Forma bilineal degenerada

En matemáticas , específicamente en álgebra lineal , una forma bilineal degenerada f  ( x , y  ) en un espacio vectorial V es una forma bilineal tal que la función de V en V ^∗ (el espacio dual de V  ) dada por v ↦ ( x ↦ f  ( x ,  v  )) no es un isomorfismo . Una definición equivalente cuando V es de dimensión finita es que tiene un núcleo no trivial: existe algún x distinto de cero en V tal que

${\displaystyle f(x,y)=0\,}$a pesar de ${\displaystyle \,y\in V.}$

Formas no degeneradas

Una forma no degenerada o no singular es una forma bilineal que no es degenerada, lo que significa que es un isomorfismo , o equivalentemente en dimensiones finitas, si y solo si ^[1] ${\displaystyle v\mapsto (x\mapsto f(x,v))}$

${\displaystyle f(x,y)=0}$porque todo implica que . ${\displaystyle y\in V}$ ${\displaystyle x=0}$

Los ejemplos más importantes de formas no degeneradas son los productos internos y las formas simplécticas . Las formas no degeneradas simétricas son generalizaciones importantes de los productos internos, en el sentido de que a menudo todo lo que se requiere es que la función sea un isomorfismo, no positividad. Por ejemplo, una variedad con una estructura de producto interno en sus espacios tangentes es una variedad de Riemann , mientras que al relajarla a una forma no degenerada simétrica se obtiene una variedad pseudo-riemanniana . ${\displaystyle V\to V^{*}}$

Usando el determinante

Si V es de dimensión finita, entonces, en relación con alguna base para V , una forma bilineal es degenerada si y solo si el determinante de la matriz asociada es cero – si y solo si la matriz es singular , y en consecuencia las formas degeneradas también se denominan formas singulares . Del mismo modo, una forma no degenerada es una para la cual la matriz asociada no es singular , y en consecuencia las formas no degeneradas también se denominan formas no singulares . Estas afirmaciones son independientes de la base elegida.

Nociones relacionadas

Si para una forma cuadrática Q existe un vector distinto de cero v ∈ V tal que Q ( v ) = 0, entonces Q es una forma cuadrática isótropa . Si Q tiene el mismo signo para todos los vectores distintos de cero, es una forma cuadrática definida o una forma cuadrática anisotrópica .

Existe la noción estrechamente relacionada de una forma unimodular y un emparejamiento perfecto ; estas concuerdan sobre campos pero no sobre anillos generales .

Ejemplos

El estudio de las álgebras cuadráticas reales muestra la distinción entre los tipos de formas cuadráticas. El producto zz * es una forma cuadrática para cada uno de los números complejos , números complejos divididos y números duales . Para z = x + ε y , la forma de número dual es x ^{2 ,} que es una forma cuadrática degenerada . El caso complejo dividido es una forma isótropa y el caso complejo es una forma definida.

Los ejemplos más importantes de formas no degeneradas son los productos internos y las formas simplécticas. Las formas no degeneradas simétricas son generalizaciones importantes de los productos internos, en el sentido de que a menudo todo lo que se requiere es que la función sea un isomorfismo, no positividad. Por ejemplo, una variedad con una estructura de producto interno en sus espacios tangentes es una variedad riemanniana, mientras que al relajarla a una forma no degenerada simétrica se obtiene una variedad pseudoriemanniana. ${\displaystyle V\to V^{*}}$

Dimensiones infinitas

Nótese que en un espacio de dimensión infinita, podemos tener una forma bilineal ƒ para la cual es inyectiva pero no sobreyectiva . Por ejemplo, en el espacio de funciones continuas en un intervalo cerrado y acotado , la forma ${\displaystyle v\mapsto (x\mapsto f(x,v))}$

${\displaystyle f(\phi ,\psi )=\int \psi (x)\phi (x)\,dx}$

no es sobreyectiva: por ejemplo, la funcional delta de Dirac está en el espacio dual pero no en la forma requerida. Por otra parte, esta forma bilineal satisface

${\displaystyle f(\phi ,\psi )=0}$porque todo implica que ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi =0.\,}$

En un caso en el que ƒ satisface la inyectividad (pero no necesariamente la sobreyectividad), se dice que ƒ es débilmente no degenerado .

Terminología

Si f se anula de forma idéntica en todos los vectores, se dice que es totalmente degenerada . Dada cualquier forma bilineal f en V, el conjunto de vectores

${\displaystyle \{x\in V\mid f(x,y)=0{\mbox{ for all }}y\in V\}}$

forma un subespacio totalmente degenerado de V . La función f no es degenerada si y sólo si este subespacio es trivial.

Geométricamente, una línea isótropa de la forma cuadrática corresponde a un punto de la hipersuperficie cuadrática asociada en el espacio proyectivo . Dicha línea es además isótropa para la forma bilineal si y solo si el punto correspondiente es una singularidad . Por lo tanto, sobre un cuerpo algebraicamente cerrado , el Nullstellensatz de Hilbert garantiza que la forma cuadrática siempre tiene líneas isótropas, mientras que la forma bilineal las tiene si y solo si la superficie es singular.

Véase también

• Espacio de producto interno indefinido  : generalización del espacio de Hilbert con signatura indefinidaPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Sistema dual
• Forma lineal  : aplicación lineal de un espacio vectorial a su campo de escalares

Referencias

1. Fisher, TA (2008). «Álgebra lineal: formas bilineales no degeneradas» (PDF) . Departamento de Matemáticas Pura y Estadística Matemática . Universidad de Cambridge . Consultado el 26 de mayo de 2024 .