Función de protuberancia

Función de soporte suave y compacto

La gráfica de la función bump donde y ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mapsto \Psi (r),}$ ${\displaystyle r=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{1/2}}$ ${\displaystyle \Psi (r)=e^{-1/(1-r^{2})}\cdot \mathbf {1} _{\{|r|<1\}}.}$

En matemáticas , una función bump (también llamada función de prueba ) es una función en un espacio euclidiano que es a la vez suave (en el sentido de tener derivadas continuas de todos los órdenes) y de soporte compacto . El conjunto de todas las funciones bump con dominio forma un espacio vectorial , denotado o El espacio dual de este espacio dotado de una topología adecuada es el espacio de distribuciones . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathrm {C} _{\mathrm {c} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).}$

Ejemplos

La función de protuberancia 1d ${\displaystyle \Psi (x).}$

La función dada por es un ejemplo de una función de protuberancia en una dimensión. De la construcción se desprende claramente que esta función tiene un soporte compacto, ya que una función de la línea real tiene un soporte compacto si y solo si tiene un soporte cerrado acotado. La prueba de suavidad sigue la misma línea que para la función relacionada que se analiza en el artículo Función suave no analítica . Esta función se puede interpretar como la función gaussiana escalada para encajar en el disco unitario: la sustitución corresponde a enviar a ${\displaystyle \Psi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \Psi (x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-x^{2}}}\right),&{\text{ if }}|x|<1,\\0,&{\text{ if }}|x|\geq 1,\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \exp \left(-y^{2}\right)}$ ${\displaystyle y^{2}={1}/{\left(1-x^{2}\right)}}$ ${\displaystyle x=\pm 1}$ ${\displaystyle y=\infty .}$

Un ejemplo simple de una función de protuberancia (cuadrada) en variables se obtiene tomando el producto de copias de la función de protuberancia anterior en una variable, por lo que ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \Phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\Psi (x_{1})\Psi (x_{2})\cdots \Psi (x_{n}).}$$

Se puede formar una función de protuberancia simétrica radial en variables tomando la función definida por . Esta función se apoya en la bola unitaria centrada en el origen. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Psi _{n}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Psi _{n}(\mathbf {x} )=\Psi (|\mathbf {x} |)}$

Para otro ejemplo, tomemos un que es positivo en y cero en el resto, por ejemplo ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle (c,d)}$

${\displaystyle h(x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{(x-c)(d-x)}}\right),&c<x<d\\0,&\mathrm {otherwise} \end{cases}}}$.

Funciones de transición suave

La función suave no analítica f ( x ) considerada en el artículo.

Considere la función

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x}}}&{\text{if }}x>0,\\0&{\text{if }}x\leq 0,\end{cases}}}$

definido para cada número real x .

La transición suave g de 0 a 1 se define aquí.

La función

${\displaystyle g(x)={\frac {f(x)}{f(x)+f(1-x)}},\qquad x\in \mathbb {R} ,}$

tiene un denominador estrictamente positivo en todas partes de la línea real, por lo tanto, g también es suave. Además, g ( x ) = 0 para x  ≤ 0 y g ( x ) = 1 para x  ≥ 1, por lo tanto, proporciona una transición suave del nivel 0 al nivel 1 en el intervalo unitario [0, 1]. Para tener la transición suave en el intervalo real [ a , b ] con a  <  b , considere la función

${\displaystyle \mathbb {R} \ni x\mapsto g{\Bigl (}{\frac {x-a}{b-a}}{\Bigr )}.}$

Para números reales a < b < c < d , la función suave

${\displaystyle \mathbb {R} \ni x\mapsto g{\Bigl (}{\frac {x-a}{b-a}}{\Bigr )}\,g{\Bigl (}{\frac {d-x}{d-c}}{\Bigr )}}$

es igual a 1 en el intervalo cerrado [ b , c ] y se desvanece fuera del intervalo abierto ( a , d ), por lo tanto, puede servir como una función de relieve.

Se debe tener cuidado ya que, por ejemplo, tomar , conduce a: ${\displaystyle \{a=-1\}<\{b=c=0\}<\{d=1\}}$

${\displaystyle q(x)={\frac {1}{1+e^{\frac {1-2|x|}{x^{2}-|x|}}}}}$

que no es una función infinitamente diferenciable (por lo tanto, no es "suave"), por lo que las restricciones a < b < c < d deben cumplirse estrictamente.

Algunos datos interesantes sobre la función:

${\displaystyle q(x,a)={\frac {1}{1+e^{\frac {a(1-2|x|)}{x^{2}-|x|}}}}}$

Se trata de hacer curvas de transición suaves con aristas de pendiente "casi" constante (una función de relieve con pendientes verdaderamente rectas se representa en este otro ejemplo ). ${\displaystyle q\left(x,{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)}$

Un ejemplo adecuado de una función Bump suave sería:

${\displaystyle u(x)={\begin{cases}1,{\text{if }}x=0,\\0,{\text{if }}|x|\geq 1,\\{\frac {1}{1+e^{\frac {1-2|x|}{x^{2}-|x|}}}},{\text{otherwise}},\end{cases}}}$

Un ejemplo adecuado de una función de transición suave será:

${\displaystyle w(x)={\begin{cases}{\frac {1}{1+e^{\frac {2x-1}{x^{2}-x}}}}&{\text{if }}0<x<1,\\0&{\text{if }}x\leq 0,\\1&{\text{if }}x\geq 1,\end{cases}}}$

donde se puede observar que también se puede representar mediante funciones hiperbólicas :

${\displaystyle {\frac {1}{1+e^{\frac {2x-1}{x^{2}-x}}}}={\frac {1}{2}}\left(1-\tanh \left({\frac {2x-1}{2(x^{2}-x)}}\right)\right)}$

Existencia de funciones de bump

Una ilustración de los conjuntos en la construcción.

Es posible construir funciones de protuberancia "según especificaciones". Dicho formalmente, si es un conjunto compacto arbitrario en dimensiones y es un conjunto abierto que contiene existe una función de protuberancia que está sobre y fuera de Dado que puede tomarse como un vecindario muy pequeño de esto equivale a poder construir una función que está sobre y cae rápidamente fuera de mientras sigue siendo suave. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle K,}$

Funciones de relieve definidas en términos de convolución

La construcción se realiza de la siguiente manera. Se considera un vecindario compacto de contenido en por lo que La función característica de será igual a sobre y fuera de por lo que en particular, estará sobre y fuera de Sin embargo, esta función no es suave. La idea clave es suavizar un poco, tomando la convolución de con un suavizador . Este último es solo una función de protuberancia con un soporte muy pequeño y cuya integral es Un suavizador de este tipo se puede obtener, por ejemplo, tomando la función de protuberancia de la sección anterior y realizando escalas apropiadas. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle K\subseteq V^{\circ }\subseteq V\subseteq U.}$ ${\displaystyle \chi _{V}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle \chi _{V}}$ ${\displaystyle \chi _{V}}$ ${\displaystyle 1.}$ ${\displaystyle \Phi }$

Funciones de relieve definidas en términos de una función con soporte ${\displaystyle c:\mathbb {R} \to [0,\infty )}$ ${\displaystyle (-\infty ,0]}$

A continuación se detalla una construcción alternativa que no implica convolución. Comienza construyendo una función suave que es positiva en un subconjunto abierto dado y se desvanece en ^[1]. El soporte de esta función es igual al cierre de en , por lo que si es compacta, entonces es una función de protuberancia. ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle {\overline {U}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle {\overline {U}}}$ ${\displaystyle f}$

Comience con cualquier función suave que se anule en los reales negativos y sea positiva en los reales positivos (es decir, en y en donde la continuidad desde la izquierda requiere ); un ejemplo de tal función es para y en caso contrario. ^[1] Fije un subconjunto abierto de y denote la norma euclidiana habitual por (por lo que está dotado de la métrica euclidiana habitual ). La siguiente construcción define una función suave que es positiva en y se anula fuera de ^[1] Por lo que, en particular, si es relativamente compacta, entonces esta función será una función de protuberancia. ${\displaystyle c:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle c=0}$ ${\displaystyle (-\infty ,0)}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle (0,\infty ),}$ ${\displaystyle c(0)=0}$ ${\displaystyle c(x):=e^{-1/x}}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle c(x):=0}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$

Si entonces sea mientras si entonces sea ; entonces suponga que no es ninguno de estos. Sea una cubierta abierta de por bolas abiertas donde la bola abierta tiene radio y centro Entonces la función definida por es una función suave que es positiva en y se desvanece en ^[1] Para cada sea donde este supremo no es igual a (por lo que es un número real no negativo) porque las derivadas parciales todas se desvanecen (iguales a ) en cualquier fuera de mientras que en el conjunto compacto los valores de cada una de las (finitas) derivadas parciales están (uniformemente) acotadas superiormente por algún número real no negativo. ^{[nota 1]} La serie converge uniformemente en a una función suave que es positiva en y se desvanece en ^[1] Además, para cualesquiera enteros no negativos ^[1] donde esta serie también converge uniformemente en (porque siempre que entonces el valor absoluto del término ^th es ). Esto completa la construcción. ${\displaystyle U=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f=1}$ ${\displaystyle U=\varnothing }$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \left(U_{k}\right)_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{k}}$ ${\displaystyle r_{k}>0}$ ${\displaystyle a_{k}\in U.}$ ${\displaystyle f_{k}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{k}(x)=c\left(r_{k}^{2}-\left\|x-a_{k}\right\|^{2}\right)}$ ${\displaystyle U_{k}}$ ${\displaystyle U_{k}.}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,}$ $${\displaystyle M_{k}=\sup \left\{\left|{\frac {\partial ^{p}f_{k}}{\partial ^{p_{1}}x_{1}\cdots \partial ^{p_{n}}x_{n}}}(x)\right|~:~x\in \mathbb {R} ^{n}{\text{ and }}p_{1},\ldots ,p_{n}\in \mathbb {Z} {\text{ satisfy }}0\leq p_{i}\leq k{\text{ and }}p=\sum _{i}p_{i}\right\},}$$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle M_{k}}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{n}\setminus U_{k}\right)\cup {\overline {U_{k}}}=\mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U_{k},}$ ${\displaystyle {\overline {U_{k}}},}$ $${\displaystyle f~:=~\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {f_{k}}{2^{k}M_{k}}}}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in \mathbb {Z} ,}$ $${\displaystyle {\frac {\partial ^{p_{1}+\cdots +p_{n}}}{\partial ^{p_{1}}x_{1}\cdots \partial ^{p_{n}}x_{n}}}f~=~\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}M_{k}}}{\frac {\partial ^{p_{1}+\cdots +p_{n}}f_{k}}{\partial ^{p_{1}}x_{1}\cdots \partial ^{p_{n}}x_{n}}}}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle k\geq p_{1}+\cdots +p_{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \leq {\tfrac {M_{k}}{2^{k}M_{k}}}={\tfrac {1}{2^{k}}}}$

Como corolario, dados dos subconjuntos cerrados disjuntos de la construcción anterior garantiza la existencia de funciones suaves no negativas tales que para cualquier si y solo si y de manera similar, si y solo si entonces la función es suave y para cualquier si y solo si si y solo si y si y solo si ^[1] En particular, si y solo si entonces si además es relativamente compacto en (donde implica ) entonces será una función de protuberancia suave con soporte en ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle f_{A},f_{B}:\mathbb {R} ^{n}\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle f_{A}(x)=0}$ ${\displaystyle x\in A,}$ ${\displaystyle f_{B}(x)=0}$ ${\displaystyle x\in B,}$ $${\displaystyle h~:=~{\frac {f_{A}}{f_{A}+f_{B}}}:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]}$$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle h(x)=0}$ ${\displaystyle x\in A,}$ ${\displaystyle h(x)=1}$ ${\displaystyle x\in B,}$ ${\displaystyle 0<h(x)<1}$ ${\displaystyle x\not \in A\cup B.}$ ${\displaystyle h(x)\neq 0}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}\smallsetminus A,}$ ${\displaystyle U:=\mathbb {R} ^{n}\smallsetminus A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$ ${\displaystyle B\subseteq U}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\overline {U}}.}$

Propiedades y usos

Si bien las funciones bump son suaves, el teorema de identidad prohíbe que sean analíticas a menos que se anulen de manera idéntica. Las funciones bump se utilizan a menudo como suavizadores , como funciones de corte suaves y para formar particiones suaves de la unidad . Son la clase más común de funciones de prueba utilizadas en el análisis. El espacio de funciones bump está cerrado bajo muchas operaciones. Por ejemplo, la suma, el producto o la convolución de dos funciones bump es nuevamente una función bump, y cualquier operador diferencial con coeficientes suaves, cuando se aplica a una función bump, producirá otra función bump.

Para que los límites del dominio de la función Bump cumplan con el requisito de "suavidad", debe preservar la continuidad de todas sus derivadas, lo que conduce al siguiente requisito en los límites de su dominio: ${\displaystyle \partial x,}$ $${\displaystyle \lim _{x\to \partial x^{\pm }}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)=0,\,{\text{ for all }}n\geq 0,\,n\in \mathbb {Z} }$$

La transformada de Fourier de una función bump es una función analítica (real) y puede extenderse a todo el plano complejo: por lo tanto, no puede soportarse de forma compacta a menos que sea cero, ya que la única función bump analítica completa es la función cero (ver el teorema de Paley-Wiener y el teorema de Liouville ). Debido a que la función bump es infinitamente diferenciable, su transformada de Fourier debe decaer más rápido que cualquier potencia finita de para una frecuencia angular grande ^[2] La transformada de Fourier de la función bump particular de arriba puede analizarse mediante un método de punto de silla y decae asintóticamente como para grandes ^[3] ${\displaystyle 1/k}$ ${\displaystyle |k|.}$ $${\displaystyle \Psi (x)=e^{-1/(1-x^{2})}\mathbf {1} _{\{|x|<1\}}}$$ $${\displaystyle |k|^{-3/4}e^{-{\sqrt {|k|}}}}$$ ${\displaystyle |k|.}$

Véase también

• Función de corte  : núcleos de integración para suavizar las características nítidasPages displaying short descriptions of redirect targets
• Laplaciano del indicador  – Límite de sucesión de funciones suaves
• Función suave no analítica  : funciones matemáticas que son suaves pero no analíticas
• Espacio de Schwartz  : espacio funcional de todas las funciones cuyas derivadas son rápidamente decrecientes

Citas

1. Las derivadas parciales son funciones continuas, por lo que la imagen del subconjunto compacto es un subconjunto compacto de El supremo es sobre todos los números enteros no negativos donde, debido a que y son fijos, este supremo se toma solo sobre un número finito de derivadas parciales, por lo que ${\displaystyle {\frac {\partial ^{p}f_{k}}{\partial ^{p_{1}}x_{1}\cdots \partial ^{p_{n}}x_{n}}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\overline {U_{k}}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle 0\leq p=p_{1}+\cdots +p_{n}\leq k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M_{k}<\infty .}$

1. Nestruev 2020, págs. 13-16.
2. KO Mead y LM Delves, "Sobre la tasa de convergencia de las expansiones de Fourier generalizadas", IMA J. Appl. Math. , vol. 12, págs. 247–259 (1973) doi :10.1093/imamat/12.3.247.
3. Steven G. Johnson , Integración de puntos de silla de funciones "bump" de C∞, arXiv:1508.04376 (2015).

Referencias

• Nestruev, Jet (10 de septiembre de 2020). Variedades suaves y observables . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 220. Cham, Suiza: Springer Nature . ISBN. 978-3-030-45649-8.OCLC 1195920718  .