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En matemáticas , el producto interior (también conocido como derivada interior , multiplicación interior , multiplicación interior , derivada interior , operador de inserción o derivación interior ) es una (anti)derivación de grado −1 en el álgebra exterior de formas diferenciales en una variedad suave . El producto interior, denominado en oposición al producto exterior , no debe confundirse con un producto interior . El producto interior a veces se escribe como [1]
Definición
El producto interior se define como la contracción de una forma diferencial con un campo vectorial . Por lo tanto, si es un campo vectorial en la variedad , entonces
mapa
El producto interior es la antiderivada única de grado −1 en el álgebra exterior tal que en formas únicas
par de dualidad regla graduada de LeibnizPropiedades
Si en coordenadas locales el campo vectorial viene dado por
entonces el producto interior viene dado por
Por antisimetría de formas,
derivada exteriorEl producto interior relaciona la derivada exterior y la derivada de Lie de formas diferenciales mediante la fórmula de Cartan (también conocida como identidad de Cartan , fórmula de homotopía de Cartan [2] o fórmula mágica de Cartan ) :
donde se utilizó el anticonmutador . Esta identidad define una dualidad entre los derivados exterior e interior. La identidad de Cartan es importante en geometría simpléctica y relatividad general : ver mapa de momentos . [3] La fórmula de homotopía de Cartan lleva el nombre de Élie Cartan . [4]
El producto interior con respecto al conmutador de dos campos vectoriales satisface la identidad
Ver también
- Producto cap - Método en topología algebraica
- Producto interno : generalización del producto escalar; utilizado para definir espacios de HilbertPages displaying short descriptions of redirect targets
- Contracción tensorial – Operación en matemáticas y física
Notas
- ^ El carácter ⨼ es PRODUCTO INTERIOR U+2A3C en Unicode
- ^ Mar, sección 20.5.
- ^ Existe otra fórmula llamada "fórmula de Cartan". Véase álgebra de Steenrod .
- ^ ¿La "fórmula mágica de Cartan" se debe a Élie o Henri?, MathOverflow , 21 de septiembre de 2010 , consultado el 25 de junio de 2018
Referencias
- Theodore Frankel, La geometría de la física: una introducción ; Prensa de la Universidad de Cambridge, 3ª ed. 2011
- Loring W. Tu, Introducción a las variedades , 2e, Springer. 2011. doi :10.1007/978-1-4419-7400-6