Eje de zona

Orientación de alta simetría de un cristal

Patrones zona-eje de nanocristales (izquierda) (derecha)

El eje de zona , término que a veces se utiliza para referirse a las orientaciones de "alta simetría" en un cristal, se refiere en general a cualquier dirección referenciada a la red directa (a diferencia de la red recíproca ) de un cristal en tres dimensiones. Por lo tanto, se indexa con índices de red directa, en lugar de con índices de Miller .

Los ejes de las zonas de alta simetría a través de una red cristalina, en particular, suelen encontrarse en la dirección de los túneles que atraviesan el cristal entre los planos de átomos. Esto se debe a que, como vemos a continuación, dichas direcciones de los ejes de las zonas generalmente se encuentran dentro de más de un plano de átomos en el cristal.

Indexación por eje de zona

La invariancia traslacional de una red cristalina se describe por un conjunto de celdas unitarias , vectores base de la red directa ( contravariantes ^[1] o polares ) llamados a , b y c , o equivalentemente por los parámetros de la red , es decir, las magnitudes de los vectores, llamados a , b y c , y los ángulos entre ellos, llamados α (entre b y c ), β (entre c y a ) y γ (entre a y b ). ^{[2] [3]} Los vectores de red directa tienen componentes medidos en unidades de distancia, como metros (m) o angstroms (Å).

Un vector reticular se indexa por sus coordenadas en el sistema de base reticular directo y generalmente se coloca entre corchetes []. Por lo tanto, un vector reticular directo , o , se define como . Los corchetes angulares ⟨⟩ se utilizan para referirse a una clase simétricamente equivalente de vectores reticulares (es decir, el conjunto de vectores generados por una acción del grupo de simetría de la red ). En el caso de una red cúbica , por ejemplo, ⟨100⟩ representa [100], [010], [001], [ 1 00], [0 1 0] y [00 1 ] porque cada uno de estos vectores es simétricamente equivalente bajo una rotación de 90 grados a lo largo de un eje. Una barra sobre una coordenada es equivalente a un signo negativo (por ejemplo, ). ${\displaystyle \{{\bf {a}},{\bf {b}},{\bf {c}}\}}$ ${\displaystyle {\bf {s}}_{uvw}}$ ${\displaystyle [uvw]}$ ${\displaystyle u{\bf {a}}+v{\bf {b}}+w{\bf {c}}}$ ${\displaystyle [{\overline {1}}00]=-{\bf {a}}}$

El término "eje de zona" se refiere más específicamente a la dirección de un vector reticular del espacio directo. Por ejemplo, dado que los vectores reticulares [120] y [240] son ​​paralelos, sus orientaciones corresponden a la zona ⟨120⟩ del cristal. Así como un conjunto de planos reticulares en el espacio directo corresponde a un vector reticular recíproco en el espacio complementario de frecuencias espaciales y momentos, una "zona" se define ^{[4] [5]} como un conjunto de planos reticulares recíprocos en el espacio de frecuencias que corresponde a un vector reticular en el espacio directo.

El espacio recíproco análogo a un eje de zona es una " normal del plano reticular " o "dirección del vector g". Los vectores reticulares recíprocos ( de forma única ^[6] o axiales ) se indexan según Miller utilizando coordenadas en la base reticular recíproca , generalmente entre corchetes () (similares a los corchetes [] para los vectores reticulares directos). Las llaves {} (que no deben confundirse con un conjunto matemático ) se utilizan para referirse a una clase simétricamente equivalente de vectores reticulares recíprocos, similares a los corchetes angulares ⟨⟩ para las clases de vectores reticulares directos. ${\displaystyle \{{\bf {a}}^{*},{\bf {b}}^{*},{\bf {c}}^{*}\}}$

Aquí, , , y , donde el volumen de la celda unitaria es ( denota un producto escalar y un producto vectorial ). Por lo tanto, un vector reticular recíproco o tiene una dirección perpendicular a un plano cristalográfico y una magnitud igual al recíproco del espaciamiento entre esos planos, medido en unidades de frecuencia espacial, por ejemplo, de ciclos por angstrom (ciclos/Å). ${\displaystyle {\bf {a}}^{*}\equiv (b\times c)/V_{c}}$ ${\displaystyle {\bf {b}}^{*}\equiv (c\times a)/V_{c}}$ ${\displaystyle {\bf {c}}^{*}\equiv (a\times b)/V_{c}}$ ${\displaystyle V_{c}={\bf {a}}\cdot ({\bf {b}}\times {\bf {c}})}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle {\bf {g}}_{hkl}}$ ${\displaystyle (hkl)=h{\bf {a}}^{*}+k{\bf {b}}^{*}+l{\bf {c}}^{*}}$ ${\displaystyle g_{hkl}=1/d_{hkl}}$ ${\displaystyle d_{hkl}}$ ${\displaystyle (hkl)}$

Una regla útil y bastante general de los " espacios vectoriales duales en 3D" cristalográficos, por ejemplo, las redes recíprocas, es que la condición para que un vector reticular directo [ uvw ] (o eje de zona) sea perpendicular a un vector reticular recíproco ( hkl ) se puede escribir con un producto escalar como . Esto es cierto incluso si, como suele ser el caso, el conjunto de vectores base utilizado para describir la red no es cartesiano . ${\displaystyle [uvw]\cdot (hkl)=uh+vk+wl=0}$

Patrones zona-eje

Por extensión, un patrón de eje de zona [ uvw ] (ZAP) es un patrón de difracción tomado con un haz incidente , por ejemplo, de electrones , rayos X o neutrones que viajan a lo largo de una dirección de red especificada por los índices de eje de zona [ uvw ]. Debido a su pequeña longitud de onda λ , los electrones de alta energía utilizados en microscopios electrónicos tienen un radio de esfera de Ewald muy grande (1/λ), de modo que la difracción de electrones generalmente "ilumina" puntos de difracción con vectores g ( hkl ) que son perpendiculares a [ uvw ]. ^[7]

Cúmulo de átomos de silicio cúbico centrado en la cara del diamante visto a lo largo de la zona [011] (izquierda), con el patrón de eje de zona correspondiente (derecha).

Un resultado de esto, como se ilustra en la figura anterior, es que las zonas de "índice bajo" son generalmente perpendiculares a los planos reticulares de " índice Miller bajo ", que a su vez tienen frecuencias espaciales pequeñas (valores g) y, por lo tanto, grandes periodicidades reticulares (espaciamientos d). Una posible intuición detrás de esto es que en la microscopía electrónica, para que los haces de electrones se dirijan a través de túneles anchos (es decir, fácilmente visibles) entre columnas de átomos en un cristal, puede resultar útil dirigir el haz hacia abajo por un eje de zona de índice bajo (y por asociación de alta simetría). ^{[8] [9] [10] [11]}

Véase también

• Cristalografía
• Doble base
• Red recíproca
• Índice de Miller
• Difracción
• Difracción de electrones
• Microscopía electrónica de transmisión

Notas al pie

1. George Arfken (1970) Métodos matemáticos para físicos (Academic Press, Nueva York).
2. JM Ziman (1972 2da ed) Principios de la teoría de sólidos (Cambridge U. Press, Cambridge, Reino Unido).
3. Zbigniew Dauter y Mariusz Jaskolski (2010) "Cómo leer (y comprender) el Volumen A de las Tablas Internacionales de Cristalografía: una introducción para no especialistas", J. Appl. Crystallogr. 43 , 1150–1171 pdf
4. EW Nuffield (1966) Métodos de difracción de rayos X (John Wiley, NY).
5. BE Warren (1969) Difracción de rayos X (Addison-Wesley, edición de bolsillo de Dover Books 1990) ISBN  0-486-66317-5 .
6. cf. Charles W. Misner, Kip S. Thorne y John Archibald Wheeler (1973) Gravitación (WH Freeman, San Francisco CA).
7. John M. Cowley (1975) Física de difracción (Holanda del Norte, Ámsterdam).
8. JW Edington (1976) Microscopía electrónica práctica en ciencia de materiales (Gloeilampenfabrieken, Eindhoven de NV Philips) ISBN 1-878907-35-2 
9. Ludwig Reimer (1997 4ª ed.) Microscopía electrónica de transmisión: Física de la formación de imágenes y microanálisis (Springer, Berlín) vista previa.
10. David B. Williams y C. Barry Carter (1996) Microscopía electrónica de transmisión: un libro de texto para la ciencia de los materiales (Plenum Press, NY) ISBN 0-306-45324-X 
11. P. Hirsch, A. Howie, R. Nicholson, DW Pashley y MJ Whelan (1965/1977) Microscopía electrónica de cristales delgados (Butterworths/Krieger, Londres/Malabar FL) ISBN 0-88275-376-2 

Enlaces externos

• Tablas internacionales de cristalografía