Espacios de funciones y distribuciones de prueba.

Espacios vectoriales topológicos relacionados con la definición y uso de distribuciones de Schwartz.

En análisis matemático , los espacios de funciones y distribuciones de prueba son espacios vectoriales topológicos (TVS) que se utilizan en la definición y aplicación de distribuciones . Las funciones de prueba suelen ser funciones de valores complejos infinitamente diferenciables (o, a veces, de valores reales ) en un subconjunto abierto no vacío que tienen soporte compacto . El espacio de todas las funciones de prueba, denotado por, está dotado de una determinada topología, llamada topología LF canónica , que lo convierte en un TVS localmente convexo de Hausdorff completo . El espacio dual fuerte de se llama espacio de distribuciones en y se denota por donde el subíndice " " indica que el espacio dual continuo de denotado por está dotado de la topología dual fuerte . ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U):=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime },}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle \left(C_{c}^{\infty }(U)\right)^{\prime },}$

Hay otras opciones posibles para el espacio de funciones de prueba, que conducen a otros espacios de distribuciones diferentes. Si entonces el uso de funciones de Schwartz ^{[nota 1]} como funciones de prueba da lugar a un cierto subespacio cuyos elementos se denominan distribuciones templadas . Estos son importantes porque permiten extender la transformada de Fourier de "funciones estándar" a distribuciones templadas. El conjunto de distribuciones templadas forma un subespacio vectorial del espacio de distribuciones y, por tanto, es un ejemplo de espacio de distribuciones; Hay muchos otros espacios de distribuciones. ${\displaystyle U=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$

También existen otras clases principales de funciones de prueba que no son subconjuntos, como espacios de funciones de prueba analíticas , que producen clases de distribuciones muy diferentes. La teoría de tales distribuciones tiene un carácter diferente a la anterior porque no existen funciones analíticas con soporte compacto no vacío. ^{[nota 2]} El uso de funciones de prueba analíticas conduce a la teoría de las hiperfunciones de Sato . ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$

Notación

A lo largo de este artículo se utilizará la siguiente notación:

• ${\displaystyle n}$es un entero positivo fijo y es un subconjunto abierto fijo no vacío del espacio euclidiano ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$
• ${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}}$denota los números naturales .
• ${\displaystyle k}$denotará un número entero no negativo o ${\displaystyle \infty .}$
• Si es una función entonces denotará su dominio y el ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} (f)}$El soporte dedenotado porse define como elcierredel conjuntoen ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f),}$ ${\displaystyle \{x\in \operatorname {Dom} (f):f(x)\neq 0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} (f).}$
• Para dos funciones , la siguiente notación define un emparejamiento canónico : ${\displaystyle f,g:U\to \mathbb {C} }$
  $${\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{U}f(x)g(x)\,dx.}$$
• Un índice múltiple de tamaño es un elemento en (dado que es fijo, si se omite el tamaño de los índices múltiples, se debe suponer que el tamaño es ). La longitud de un índice múltiple se define y se denota como Los índices múltiples son particularmente útiles cuando se trata de funciones de varias variables; en particular, introducimos las siguientes notaciones para un índice múltiple dado : ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}}$ ${\displaystyle |\alpha |.}$ ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}}$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{\alpha }&=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}\\\partial ^{\alpha }&={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}\end{aligned}}}$$
  También introducimos un orden parcial de todos los índices múltiples por si y solo si para todos Cuando definimos su coeficiente binomial de índices múltiples como: ${\displaystyle \beta \geq \alpha }$ ${\displaystyle \beta _{i}\geq \alpha _{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n.}$ ${\displaystyle \beta \geq \alpha }$
  $${\displaystyle {\binom {\beta }{\alpha }}:={\binom {\beta _{1}}{\alpha _{1}}}\cdots {\binom {\beta _{n}}{\alpha _{n}}}.}$$
• ${\displaystyle \mathbb {K} }$denotará una determinada colección no vacía de subconjuntos compactos de (descrito en detalle a continuación). ${\displaystyle U}$

Definiciones de funciones y distribuciones de prueba.

En esta sección, definiremos formalmente distribuciones de valor real en U. Con modificaciones menores, también se pueden definir distribuciones de valores complejos y se pueden reemplazar con cualquier variedad suave ( paracompacta ) . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Notación :

1. Dejar ${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}.}$
2. Denotemos el espacio vectorial de todas las k veces funciones reales o de valores complejos continuamente diferenciables en U. ${\displaystyle C^{k}(U)}$
3. Para cualquier subconjunto compacto , sea y ambos denoten el espacio vectorial de todas aquellas funciones tales que ${\displaystyle K\subseteq U,}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(U)}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)\subseteq K.}$
   • Si entonces el dominio de es U y no K. Entonces, aunque depende tanto de K como de U , normalmente solo se indica K. La justificación de esta práctica común se detalla a continuación. La notación sólo se utilizará cuando exista riesgo de ser ambigua. ${\displaystyle f\in C^{k}(K)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$
   • Cada contiene el mapa constante 0 , incluso si ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle K=\varnothing .}$
4. Denotemos el conjunto de todos los tales que para algún subconjunto compacto K de U . ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(U)}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(K)}$
   • De manera equivalente, es el conjunto de todos los que tienen soporte compacto. ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(U)}$ ${\displaystyle f}$
   • ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$es igual a la unión de todos como rangos sobre ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$
   • Si es una función de valor real en U , entonces es un elemento de si y solo si es una función de aumento . Cada función de prueba de valor real en es siempre también una función de prueba de valor complejo en ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U.}$

La gráfica de la función de impacto donde y Esta función es una función de prueba y es un elemento de El soporte de esta función es el disco unitario cerrado en Es distinto de cero en el disco unitario abierto y es igual a 0 en todas partes fuera de él. ${\displaystyle (x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\mapsto \Psi (r),}$ ${\displaystyle r=(x^{2}+y^{2})^{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \Psi (r)=e^{-{\frac {1}{1-r^{2}}}}\cdot \mathbf {1} _{\{|r|<1\}}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{2}\right).}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Tenga en cuenta que para todos y cada uno de los subconjuntos compactos K y L de U , tenemos: ${\displaystyle j,k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}C^{k}(K)&\subseteq C_{c}^{k}(U)\subseteq C^{k}(U)\\C^{k}(K)&\subseteq C^{k}(L)&&{\text{ if }}K\subseteq L\\C^{k}(K)&\subseteq C^{j}(K)&&{\text{ if }}j\leq k\\C_{c}^{k}(U)&\subseteq C_{c}^{j}(U)&&{\text{ if }}j\leq k\\C^{k}(U)&\subseteq C^{j}(U)&&{\text{ if }}j\leq k\\\end{aligned}}}$$

Definición : Los elementos de se denominan funciones de prueba en U y se denomina espacio de función de prueba en U. Usaremos ambos y para denotar este espacio. ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Las distribuciones en U se definen como funcionales lineales continuas cuando este espacio vectorial está dotado de una topología particular llamada topología LF canónica . Desafortunadamente, esta topología no es fácil de definir, pero aún así es posible caracterizar las distribuciones de tal manera que no se haga mención de la topología canónica LF. ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Proposición : Si T es un funcional lineal , entonces T es una distribución si y solo si se satisfacen las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

1. Para cada subconjunto compacto existen constantes y (dependientes de ) tales que para todos ^[1] ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(K),}$
   $${\displaystyle |T(f)|\leq C\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in U,|\alpha |\leq N\}.}$$
2. Para cada subconjunto compacto existen constantes tales que para todos los que tienen soporte contenido en ^[2] ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle K,}$
   $${\displaystyle |T(f)|\leq C\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in K,|\alpha |\leq N\}.}$$
3. Para cualquier subconjunto compacto y cualquier secuencia en si converge uniformemente a cero en para todos los índices múltiples , entonces ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C^{\infty }(K),}$ ${\displaystyle \{\partial ^{\alpha }f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle T(f_{i})\to 0.}$

Las caracterizaciones anteriores se pueden usar para determinar si una funcional lineal es una distribución o no, pero los usos más avanzados de distribuciones y funciones de prueba (como aplicaciones a ecuaciones diferenciales ) están limitados si no se colocan topologías y definen el espacio de distribuciones. Primero debemos definir la topología LF canónica, que a su vez requiere que primero se definan varios otros espacios vectoriales topológicos localmente convexos (TVS). Primero, se definirá una topología ( no normable ) , luego cada uno estará dotado de la topología subespacial inducida sobre él por y, finalmente , se definirá la topología LF canónica ( no metrizable ). El espacio de distribuciones, definido como el espacio dual continuo de , está dotado de la topología dual fuerte (no metrizable) inducida por y la topología LF canónica (esta topología es una generalización de la topología inducida por la norma del operador habitual que se coloca sobre los espacios duales continuos de espacios normados ). Esto finalmente permite considerar nociones más avanzadas como la convergencia de distribuciones (tanto secuencias como redes), varios (sub)espacios de distribuciones y operaciones sobre distribuciones, incluida la extensión de ecuaciones diferenciales a distribuciones. ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U).}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(K)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Elección de juegos compactos K

En todo momento, habrá cualquier colección de subconjuntos compactos de tales que (1) y (2) para cualquier compacto existan algunos tales que Las opciones más comunes para son: ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle U}$ ${\textstyle U=\bigcup _{K\in \mathbb {K} }K,}$ ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle K_{2}\in \mathbb {K} }$ ${\displaystyle K\subseteq K_{2}.}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

• El conjunto de todos los subconjuntos compactos de o ${\displaystyle U,}$
• Un conjunto donde y para todo i , y es un subconjunto abierto no vacío relativamente compacto de (aquí, "relativamente compacto" significa que el cierre de en U o es compacto). ${\displaystyle \left\{{\overline {U}}_{1},{\overline {U}}_{2},\ldots \right\}}$ ${\textstyle U=\bigcup _{i=1}^{\infty }U_{i},}$ ${\displaystyle {\overline {U}}_{i}\subseteq U_{i+1}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{i},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

Lo convertimos en un conjunto dirigido definiendo si y solo si. Tenga en cuenta que aunque las definiciones de las topologías definidas posteriormente hacen referencia explícita a la realidad, no dependen de la elección de es decir, si y son dos colecciones cualesquiera de subconjuntos compactos de entonces el Las topologías definidas en y usando en lugar de son las mismas que las definidas usando en lugar de ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle K_{1}\leq K_{2}}$ ${\displaystyle K_{1}\subseteq K_{2}.}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ;}$ ${\displaystyle \mathbb {K} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} _{2}}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$

Topología en C k ( U )

Ahora presentamos las seminormas que definirán la topología. A veces, diferentes autores utilizan diferentes familias de seminormas, por lo que a continuación enumeramos las familias más comunes. Sin embargo, la topología resultante es la misma sin importar qué familia se utilice. ${\displaystyle C^{k}(U).}$

Supongamos que and es un subconjunto compacto arbitrario de Supongamos que es un número entero tal que ^{[nota 3]} and es un índice múltiple con longitud. Para definir: ${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 0\leq i\leq k}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle |p|\leq k.}$ ${\displaystyle K\neq \varnothing ,}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}{\text{ (1) }}\ &s_{p,K}(f)&&:=\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\\[4pt]{\text{ (2) }}\ &q_{i,K}(f)&&:=\sup _{|p|\leq i}\left(\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right)=\sup _{|p|\leq i}\left(s_{p,K}(f)\right)\\[4pt]{\text{ (3) }}\ &r_{i,K}(f)&&:=\sup _{\stackrel {|p|\leq i}{x_{0}\in K}}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\\[4pt]{\text{ (4) }}\ &t_{i,K}(f)&&:=\sup _{x_{0}\in K}\left(\sum _{|p|\leq i}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right)\end{alignedat}}}$$

mientras que para definir todas las funciones anteriores como el mapa 0 constante . ${\displaystyle K=\varnothing ,}$

Todas las funciones anteriores son seminormas ^{[nota 4]} con valores no negativos. Como se explica en este artículo , cada conjunto de seminormas en un espacio vectorial induce una topología vectorial localmente convexa . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$

Cada uno de los siguientes conjuntos de seminormas

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A~:=\quad &\{q_{i,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ satisfies }}\;&&0\leq i\leq k\}\\B~:=\quad &\{r_{i,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ satisfies }}\;&&0\leq i\leq k\}\\C~:=\quad &\{t_{i,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ satisfies }}\;&&0\leq i\leq k\}\\D~:=\quad &\{s_{p,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&p\in \mathbb {N} ^{n}{\text{ satisfies }}\;&&|p|\leq k\}\end{alignedat}}}$$

topología vectorial localmente convexa ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$

El espacio vectorial está dotado de la topología localmente convexa inducida por cualquiera de las cuatro familias de seminormas descritas anteriormente. Esta topología también es igual a la topología vectorial inducida por todas las seminormas en ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle A,B,C,D}$ ${\displaystyle A\cup B\cup C\cup D.}$

Con esta topología, se convierte en un espacio de Fréchet localmente convexo que no es normable . Cada elemento de es una seminorma continua en Bajo esta topología, una red en converge a si y sólo si para cada índice múltiple con y cada compacto la red de derivadas parciales converge uniformemente a on ^[3] Para cualquier cualquier (von Neumann) acotado el subconjunto de es un subconjunto relativamente compacto de ^[4] En particular, un subconjunto de está acotado si y sólo si está acotado para todos ^[4] El espacio es un espacio de Montel si y sólo si ^[5] ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle A\cup B\cup C\cup D}$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$ ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(U)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle |p|<k+1}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle \left(\partial ^{p}f_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \partial ^{p}f}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \},}$ ${\displaystyle C^{k+1}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{i}(U)}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle k=\infty .}$

La topología on es el límite superior de las topologías subespaciales inducidas por los TVS cuando i oscila sobre los números enteros no negativos. ^[3] Un subconjunto de está abierto en esta topología si y sólo si existe tal que esté abierto cuando esté dotado de la topología subespacial inducida en él por ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{i}(U)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{i}(U).}$

Métrica que define la topología

Si la familia de conjuntos compactos satisface y para todos , entonces se puede obtener una métrica invariante de traducción completa tomando una combinación de Fréchet contable adecuada de cualquiera de las familias de seminormas que definen anteriormente ( A a D ). Por ejemplo, el uso de seminormas da como resultado la métrica ${\displaystyle \mathbb {K} =\left\{{\overline {U}}_{1},{\overline {U}}_{2},\ldots \right\}}$ ${\textstyle U=\bigcup _{j=1}^{\infty }U_{j}}$ ${\displaystyle {\overline {U}}_{i}\subseteq U_{i+1}}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle (r_{i,K_{i}})_{i=1}^{\infty }}$

$${\displaystyle d(f,g):=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {r_{i,{\overline {U}}_{i}}(f-g)}{1+r_{i,{\overline {U}}_{i}}(f-g)}}=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {\sup _{|p|\leq i,x\in {\overline {U}}_{i}}\left|\partial ^{p}(f-g)(x)\right|}{\left[1+\sup _{|p|\leq i,x\in {\overline {U}}_{i}}\left|\partial ^{p}(f-g)(x)\right|\right]}}.}$$

A menudo, es más fácil considerar simplemente seminormas (evitando cualquier métrica) y utilizar las herramientas del análisis funcional .

Topología en C k ( K )

Como antes, corrija . Recuerde que si hay algún subconjunto compacto de entonces ${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}.}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C^{k}(K)\subseteq C^{k}(U).}$

Supuesto : Para cualquier subconjunto compacto asumiremos de ahora en adelante que está dotado de la topología subespacial que hereda del espacio de Fréchet. ${\displaystyle K\subseteq U,}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$

Porque cualquier subconjunto compacto es un subespacio cerrado del espacio de Fréchet y, por tanto, también es un espacio de Fréchet . Para todo compacto satisfactorio denota el mapa de inclusión por Entonces este mapa es una incrustación lineal de TVS (es decir, es un mapa lineal que también es una incrustación topológica ) cuya imagen (o "rango") está cerrada en su codominio ; Dicho de otra manera, la topología de es idéntica a la topología del subespacio que hereda y también es un subconjunto cerrado de El interior de relativo a está vacío. ^[6] ${\displaystyle K\subseteq U,}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle K,L\subseteq U}$ ${\displaystyle K\subseteq L,}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{K}^{L}:C^{k}(K)\to C^{k}(L).}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(L),}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(L).}$ ${\displaystyle C^{\infty }(K)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$

Si es finito entonces es un espacio de Banach ^[7] con una topología que puede ser definida por la norma ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$

$${\displaystyle r_{K}(f):=\sup _{|p|<k}\left(\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right).}$$

Y cuando entonces es incluso un espacio de Hilbert . ^[7] El espacio es un espacio distinguido de Schwartz Montel , por lo que no es normal y, por lo tanto, no es un espacio de Banach (aunque, como todos los demás, es un espacio de Fréchet ). ${\displaystyle k=2,}$ ${\displaystyle \,C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(K)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(K)\neq \{0\}}$ ${\displaystyle C^{k}(K),}$

Extensiones triviales e independencia de la topología de C ^k ( K ) de U

La definición de depende de U, por lo que denotaremos el espacio topológico que, por definición, es un subespacio topológico de Supongamos que es un subconjunto abierto de contenedor y, para cualquier subconjunto compacto, sea el subespacio vectorial que consta de aplicaciones con soporte contenido en Dado su trivialidad. la extensión a V es, por definición, la función definida por: ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K),}$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle K\subseteq V,}$ ${\displaystyle C^{k}(K;V)}$ ${\displaystyle C^{k}(V)}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle f\in C_{c}^{k}(U),}$ ${\displaystyle I(f):=F:V\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}f(x)&x\in U,\\0&{\text{otherwise}},\end{cases}}}$$

V. inyección ${\displaystyle F\in C^{k}(V).}$ ${\displaystyle I:C_{c}^{k}(U)\to C^{k}(V)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K\subseteq U\subseteq V}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}I\left(C^{k}(K;U)\right)&~=~C^{k}(K;V)\qquad {\text{ and thus }}\\I\left(C_{c}^{k}(U)\right)&~\subseteq ~C_{c}^{k}(V)\end{alignedat}}}$$

Ihomeomorfismoisomorfismo TVS ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\,&C^{k}(K;U)&&\to \,&&C^{k}(K;V)\\&f&&\mapsto \,&&I(f)\\\end{alignedat}}}$$

incrustaciones topológicas ${\displaystyle f\mapsto I(f)}$

$${\displaystyle C^{k}(K;U)\to C^{k}(V),\qquad {\text{ and }}\qquad C^{k}(K;U)\to C_{c}^{k}(V),}$$

${\displaystyle C_{c}^{k}(V)}$

$${\displaystyle I:C_{c}^{k}(U)\to C^{k}(V)}$$

noincrustación topológica^[8]UK^[6] ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(V)\subseteq C^{k}(V)}$ ${\displaystyle U\neq V}$ ${\displaystyle I:C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{\infty }(V)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)\subseteq C_{c}^{k}(U),}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle C^{k}(V).}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(V)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle C^{k}(V)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U).}$

Topología canónica LF

Recuerde que denotamos todas aquellas funciones que tienen soporte compacto en donde tenga en cuenta que es la unión de todas ya que K abarca más Además, para cada k , es un subconjunto denso de El caso especial cuando nos da el espacio de funciones de prueba. ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$ ${\displaystyle k=\infty }$

${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$se llama espacio de funciones de prueba y ${\displaystyle U}$ también puede denotarse por ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U).}$

Esta sección define la topología canónica LF como un límite directo . También es posible definir esta topología en términos de sus vecindades del origen, que se describe más adelante.

Topología definida por límites directos.

Para dos conjuntos cualesquiera K y L , declaramos que si y sólo si, lo cual en particular convierte la colección de subconjuntos compactos de U en un conjunto dirigido (decimos que dicha colección está dirigida por inclusión de subconjuntos ). Para todas las satisfacciones compactas existen mapas de inclusión. ${\displaystyle K\leq L}$ ${\displaystyle K\subseteq L,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle K,L\subseteq U}$ ${\displaystyle K\subseteq L,}$

$${\displaystyle \operatorname {In} _{K}^{L}:C^{k}(K)\to C^{k}(L)\quad {\text{and}}\quad \operatorname {In} _{K}^{U}:C^{k}(K)\to C_{c}^{k}(U).}$$

Recuerde desde arriba que el mapa es una incrustación topológica . La colección de mapas. ${\displaystyle \operatorname {In} _{K}^{L}:C^{k}(K)\to C^{k}(L)}$

$${\displaystyle \left\{\operatorname {In} _{K}^{L}\;:\;K,L\in \mathbb {K} \;{\text{ and }}\;K\subseteq L\right\}}$$

sistema directocategoríaespacios vectoriales topológicos localmente convexosdirigidoEl límite directomás fuerte ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle (C_{c}^{k}(U),\operatorname {In} _{\bullet }^{U})}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\bullet }^{U}:=\left(\operatorname {In} _{K}^{U}\right)_{K\in \mathbb {K} }}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\bullet }^{U}=(\operatorname {In} _{K}^{U})_{K\in \mathbb {K} }}$

La topología canónica LF es ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ la mejor topología localmente convexa al hacer que todos los mapas de inclusión sean continuos (donde K varía por encima de ). ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{K}^{U}:C^{k}(K)\to C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

Como es común en la literatura matemática, de ahora en adelante se supone que el espacio está dotado de su topología LF canónica (a menos que se indique explícitamente lo contrario). ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$

Topología definida por vecindades del origen.

Si U es un subconjunto convexo de entonces U es una vecindad del origen en la topología canónica LF si y sólo si satisface la siguiente condición: ${\displaystyle C_{c}^{k}(U),}$

Tenga en cuenta que cualquier conjunto convexo que satisfaga esta condición es necesariamente absorbente . Dado que la topología de cualquier espacio vectorial topológico es invariante en traducción, cualquier topología TVS está completamente determinada por el conjunto de vecindad del origen. Esto significa que en realidad se podría definir la topología canónica LF declarando que un subconjunto balanceado convexo U es una vecindad del origen si y sólo si satisface la condición CN . ${\displaystyle C_{c}^{k}(U).}$

Topología definida mediante operadores diferenciales

Un operador diferencial lineal en U con coeficientes suaves es una suma

$${\displaystyle P:=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}c_{\alpha }\partial ^{\alpha }}$$

0ordenk^[9] ${\displaystyle c_{\alpha }\in C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle c_{\alpha }}$ ${\displaystyle \sup\{|\alpha |:c_{\alpha }\neq 0\}}$ ${\displaystyle P.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C^{k}(U)\to C^{0}(U)}$ ${\displaystyle \phi \mapsto P\phi ,}$ ${\displaystyle P.}$

Para cualquier, la topología canónica LF es la topología TVS localmente convexa más débil, lo que hace que todos los operadores diferenciales lineales estén ordenados en mapas continuos desde [ ^9] ${\displaystyle 1\leq k\leq \infty ,}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \,<k+1}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{0}(U).}$

Propiedades de la topología canónica LF

Independencia de la topología canónica LF de K

Un beneficio de definir la topología LF canónica como el límite directo de un sistema directo es que podemos usar inmediatamente la propiedad universal de los límites directos. Otro beneficio es que podemos utilizar resultados bien conocidos de la teoría de categorías para deducir que la topología canónica de LF es en realidad independiente de la elección particular de la colección dirigida de conjuntos compactos. Y al considerar diferentes colecciones (en particular, las mencionadas al principio de este artículo), podemos deducir diferentes propiedades de esta topología. En particular, podemos deducir que la topología LF canónica se convierte en un espacio LF estricto localmente convexo de Hausdorff (y también un espacio LB estricto si ), que por supuesto es la razón por la que esta topología se llama "la topología LF canónica" ( consulte esta nota al pie para obtener más detalles). ^{[nota 5]} ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle k\neq \infty }$

propiedad universal

A partir de la propiedad universal de los límites directos , sabemos que si es una función lineal en un espacio localmente convexo Y (no necesariamente Hausdorff), entonces u es continua si y sólo si u está acotada si y sólo si para cada restricción de u a es continuo (o acotado). ^{[10] [11]} ${\displaystyle u:C_{c}^{k}(U)\to Y}$ ${\displaystyle K\in \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$

Dependencia de la topología canónica LF de U

Supongamos que V es un subconjunto abierto de Let que contiene el mapa que envía una función a su extensión trivial en V (que se definió anteriormente). Este mapa es un mapa lineal continuo. ^[8] Si (y sólo si) entonces no es un subconjunto denso de y no es una incrustación topológica . ^[8] En consecuencia, si entonces la transposición de no es ni uno a uno ni sobre. ^[8] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle I:C_{c}^{k}(U)\to C_{c}^{k}(V)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle U\neq V}$ ${\displaystyle I\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(V)}$ ${\displaystyle I:C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{\infty }(V)}$ ${\displaystyle U\neq V}$ ${\displaystyle I:C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{\infty }(V)}$

Subconjuntos acotados

Un subconjunto está acotado si y sólo si existe algo tal que y es un subconjunto acotado de ^[11] Además, si es compacto y entonces está acotado si y sólo si está acotado en Para cualquier subconjunto acotado de (resp. ) es un subconjunto relativamente compacto de (resp. ), donde ^[11] ${\displaystyle B\subseteq C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle K\in \mathbb {K} }$ ${\displaystyle B\subseteq C^{k}(K)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C^{k}(K).}$ ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle S\subseteq C^{k}(K)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq \infty ,}$ ${\displaystyle C_{c}^{k+1}(U)}$ ${\displaystyle C^{k+1}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle \infty +1=\infty .}$

No metrizabilidad

En todos los compactos el interior está vacío por lo que es de primera categoría en sí mismo. Del teorema de Baire se deduce que no es metrizable y, por tanto, tampoco normable (ver esta nota al pie ^{[nota 6]} para obtener una explicación de cómo el espacio no metrizable puede ser completo aunque no admita una métrica). El hecho de que sea un espacio de Montel nuclear compensa la no metrizabilidad de (consulte esta nota al pie para obtener una explicación más detallada). ^{[nota 7]} ${\displaystyle K\subseteq U,}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Relaciones entre espacios

Utilizando la propiedad universal de los límites directos y el hecho de que todas las inclusiones naturales son incrustaciones topológicas , se puede demostrar que todos los mapas también son incrustaciones topológicas. Dicho de otra manera, la topología en es idéntica a la topología subespacial que hereda de donde recordemos que la topología de se definió como la topología subespacial inducida en él por En particular, ambos e induce la misma topología subespacial en Sin embargo, esto no implica que la topología canónica LF es igual a la topología subespacial inducida por ; De hecho, estas dos topologías nunca son iguales entre sí, ya que la topología canónica LF nunca es metrizable, mientras que la topología subespacial inducida por es metrizable (ya que recordemos que es metrizable). La topología canónica de LF es en realidad estrictamente más fina que la topología subespacial de la que hereda (por lo tanto, la inclusión natural es continua pero no una incrustación topológica ). ^[7] ${\displaystyle \operatorname {In} _{K}^{L}:C^{k}(K)\to C^{k}(L)}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{K}^{U}:C^{k}(K)\to C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U),}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K).}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)\to C^{k}(U)}$

De hecho, la topología canónica de LF es tan fina que si denota algún mapa lineal que es una "inclusión natural" (como u otros mapas que se analizan a continuación), entonces este mapa normalmente será continuo, lo cual (como se explica a continuación) es en última instancia el razón por la cual las funciones localmente integrables, las medidas de radón , etc. inducen distribuciones (a través de la transposición de tal "inclusión natural"). Dicho de otra manera, la razón por la que hay tantas formas diferentes de definir distribuciones de otros espacios se debe en última instancia a lo fina que es la topología canónica de LF. Además, dado que las distribuciones son simplemente funcionales lineales continuos en la naturaleza fina de la topología LF canónica, significa que más funcionales lineales terminan siendo continuos ("más" significa en comparación con una topología más burda que podríamos haber colocado como, por ejemplo, la topología subespacial inducida por algunos que si bien habría hecho metrizable, también habría resultado en menos funcionales lineales al ser continuo y por lo tanto habría habido menos distribuciones; además, esta particular topología más burda también tiene la desventaja de no convertirse en una TVS completos ^[12] ). ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)\to X}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)\to C^{k}(U),}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)\to L^{p}(U),}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(U),}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Otras propiedades

• El mapa de diferenciación es un operador lineal continuo sobreyectivo. ^[13] ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{\infty }(U)}$
• El mapa de multiplicación bilineal dado por no es continuo; sin embargo, es hipocontinuo . ^[14] ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{m})\times C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{m+n})}$ ${\displaystyle (f,g)\mapsto fg}$

Distribuciones

Como se analizó anteriormente, los funcionales lineales continuos en a se conocen como distribuciones en U. Así, el conjunto de todas las distribuciones en U es el espacio dual continuo del cual, cuando está dotado de la topología dual fuerte , se denota por ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U).}$

Por definición, una distribución en U se define como una funcional lineal continua en Dicho de otra manera, una distribución en U es un elemento del espacio dual continuo de cuando está dotado de su topología LF canónica. ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U).}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Tenemos el emparejamiento de dualidad canónica entre una distribución T en U y una función de prueba que se denota entre paréntesis angulares por ${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U),}$

$${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {D}}^{\prime }(U)\times C_{c}^{\infty }(U)\to \mathbb {R} \\(T,f)\mapsto \langle T,f\rangle :=T(f)\end{cases}}}$$

Se interpreta esta notación como la distribución T que actúa sobre la función de prueba para dar un escalar, o simétricamente como la función de prueba que actúa sobre la distribución T. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Caracterizaciones de distribuciones.

Proposición. Si T es un funcional lineal entonces lo siguiente es equivalente: ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

1. T es una distribución;
2. Definición  : T es una función continua .
3. T es continua en el origen.
4. T es uniformemente continuo .
5. T es un operador acotado .
6. T es secuencialmente continuo .
   • explícitamente, para cada secuencia que converge en alguna ^{[nota 8]} ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle \lim _{i\to \infty }T\left(f_{i}\right)=T(f);}$
7. T es secuencialmente continuo en el origen; en otras palabras, T asigna secuencias nulas ^{[nota 9]} a secuencias nulas.
   • explícitamente, para cada secuencia que converge con el origen (dicha secuencia se llama secuencia nula ), ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle \lim _{i\to \infty }T\left(f_{i}\right)=0.}$
   • una secuencia nula es por definición una secuencia que converge al origen.
8. T asigna secuencias nulas a subconjuntos acotados.
   • explícitamente, para cada secuencia que converge con el origen, la secuencia está acotada. ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle \left(T\left(f_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}$
9. T asigna secuencias nulas convergentes de Mackey ^{[nota 10]} a subconjuntos acotados;
   • explícitamente, para cada Mackey la secuencia nula convergente de la secuencia está acotada. ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle \left(T\left(f_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}$
   • se dice que una secuencia es Mackey convergente a 0 si existe una secuencia divergente de números reales positivos tal que la secuencia esté acotada; toda secuencia que sea Mackey convergente a 0 necesariamente converge al origen (en el sentido habitual). ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to \infty }$ ${\displaystyle \left(r_{i}f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$
10. El núcleo de T es un subespacio cerrado de ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U).}$
11. La gráfica de T está cerrada.
12. Existe una seminorma continua tal que ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle |T|\leq g.}$
13. Existe una colección constante de seminormas continuas, que define la topología canónica de LF y un subconjunto finito tal que ^{[nota 11]} ${\displaystyle C>0,}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}},}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle \left\{g_{1},\ldots ,g_{m}\right\}\subseteq {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle |T|\leq C(g_{1}+\cdots g_{m});}$
14. Para cada subconjunto compacto existen constantes tales que para todos ^[1] ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(K),}$
    $${\displaystyle |T(f)|\leq C\sup\{|\partial ^{p}f(x)|:x\in U,|\alpha |\leq N\}.}$$
15. Para cada subconjunto compacto existen constantes tales que para todos los que tienen soporte contenido en ^[2] ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle C_{K}>0}$ ${\displaystyle N_{K}\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle K,}$
    $${\displaystyle |T(f)|\leq C_{K}\sup\{\left|\partial ^{\alpha }f(x)\right|:x\in K,|\alpha |\leq N_{K}\}.}$$
16. Para cualquier subconjunto compacto y cualquier secuencia en si converge uniformemente a cero para todos los índices múltiples, entonces ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C^{\infty }(K),}$ ${\displaystyle \{\partial ^{p}f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle T(f_{i})\to 0.}$
17. Cualquiera de las tres afirmaciones inmediatamente anteriores (es decir, las afirmaciones 14, 15 y 16) pero con el requisito adicional de que el conjunto compacto pertenezca a ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$

Topología en el espacio de distribuciones.

Definición y notación : El espacio de distribuciones en U , denotado por, es el espacio dual continuo de dotado de la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados de ^[7] Más sucintamente, el espacio de distribuciones en U es ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U),}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U).}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U):=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime }.}$

La topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados también se denomina topología dual fuerte . ^{[nota 12]} Se elige esta topología porque es con esta topología que se convierte en un espacio de Montel nuclear y es con esta topología que se cumple el teorema de los núcleos de Schwartz . ^[15] No importa en qué topología dual se coloque ^{[nota 13],} una secuencia de distribuciones converge en esta topología si y solo si converge puntualmente (aunque esto no tiene por qué ser cierto para una red ). No importa qué topología se elija, será un espacio vectorial topológico localmente convexo y no metrizable . El espacio es separable ^[16] y tiene la fuerte propiedad de Pytkeev ^[17] pero no es un espacio k ^[17] ni un espacio secuencial , ^[16] lo que en particular implica que no es metrizable y también que su topología puede no se puede definir utilizando sólo secuencias. ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U),}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$

Propiedades topológicas

Categorías topológicas del espacio vectorial

La topología LF canónica lo convierte en un espacio LF estricto y completo (y un espacio LB estricto si y sólo si ^[18] ), lo que implica que es un subconjunto exiguo de sí mismo. ^[19] Además, además de su fuerte espacio dual , es un espacio bornológico de Mackey con cañón localmente convexo de Hausdorff completo . El dual fuerte de es un espacio de Fréchet si y sólo si lo es en particular, cuyo dual fuerte es el espacio de distribuciones en U , no es metrizable (nótese que la topología débil-* en tampoco es metrizable y además, además carece de casi todas las buenas propiedades que ofrece la fuerte topología dual ). ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle k\neq \infty }$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U),}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle k\neq \infty }$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$

Los tres espacios y el espacio de Schwartz , así como los duales fuertes de cada uno de estos tres espacios, son espacios bornológicos nucleares completos ^[20] Montel ^[21] , lo que implica que los seis espacios localmente convexos también son paracompactos ^[22] reflexivos. espacios Mackey con barriles . Los espacios y son ambos espacios distinguidos de Fréchet . Además, ambos y son TVS de Schwartz . ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}),}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$

Secuencias convergentes

Secuencias convergentes y su insuficiencia para describir topologías.

Los espacios duales fuertes de y son espacios secuenciales pero no espacios de Fréchet-Urysohn . ^[16] Además, ni el espacio de funciones de prueba ni su dual fuerte es un espacio secuencial (ni siquiera un espacio de Ascoli), ^{[16] [23]} lo que en particular implica que sus topologías no pueden definirse completamente en términos de secuencias convergentes. . ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$

Una secuencia en converge en si y sólo si existe algo que contenga esta secuencia y esta secuencia converge en ; de manera equivalente, converge si y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes: ^[24] ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle K\in \mathbb {K} }$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$

1. Hay un conjunto compacto que contiene los soportes de todos. ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle f_{i}.}$
2. Para cada índice múltiple, la secuencia de derivadas parciales tiende uniformemente a ${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle \partial ^{\alpha }f_{i}}$ ${\displaystyle \partial ^{\alpha }f.}$

Ni el espacio ni su dual fuerte son un espacio secuencial , ^{[16] [23]} y, en consecuencia, sus topologías no pueden definirse completamente en términos de secuencias convergentes. Por esta razón, la caracterización anterior de cuándo converge una secuencia no es suficiente para definir la topología canónica de LF. Lo mismo puede decirse de la topología dual fuerte en ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U).}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U).}$

¿Qué secuencias caracterizan?

Sin embargo, las secuencias caracterizan muchas propiedades importantes, como veremos ahora. Se sabe que en el espacio dual de cualquier espacio de Montel, una secuencia converge en la topología dual fuerte si y sólo si converge en la topología débil* , ^[25] que en particular, es la razón por la cual una secuencia de distribuciones converge ( en la topología dual fuerte) si y sólo si converge puntualmente (esto lleva a muchos autores a usar la convergencia puntual para definir realmente la convergencia de una secuencia de distribuciones; esto está bien para secuencias pero no se extiende a la convergencia de redes de distribuciones). ya que una red puede converger puntualmente pero no converger en la topología dual fuerte).

Las secuencias caracterizan la continuidad de mapas lineales valorados en un espacio localmente convexo. Supongamos que X es un espacio bornológico localmente convexo (como cualquiera de los seis TVS mencionados anteriormente). Entonces , una aplicación lineal en un espacio localmente convexo Y es continua si y sólo si asigna secuencias nulas ^{[nota 9]} en X a subconjuntos acotados de Y. ^{[nota 14]} De manera más general, tal aplicación lineal es continua si y solo si asigna secuencias nulas convergentes de Mackey ^{[nota 10]} a subconjuntos acotados de Entonces, en particular, si una aplicación lineal en un espacio localmente convexo es secuencialmente continua en el origen entonces es continuo. ^[26] Sin embargo, esto no se extiende necesariamente a mapas no lineales y/o a mapas valorados en espacios topológicos que no son TVS localmente convexos. ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$

Porque cada es secuencialmente denso en ^[27] Además, es un subconjunto secuencialmente denso de (con su topología dual fuerte) ^[28] y también un subconjunto secuencialmente denso del espacio dual fuerte de ^[28] ${\displaystyle k\in \{0,1,\ldots ,\infty \},C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U).}$ ${\displaystyle \{D_{\phi }:\phi \in C_{c}^{\infty }(U)\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U).}$

Secuencias de distribuciones

Una secuencia de distribuciones converge con respecto a la topología débil-* en una distribución T si y sólo si ${\displaystyle (T_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$

$${\displaystyle \langle T_{i},f\rangle \to \langle T,f\rangle }$$

${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(U).}$ ${\displaystyle f_{m}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle f_{m}(x)={\begin{cases}m&{\text{ if }}x\in [0,{\frac {1}{m}}]\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}}$$

${\displaystyle T_{m}}$ ${\displaystyle f_{m},}$

$${\displaystyle \langle T_{m},f\rangle =m\int _{0}^{\frac {1}{m}}f(x)\,dx\to f(0)=\langle \delta ,f\rangle }$$

${\displaystyle m\to \infty ,}$ ${\displaystyle T_{m}\to \delta }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(\mathbb {R} ).}$ ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle f_{m}}$

Otras propiedades

• El espacio dual fuerte de es isomorfo TVS a través del isomorfismo TVS canónico definido mediante el envío al valor en (es decir, al funcional lineal definido mediante el envío a ); ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)\to ({\mathcal {D}}^{\prime }(U))'_{b}}$ ${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle d\in {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle d(f)}$
• En cualquier subconjunto acotado de las topologías subespaciales débil y fuerte coinciden; lo mismo es cierto para ; ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U),}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$
• Cada secuencia débilmente convergente es fuertemente convergente (aunque esto no se extiende a las redes ). ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$

Localización de distribuciones.

Preliminares: Transposición de un operador lineal

Las operaciones sobre distribuciones y espacios de distribuciones a menudo se definen mediante la transposición de un operador lineal. Esto se debe a que la transpuesta permite una presentación unificada de las muchas definiciones de la teoría de distribuciones y también a que sus propiedades son bien conocidas en el análisis funcional . ^[29] Por ejemplo, el conocido adjunto hermitiano de un operador lineal entre espacios de Hilbert es solo la transpuesta del operador (pero con el teorema de representación de Riesz utilizado para identificar cada espacio de Hilbert con su espacio dual continuo ). En general, la transpuesta de un mapa lineal continuo es el mapa lineal. ${\displaystyle A:X\to Y}$

$${\displaystyle {}^{t}A:Y'\to X'\qquad {\text{ defined by }}\qquad {}^{t}A(y'):=y'\circ A,}$$

topologías duales fuertestopologías débiles*topología polarsistema dual ${\displaystyle \langle y',A(x)\rangle =\left\langle {}^{t}A(y'),x\right\rangle }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y'\in Y'}$ ${\displaystyle y'}$ ${\displaystyle y'}$ ${\displaystyle Y'}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}^{t}A:Y'\to X'}$

En el contexto de las distribuciones, la caracterización de la transpuesta se puede refinar ligeramente. Sea un mapa lineal continuo. Entonces, por definición, la transpuesta de es el único operador lineal que satisface: ${\displaystyle A:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{t}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$

$${\displaystyle \langle {}^{t}A(T),\phi \rangle =\langle T,A(\phi )\rangle \quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U){\text{ and all }}T\in {\mathcal {D}}'(U).}$$

Dado que es denso en (aquí, en realidad se refiere al conjunto de distribuciones ), es suficiente que la igualdad definitoria se cumpla para todas las distribuciones de la forma donde. Explícitamente, esto significa que un mapa lineal continuo es igual a si y solo si se cumple la siguiente condición. : ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle \left\{D_{\psi }:\psi \in {\mathcal {D}}(U)\right\}}$ ${\displaystyle T=D_{\psi }}$ ${\displaystyle \psi \in {\mathcal {D}}(U).}$ ${\displaystyle B:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {}^{t}A}$

$${\displaystyle \langle B(D_{\psi }),\phi \rangle =\langle {}^{t}A(D_{\psi }),\phi \rangle \quad {\text{ for all }}\phi ,\psi \in {\mathcal {D}}(U)}$$

${\displaystyle \langle {}^{t}A(D_{\psi }),\phi \rangle =\langle D_{\psi },A(\phi )\rangle =\langle \psi ,A(\phi )\rangle =\int _{U}\psi \cdot A(\phi )\,dx.}$

Extensiones y restricciones a un subconjunto abierto

Sean subconjuntos abiertos de Cada función se puede extender en cero desde su dominio a una función en igualándola a en el complemento . Esta extensión es una función suave y compactamente soportada llamada extensión trivial de a y se denotará por Esta asignación define el operador de extensión trivial que es un mapa lineal inyectivo continuo. Se utiliza para identificar canónicamente como un subespacio vectorial de (aunque no como un subespacio topológico ). Su transpuesta (explicada aquí) ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle U\setminus V.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle E_{VU}(f).}$ ${\displaystyle f\mapsto E_{VU}(f)}$ ${\displaystyle E_{VU}:{\mathcal {D}}(V)\to {\mathcal {D}}(U),}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$

$${\displaystyle \rho _{VU}:={}^{t}E_{VU}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(V),}$$

restricción de distribuciones en ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ^[8]restricción deLa ${\displaystyle \rho _{VU}(T)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle \rho _{VU}(T)}$

$${\displaystyle \langle \rho _{VU}T,\phi \rangle =\langle T,E_{VU}\phi \rangle \quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(V).}$$

noestrictamente más finatopología subespacialnosubespacio topológicodenso^[8][8]extensible a Uextensible^[8] ${\displaystyle V\neq U}$ ${\displaystyle E_{VU}:{\mathcal {D}}(V)\to {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U).}$ ${\displaystyle V\neq U}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}'(V)}$ ${\displaystyle E_{VU}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

A menos que la restricción a no sea inyectiva ni sobreyectiva . ${\displaystyle U=V,}$ ${\displaystyle V}$

Espacios de distribuciones

Para todos y todas, todas las siguientes inyecciones canónicas son continuas y tienen una imagen/rango que es un subconjunto denso de su codominio: ^{[30] [31]} ${\displaystyle 0<k<\infty }$ ${\displaystyle 1<p<\infty ,}$

$${\displaystyle {\begin{matrix}C_{c}^{\infty }(U)&\to &C_{c}^{k}(U)&\to &C_{c}^{0}(U)&\to &L_{c}^{\infty }(U)&\to &L_{c}^{p+1}(U)&\to &L_{c}^{p}(U)&\to &L_{c}^{1}(U)\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&&&&&&&&&\\C^{\infty }(U)&\to &C^{k}(U)&\to &C^{0}(U)&&&&&&&&&&\end{matrix}}}$$

espacios LBsecuencialmente denso^[27]topología de norma habitual^[31] ${\displaystyle L_{c}^{p}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U).}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty ,}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)\to L^{p}(U)}$ ${\displaystyle L^{p}(U)}$ ${\displaystyle L^{p}(U)}$ ${\displaystyle p\neq \infty }$

Supongamos que es uno de los espacios LF (para ) o LB (para ) o espacios normados (para ). ^[31] Debido a que la inyección canónica es una inyección continua cuya imagen es densa en el codominio, la transpuesta de este mapa es una inyección continua. Este mapa transpuesto inyectivo permite así identificar el espacio dual continuo de con un determinado subespacio vectorial del espacio de todas las distribuciones (en concreto, se identifica con la imagen de este mapa transpuesto). Este mapa de transposición continua no es necesariamente una incrustación de TVS, por lo que la topología que este mapa transfiere desde su dominio a la imagen es más fina que la topología subespacial que hereda este espacio. Un subespacio lineal que lleva una topología localmente convexa que es más fina que el subespacio. La topología inducida por se llama espacio de distribuciones . ^[32] Casi todos los espacios de distribuciones mencionados en este artículo surgen de esta manera (por ejemplo, distribución templada, restricciones, distribuciones de orden algún número entero, distribuciones inducidas por una medida positiva de radón, distribuciones inducidas por una función -, etc.) y cualquier teorema de representación sobre el espacio dual de X puede, mediante la transpuesta, transferirse directamente a elementos del espacio ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle k\in \{0,1,\ldots ,\infty \}}$ ${\displaystyle L_{c}^{p}(U)}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle L^{p}(U)}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{X}:C_{c}^{\infty }(U)\to X}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} _{X}:X'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)'_{b}}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left({}^{t}\operatorname {In} _{X}\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U).}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} _{X}:X'_{b}\to {\mathcal {D}}^{\prime }(U),}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left({}^{t}\operatorname {In} _{X}\right).}$

Espacios L p con soporte compacto

Dado el espacio vectorial de ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty ,}$ ${\displaystyle L_{c}^{p}(U)}$Las funciones soportadas de forma compacta ${\displaystyle L^{p}}$ ysu topología se definen como límites directos de los espaciosde una manera análoga a cómo se definieron las topologías LF canónicas. Para cualquier compacto,denotemosel conjunto de todos los elementos en(que recuerdan son clases de equivalencia defunciones medibles de Lebesgue en) que tienen un representantecuyo soporte (cuyo recuerdo es el cierre deen) es un subconjunto de(tal comose define en casi todas partes en) . El conjuntoes un subespacio vectorial cerradoy por tanto es un espacio de Banach y cuando esincluso un espacio de Hilbert . ^[30] Seala unión de todoslosrangos de todos los subconjuntos compactos de El conjuntoes un subespacio vectorialcuyos elementos son las (clases de equivalencia de)funciones compactamente soportadas definidas en(o casi en todas partes en). Dotarde la topología final (topología de límite directo) inducida por los mapas de inclusióncomorangos sobre todos los subconjuntos compactos de Esta topología se llama topología LF canónica y es igual a la topología final inducida por cualquier conjunto contable de mapas de inclusión() dondeestán cualquier conjunto compacto con unión igual a ^[30] Esta topología lo convierteen un espacio LB (y por tanto también en un espacio LF ) con una topología que es estrictamente más fina que la topología norma (subespacio) queinduce en él. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle L_{c}^{p}(K)}$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle K\subseteq U,}$ ${\displaystyle L^{p}(K)}$ ${\displaystyle L^{p}(U)}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{u\in U:f(x)\neq 0\}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L^{p}(K)}$ ${\displaystyle L^{p}(U)}$ ${\displaystyle p=2,}$ ${\displaystyle L_{c}^{p}(U)}$ ${\displaystyle L^{p}(K)}$ ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle L_{c}^{p}(U)}$ ${\displaystyle L^{p}(U)}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle L_{c}^{p}(U)}$ ${\displaystyle L^{p}(K)\to L_{c}^{p}(U)}$ ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle L^{p}(K_{n})\to L_{c}^{p}(U)}$ ${\displaystyle n=1,2,\ldots }$ ${\displaystyle K_{1}\subseteq K_{2}\subseteq \cdots }$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle L_{c}^{p}(U)}$ ${\displaystyle L^{p}(U)}$

Medidas de radón

El mapa de inclusión es una inyección continua cuya imagen es densa en su codominio, por lo que la transpuesta también es una inyección continua. ${\displaystyle \operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{0}(U)}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :\left(C_{c}^{0}(U)\right)_{b}^{\prime }\to {\mathcal {D}}^{\prime }(U)=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime }}$

Nótese que el espacio dual continuo puede identificarse como el espacio de medidas de Radón , donde existe una correspondencia uno a uno entre los funcionales lineales continuos e integrales con respecto a una medida de Radón; eso es, ${\displaystyle \left(C_{c}^{0}(U)\right)_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle T\in \left(C_{c}^{0}(U)\right)_{b}^{\prime }}$

• si entonces existe una medida de radón en U tal que para todos y ${\displaystyle T\in \left(C_{c}^{0}(U)\right)_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f\in C_{c}^{0}(U),T(f)=\textstyle \int _{U}f\,d\mu ,}$
• Si es una medida de radón en U , entonces la funcional lineal definida por es continua. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle C_{c}^{0}(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{0}(U)\ni f\mapsto \textstyle \int _{U}f\,d\mu }$

Mediante la inyección cada medida de radón se convierte en una distribución en U. Si es una función localmente integrable en U , entonces la distribución es una medida de radón; por lo que las medidas de radón forman un amplio e importante espacio de distribuciones. ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :\left(C_{c}^{0}(U)\right)_{b}^{\prime }\to {\mathcal {D}}^{\prime }(U),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \phi \mapsto \textstyle \int _{U}f(x)\phi (x)\,dx}$

El siguiente es el teorema de la estructura de distribuciones de medidas de radón , que muestra que cada medida de radón se puede escribir como una suma de derivadas de funciones locales en U  : ${\displaystyle L^{\infty }}$

Teorema. ^[33]  -  Supongamosque es una medida de radón, dondeseauna vecindad del soporte dey seaExiste una familiadefunciones locales en U tal quepara todosy ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle I=\{p\in \mathbb {N} ^{n}:|p|\leq n\}.}$ ${\displaystyle f=(f_{p})_{p\in I}}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} f_{p}\subseteq V}$ ${\displaystyle p\in I,}$

$${\displaystyle T=\sum _{p\in I}\partial ^{p}f_{p}.}$$

Además, también es igual a una suma finita de derivadas de funciones continuas en donde cada derivada tiene orden ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle \leq 2n.}$

Medidas positivas de radón

Una función lineal T en un espacio de funciones se llama positiva si siempre que una función que pertenece al dominio de T no es negativa (es decir, tiene valor real y ), entonces se puede demostrar que toda función lineal positiva en es necesariamente continua ( es decir, necesariamente una medida de Radón). ^[34] La medida de Lebesgue es un ejemplo de medida positiva de radón. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\geq 0}$ ${\displaystyle T(f)\geq 0.}$ ${\displaystyle C_{c}^{0}(U)}$

Funciones localmente integrables como distribuciones.

Una clase particularmente importante de medidas de radón son aquellas que son funciones inducidas localmente integrables. La función se llama localmente integrable si es integrable de Lebesgue en cada subconjunto compacto K de U. ^{[nota 15]} Esta es una gran clase de funciones que incluye todas las funciones continuas y todas las funciones espaciales Lp . La topología on se define de tal manera que cualquier función localmente integrable produce un funcional lineal continuo on – es decir, un elemento de – denotado aquí por , cuyo valor en la función de prueba está dado por la integral de Lebesgue: ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle \langle T_{f},\phi \rangle =\int _{U}f\phi \,dx.}$$

Convencionalmente, se abusa de la notación identificándose con siempre que no pueda surgir confusión y, por lo tanto, el emparejamiento entre y a menudo se escribe ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle \langle f,\phi \rangle =\langle T_{f},\phi \rangle .}$$

Si y g son dos funciones localmente integrables, entonces las distribuciones asociadas y T _g son iguales al mismo elemento de si y sólo si y g son iguales en casi todas partes (ver, por ejemplo, Hörmander (1983, Teorema 1.2.5)). De manera similar, cada medida de radón en U define un elemento cuyo valor en la función de prueba es. Como se indicó anteriormente, es convencional abusar de la notación y escribir el emparejamiento entre una medida de radón y una función de prueba como . A la inversa, como se muestra en un teorema Según Schwartz (similar al teorema de representación de Riesz ), toda distribución que no sea negativa en funciones no negativas tiene esta forma para alguna medida de radón (positiva). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \textstyle \int \phi \,d\mu .}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \langle \mu ,\phi \rangle .}$

Funciones de prueba como distribuciones.

Las funciones de prueba son en sí mismas integrables localmente y, por lo tanto, definen distribuciones. El espacio de funciones de prueba es secuencialmente denso con respecto a la topología fuerte en ^[28]. Esto significa que para cualquiera hay una secuencia de funciones de prueba, que converge (en su topología dual fuerte) cuando se considera como una secuencia de distribuciones. O equivalente, ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U).}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}^{\prime }(U),}$ ${\displaystyle (\phi _{i})_{i=1}^{\infty },}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$

$${\displaystyle \langle \phi _{i},\psi \rangle \to \langle T,\psi \rangle \qquad {\text{ for all }}\psi \in {\mathcal {D}}(U).}$$

Además, también es secuencialmente denso en el espacio dual fuerte de ^[28] ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U).}$

Distribuciones con soporte compacto

El mapa de inclusión es una inyección continua cuya imagen es densa en su codominio, por lo que la transpuesta también es una inyección continua. Así, la imagen de la transpuesta, denotada por, forma un espacio de distribuciones cuando está dotada de la fuerte topología dual de (transferida a ella a través del mapa de transposición , por lo que la topología de es más fina que la topología subespacial de la que hereda este conjunto ). ^[35] ${\displaystyle \operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :\left(C^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime }\to {\mathcal {D}}^{\prime }(U)=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\prime }(U),}$ ${\displaystyle \left(C^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :\left(C^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime }\to {\mathcal {E}}^{\prime }(U),}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$

Los elementos de se pueden identificar como el espacio de distribuciones con soporte compacto. ^[35] Explícitamente, si T es una distribución en U , entonces las siguientes son equivalentes, ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\prime }(U)=\left(C^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime }}$

• ${\displaystyle T\in {\mathcal {E}}^{\prime }(U)}$;
• el soporte de T es compacto;
• la restricción de hasta cuando ese espacio está equipado con la topología subespacial heredada (una topología más burda que la topología LF canónica), es continua; ^[35] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$
• existe un subconjunto compacto K de U tal que para cada función de prueba cuyo soporte está completamente fuera de K , tenemos ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle T(\phi )=0.}$

Las distribuciones con soporte compacto definen funcionales lineales continuas en el espacio ; Recuerde que la topología de se define de manera que una secuencia de funciones de prueba converge a 0 si y sólo si todas las derivadas de convergen uniformemente a 0 en cada subconjunto compacto de U. Por el contrario, se puede demostrar que cada funcional lineal continua en este espacio define una distribución de soporte compacto. Por lo tanto, las distribuciones con soporte compacto se pueden identificar con aquellas distribuciones que se pueden extender de a ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle \phi _{k}}$ ${\displaystyle \phi _{k}}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U).}$

Distribuciones de orden finito

Dejemos que el mapa de inclusión es una inyección continua cuya imagen es densa en su codominio, por lo que la transpuesta también es una inyección continua. En consecuencia, la imagen de denotada por forma un espacio de distribuciones cuando está dotada de la fuerte topología dual de (transferida a través del mapa transpuesto, por lo que la topología de 'es más fina que la topología subespacial de la que hereda este conjunto ). Los elementos de son las distribuciones de orden ^[36] Las distribuciones de orden que también se llaman distribuciones de orden son exactamente las distribuciones que son medidas de radón (descritas anteriormente). ${\displaystyle k\in \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle \operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :\left(C_{c}^{k}(U)\right)_{b}^{\prime }\to {\mathcal {D}}^{\prime }(U)=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{k}(U),}$ ${\displaystyle \left(C_{c}^{k}(U)\right)_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :\left(C^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime }\to {\mathcal {D}}'^{k}(U),}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{m}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{k}(U)}$ ${\displaystyle \,\leq k.}$ ${\displaystyle \,\leq 0,}$ ${\displaystyle 0,}$

Porque una distribución de orden es una distribución de orden que no es una distribución de orden ^[36] ${\displaystyle 0\neq k\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \,\leq k}$ ${\displaystyle \,\leq k-1}$

Se dice que una distribución es de orden finito si existe algún número entero k tal que sea una distribución de orden y el conjunto de distribuciones de orden finito se denota por Note que si entonces es un subespacio vectorial de y además, si y sólo si ^[36] ${\displaystyle \,\leq k,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{F}(U).}$ ${\displaystyle k\leq 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{k}(U)\subseteq {\mathcal {D}}'^{l}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{F}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{F}(U)={\mathcal {D}}^{\prime }(U).}$

Estructura de distribuciones de orden finito.

Toda distribución con soporte compacto en U es una distribución de orden finito. ^[36] De hecho, cada distribución en U es localmente una distribución de orden finito, en el siguiente sentido: ^[36] Si V es un subconjunto abierto y relativamente compacto de U y si es el mapeo de restricción de U a V , entonces la imagen de debajo está contenido en ${\displaystyle \rho _{VU}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle \rho _{VU}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{F}(V).}$

El siguiente es el teorema de la estructura de distribuciones de orden finito, que muestra que toda distribución de orden finito se puede escribir como una suma de derivadas de medidas de radón :

Teorema ^[36]  -  Supongamos que tiene orden finito y Dado cualquier subconjunto abierto V de U que contenga el soporte de T , existe una familia de medidas de radón en U , tal que para muy y ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle I=\{p\in \mathbb {N} ^{n}:|p|\leq k\}.}$ ${\displaystyle (\mu _{p})_{p\in I},}$ ${\displaystyle p\in I,\operatorname {supp} (\mu _{p})\subseteq V}$

$${\displaystyle T=\sum _{|p|\leq k}\partial ^{p}\mu _{p}.}$$

Ejemplo. (Distribuciones de orden infinito) Sea y para cada función de prueba sea ${\displaystyle U:=(0,\infty )}$ ${\displaystyle f,}$

$${\displaystyle Sf:=\sum _{m=1}^{\infty }(\partial ^{m}f)\left({\frac {1}{m}}\right).}$$

Entonces S es una distribución de orden infinito en U. Además, S no se puede extender a una distribución en ; es decir, no existe ninguna distribución T tal que la restricción de T a U sea igual a T . ^[37] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Distribuciones templadas y transformada de Fourier.

A continuación se definen las distribuciones templadas , que forman un subespacio del espacio de distribuciones en Este es un subespacio propio: mientras que cada distribución templada es una distribución y un elemento de lo contrario no es cierto. Las distribuciones templadas son útiles si se estudia la transformada de Fourier , ya que todas las distribuciones templadas tienen una transformada de Fourier, lo que no es cierto para una distribución arbitraria en ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n}),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n}),}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n}).}$

espacio de schwartz

El espacio de Schwartz es el espacio de todas las funciones suaves que decrecen rápidamente en el infinito junto con todas las derivadas parciales. Por lo tanto , en el espacio de Schwartz, cualquier derivada de multiplicada por cualquier potencia de converge a 0, ya que estas funciones forman un TVS completo con una familia de seminormas adecuadamente definida . Más precisamente, para cualquier índice múltiple y defina: ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}),}$ ${\displaystyle \phi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \phi ,}$ ${\displaystyle |x|,}$ ${\displaystyle |x|\to \infty .}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

$${\displaystyle p_{\alpha ,\beta }(\phi )~=~\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|.}$$

Entonces está en el espacio de Schwartz si todos los valores satisfacen: ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle p_{\alpha ,\beta }(\phi )<\infty .}$$

La familia de seminormas define una topología localmente convexa en el espacio de Schwartz. Porque las seminormas son, de hecho, normas en el espacio de Schwartz. También se puede utilizar la siguiente familia de seminormas para definir la topología: ^[38] ${\displaystyle p_{\alpha ,\beta }}$ ${\displaystyle n=1,}$

$${\displaystyle |f|_{m,k}=\sup _{|p|\leq m}\left(\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left\{(1+|x|)^{k}\left|(\partial ^{\alpha }f)(x)\right|\right\}\right),\qquad k,m\in \mathbb {N} .}$$

De lo contrario, se puede definir una norma a través de ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$

$${\displaystyle \|\phi \|_{k}~=~\max _{|\alpha |+|\beta |\leq k}\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|,\qquad k\geq 1.}$$

El espacio de Schwartz es un espacio de Fréchet (es decir, un espacio localmente convexo metrizable completo ). Debido a que la transformada de Fourier cambia a multiplicación por y viceversa, esta simetría implica que la transformada de Fourier de una función de Schwartz también es una función de Schwartz. ${\displaystyle \partial ^{\alpha }}$ ${\displaystyle x^{\alpha }}$

Una secuencia en converge a 0 en si y solo si las funciones convergen a 0 uniformemente en todo lo que implica que dicha secuencia debe converger a cero en ^[38] ${\displaystyle \{f_{i}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle (1+|x|)^{k}(\partial ^{p}f_{i})(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$es denso en El subconjunto de todas las funciones analíticas de Schwartz también es denso . ^[39] ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}).}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$

El espacio de Schwartz es nuclear y el producto tensorial de dos mapas induce isomorfismos TVS sobreyectivos canónicos.

$${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{m})\ {\widehat {\otimes }}\ {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{m+n}),}$$

producto tensorial inyectivoproducto tensorial proyectivo^[40] ${\displaystyle {\widehat {\otimes }}}$

Distribuciones templadas

El mapa de inclusión es una inyección continua cuya imagen es densa en su codominio, por lo que la transpuesta también es una inyección continua. Por lo tanto, la imagen del mapa transpuesto, denotado por, forma un espacio de distribuciones cuando está dotado de la fuerte topología dual de (transferida a través del mapa transpuesto, por lo que la topología de es más fina que la topología subespacial de la que hereda este conjunto ) . ${\displaystyle \operatorname {In} :{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :({\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}))'_{b}\to {\mathcal {D}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n}),}$ ${\displaystyle ({\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}))'_{b}}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :({\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}))'_{b}\to {\mathcal {D}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n}),}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})}$

El espacio se denomina espacio de distribuciones templadas . Es el dual continuo del espacio de Schwartz. De manera equivalente, una distribución T es una distribución templada si y sólo si ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})}$

$${\displaystyle \left({\text{ for all }}\alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{n}:\lim _{m\to \infty }p_{\alpha ,\beta }(\phi _{m})=0\right)\Longrightarrow \lim _{m\to \infty }T(\phi _{m})=0.}$$

La derivada de una distribución templada es nuevamente una distribución templada. Las distribuciones templadas generalizan las funciones localmente integrables acotadas (o de crecimiento lento); todas las distribuciones con soporte compacto y todas las funciones integrables en cuadro son distribuciones templadas. De manera más general, todas las funciones que son productos de polinomios con elementos del espacio Lp son distribuciones templadas. ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle p\geq 1}$

Las distribuciones templadas también se pueden caracterizar como de crecimiento lento , lo que significa que cada derivada de T crece como máximo tan rápido como algún polinomio . Esta caracterización es dual al comportamiento de caída rápida de las derivadas de una función en el espacio de Schwartz, donde cada derivada de decae más rápido que cada potencia inversa de Un ejemplo de función de caída rápida es para cualquier positivo ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle |x|.}$ ${\displaystyle |x|^{n}\exp(-\lambda |x|^{\beta })}$ ${\displaystyle n,\lambda ,\beta .}$

Transformada de Fourier

Para estudiar la transformada de Fourier, es mejor considerar funciones de prueba de valores complejos y distribuciones lineales complejas. La transformada de Fourier continua ordinaria es un automorfismo TVS del espacio de Schwartz, y la transformada de Fourier se define como su transpuesta que (abusando de la notación) se denotará nuevamente por F. Entonces, la transformada de Fourier de la distribución templada T está definida por para cada función de Schwartz es nuevamente una distribución templada. La transformada de Fourier es un isomorfismo TVS del espacio de distribuciones templadas sobre sí mismo. Esta operación es compatible con la diferenciación en el sentido de que ${\displaystyle F:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {}^{t}F:{\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n}),}$ ${\displaystyle (FT)(\psi )=T(F\psi )}$ ${\displaystyle \psi .}$ ${\displaystyle FT}$

$${\displaystyle F{\dfrac {dT}{dx}}=ixFT}$$

Tque aumenta lentamente ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \psi T}$

$${\displaystyle F(\psi T)=F\psi *FT}$$

${\displaystyle FT}$ ${\displaystyle F\psi }$ ${\displaystyle \delta }$

Expresar distribuciones templadas como sumas de derivadas.

Si es una distribución templada, entonces existen números enteros constantes y positivos M y N tales que para todas las funciones de Schwartz ${\displaystyle T\in {\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle C>0,}$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$

$${\displaystyle \langle T,\phi \rangle \leq C\sum \nolimits _{|\alpha |\leq N,|\beta |\leq M}\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|=C\sum \nolimits _{|\alpha |\leq N,|\beta |\leq M}p_{\alpha ,\beta }(\phi ).}$$

Esta estimación, junto con algunas técnicas del análisis funcional, se puede utilizar para mostrar que existe una función F continua que aumenta lentamente y un índice múltiple tal que ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle T=\partial ^{\alpha }F.}$$

Restricción de distribuciones a conjuntos compactos

Si entonces, para cualquier conjunto compacto existe una función continua F soportada de forma compacta (posiblemente en un conjunto más grande que el propio K ) y un índice múltiple tal que en ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n}),}$ ${\displaystyle K\subseteq \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle T=\partial ^{\alpha }F}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(K).}$

Producto tensorial de distribuciones.

Dejar y ser conjuntos abiertos. Suponga que todos los espacios vectoriales están sobre el campo donde o For define para todas y cada una de las siguientes funciones: ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(U\times V)}$ ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle v\in V}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}f_{u}:\,&V&&\to \,&&\mathbb {F} &&\quad {\text{ and }}\quad &&f^{v}:\,&&U&&\to \,&&\mathbb {F} \\&y&&\mapsto \,&&f(u,y)&&&&&&x&&\mapsto \,&&f(x,v)\\\end{alignedat}}}$$

Dadas y definidas las siguientes funciones: ${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}^{\prime }(V),}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\langle S,f^{\bullet }\rangle :\,&V&&\to \,&&\mathbb {F} &&\quad {\text{ and }}\quad &&\langle T,f_{\bullet }\rangle :\,&&U&&\to \,&&\mathbb {F} \\&v&&\mapsto \,&&\langle S,f^{v}\rangle &&&&&&u&&\mapsto \,&&\langle T,f_{u}\rangle \\\end{alignedat}}}$$

${\displaystyle \langle T,f_{\bullet }\rangle \in {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle \langle S,f^{\bullet }\rangle \in {\mathcal {D}}(V).}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(V)}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\,&{\mathcal {D}}(U\times V)&&\to \,&&{\mathcal {D}}(V)&&\quad {\text{ and }}\quad &&\,&&{\mathcal {D}}(U\times V)&&\to \,&&{\mathcal {D}}(U)\\&f&&\mapsto \,&&\langle S,f^{\bullet }\rangle &&&&&&f&&\mapsto \,&&\langle T,f_{\bullet }\rangle \\\end{alignedat}}}$$

Además, si cualquiera de los dos (resp. ) tiene soporte compacto, entonces también induce un mapa lineal continuo de (resp. ). ^[41] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U\times V)\to C^{\infty }(V)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U\times V)\to C^{\infty }(U)}$

Teorema de Fubini para distribuciones ^[41]  —  Seaysientonces ${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(V).}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(U\times V)}$

$${\displaystyle \langle S,\langle T,f_{\bullet }\rangle \rangle =\langle T,\langle S,f^{\bullet }\rangle \rangle .}$$

El producto tensorial de y ${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(V),}$ denotado por o es la distribución definida por: ^[41] ${\displaystyle S\otimes T}$ ${\displaystyle T\otimes S,}$ ${\displaystyle U\times V}$

$${\displaystyle (S\otimes T)(f):=\langle S,\langle T,f_{\bullet }\rangle \rangle =\langle T,\langle S,f^{\bullet }\rangle \rangle .}$$

Teorema del núcleo de Schwartz

El producto tensorial define un mapa bilineal.

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\,&{\mathcal {D}}^{\prime }(U)\times {\mathcal {D}}^{\prime }(V)&&\to \,&&{\mathcal {D}}^{\prime }(U\times V)\\&~~~~~~~~(S,T)&&\mapsto \,&&S\otimes T\\\end{alignedat}}}$$

^[41] ${\displaystyle \operatorname {supp} (S\otimes T)=\operatorname {supp} (S)\times \operatorname {supp} (T).}$ ${\displaystyle (S,T)\mapsto S\otimes T}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{8}&{\mathcal {E}}^{\prime }(U)&&\times {\mathcal {E}}^{\prime }(V)&&\to {\mathcal {E}}^{\prime }(U\times V)\\&{\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{m})&&\times {\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})&&\to {\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{m+n})\\\end{alignedat}}}$$

espacio de Schwartz^[14] ${\displaystyle {\mathcal {E}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Teorema del núcleo de Schwartz ^[40]  :  cada uno de los mapas canónicos siguientes (definidos de forma natural) son isomorfismos TVS :

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{8}&{\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{m+n})~&&~\cong ~&&~{\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{m})\ &&{\widehat {\otimes }}\ {\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})~&&~\cong ~&&~L_{b}({\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{m});&&\;{\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n}))\\&{\mathcal {E}}^{\prime }(U\times V)~&&~\cong ~&&~{\mathcal {E}}^{\prime }(U)\ &&{\widehat {\otimes }}\ {\mathcal {E}}^{\prime }(V)~&&~\cong ~&&~L_{b}(C^{\infty }(U);&&\;{\mathcal {E}}^{\prime }(V))\\&{\mathcal {D}}^{\prime }(U\times V)~&&~\cong ~&&~{\mathcal {D}}^{\prime }(U)\ &&{\widehat {\otimes }}\ {\mathcal {D}}^{\prime }(V)~&&~\cong ~&&~L_{b}({\mathcal {D}}(U);&&\;{\mathcal {D}}^{\prime }(V))\\\end{alignedat}}}$$

Aquí representa la compleción del producto tensorial inyectivo (que en este caso es idéntica a la compleción del producto tensorial proyectivo , ya que estos espacios son nucleares ) y tiene la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados . ${\displaystyle {\widehat {\otimes }}}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$

Este resultado no es válido para espacios de Hilbert como y su espacio dual. ^[42] ¿Por qué tal resultado es válido para el espacio de distribuciones y funciones de prueba pero no para otros espacios "agradables" como el espacio de Hilbert ? Esta pregunta llevó a Alexander Grothendieck a descubrir los espacios nucleares , los mapas nucleares y el producto tensorial inyectivo . Finalmente demostró que es precisamente porque es un espacio nuclear que se cumple el teorema del núcleo de Schwartz . Al igual que los espacios de Hilbert, los espacios nucleares pueden considerarse como generalizaciones del espacio euclidiano de dimensión finita. ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$

Usar funciones holomorfas como funciones de prueba

El éxito de la teoría llevó a la investigación de la idea de hiperfunción , en la que espacios de funciones holomorfas se utilizan como funciones de prueba. Se ha desarrollado una teoría refinada, en particular el análisis algebraico de Mikio Sato , utilizando la teoría de la gavilla y varias variables complejas . Esto amplía la gama de métodos simbólicos que pueden convertirse en matemáticas rigurosas, por ejemplo, las integrales de Feynman .

Ver también

• Álgebra de Colombeau  : álgebra diferencial asociativa conmutativa de funciones generalizadas en la que las funciones suaves (pero no las continuas arbitrarias) se integran como una subálgebra y las distribuciones se integran como un subespacio.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Actual (matemáticas)  – Distribuciones en espacios de formas diferenciales
• Distribución (teoría de números)  : función en conjuntos finitos que es análoga a una integralPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Distribución en un grupo algebraico lineal  : función lineal que satisface una condición de soporte
• Triple de Gelfand  : construcción que vincula el estudio de valores propios "ligados" y continuos en el análisis funcionalPages displaying short descriptions of redirect targets
• Función generalizada  : objetos que amplían la noción de funciones.
• Distribución homogénea
• Hiperfunción  : tipo de función generalizada
• Laplaciano del indicador  – Límite de secuencia de funciones suaves
• Límite de una distribución
• Forma lineal  : mapa lineal desde un espacio vectorial a su campo de escalares
• Teorema de Malgrange-Ehrenpreis
• Operador pseudodiferencial  - Tipo de operador diferencialPages displaying short descriptions of redirect targets
• Teorema de representación de Riesz  - Teorema sobre el dual de un espacio de Hilbert
• Topología vaga
• Solución débil  – Solución matemática

Notas

1. El espacio de Schwartz consta de funciones de prueba suaves y decrecientes rápidamente, donde "rápidamente decreciente" significa que la función disminuye más rápido que cualquier polinomio aumenta a medida que los puntos de su dominio se alejan del origen.
2. Excepto por el mapa trivial (es decir, idéntico), que por supuesto siempre es analítico. ${\displaystyle 0}$
3. Tenga en cuenta que ser un número entero implica que esto a veces se expresa como Dado que la desigualdad " " significa: si mientras si entonces significa ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i\neq \infty .}$ ${\displaystyle 0\leq i<k+1.}$ ${\displaystyle \infty +1=\infty ,}$ ${\displaystyle 0\leq i<k+1}$ ${\displaystyle 0\leq i<\infty }$ ${\displaystyle k=\infty ,}$ ${\displaystyle k\neq \infty }$ ${\displaystyle 0\leq i\leq k.}$
4. La imagen del conjunto compacto bajo un mapa de valores continuos (por ejemplo, para ) es en sí misma un subconjunto compacto y, por lo tanto, acotado de If , ​​entonces esto implica que cada una de las funciones definidas anteriormente tiene valores (es decir, ninguna de los supremos anteriores son siempre iguales a ). ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto \left|\partial ^{p}f(x)\right|}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle K\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \infty }$
5. Si tomamos como el conjunto de todos los subconjuntos compactos de U , entonces podemos usar la propiedad universal de los límites directos para concluir que la inclusión es continua e incluso que son incrustaciones topológicas para cada subconjunto compacto. Sin embargo, si tomamos como ser Si el conjunto de cierres de alguna secuencia creciente contable de subconjuntos abiertos relativamente compactos de U tiene todas las propiedades mencionadas anteriormente en este artículo, inmediatamente deducimos que es un espacio LF estricto localmente convexo de Hausdorff (e incluso un espacio LB estricto). cuando ). Todos estos hechos también se pueden demostrar directamente sin utilizar sistemas directos (aunque con más trabajo). ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{K}^{U}:C^{k}(K)\to C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle K\subseteq U.}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle k\neq \infty }$
6. Para cualquier TVS X ( metrizable o no), la noción de completitud depende completamente de cierta llamada " uniformidad canónica " que se define utilizando únicamente la operación de resta (consulte el artículo Espacio vectorial topológico completo para obtener más detalles). De esta forma, la noción de TVS completa no requiere la existencia de ninguna métrica . Sin embargo, si el TVS X es metrizable y si hay alguna métrica invariante en la traducción en X que defina su topología, entonces X es completo como TVS (es decir, es un espacio uniforme completo bajo su uniformidad canónica) si y sólo si es un TVS completo. espacio métrico . Entonces, si un TVS X tiene una topología que puede definirse mediante una métrica d, entonces d puede usarse para deducir la integridad de X , pero la existencia de dicha métrica no es necesaria para definir la integridad e incluso es posible deducirla. que un TVS metrizable está completo sin siquiera considerar una métrica (por ejemplo, dado que el producto cartesiano de cualquier colección de TVS completos es nuevamente un TVS completo, podemos deducir inmediatamente que el TVS que resulta ser metrizable es un TVS completo; tenga en cuenta que no hubo necesidad de considerar ninguna métrica en ). ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} },}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$
7. Una razón para dar la topología LF canónica es porque es con esta topología que y su espacio dual continuo se convierten en espacios nucleares, que tienen muchas propiedades agradables y que pueden verse como una generalización de espacios de dimensión finita (en comparación, normados Los espacios son otra generalización de espacios de dimensión finita que tienen muchas propiedades "agradables"). Con más detalle, hay dos clases de espacios vectoriales topológicos (TVS) que son particularmente similares a los espacios euclidianos de dimensión finita : los espacios de Banach (especialmente los espacios de Hilbert ) y los espacios nucleares de Montel . Los espacios de Montel son una clase de TVS en los que cada subconjunto cerrado y acotado es compacto (esto generaliza el teorema de Heine-Borel ), que es una propiedad que ningún espacio de Banach de dimensión infinita puede tener; es decir, ningún TVS de dimensión infinita puede ser a la vez un espacio de Banach y un espacio de Montel. Además, ningún TVS de dimensión infinita puede ser a la vez un espacio de Banach y un espacio nuclear. Todos los espacios euclidianos de dimensión finita son espacios nucleares de Montel Hilbert , pero una vez que uno ingresa al espacio de dimensión infinita, estas dos clases se separan. Los espacios nucleares en particular tienen muchas de las propiedades "agradables" de los TVS de dimensión finita (por ejemplo, el teorema del núcleo de Schwartz ) de las que carecen los espacios de Banach de dimensión infinita (para más detalles, consulte las propiedades, condiciones suficientes y caracterizaciones que se dan en el artículo Nuclear espacio ). Es en este sentido que los espacios nucleares son una "generalización alternativa" de espacios de dimensión finita. Además, como regla general, en la práctica la mayoría de los TVS "que ocurren naturalmente" suelen ser espacios de Banach o espacios nucleares. Normalmente, la mayoría de los TVS que están asociados con la suavidad (es decir, diferenciabilidad infinita , como y ) terminan siendo TVS nucleares, mientras que los TVS asociados con la diferenciabilidad continua finita (como con K compacto y ) a menudo terminan siendo espacios no nucleares, como Banach. espacios. ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle k\neq \infty }$
8. Aunque la topología de no es metrizable, una funcional lineal es continua si y solo si es secuencialmente continua. ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$
9. Una secuencia nula es una secuencia que converge al origen.
10. una secuencia es Mackey convergente a 0 en si existe una secuencia divergente de números reales positivos tal que sea un conjunto acotado en ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to \infty }$ ${\displaystyle \left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X.}$
11. Si también es un conjunto dirigido en la comparación de funciones habitual, entonces podemos considerar que la colección finita consta de un solo elemento. ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$
12. En el análisis funcional , la topología dual fuerte es a menudo la topología "estándar" o "predeterminada" colocada en el espacio dual continuo donde si X es un espacio normado , entonces esta topología dual fuerte es la misma que la topología inducida por normas habitual en ${\displaystyle X',}$ ${\displaystyle X'.}$
13. Técnicamente, la topología debe ser más basta que la topología dual fuerte y al mismo tiempo ser más fina que la topología débil* .
14. Recuerde que un mapa lineal está acotado si y solo si asigna secuencias nulas a secuencias acotadas.
15. Para obtener más información sobre dicha clase de funciones, consulte la entrada sobre funciones integrables localmente .

Referencias

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Bibliografía

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Otras lecturas

• MJ Lighthill (1959). Introducción al Análisis de Fourier y Funciones Generalizadas . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-09128-4 (requiere muy poco conocimiento de análisis; define distribuciones como límites de secuencias de funciones bajo integrales) 
• VS Vladimirov (2002). Métodos de la teoría de funciones generalizadas . Taylor y Francisco. ISBN 0-415-27356-0 
• Vladimirov, VS (2001) [1994], "Función generalizada", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Vladimirov, VS (2001) [1994], "Funciones generalizadas, espacio de", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Vladimirov, VS (2001) [1994], "Función generalizada, derivada de a", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Vladimirov, VS (2001) [1994], "Funciones generalizadas, producto de", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Oberguggenberger, Michael (2001) [1994], "Álgebras de funciones generalizadas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.