Espacio nuclear

Una generalización de espacios euclidianos de dimensión finita diferentes de los espacios de Hilbert

En matemáticas , los espacios nucleares son espacios vectoriales topológicos que pueden considerarse como una generalización de los espacios euclidianos de dimensión finita y comparten muchas de sus propiedades deseables. Sin embargo, los espacios nucleares son bastante diferentes de los espacios de Hilbert , otra generalización de los espacios euclidianos de dimensión finita. Fueron introducidos por Alexander Grothendieck .

La topología de los espacios nucleares se puede definir mediante una familia de seminormas cuyas bolas unitarias disminuyen rápidamente de tamaño. Los espacios vectoriales cuyos elementos son "suaves" en algún sentido tienden a ser espacios nucleares; un ejemplo típico de un espacio nuclear es el conjunto de funciones suaves en una variedad compacta . Todos los espacios vectoriales de dimensión finita son nucleares. No hay espacios de Banach que sean nucleares, excepto los de dimensión finita. En la práctica, a menudo es cierta una especie de recíproco: si un espacio vectorial topológico "de origen natural" no es un espacio de Banach, entonces hay una buena probabilidad de que sea nuclear.

Motivación original: El teorema del núcleo de Schwartz

Gran parte de la teoría de los espacios nucleares fue desarrollada por Alexander Grothendieck mientras investigaba el teorema del núcleo de Schwartz y publicada en (Grothendieck 1955). A continuación, describiremos esta motivación.

Para cualquier subconjunto abierto y el mapa canónico es un isomorfismo de TVS (donde tiene la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados ) y además, ambos espacios son canónicamente TVS-isomorfos a (donde dado que es nuclear, este producto tensorial es simultáneamente el producto tensorial inyectivo y el producto tensorial proyectivo ). ^[1] En resumen, el teorema del núcleo de Schwartz establece que: donde todos estos TVS-isomorfismos son canónicos. ${\displaystyle \Omega _{1}\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \Omega _{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\times \Omega _{2}\right)\to L_{b}\left(C_{c}^{\infty }\left(\Omega _{2}\right);{\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\right)}$ ${\displaystyle L_{b}\left(C_{c}^{\infty }\left(\Omega _{2}\right);{\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\mathbin {\widehat {\otimes }} {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{2}\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)}$ $${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\times \Omega _{2}\right)\cong {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\mathbin {\widehat {\otimes }} {\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{2}\right)\cong L_{b}\left(C_{c}^{\infty }\left(\Omega _{2}\right);{\mathcal {D}}^{\prime }\left(\Omega _{1}\right)\right)}$$

Este resultado es falso si uno reemplaza el espacio con (que es un espacio reflexivo que es incluso isomorfo a su propio espacio dual fuerte) y reemplaza con el dual de este espacio. ^[2] ¿Por qué un resultado tan bueno se cumple para el espacio de distribuciones y funciones de prueba pero no para el espacio de Hilbert (que generalmente se considera uno de los TVS "más buenos")? Esta pregunta llevó a Grothendieck a descubrir los espacios nucleares, los mapas nucleares y el producto tensorial inyectivo . ${\displaystyle C_{c}^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Motivaciones desde la geometría

Otro conjunto de ejemplos motivadores proviene directamente de la geometría y la teoría de variedades suaves ^{[3] apéndice 2.} Dadas variedades suaves y un espacio vectorial topológico de Hausdorff localmente convexo, entonces existen los siguientes isomorfismos de espacios nucleares ${\displaystyle M,N}$

• ${\displaystyle C^{\infty }(M)\otimes C^{\infty }(N)\cong C^{\infty }(M\times N)}$
• ${\displaystyle C^{\infty }(M)\otimes F\cong \{f:M\to F:f{\text{ is smooth }}\}}$

Definición

En esta sección se enumeran algunas de las definiciones más comunes de un espacio nuclear. Las definiciones que aparecen a continuación son todas equivalentes. Nótese que algunos autores utilizan una definición más restrictiva de un espacio nuclear, añadiendo la condición de que el espacio también debe ser un espacio de Fréchet . (Esto significa que el espacio es completo y la topología está dada por una familia contable de seminormas).

La siguiente definición fue utilizada por Grothendieck para definir los espacios nucleares. ^[4]

Definición 0 : Sea un espacio vectorial topológico localmente convexo. Entonces es nuclear si para cada espacio localmente convexo la incrustación del espacio vectorial canónico es una incrustación de sistemas de transición de tiempo (TVS) cuya imagen es densa en el codominio (donde el dominio es el producto tensorial proyectivo y el codominio es el espacio de todas las formas bilineales continuas por separado en dotadas de la topología de convergencia uniforme en subconjuntos equicontinuos ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y\to {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }\times Y_{\sigma }^{\prime }}$

Empecemos recordando algunos antecedentes. Un espacio vectorial topológico localmente convexo tiene una topología que está definida por alguna familia de seminormas . Para cada seminorma, la bola unidad es un entorno simétrico convexo cerrado del origen y, a la inversa, cada entorno simétrico convexo cerrado de 0 es la bola unidad de alguna seminorma. (Para espacios vectoriales complejos, la condición "simétrico" debe reemplazarse por " equilibrado "). Si es una seminorma en entonces denota el espacio de Banach dado al completar el espacio normado auxiliar usando la seminorma . Hay una función natural (no necesariamente inyectiva). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X_{p}}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle X\to X_{p}}$

Si es otra seminorma, mayor que (puntualmente como una función en ), entonces hay una función natural de a tal que la primera función se factoriza como Estas funciones son siempre continuas. El espacio es nuclear cuando se cumple una condición más fuerte, a saber, que estas funciones son operadores nucleares . La condición de ser un operador nuclear es sutil, y hay más detalles disponibles en el artículo correspondiente. ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{q}}$ ${\displaystyle X_{p}}$ ${\displaystyle X\to X_{q}\to X_{p}.}$ ${\displaystyle X}$

Definición 1 : Un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico localmente convexo tal que para cada seminorma podemos encontrar una seminorma más grande de modo que la función natural sea nuclear . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X_{q}\to X_{p}}$

De manera informal, esto significa que siempre que se nos da la bola unidad de alguna seminorma, podemos encontrar una bola unidad "mucho más pequeña" de otra seminorma dentro de ella, o que cada entorno de 0 contiene un entorno "mucho más pequeño". No es necesario comprobar esta condición para todas las seminormas ; es suficiente comprobarla para un conjunto de seminormas que generan la topología, en otras palabras, un conjunto de seminormas que son una subbase para la topología. ${\displaystyle p}$

En lugar de utilizar espacios de Banach y operadores nucleares arbitrarios, podemos dar una definición en términos de espacios de Hilbert y operadores de trazas , que son más fáciles de entender. (En los espacios de Hilbert, los operadores nucleares a menudo se denominan operadores de trazas). Diremos que una seminorma es una seminorma de Hilbert si es un espacio de Hilbert, o equivalentemente si proviene de una forma semidefinida positiva sesquilineal en ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$

Definición 2 : Un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico con una topología definida por una familia de seminormas de Hilbert, de modo que para cada seminorma de Hilbert podemos encontrar una seminorma de Hilbert más grande de modo que la función natural de a es la clase traza . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X_{q}}$ ${\displaystyle X_{p}}$

Algunos autores prefieren utilizar operadores de Hilbert-Schmidt en lugar de operadores de trazas. Esto no supone una gran diferencia, ya que todos los operadores de trazas son de Hilbert-Schmidt y el producto de dos operadores de Hilbert-Schmidt es de trazas.

Definición 3 : Un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico con una topología definida por una familia de seminormas de Hilbert, de modo que para cada seminorma de Hilbert podemos encontrar una seminorma de Hilbert más grande de modo que la función natural de a es Hilbert–Schmidt. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X_{q}}$ ${\displaystyle X_{p}}$

Si estamos dispuestos a utilizar el concepto de operador nuclear de un espacio vectorial topológico localmente convexo arbitrario en un espacio de Banach, podemos dar definiciones más cortas como las siguientes:

Definición 4 : Un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico localmente convexo tal que para cada seminorma la función natural de es nuclear . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X\to X_{p}}$

Definición 5 : Un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico localmente convexo tal que toda función lineal continua en un espacio de Banach es nuclear.

Grothendieck utilizó una definición similar a la siguiente:

Definición 6 : Un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico localmente convexo tal que para cada espacio vectorial topológico localmente convexo la función natural del producto tensorial proyectivo al inyectivo de y es un isomorfismo. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

De hecho, es suficiente comprobar esto sólo para los espacios de Banach o incluso sólo para el espacio de Banach individual de series absolutamente convergentes. ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$

Caracterizaciones

Sea un espacio localmente convexo de Hausdorff. Entonces, los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$es nuclear;
2. para cualquier espacio localmente convexo, la incrustación del espacio vectorial canónico es una incrustación de TVS cuya imagen es densa en el codominio; ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y\to {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$
3. Para cualquier espacio de Banach, la incrustación del espacio vectorial canónico es un isomorfismo sobreyectivo de los TVS; ^[5] ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$
4. Para cualquier espacio de Hausdorff localmente convexo, la incrustación del espacio vectorial canónico es un isomorfismo sobreyectivo de los TVS; ^[5] ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y}$
5. La incrustación canónica de in es un isomorfismo sobreyectivo de TVS; ^[6] ${\displaystyle \ell ^{1}[\mathbb {N} ,X]}$ ${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {N} ,X)}$
6. El mapa canónico de es un isomorfismo TVS sobreyectivo. ^[6] ${\displaystyle \ell ^{1}{\widehat {\otimes }}_{\pi }X\to \ell ^{1}{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }X}$
7. para cualquier seminorma podemos encontrar una seminorma mayor de modo que el mapa natural sea nuclear ; ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X_{q}\to X_{p}}$
8. Para cualquier seminorma podemos encontrar una seminorma mayor de modo que la inyección canónica sea nuclear; ^[5] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X_{p}^{\prime }\to X_{q}^{\prime }}$
9. la topología de está definida por una familia de seminormas de Hilbert, de modo que para cualquier seminorma de Hilbert podemos encontrar una seminorma de Hilbert más grande de modo que el mapa natural sea de clase traza ; ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X_{q}\to X_{p}}$
10. ${\displaystyle X}$tiene una topología definida por una familia de seminormas de Hilbert, de modo que para cualquier seminorma de Hilbert podemos encontrar una seminorma de Hilbert más grande de modo que la función natural sea Hilbert–Schmidt; ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X_{q}\to X_{p}}$
11. Para cualquier seminorma el mapa natural de es nuclear . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X\to X_{p}}$
12. cualquier mapa lineal continuo de un espacio de Banach es nuclear;
13. Toda seminorma continua es prenuclear; ^[7] ${\displaystyle X}$
14. todo subconjunto equicontinuo de es prenuclear; ^[7] ${\displaystyle X^{\prime }}$
15. toda aplicación lineal de un espacio de Banach que transforma la bola unidad en un conjunto equicontinuo, es nuclear; ^[5] ${\displaystyle X^{\prime }}$
16. la finalización de es un espacio nuclear; ${\displaystyle X}$

Si es un espacio de Fréchet entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$es nuclear;
2. Toda secuencia sumable en es absolutamente sumable; ^[6] ${\displaystyle X}$
3. el fuerte dual de es nuclear; ${\displaystyle X}$

Condiciones suficientes

• Un espacio de Hausdorff localmente convexo es nuclear si y sólo si su completitud es nuclear.
• Todo subespacio de un espacio nuclear es nuclear. ^[8]
• Todo espacio cociente de Hausdorff de un espacio nuclear es nuclear. ^[8]
• El límite inductivo de una secuencia contable de espacios nucleares es nuclear. ^[8]
• La suma directa localmente convexa de una secuencia contable de espacios nucleares es nuclear. ^[8]
• El dual fuerte de un espacio de Fréchet nuclear es nuclear. ^[9]
  • En general, el dual fuerte de un espacio nuclear puede no ser nuclear. ^[9]
• Un espacio de Fréchet cuyo dual fuerte es nuclear es en sí mismo nuclear. ^[9]
• El límite de una familia de espacios nucleares es nuclear. ^[8]
• El producto de una familia de espacios nucleares es nuclear. ^[8]
• La finalización de un espacio nuclear es nuclear (y, de hecho, un espacio es nuclear si y sólo si su finalización es nuclear).
• El producto tensorial de dos espacios nucleares es nuclear.
• El producto tensorial proyectivo , así como su completitud, de dos espacios nucleares es nuclear. ^[10]

Supongamos que y son un espacio localmente convexo con es nuclear. ${\displaystyle X,Y,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

• Si es nuclear entonces el espacio vectorial de aplicaciones lineales continuas dotado de la topología de convergencia simple es un espacio nuclear. ^[9] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle L_{\sigma }(X,N)}$
• Si es un espacio semirreflexivo cuyo dual fuerte es nuclear y si es nuclear entonces el espacio vectorial de aplicaciones lineales continuas (dotado de la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados de ) es un espacio nuclear. ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle L_{b}(X,N)}$ ${\displaystyle X}$

Ejemplos

Si es un conjunto de cualquier cardinalidad, entonces y (con la topología del producto ) son ambos espacios nucleares. ^[12] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$

Un ejemplo de dimensión infinita relativamente simple de un espacio nuclear es el espacio de todas las secuencias rápidamente decrecientes ("rápidamente decreciente" significa que está acotado para cualquier polinomio ). Para cada número real es posible definir una norma por Si la completitud en esta norma es entonces hay una función natural de siempre que y esta es nuclear siempre que esencialmente porque la serie es entonces absolutamente convergente. En particular para cada norma es posible encontrar otra norma, digamos tal que la función sea nuclear. Por lo tanto, el espacio es nuclear. ${\displaystyle c=\left(c_{1},c_{2},\ldots \right).}$ ${\displaystyle c_{n}p(n)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{s}}$ $${\displaystyle \|c\|_{s}=\sup _{}\left|c_{n}\right|n^{s}}$$ ${\displaystyle C_{s},}$ ${\displaystyle C_{s}\to C_{t}}$ ${\displaystyle s\geq t,}$ ${\displaystyle s>t+1}$ ${\displaystyle \sum n^{t-s}}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{t}}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{t+1},}$ ${\displaystyle C_{t+2}\to C_{t}}$

• El espacio de funciones suaves en cualquier variedad compacta es nuclear.
• El espacio de Schwartz de funciones suaves en el cual las derivadas de todos los órdenes son rápidamente decrecientes es un espacio nuclear. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• El espacio de funciones holomorfas enteras en el plano complejo es nuclear.
• El espacio de distribuciones del dual fuerte es nuclear. ^[11] ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime },}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}},}$

Propiedades

Los espacios nucleares son en muchos aspectos similares a los espacios de dimensión finita y tienen muchas de sus buenas propiedades.

• Todo espacio de Hausdorff de dimensión finita es nuclear.
• Un espacio de Fréchet es nuclear si y sólo si su dual fuerte es nuclear.
• Todo subconjunto acotado de un espacio nuclear es precompacto (recordemos que un conjunto es precompacto si su clausura en la completitud del espacio es compacta). ^[13] Esto es análogo al teorema de Heine-Borel . Por el contrario, ningún espacio normado de dimensión infinita tiene esta propiedad (aunque los espacios de dimensión finita sí la tienen).
• Si es un espacio nuclear cuasicompleto (es decir, todos los subconjuntos cerrados y acotados son completos), entonces tiene la propiedad de Heine-Borel . ^[14] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Un espacio nuclear cuasicompleto es un espacio de Montel .
• Todo subconjunto equicontinuo cerrado del dual de un espacio nuclear es un conjunto metrizable compacto (para la topología dual fuerte).
• Todo espacio nuclear es un subespacio de un producto de espacios de Hilbert.
• Todo espacio nuclear admite una base de seminomas consistente en normas de Hilbert.
• Todo espacio nuclear es un espacio de Schwartz.
• Todo espacio nuclear posee la propiedad de aproximación. ^[15]
• Cualquier subespacio y cualquier espacio cociente por un subespacio cerrado de un espacio nuclear es nuclear.
• Si es nuclear y es cualquier espacio vectorial topológico localmente convexo, entonces la función natural del producto tensorial proyectivo de A y el producto tensorial inyectivo es un isomorfismo. En términos generales, esto significa que solo hay una forma sensata de definir el producto tensorial. Esta propiedad caracteriza a los espacios nucleares. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A.}$
• En la teoría de medidas en espacios vectoriales topológicos, un teorema básico establece que cualquier medida de conjunto cilíndrico continuo en el dual de un espacio nuclear de Fréchet se extiende automáticamente a una medida de Radon . Esto es útil porque a menudo es fácil construir medidas de conjunto cilíndrico en espacios vectoriales topológicos, pero estas no son lo suficientemente buenas para la mayoría de las aplicaciones a menos que sean medidas de Radon (por ejemplo, ni siquiera son contablemente aditivas en general).

El teorema del núcleo

Gran parte de la teoría de los espacios nucleares fue desarrollada por Alexander Grothendieck mientras investigaba el teorema del núcleo de Schwartz y publicada en (Grothendieck 1955). Tenemos la siguiente generalización del teorema.

Teorema del núcleo de Schwartz : ^[9] Supóngase que es nuclear, es localmente convexo y es una forma bilineal continua en Entonces se origina a partir de un espacio de la forma donde y son subconjuntos equicontinuos adecuados de y De manera equivalente, es de la forma, donde y cada uno de y son equicontinuos. Además, estas secuencias pueden tomarse como secuencias nulas (es decir, convergentes a 0) en y respectivamente. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle X\times Y.}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle X_{A^{\prime }}^{\prime }{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y_{B^{\prime }}^{\prime }}$ ${\displaystyle A^{\prime }}$ ${\displaystyle B^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y^{\prime }.}$ ${\displaystyle v}$ $${\displaystyle v(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}\left\langle x,x_{i}^{\prime }\right\rangle \left\langle y,y_{i}^{\prime }\right\rangle \quad {\text{ for all }}(x,y)\in X\times Y}$$ ${\displaystyle \left(\lambda _{i}\right)\in \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \left\{x_{1}^{\prime },x_{2}^{\prime },\ldots \right\}}$ ${\displaystyle \left\{y_{1}^{\prime },y_{2}^{\prime },\ldots \right\}}$ ${\displaystyle X_{A^{\prime }}^{\prime }}$ ${\displaystyle Y_{B^{\prime }}^{\prime },}$

Teorema de Bochner-Minlos

Cualquier funcional positivo definido continuo en un espacio nuclear se denomina funcional característico si y para cualquier y ^{[16] [17]} ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C(0)=1,}$ ${\displaystyle z_{j}\in \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle x_{j}\in A}$ ${\displaystyle j,k=1,\ldots ,n,}$ $${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}z_{j}{\bar {z}}_{k}C(x_{j}-x_{k})\geq 0.}$$

Dado un funcional característico en un espacio nuclear, el teorema de Bochner-Minlos (según Salomon Bochner y Robert Adol'fovich Minlos ) garantiza la existencia y unicidad de una medida de probabilidad correspondiente en el espacio dual tal que ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A^{\prime }}$ $${\displaystyle C(y)=\int _{A^{\prime }}e^{i\langle x,y\rangle }\,d\mu (x),}$$

donde es la transformada de Fourier de , extendiendo así la transformada de Fourier inversa a los espacios nucleares. ^[18] ${\displaystyle C(y)}$ ${\displaystyle \mu }$

En particular, si es el espacio nuclear donde hay espacios de Hilbert, el teorema de Bochner-Minlos garantiza la existencia de una medida de probabilidad con la función característica , es decir, la existencia de la medida gaussiana en el espacio dual . Dicha medida se denomina medida de ruido blanco . Cuando es el espacio de Schwartz, el elemento aleatorio correspondiente es una distribución aleatoria . ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A=\bigcap _{k=0}^{\infty }H_{k},}$$ ${\displaystyle H_{k}}$ ${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}\|y\|_{H_{0}}^{2}},}$ ${\displaystyle A}$

Espacios fuertemente nucleares

Un espacio fuertemente nuclear es un espacio vectorial topológico localmente convexo tal que para cualquier seminorma existe una seminorma más grande de modo que el mapa natural es un fuertemente nuclear . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X_{q}\to X_{p}}$

Véase también

• Espacio auxiliar normado
• Núcleo de Fredholm : tipo de núcleo en un espacio de Banach
• Producto tensorial inyectivo
• Espacio vectorial topológico localmente convexo : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
• Operador nuclear
• Producto tensorial proyectivo : un producto tensorial definido en dos espacios vectoriales topológicos
• Espacio de Hilbert manipulado : una construcción que vincula el estudio de los valores propios "limitados" y continuos en el análisis funcional
• Clase de traza : la clase de operadores compactos para los que se puede definir una traza finita
• Espacio vectorial topológico : un espacio vectorial con noción de proximidad

Referencias

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9. Schaefer y Wolff 1999, pág. 172.
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