Teorema de Paley-Wiener

En matemáticas , un teorema de Paley-Wiener es un teorema que relaciona las propiedades de decaimiento de una función o distribución en el infinito con la analiticidad de su transformada de Fourier . Recibe su nombre en honor a Raymond Paley (1907-1933) y Norbert Wiener (1894-1964), quienes, en 1934, introdujeron varias versiones del teorema. ^[1] Los teoremas originales no usaban el lenguaje de las distribuciones , sino que se aplicaban a funciones integrables al cuadrado . El primer teorema de este tipo que usaba distribuciones se debió a Laurent Schwartz . Estos teoremas se basan en gran medida en la desigualdad triangular (para intercambiar el valor absoluto y la integración).

El trabajo original de Paley y Wiener también se utiliza como homónimo en los campos de la teoría de control y el análisis armónico ; introduciendo la condición de Paley-Wiener para la factorización espectral y el criterio de Paley-Wiener para las series de Fourier no armónicas respectivamente. ^[2] Estos son conceptos matemáticos relacionados que colocan las propiedades de decaimiento de una función en el contexto de problemas de estabilidad .

Transformadas de Fourier holomorfas

Los teoremas clásicos de Paley-Wiener hacen uso de la transformada de Fourier holomorfa sobre clases de funciones integrables al cuadrado soportadas en la línea real. Formalmente, la idea es tomar la integral que define la transformada de Fourier (inversa)

${\displaystyle f(\zeta )=\int _{-\infty }^{\infty }F(x)e^{ix\zeta }\,dx}$

y permita que sea un número complejo en el semiplano superior . Entonces, se puede esperar que se derive bajo la integral para verificar que se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann y, por lo tanto, que se define una función analítica. Sin embargo, esta integral puede no estar bien definida, incluso para en ; de hecho, dado que está en el semiplano superior, el módulo de crece exponencialmente como ; por lo que la derivación bajo el signo integral está fuera de cuestión. Se deben imponer restricciones adicionales a para garantizar que esta integral esté bien definida. ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle e^{ix\zeta }}$ ${\displaystyle x\to -\infty }$ ${\displaystyle F}$

La primera de estas restricciones es que se respalde en : es decir, . El teorema de Paley-Wiener ahora afirma lo siguiente: ^[3] La transformada de Fourier holomorfa de , definida por ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle F\in L^{2}(\mathbb {R} _{+})}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle f(\zeta )=\int _{0}^{\infty }F(x)e^{ix\zeta }\,dx}$

porque en el semiplano superior hay una función holomorfa. Además, por el teorema de Plancherel , se tiene ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|f(\xi +i\eta )\right|^{2}\,d\xi \leq \int _{0}^{\infty }|F(x)|^{2}\,dx}$

y por convergencia dominada ,

${\displaystyle \lim _{\eta \to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(\xi +i\eta )-f(\xi )\right|^{2}\,d\xi =0.}$

Por el contrario, si es una función holomorfa en el semiplano superior que satisface ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \sup _{\eta >0}\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(\xi +i\eta )\right|^{2}\,d\xi =C<\infty }$

entonces existe tal que es la transformada de Fourier holomorfa de . ${\displaystyle F\in L^{2}(\mathbb {R} _{+})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$

En términos abstractos, esta versión del teorema describe explícitamente el espacio de Hardy . El teorema establece que ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}H^{2}(\mathbb {R} )=L^{2}(\mathbb {R_{+}} ).}$

Este es un resultado muy útil ya que permite pasar a la transformada de Fourier de una función en el espacio de Hardy y realizar cálculos en el espacio fácilmente comprensible de funciones integrables al cuadrado apoyadas en el eje positivo. ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} _{+})}$

Al imponer la restricción alternativa de que sea compatible de forma compacta , se obtiene otro teorema de Paley-Wiener. ^[4] Supóngase que es compatible con , de modo que . Entonces la transformada de Fourier holomorfa ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle [-A,A]}$ ${\displaystyle F\in L^{2}(-A,A)}$

${\displaystyle f(\zeta )=\int _{-A}^{A}F(x)e^{ix\zeta }\,dx}$

es una función entera de tipo exponencial , lo que significa que existe una constante tal que ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle |f(\zeta )|\leq Ce^{A|\zeta |},}$

y además, es integrable al cuadrado sobre líneas horizontales: ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(\xi +i\eta )|^{2}\,d\xi <\infty .}$

Por el contrario, cualquier función entera de tipo exponencial que sea integrable al cuadrado sobre líneas horizontales es la transformada de Fourier holomórfica de una función admitida en . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle [-A,A]}$

Teorema de Paley-Wiener de Schwartz

El teorema de Paley-Wiener de Schwartz afirma que la transformada de Fourier de una distribución de soporte compacto en es una función completa en y proporciona estimaciones de su crecimiento en el infinito. Fue demostrado por Laurent Schwartz (1952). La formulación presentada aquí es de Hörmander (1976) ^{[ cita completa requerida ]} . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ harvtxt error: no target: CITEREFHörmander1976 (help)

En general, la transformada de Fourier se puede definir para cualquier distribución templada ; además, cualquier distribución de soporte compacto es una distribución templada. Si es una distribución de soporte compacto y es una función infinitamente diferenciable, la expresión ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle v(f)=v(x\mapsto f(x))}$

Está bien definido.

Se puede demostrar que la transformada de Fourier de es una función (a diferencia de una distribución templada general) dada en el valor de ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle s}$

${\displaystyle {\hat {v}}(s)=(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}v\left(x\mapsto e^{-i\langle x,s\rangle }\right)}$

y que esta función puede extenderse a valores de en el espacio complejo . Esta extensión de la transformada de Fourier al dominio complejo se denomina transformada de Fourier-Laplace . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Teorema de Schwartz  :  Una función completa en es la transformada de Fourier-Laplace de una distribución de soporte compacto si y solo si para todo , ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle |F(z)|\leq C(1+|z|)^{N}e^{B|{\text{Im}}(z)|}}$

para algunas constantes , , . La distribución de hecho se sustentará en la bola cerrada de centro y radio . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle B}$

Las condiciones de crecimiento adicionales en toda la función imponen propiedades de regularidad en la distribución . Por ejemplo: ^[5] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle v}$

Teorema  —  Si para cada positivo existe una constante tal que para todo , ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle C_{N}}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle |F(z)|\leq C_{N}(1+|z|)^{-N}e^{B|\mathrm {Im} (z)|}}$

entonces es una función infinitamente diferenciable, y viceversa. ${\displaystyle v}$

Hörmander (1990) formuló resultados más precisos que dan un buen control sobre el soporte singular de . En particular, ^[6] sea un conjunto compacto convexo en con función de soporte , definida por ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle H(x)=\sup _{y\in K}\langle x,y\rangle .}$

Entonces el soporte singular de está contenido en si y sólo si existe una constante y una secuencia de constantes tales que ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle C_{m}}$

${\displaystyle |{\hat {v}}(\zeta )|\leq C_{m}(1+|\zeta |)^{N}e^{H(\mathrm {Im} (\zeta ))}}$

para ${\displaystyle |\mathrm {Im} (\zeta )|\leq m\log(|\zeta |+1).}$

Notas

1. Paley y Wiener 1934.
2. Paley y Wiener 1934, págs. 14-20, 100.
3. Rudin 1987, Teorema 19.2; Strichartz 1994, Teorema 7.2.4; Yosida 1968, §VI.4
4. Rudin 1987, Teorema 19.3; Strichartz 1994, Teorema 7.2.1
5. Strichartz 1994, Teorema 7.2.2; Hörmander 1990, Teorema 7.3.1
6. Hörmander 1990, Teorema 7.3.8

Referencias

• Hörmander, L. (1990), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I , Springer Verlag.
• Paley, Raymond EAC ; Wiener, Norbert (1934). Transformadas de Fourier en el dominio complejo . Providence, RI: American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-1019-4.
• Rudin, Walter (1987), Análisis real y complejo (3.ª ed.), Nueva York: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-054234-1, Sr.  0924157.
• Schwartz, Laurent (1952), "Transformación de Laplace des Distributions", Comm. Sém. Matemáticas. Univ. Lund [Med. Universidad de Lund. Estera. Sem.] , 1952 : 196–206, SEÑOR  0052555
• Strichartz, R. (1994), Una guía para la teoría de la distribución y las transformadas de Fourier , CRC Press, ISBN 0-8493-8273-4.
• Yosida, K. (1968), Análisis funcional , Academic Press.