Espacio Schwartz

Function space of all functions whose derivatives are rapidly decreasing

En matemáticas , el espacio de Schwartz ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ es el espacio funcional de todas las funciones cuyas derivadas son rápidamente decrecientes. Este espacio tiene la importante propiedad de que la transformada de Fourier es un automorfismo en este espacio. Esta propiedad permite, por dualidad, definir la transformada de Fourier para elementos en el espacio dual de , es decir, para distribuciones templadas . Una función en el espacio de Schwartz a veces se denomina función de Schwartz . ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Una función gaussiana bidimensional es un ejemplo de una función que decrece rápidamente.

El espacio de Schwartz recibe su nombre del matemático francés Laurent Schwartz .

Definición

Sea el conjunto de números enteros no negativos , y para cualquier , sea el producto cartesiano n -veces . ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{n}:=\underbrace {\mathbb {N} \times \dots \times \mathbb {N} } _{n{\text{ times}}}}$

El espacio de Schwartz o espacio de funciones rápidamente decrecientes en es el espacio funcional donde es el espacio funcional de funciones suaves de en , y Aquí, denota el supremo , y usamos notación de múltiples índices , es decir y . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle S\left(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} \right):=\left\{f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )\mid \forall {\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {N} ^{n},\|f\|_{{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}}<\infty \right\},}$$ ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \|f\|_{{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}}:=\sup _{{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{n}}\left|{\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }}({\boldsymbol {D}}^{\boldsymbol {\beta }}f)({\boldsymbol {x}})\right|.}$$ ${\displaystyle \sup }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }}:=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}$ ${\displaystyle D^{\boldsymbol {\beta }}:=\partial _{1}^{\beta _{1}}\partial _{2}^{\beta _{2}}\ldots \partial _{n}^{\beta _{n}}}$

Para poner en lenguaje común esta definición, se podría considerar una función rápidamente decreciente como esencialmente una función f ( x ) tal que f ( x ) , f  ′( x ) , f  ′′( x ) , ... existen todas en todas partes en R y tienden a cero cuando x → ±∞ más rápido que cualquier potencia recíproca de x . En particular, S ( R ⁿ , C ) es un subespacio del espacio de funciones C ^∞ ( R ⁿ , C ) de funciones suaves desde R ⁿ hasta C .

Ejemplos de funciones en el espacio de Schwartz

• Si es un multiíndice y a es un número real positivo , entonces ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$

  ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }}e^{-a|x|^{2}}\in {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{n}).}$

• Cualquier función suave f con soporte compacto está en S ( R ⁿ ). Esto es claro ya que cualquier derivada de f es continua y está apoyada en el soporte de f , por lo que ( tiene un máximo en R ⁿ por el teorema del valor extremo . ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }}{\boldsymbol {D}}^{\boldsymbol {\alpha }})f}$
• Como el espacio de Schwartz es un espacio vectorial, cualquier polinomio se puede multiplicar por un factor de una constante real, para obtener un elemento del espacio de Schwartz. En particular, existe una incrustación de polinomios dentro de un espacio de Schwartz. ${\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }})}$ ${\displaystyle e^{-ax^{2}}}$ ${\displaystyle a>0}$

Propiedades

Propiedades analíticas

• De la regla de Leibniz se deduce que 𝒮( R ⁿ ) también es cerrado bajo multiplicación puntual :

  Si f , g ∈ 𝒮( R ⁿ ) entonces el producto fg ∈ 𝒮( R ⁿ ) .

En particular, esto implica que 𝒮( R ⁿ ) es un R -álgebra. De manera más general, si f ∈ 𝒮( R ) y H es una función suave acotada con derivadas acotadas de todos los órdenes, entonces fH ∈ 𝒮( R ) .

• La transformada de Fourier es un isomorfismo lineal F:𝒮( R ⁿ ) → 𝒮( R ⁿ ) .
• Si f ∈ 𝒮( R ) entonces f es uniformemente continua en R .
• 𝒮( R ⁿ ) es un TVS de Fréchet Schwartz localmente convexo distinguido sobre los números complejos .
• Tanto 𝒮( R ⁿ ) como su espacio dual fuerte son también:

1. espacios localmente convexos de Hausdorff completos ,
2. espacios nucleares de Montel ,

Se sabe que en el espacio dual de cualquier espacio de Montel, una secuencia converge en la topología dual fuerte si y solo si converge en la topología débil* , ^[1]

1. Espacios ultrabornológicos ,
2. espacios reflexivos de Mackey en forma de barril .

Relación de los espacios de Schwartz con otros espacios vectoriales topológicos

• Si 1 ≤ p ≤ ∞ , entonces 𝒮( R ⁿ ) ⊂ L ^p ( R ⁿ ) .
• Si 1 ≤ p < ∞ , entonces 𝒮( R ⁿ ) es denso en L ^p ( R ⁿ ) .
• El espacio de todas las funciones de protuberancia , C^∞
  _c( R ⁿ ) , está incluido en 𝒮( R ⁿ ) .

Véase también

• Función de protuberancia
• Función de Schwartz-Bruhat
• Espacio nuclear

Referencias

1. Trèves 2006, págs. 351–359.

Fuentes

• Hörmander, L. (1990). El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I (Teoría de la distribución y análisis de Fourier) (2.ª ed.). Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-52343-X.
• Reed, M.; Simon, B. (1980). Métodos de física matemática moderna: análisis funcional I (edición revisada y ampliada). San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-585050-6.
• Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2003). Análisis de Fourier: una introducción (Princeton Lectures in Analysis I) . Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-11384-X.
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .

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