Regla general de Leibniz

Generalización de la regla del producto en cálculo

En cálculo , la regla general de Leibniz , ^[1] llamada así por Gottfried Wilhelm Leibniz , generaliza la regla del producto (que también se conoce como "regla de Leibniz"). Establece que si y son funciones n veces diferenciables , entonces el producto también es n veces diferenciable y su derivada n -ésima está dada por donde es el coeficiente binomial y denota la derivada j -ésima de f (y en particular ). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle fg}$ $${\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(n-k)}g^{(k)},}$$ ${\displaystyle {n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}}$ ${\displaystyle f^{(j)}}$ ${\displaystyle f^{(0)}=f}$

La regla se puede demostrar utilizando la regla del producto y la inducción matemática .

Segunda derivada

Si, por ejemplo, n = 2 , la regla da una expresión para la segunda derivada de un producto de dos funciones: $${\displaystyle (fg)''(x)=\sum \limits _{k=0}^{2}{{\binom {2}{k}}f^{(2-k)}(x)g^{(k)}(x)}=f''(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g''(x).}$$

Más de dos factores

La fórmula se puede generalizar al producto de m funciones diferenciables f ₁ ,..., f _m , donde la suma se extiende sobre todas las m -tuplas ( k ₁ ,..., k _m ) de números enteros no negativos con y son los coeficientes multinomiales . Esto es similar a la fórmula multinomial del álgebra. $${\displaystyle \left(f_{1}f_{2}\cdots f_{m}\right)^{(n)}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}\prod _{1\leq t\leq m}f_{t}^{(k_{t})}\,,}$$ ${\textstyle \sum _{t=1}^{m}k_{t}=n,}$ $${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}}$$

Prueba

La prueba de la regla general de Leibniz se realiza por inducción. Sean y funciones diferenciables en 2 veces. El caso base cuando se afirma que: que es la regla del producto habitual y se sabe que es verdadera. A continuación, supongamos que la afirmación es válida para un valor fijo , es decir, que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=1}$ $${\displaystyle (fg)'=f'g+fg',}$$ ${\displaystyle n\geq 1,}$ $${\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}.}$$

Entonces, y por lo tanto la afirmación es válida para , y la prueba está completa. $${\displaystyle {\begin{aligned}(fg)^{(n+1)}&=\left[\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}\right]'\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}\\&={\binom {n}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+{\binom {n}{n}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&={\binom {n+1}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\left(\sum _{k=1}^{n}\left[{\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right]f^{(n+1-k)}g^{(k)}\right)+{\binom {n+1}{n+1}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&={\binom {n+1}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+{\binom {n+1}{n+1}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle n+1}$

Cálculo multivariable

Con la notación de múltiples índices para derivadas parciales de funciones de varias variables, la regla de Leibniz establece de manera más general: $${\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\beta \,:\,\beta \leq \alpha }{\alpha \choose \beta }(\partial ^{\beta }f)(\partial ^{\alpha -\beta }g).}$$

Esta fórmula se puede utilizar para derivar una fórmula que calcule el símbolo de la composición de operadores diferenciales. De hecho, sean P y Q operadores diferenciales (con coeficientes que son diferenciables un número suficiente de veces) y Dado que R también es un operador diferencial, el símbolo de R viene dado por: ${\displaystyle R=P\circ Q.}$ $${\displaystyle R(x,\xi )=e^{-{\langle x,\xi \rangle }}R(e^{\langle x,\xi \rangle }).}$$

Un cálculo directo ahora da: $${\displaystyle R(x,\xi )=\sum _{\alpha }{1 \over \alpha !}\left({\partial \over \partial \xi }\right)^{\alpha }P(x,\xi )\left({\partial \over \partial x}\right)^{\alpha }Q(x,\xi ).}$$

Esta fórmula se conoce habitualmente como fórmula de Leibniz y se utiliza para definir la composición en el espacio de símbolos, induciendo así la estructura de anillo.

Véase también

• Teorema del binomio  : desarrollo algebraico de potencias de un binomio
• Derivación (álgebra diferencial)  – Generalización algebraica de la derivada
• Derivada  – Tasa instantánea de cambio (matemáticas)
• Álgebra diferencial  – Estudio algebraico de ecuaciones diferenciales
• Triángulo de Pascal  : matriz triangular de coeficientes binomiales en matemáticas
• Regla del producto  – Fórmula para la derivada de un producto
• Regla del cociente  : fórmula para la derivada de un cociente de funciones

Referencias

1. Olver, Peter J. (2000). Aplicaciones de los grupos de Lie a ecuaciones diferenciales. Springer. pp. 318–319. ISBN 9780387950006.