _{\sigma ^{n-1}i}\,\lrcorner \ldots \mathbf {a} _{\sigma ^{1}i}\,\lrcorner \,\omega )\in V}$

Aquí, la forma de volumen es la inversa del isomorfismo del espacio vectorial definido por y denota la multiplicación interna . ${\displaystyle \omega \colon V^{n}\to \mathbf {R} }$ ${\displaystyle g^{-1}}$ ${\displaystyle {\hat {g}}\colon V\to V^{*}}$ ${\displaystyle {\hat {g}}(v)(w)=g(v,w)}$ ${\displaystyle \lrcorner }$

Se puede verificar que esta fórmula es equivalente a las fórmulas conocidas para el caso bidimensional y tridimensional utilizando los siguientes hechos: En tres dimensiones, y en dos dimensiones, , donde es la rotación de 90 grados (al igual que la forma de volumen, el ángulo asignado a una rotación depende de la elección de la orientación ^[2] ). ${\displaystyle \omega (u,v,w)=g(u\times v,w)}$ ${\displaystyle \omega (v,w)=g(Rv,w)}$ ${\displaystyle R\in {\text{SO}}(2)\subset L(V,V)}$

Redes recíprocas de varios cristales

Las redes recíprocas para el sistema cristalino cúbico son las siguientes.

Red cúbica simple

La red cúbica simple de Bravais , con celda primitiva cúbica de lado , tiene como recíproco una red cúbica simple con una celda primitiva cúbica de lado (o en la definición del cristalógrafo). Por lo tanto, se dice que la red cúbica es autodual, ya que tiene la misma simetría en el espacio recíproco que en el espacio real. ${\displaystyle a}$ ${\textstyle {\frac {2\pi }{a}}}$ ${\textstyle {\frac {1}{a}}}$

Red cúbica centrada en las caras (FCC)

La red recíproca de una red FCC es la red cúbica centrada en el cuerpo (BCC), con un lado del cubo de . ${\textstyle {\frac {4\pi }{a}}}$

Considere una celda unitaria compuesta FCC. Localice una celda unitaria primitiva de la FCC; es decir, una celda unitaria con un punto reticular. Ahora tome uno de los vértices de la celda unitaria primitiva como origen. Dé los vectores base de la red real. Luego, a partir de las fórmulas conocidas, puede calcular los vectores base de la red recíproca. Estos vectores recíprocos de la red de la FCC representan los vectores base de una red real BCC. Los vectores base de una red BCC real y la red recíproca de una FCC se parecen entre sí en dirección pero no en magnitud.

Red cúbica centrada en el cuerpo (BCC)

La red recíproca de una red BCC es la red FCC , con un lado cúbico de . ${\textstyle 4\pi /a}$

Se puede demostrar que sólo las redes de Bravais que tienen 90 grados entre sí (cúbica, tetragonal, ortorrómbica) tienen vectores de traslación primitivos para la red recíproca, , paralelos a sus vectores del espacio real. ${\displaystyle \left(\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3}\right)}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right)}$

Celosía hexagonal simple

El recíproco de una red de Bravais hexagonal simple con constantes de red y es otra red hexagonal simple con constantes de red y rotada 90° alrededor del eje c con respecto a la red directa. Por lo tanto, se dice que la red hexagonal simple es autodual, ya que tiene la misma simetría en el espacio recíproco que en el espacio real. Los vectores de traslación primitivos para esta red de Bravais hexagonal simple son ^[3] ${\textstyle a}$ ${\textstyle c}$ ${\textstyle 2\pi /c}$ ${\textstyle 4\pi /(a{\sqrt {3}})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}&={\frac {\sqrt {3}}{2}}a{\hat {x}}+{\frac {1}{2}}a{\hat {y}},\\[8pt]a_{2}&=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}a{\hat {x}}+{\frac {1}{2}}a{\hat {y}},\\[8pt]a_{3}&=c{\hat {z}}.\end{aligned}}}$$

Colección arbitraria de átomos

La sombra de la red recíproca de intensidad de un pentacono de carbono facetado de 118 átomos se ilumina en rojo por difracción al intersectar la esfera de Ewald.

Una vía para llegar a la red recíproca de una colección arbitraria de átomos proviene de la idea de las ondas dispersas en el límite de Fraunhofer (larga distancia o plano focal posterior de la lente) como una suma de amplitudes al estilo Huygens de todos los puntos de dispersión (en este caso de cada átomo individual). ^[4] Esta suma se denota por la amplitud compleja en la ecuación siguiente, porque también es la transformada de Fourier (como función de la frecuencia espacial o la distancia recíproca) de un potencial de dispersión efectivo en el espacio directo: ${\displaystyle F}$

${\displaystyle F[{\vec {g}}]=\sum _{j=1}^{N}f_{j}\!\left[{\vec {g}}\right]e^{2\pi i{\vec {g}}\cdot {\vec {r}}_{j}}.}$

Aquí g = q /(2 π ) es el vector de dispersión q en unidades cristalográficas, N es el número de átomos, f _j [ g ] es el factor de dispersión atómica para el átomo j y el vector de dispersión g , mientras que r _j es la posición del vector del átomo j . La fase de Fourier depende de la elección del origen de coordenadas.

Para el caso especial de un cristal periódico infinito, la amplitud dispersa F = M F _h,k,ℓ de M celdas unitarias (como en los casos anteriores) resulta ser distinta de cero solo para valores enteros de , donde ${\displaystyle (h,k,\ell )}$

${\displaystyle F_{h,k,\ell }=\sum _{j=1}^{m}f_{j}\left[g_{h,k,\ell }\right]e^{2\pi i\left(hu_{j}+kv_{j}+\ell w_{j}\right)}}$

cuando hay j  = 1, m átomos dentro de la celda unitaria cuyos índices de red fraccionarios son respectivamente { u _j , v _j , w _j }. Para considerar los efectos debidos al tamaño finito del cristal, por supuesto, se debe utilizar en su lugar una convolución de forma para cada punto o la ecuación anterior para una red finita.

Ya sea que la matriz de átomos sea finita o infinita, también se puede imaginar una "red recíproca de intensidad" I[ g ], que se relaciona con la red de amplitud F a través de la relación habitual I = F ^* F donde F ^* es el conjugado complejo de F. Como la transformación de Fourier es reversible, por supuesto, este acto de conversión a intensidad descarta "toda la información excepto el segundo momento" (es decir, la fase). Para el caso de una colección arbitraria de átomos, la red recíproca de intensidad es, por lo tanto:

${\displaystyle I[{\vec {g}}]=\sum _{j=1}^{N}\sum _{k=1}^{N}f_{j}\left[{\vec {g}}\right]f_{k}\left[{\vec {g}}\right]e^{2\pi i{\vec {g}}\cdot {\vec {r}}_{\!\!\;jk}}.}$

Aquí r _jk es la separación vectorial entre el átomo j y el átomo k . También se puede utilizar para predecir el efecto de la forma del nanocristalito y los cambios sutiles en la orientación del haz en los picos de difracción detectados, incluso si en algunas direcciones el cúmulo tiene solo un átomo de espesor. En el lado negativo, los cálculos de dispersión que utilizan la red recíproca consideran básicamente una onda plana incidente. Por lo tanto, después de una primera mirada a los efectos de la red recíproca (dispersión cinemática), también puede ser importante considerar los efectos de ensanchamiento del haz y dispersión múltiple (es decir, dinámica ).

Generalización de una red dual

En realidad, existen dos versiones en matemáticas del concepto abstracto de red dual, para una red dada L en un espacio vectorial real V , de dimensión finita .

La primera, que generaliza directamente la construcción de la red recíproca, utiliza el análisis de Fourier . Puede enunciarse simplemente en términos de la dualidad de Pontryagin . El grupo dual V ^ a V es nuevamente un espacio vectorial real, y su subgrupo cerrado L ^ dual a L resulta ser una red en V ^. Por lo tanto, L ^ es el candidato natural para la red dual , en un espacio vectorial diferente (de la misma dimensión).

El otro aspecto se ve en la presencia de una forma cuadrática Q en V ; si no es degenerada, permite una identificación del espacio dual V ^* de V con V . La relación de V ^* con V no es intrínseca; depende de una elección de medida de Haar (elemento de volumen) en V . Pero dada una identificación de los dos, que en todo caso está bien definida hasta un escalar , la presencia de Q permite hablar de la red dual con L mientras se permanece dentro de V .

En matemáticas, la red dual de una red dada L en un grupo topológico localmente compacto abeliano G es el subgrupo L ^∗ del grupo dual de G que consiste en todos los caracteres continuos que son iguales a uno en cada punto de L .

En matemáticas discretas , una red es un conjunto localmente discreto de puntos descritos por todas las combinaciones lineales integrales de dim = n vectores linealmente independientes en R ⁿ . La red dual se define entonces por todos los puntos en el intervalo lineal de la red original (normalmente todo R ⁿ ) con la propiedad de que un entero resulta del producto interno con todos los elementos de la red original. De ello se deduce que el dual de la red dual es la red original.

Además, si permitimos que la matriz B tenga columnas como vectores linealmente independientes que describen la red, entonces la matriz tiene columnas de vectores que describen la red dual. ${\displaystyle A=B\left(B^{\mathsf {T}}B\right)^{-1}}$

Véase también

• Zona de Brillouin  : célula primitiva en la red espacial recíproca de los cristales
• Cristalografía  : estudio científico de las estructuras cristalinas.
• Base dual  – Concepto de álgebra lineal
• Esfera de Ewald  – Conservación de la energía durante la difracción de átomos
• Línea Kikuchi (física del estado sólido)  : patrones formados por dispersiónPages displaying short descriptions of redirect targets
• Índice de Miller  : sistema de notación para planos de redes cristalinas
• Difracción de polvos  : método experimental de difracción de rayos X
• Eje de zona  : Orientación de alta simetría de un cristal

Referencias

1. Sung, SH; Schnitzer, N.; Brown, L.; Park, J.; Hovden, R. (25 de junio de 2019). "Apilamiento, deformación y torsión en materiales 2D cuantificados por difracción de electrones 3D". Physical Review Materials . 3 (6): 064003. arXiv : 1905.11354 . Bibcode :2019PhRvM...3f4003S. doi :10.1103/PhysRevMaterials.3.064003. S2CID  166228311.
2. Audin, Michèle (2003). Geometría . Springer. pág. 69.
3. Kittel, Charles (2005). Introducción a la física del estado sólido (8.ª ed.). John Wiley & Sons, Inc., pág. 44. ISBN 0-471-41526-X.
4. BE Warren (1969/1990) Difracción de rayos X (Addison-Wesley, Reading MA/Dover, Mineola NY).

Enlaces externos

• El simulador de difracción de electrones basado en Jmol le permite explorar la intersección entre la red recíproca y la esfera de Ewald durante la inclinación .
• Paquete de enseñanza y aprendizaje DoITPoMS sobre el espacio recíproco y la red recíproca
• Aprenda fácilmente la cristalografía y cómo la red recíproca explica el fenómeno de difracción, como se muestra en los capítulos 4 y 5