Calmante

Núcleos de integración para suavizar las características nítidas

Un suavizador (arriba) en dimensión uno. Abajo, en rojo, una función con una esquina (izquierda) y un salto brusco (derecha), y en azul, su versión suavizada.

En matemáticas , los suavizadores (también conocidos como aproximaciones a la identidad ) son funciones suavizadas particulares , utilizadas por ejemplo en la teoría de la distribución para crear secuencias de funciones suavizadas que se aproximan a funciones no suaves (generalizadas) , mediante convolución . Intuitivamente, dada una función (generalizada), convolucionarla con un suavizador la "suaviza", es decir, sus características nítidas se suavizan, mientras que aún permanecen cercanas al original. ^[1]

También se les conoce como suavizantes de Friedrichs en honor a Kurt Otto Friedrichs , quien los introdujo. ^[2]

Notas históricas

Los suavizadores fueron introducidos por Kurt Otto Friedrichs en su artículo (Friedrichs 1944, pp. 136-139), que se considera un hito en la teoría moderna de ecuaciones diferenciales parciales . ^[3] El nombre de este objeto matemático tiene una génesis curiosa, y Peter Lax cuenta la historia en su comentario sobre ese artículo publicado en " Selecta " de Friedrichs. ^[4] Según él, en ese momento, el matemático Donald Alexander Flanders era colega de Friedrichs; como le gustaba consultar a sus colegas sobre el uso del inglés, le pidió consejo a Flanders sobre cómo nombrar el operador de suavizado que estaba usando. ^{[3] Flanders era un} puritano moderno , apodado por sus amigos Moll en honor a Moll Flanders en reconocimiento a sus cualidades morales: sugirió llamar al nuevo concepto matemático un " suavizador " como un juego de palabras que incorpora tanto el apodo de Flanders como el verbo 'to mollify', que significa 'suavizar' en sentido figurado. ^[5]

Anteriormente, Sergei Sobolev había utilizado suavizadores en su artículo de 1938 que marcó una época, ^[6] que contiene la prueba del teorema de incrustación de Sobolev : el propio Friedrichs reconoció el trabajo de Sobolev sobre suavizadores, afirmando " Estos suavizadores fueron introducidos por Sobolev y el autor... ". ^[7]

Cabe señalar que el término "mollifier" ha sufrido una deriva lingüística desde la época de estas obras fundacionales: Friedrichs definió como " mollifier " al operador integral cuyo núcleo es una de las funciones que hoy se denominan mollifiers. Sin embargo, dado que las propiedades de un operador integral lineal están completamente determinadas por su núcleo, el nombre mollifier fue heredado por el propio núcleo como resultado del uso común.

Definición

Una función en proceso de suavización progresiva.

Definición moderna (basada en la distribución)

Definición 1. Sea una función suave en , y se pone para . Entonces es un suavizador si satisface los tres requisitos siguientes: ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle \varphi _{\epsilon }(x):=\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )}$ ${\displaystyle \epsilon >0\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi }$

(1)   tiene un soporte compacto , ^[8]

(2)   , ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\!\varphi (x)\mathrm {d} x=1}$

(3)   , ${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}\varphi _{\epsilon }(x)=\lim _{\epsilon \to 0}\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )=\delta (x)}$

donde es la función delta de Dirac , y el límite debe entenderse como teniendo lugar en el espacio de distribuciones de Schwartz . La función también puede satisfacer otras condiciones de interés; ^[9] por ejemplo, si satisface ${\displaystyle \delta (x)}$ ${\displaystyle \varphi }$

(4)   para todos , ${\displaystyle \varphi (x)\geq 0}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

entonces se llama un suavizador positivo , y si satisface

(5)   para alguna función infinitamente diferenciable , ${\displaystyle \varphi (x)=\mu (|x|)}$ ${\displaystyle \mu :\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} }$

Entonces se llama suavizador simétrico .

Notas sobre la definición de Friedrichs

Nota 1. Cuando la teoría de distribuciones todavía no era ampliamente conocida ni utilizada, ^[10] la propiedad (3) anterior se formuló diciendo que la convolución de la función con una función dada que pertenece a un espacio de Hilbert o Banach propio converge cuando ε → 0 a esa función: ^[11] esto es exactamente lo que hizo Friedrichs . ^[12] Esto también aclara por qué los suavizadores están relacionados con las identidades aproximadas . ^[13] ${\displaystyle \scriptstyle \varphi _{\epsilon }}$

Nota 2. Como se señala brevemente en la sección "Notas históricas" de esta entrada, originalmente, el término "mollifier" identificaba al siguiente operador de convolución : ^{[13] [14]}

${\displaystyle \Phi _{\epsilon }(f)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi _{\epsilon }(x-y)f(y)\mathrm {d} y}$

donde y es una función suave que satisface las tres primeras condiciones establecidas anteriormente y una o más condiciones suplementarias como positividad y simetría. ${\displaystyle \varphi _{\epsilon }(x)=\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )}$ ${\displaystyle \varphi }$

Ejemplo concreto

Considere la función de protuberancia de una variable definida por ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \varphi (x)={\begin{cases}e^{-1/(1-|x|^{2})}/I_{n}&{\text{ if }}|x|<1\\0&{\text{ if }}|x|\geq 1\end{cases}}}$

donde la constante numérica asegura la normalización. Esta función es infinitamente diferenciable, no analítica con derivada nula para | x | = 1 . por lo tanto, se puede utilizar como suavizador como se describió anteriormente: se puede ver que define un suavizador positivo y simétrico . ^[15] ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle (x)}$

La función en dimensión uno ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle (x)}$

Propiedades

Todas las propiedades de un suavizador están relacionadas con su comportamiento bajo la operación de convolución : enumeramos las siguientes, cuyas pruebas se pueden encontrar en todos los textos sobre teoría de distribución . ^[16]

Propiedad de suavizado

Para cualquier distribución , la siguiente familia de convoluciones indexadas por el número real ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle T_{\epsilon }=T\ast \varphi _{\epsilon }}$

donde denota convolución , es una familia de funciones suaves . ${\displaystyle \ast }$

Aproximación de identidad

Para cualquier distribución , la siguiente familia de convoluciones indexadas por el número real converge a ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}T_{\epsilon }=\lim _{\epsilon \to 0}T\ast \varphi _{\epsilon }=T\in D^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})}$

Soporte de convolución

Para cualquier distribución , ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \operatorname {supp} T_{\epsilon }=\operatorname {supp} (T\ast \varphi _{\epsilon })\subset \operatorname {supp} T+\operatorname {supp} \varphi _{\epsilon }}$,

donde indica el soporte en el sentido de las distribuciones, y indica su adición de Minkowski . ${\displaystyle \operatorname {supp} }$ ${\displaystyle +}$

Aplicaciones

La aplicación básica de los suavizadores es demostrar que las propiedades válidas para funciones suaves también son válidas en situaciones no suaves.

Producto de distribuciones

En algunas teorías de funciones generalizadas , se utilizan suavizadores para definir la multiplicación de distribuciones . Dadas dos distribuciones y , el límite del producto de la función suavizada obtenida de un operando mediante suavizado, con el otro operando define, cuando existe, su producto en varias teorías de funciones generalizadas : ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle S\cdot T:=\lim _{\epsilon \to 0}S_{\epsilon }\cdot T=\lim _{\epsilon \to 0}S\cdot T_{\epsilon }}$.

Teoremas "débil=fuerte"

Los suavizadores se utilizan para demostrar la identidad de dos tipos diferentes de extensión de operadores diferenciales: la extensión fuerte y la extensión débil . El artículo de Friedrichs que introduce los suavizadores (Friedrichs 1944) ilustra este enfoque.

Funciones de corte suave

Por convolución de la función característica de la bola unitaria con la función suave (definida como en (3) con ), se obtiene la función ${\displaystyle B_{1}=\{x:|x|<1\}}$ ${\displaystyle \varphi _{1/2}}$ ${\displaystyle \epsilon =1/2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{B_{1},1/2}(x)&=\chi _{B_{1}}\ast \varphi _{1/2}(x)\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y\\&=\int _{B_{1/2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y\ \ \ (\because \ \mathrm {supp} (\varphi _{1/2})=B_{1/2})\end{aligned}}}$

que es una función suave igual a en , con soporte contenido en . Esto se puede ver fácilmente observando que si y entonces . Por lo tanto, para , ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle B_{1/2}=\{x:|x|<1/2\}}$ ${\displaystyle B_{3/2}=\{x:|x|<3/2\}}$ ${\displaystyle |x|\leq 1/2}$ ${\displaystyle |y|\leq 1/2}$ ${\displaystyle |x-y|\leq 1}$ ${\displaystyle |x|\leq 1/2}$

${\displaystyle \int _{B_{1/2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=\int _{B_{1/2}}\!\!\!\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=1}$.

Se puede ver cómo esta construcción se puede generalizar para obtener una función suave idéntica a una en un entorno de un conjunto compacto dado , e igual a cero en cada punto cuya distancia a este conjunto sea mayor que un dado . ^[17] Una función de este tipo se llama función de corte (suave) ; estas se utilizan para eliminar singularidades de una función dada ( generalizada ) mediante la multiplicación . Dejan sin cambios el valor del multiplicando en un conjunto dado , pero modifican su soporte . Las funciones de corte se utilizan para construir particiones suaves de la unidad . ${\displaystyle \epsilon }$

Véase también

• Identidad aproximada
• Función de protuberancia
• Circunvolución
• Distribución (matemáticas)
• Función generalizada
• Kurt Otto Friedrich
• Función suave no analítica
• Serguéi Sobolev
• Transformada de Weierstrass

Notas

1. Es decir, la función suavizada es cercana a la original con respecto a la topología del espacio dado de funciones generalizadas.
2. Ver (Friedrichs 1944, págs. 136-139).
3. Véase el comentario de Peter Lax sobre el artículo (Friedrichs 1944) en (Friedrichs 1986, volumen 1, pág. 117).
4. (Friedrichs 1986, volumen 1, p.117)
5. En (Friedrichs 1986, volumen 1, p. 117) Lax escribe: " A Friedrichs le gustaba consultar sobre el uso del inglés a su amigo y colega, Donald Flanders, descendiente de puritanos y puritano él mismo, con el más alto estándar de su propia conducta, sin censura hacia los demás. En reconocimiento a sus cualidades morales, sus amigos lo llamaban Moll. Cuando Friedrichs le preguntó cómo llamar al operador de suavizado, Flanders comentó que podrían llamarse "mollifier" en su honor; Friedrichs estaba encantado, como en otras ocasiones, de llevar esta broma a la imprenta " .
6. Véase (Sobolev 1938).
7. Friedrichs (1953, pág. 196).
8. Esto se satisface si, por ejemplo, es una función de impacto . ${\displaystyle \varphi (x)}$
9. Véase (Giusti 1984, pág. 11).
10. Como cuando se publicó el artículo (Friedrichs 1944), pocos años antes de que Laurent Schwartz difundiera su obra.
11. Obviamente la topología con respecto a la convergencia ocurre es la del espacio de Hilbert o de Banach considerado.
12. Véase (Friedrichs 1944, págs. 136-138), propiedades PI , PII , PIII y su consecuencia PIII ₀ .
13. Además, a este respecto, Friedrichs (1944, pp. 132) dice: " La herramienta principal para la prueba es una cierta clase de operadores de suavizado que se aproximan a la unidad, los "mollifiers" .
14. Véase (Friedrichs 1944, p. 137), párrafo 2, " Operadores integrales ".
15. Véase (Hörmander 1990, p. 14), lema 1.2.3.: el ejemplo se enuncia de forma implícita definiendo primero

    ${\displaystyle f(t)=\exp({-1/t})}$para , ${\displaystyle t\in \mathbb {R} _{+}}$

    y luego considerando

    ${\displaystyle f(x)=f{\big (}1-|x|^{2}{\big )}=\exp {\big (}-1/(1-|x|^{2}){\big )}}$para . ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

16. Véase por ejemplo (Hörmander 1990).
17. Una prueba de este hecho se puede encontrar en (Hörmander 1990, p. 25), Teorema 1.4.1.

Referencias

• Friedrichs, Kurt Otto (enero de 1944), "La identidad de las extensiones débiles y fuertes de los operadores diferenciales", Transactions of the American Mathematical Society , 55 (1): 132–151, doi : 10.1090/S0002-9947-1944-0009701-0 , JSTOR  1990143, MR  0009701, Zbl  0061.26201. El primer artículo donde se introdujeron los suavizantes.
• Friedrichs, Kurt Otto (1953), "Sobre la diferenciabilidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales elípticas lineales", Communications on Pure and Applied Mathematics , VI (3): 299–326, doi :10.1002/cpa.3160060301, MR  0058828, Zbl  0051.32703, archivado desde el original el 2013-01-05. Un artículo en el que se investiga la diferenciabilidad de soluciones de ecuaciones diferenciales parciales elípticas mediante el uso de suavizadores.
• Friedrichs, Kurt Otto (1986), Morawetz, Cathleen S. (ed.), Selecta, Contemporary Mathematicians, Boston- Basel - Stuttgart : Birkhäuser Verlag , págs. 427 (vol. 1), págs. 608 (vol. 2), ISBN 0-8176-3270-0, Zbl0613.01020 ​. Una selección de las obras de Friedrichs con una biografía y comentarios de David Isaacson , Fritz John , Tosio Kato , Peter Lax , Louis Nirenberg , Wolfgag Wasow y Harold Weitzner .
• Giusti, Enrico (1984), Superficies mínimas y funciones de variaciones acotadas, Monografías en Matemáticas, vol. 80, Basilea - Boston - Stuttgart : Birkhäuser Verlag, pp. xii+240, ISBN 0-8176-3153-4, MR  0775682, Zbl  0545.49018.
• Hörmander, Lars (1990), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft, vol. 256 (2.ª ed.), Berlín - Heidelberg - Nueva York : Springer-Verlag , ISBN 0-387-52343-X, MR  1065136, Zbl  0712.35001.
• Sobolev, Sergei L. (1938), "Sur un théorème d'analyse fonctionnelle", Recueil Mathématique (Matematicheskii Sbornik) (en ruso y francés), 4(46) (3): 471–497, Zbl  0022.14803. El artículo donde Sergei Sobolev demostró su teorema de incrustación , introduciendo y utilizando operadores integrales muy similares a los suavizadores, sin nombrarlos.