Espacio vectorial topológico completo

Un TVS donde los puntos que se acercan progresivamente entre sí siempre convergerán a un punto

En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , un espacio vectorial topológico completo es un espacio vectorial topológico (TVS) con la propiedad de que siempre que los puntos se acercan progresivamente entre sí, entonces existe algún punto hacia el cual todos se acercan. La noción de "puntos que se acercan progresivamente" se hace rigurosa mediante las redes de Cauchy o filtros de Cauchy , que son generalizaciones de las sucesiones de Cauchy , mientras que "punto hacia el cual todos se acercan" significa que esta red o filtro de Cauchy converge a La noción de completitud para los TVS utiliza la teoría de espacios uniformes como marco para generalizar la noción de completitud para los espacios métricos . Pero a diferencia de la completitud métrica, la completitud de los TVS no depende de ninguna métrica y está definida para todos los TVS, incluidos aquellos que no son metrizables o Hausdorff . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

La completitud es una propiedad extremadamente importante que debe poseer un espacio vectorial topológico. Las nociones de completitud para espacios normados y TVS metrizables , que se definen comúnmente en términos de completitud de una norma o métrica particular, se pueden reducir a esta noción de completitud TVS, una noción que es independiente de cualquier norma o métrica particular. Un espacio vectorial topológico metrizable con una métrica invariante de traslación ^{[nota 1]} es completo como un TVS si y solo si es un espacio métrico completo , lo que por definición significa que cada secuencia de - Cauchy converge a algún punto en Ejemplos destacados de TVS completos que también son metrizables incluyen todos los espacios F y, en consecuencia, también todos los espacios de Fréchet , espacios de Banach y espacios de Hilbert . Ejemplos destacados de TVS completos que (normalmente) no son metrizables incluyen espacios LF estrictos como el espacio de funciones de prueba con su topología LF canónica, el espacio dual fuerte de cualquier espacio de Fréchet no normalizable , así como muchas otras topologías polares en espacios duales continuos u otras topologías en espacios de mapas lineales . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Explícitamente, un espacio vectorial topológico (TVS) es completo si cada red , o equivalentemente, cada filtro , que es Cauchy con respecto a la uniformidad canónica del espacio necesariamente converge a algún punto. Dicho de otra manera, un TVS es completo si su uniformidad canónica es una uniformidad completa . La uniformidad canónica en un TVS es la única ^{[nota 2]} uniformidad invariante en la traducción que induce en la topología Esta noción de "completitud de TVS" depende solo de la resta vectorial y de la topología del TVS; en consecuencia, se puede aplicar a todos los TVS, incluidos aquellos cuyas topologías no se pueden definir en términos de métricas o pseudometrías . Un TVS de primer orden contable es completo si y solo si cada secuencia de Cauchy (o equivalentemente, cada filtro de Cauchy elemental ) converge a algún punto. ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$

Todo espacio vectorial topológico, incluso si no es metrizable o no es Hausdorff , tiene una completitud , que por definición es un TVS completo en el que se puede incorporar un TVS como un subespacio vectorial denso . Además, cada TVS de Hausdorff tiene una completitud de Hausdorff , que es necesariamente única hasta el isomorfismo TVS . Sin embargo, como se analiza a continuación, todos los TVS tienen infinitas completitudes no Hausdorff que no son isomorfas entre sí. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$

Definiciones

En esta sección se resume la definición de un espacio vectorial topológico (TVS) completo en términos de redes y prefiltros . Se puede encontrar información sobre la convergencia de redes y filtros, como definiciones y propiedades, en el artículo sobre filtros en topología .

Cada espacio vectorial topológico (TVS) es un grupo topológico conmutativo con identidad bajo la adición y la uniformidad canónica de un TVS se define enteramente en términos de resta (y por lo tanto de adición); no interviene la multiplicación escalar y no se necesita ninguna estructura adicional.

Uniformidad canónica

La diagonal de es el conjunto ^[1] y para cualquier ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \Delta _{X}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(x,x):x\in X\}}$$ ${\displaystyle N\subseteq X,}$séquito canónico /vecindad alrededor ${\displaystyle N}$es el conjunto donde sientoncescontiene la diagonal $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Delta _{X}(N)~&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(x,y)\in X\times X~:~x-y\in N\}=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times \{y\}]\\&=\Delta _{X}+(N\times \{0\})\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle 0\in N}$ ${\displaystyle \Delta _{X}(N)}$ ${\displaystyle \Delta _{X}(\{0\})=\Delta _{X}.}$

Si es un conjunto simétrico (es decir, si ), entonces es simétrico , lo que por definición significa que se cumple donde y además, la composición de este conjunto simétrico consigo mismo es: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle -N=N}$ ${\displaystyle \Delta _{X}(N)}$ ${\displaystyle \Delta _{X}(N)=\left(\Delta _{X}(N)\right)^{\operatorname {op} }}$ ${\displaystyle \left(\Delta _{X}(N)\right)^{\operatorname {op} }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{(y,x):(x,y)\in \Delta _{X}(N)\right\},}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Delta _{X}(N)\circ \Delta _{X}(N)~&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{(x,z)\in X\times X~:~{\text{ there exists }}y\in X{\text{ such that }}x,z\in y+N\right\}=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times (y+N)]\\&=\Delta _{X}+(N\times N).\end{alignedat}}}$$

Si es cualquier base de vecindad en el origen en entonces la familia de subconjuntos de es un prefiltro en Si es el filtro de vecindad en el origen en entonces forma una base de séquitos para una estructura uniforme en que se considera canónica. ^[2] Explícitamente, por definición, la ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X\times X:}$ $${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathcal {L}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{\Delta _{X}(N):N\in {\mathcal {L}}\right\}}$$ ${\displaystyle X\times X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }(0)}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}}$ ${\displaystyle X}$La uniformidad canónica inducidapor ${\displaystyle X}$ ^[2]es elfiltrogeneradopor el prefiltro anterior: dondedenota elcierre ascendentedeen La misma uniformidad canónica resultaría al utilizar una base de vecindad del origen en lugar del filtro de todas las vecindades del origen. Sies cualquier base de vecindad en el origen enentonces el filtrogenerado por el prefiltroes igual a la uniformidad canónicainducida por ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{\tau }}$ ${\displaystyle X\times X}$ $${\displaystyle {\mathcal {U}}_{\tau }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}^{\uparrow }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{S\subseteq X\times X~:~N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(0){\text{ and }}\Delta _{X}(N)\subseteq S\right\}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}^{\uparrow }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}}$ ${\displaystyle X\times X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{\tau }}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

Red de Cauchy

La teoría general de espacios uniformes tiene su propia definición de "prefiltro de Cauchy" y "red de Cauchy". Para la uniformidad canónica de estas definiciones, redúzcalas a las que se dan a continuación. ${\displaystyle X,}$

Supongamos que es una red en y es una red en El producto se convierte en un conjunto dirigido al declarar si y solo si y Entonces denota el ( cartesiano ) ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{j}\right)_{j\in J}}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle I\times J}$ ${\displaystyle (i,j)\leq \left(i_{2},j_{2}\right)}$ ${\displaystyle i\leq i_{2}}$ ${\displaystyle j\leq j_{2}.}$ $${\displaystyle x_{\bullet }\times y_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i},y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$$producto neto , donde en particularSientonces la imagen de esta red bajo el mapa de adición vectorialdenota la ${\textstyle x_{\bullet }\times x_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i},x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}.}$ ${\displaystyle X=Y}$ ${\displaystyle X\times X\to X}$suma de estas dos redes:^[3] y de manera similar sus $${\displaystyle x_{\bullet }+y_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i}+y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$$La diferencia se define como la imagen del producto neto bajo el mapa de sustracción de vectores: en particular, la notacióndenota lared indexaday no lared indexadaya que usar esta última como definición haría que la notación fuera inútil. ${\displaystyle (x,y)\mapsto x-y}$ $${\displaystyle x_{\bullet }-y_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i}-y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}.}$$ ${\displaystyle x_{\bullet }-x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}-\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I^{2}}$ ${\displaystyle \left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left(x_{i}-x_{i}\right)_{i\in I}=(0)_{i\in I}}$

Una red en una TVS se llama red de Cauchy ^[4] si Explícitamente, esto significa que para cada vecindad de en existe algún índice tal que para todos los índices que satisfacen y es suficiente verificar cualquiera de estas condiciones definitorias para cualquier base de vecindad dada de en Una secuencia de Cauchy es una secuencia que también es una red de Cauchy. ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle x_{\bullet }-x_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}\to 0\quad {\text{ in }}X.}$$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle i_{0}\in I}$ ${\displaystyle x_{i}-x_{j}\in N}$ ${\displaystyle i,j\in I}$ ${\displaystyle i\geq i_{0}}$ ${\displaystyle j\geq i_{0}.}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$

Si entonces en y por lo tanto la continuidad de la función de sustracción vectorial que se define por garantiza que en donde y Esto demuestra que toda red convergente es una red de Cauchy. Por definición, un espacio se llama completo si el recíproco también es siempre cierto. Es decir, es completo si y solo si se cumple lo siguiente: ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\times x_{\bullet }\to (x,x)}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle S:X\times X\to X,}$ ${\displaystyle S(x,y)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~x-y,}$ ${\displaystyle S\left(x_{\bullet }\times x_{\bullet }\right)\to S(x,x)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S\left(x_{\bullet }\times x_{\bullet }\right)=\left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}=x_{\bullet }-x_{\bullet }}$ ${\displaystyle S(x,x)=x-x=0.}$ ${\displaystyle X}$

siempre que una red en entonces converge (a algún punto) en si y solo si en ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }-x_{\bullet }\to 0}$ ${\displaystyle X.}$

Una caracterización similar de completitud se mantiene si se utilizan filtros y prefiltros en lugar de redes.

Una serie se llama ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}$Serie de Cauchy (respectivamente, unaserie convergente ) si la secuencia desumas parciales es unasecuencia de Cauchy(respectivamente, unasecuencia convergente).^[5]Toda serie convergente es necesariamente una serie de Cauchy. En una TVS completa, toda serie de Cauchy es necesariamente una serie convergente. ${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)_{n=1}^{\infty }}$

Filtro Cauchy y prefiltro Cauchy

Un prefiltro en un espacio vectorial topológico se denomina prefiltro de Cauchy ^[6] si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}\to 0}$en ${\displaystyle X.}$
   • La familia es un prefiltro. ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{B-C:B,C\in {\mathcal {B}}\}}$
   • Explícitamente, significa que para cada vecindad del origen en existen tales que ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}\to 0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle B,C\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B-C\subseteq N.}$
2. ${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}\to 0}$en ${\displaystyle X.}$
   • La familia es un prefiltro equivalente a ( equivalencia significa que estos prefiltros generan el mismo filtro en ). ${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$
   • Explícitamente, significa que para cada vecindad del origen en existe alguna tal que ${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}\to 0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B-B\subseteq N.}$
3. Porque cada vecindad del origen en contiene algún conjunto -pequeño (es decir, existe alguno tal que ). ^[6] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B-B\subseteq N}$
   • Un subconjunto se llama -pequeño o ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle N}$pequeño de orden ${\displaystyle N}$ ^[6]si ${\displaystyle B-B\subseteq N.}$
4. Para cada vecindad del origen en existe algún y algún tal que ^[6] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\subseteq x+N.}$
   • Esta afirmación sigue siendo verdadera si " " se reemplaza por " " ${\displaystyle B\subseteq x+N}$ ${\displaystyle x+B\subseteq N.}$
5. Cada vecindad del origen en contiene algún subconjunto de la forma donde y ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x+B}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}.}$

Es suficiente comprobar cualquiera de las condiciones anteriores para cualquier vecindad dada en Un filtro de Cauchy es un prefiltro de Cauchy que también es un filtro en ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X.}$

Si es un prefiltro en un espacio vectorial topológico y si entonces en si y sólo si y es Cauchy. ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Subconjunto completo

Para cualquier prefiltro , es necesariamente un subconjunto de ; es decir, ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \wp (S)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (S).}$

Un subconjunto de un TVS se denomina ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$subconjunto completo si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. Cada prefiltro de Cauchy converge al menos a un punto de ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$
   • Si es Hausdorff entonces cada prefiltro en convergerá como máximo a un punto de Pero si no es Hausdorff entonces un prefiltro puede converger a múltiples puntos en Lo mismo es cierto para las redes. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
2. Toda red de Cauchy converge al menos a un punto de ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$
3. ${\displaystyle S}$es un espacio uniforme completo (según la definición de topología de conjuntos de puntos de " espacio uniforme completo ") cuando está dotado de la uniformidad inducida en él por la uniformidad canónica de ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$

El subconjunto se llama ${\displaystyle S}$subconjunto secuencialmente completo si cada secuencia de Cauchy en(o equivalentemente, cada filtro/prefiltro de Cauchy elemental en) converge al menos a un punto de ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

Es importante destacar que la convergencia a puntos fuera de no impide que un conjunto sea completo ${\displaystyle S}$ : si no es Hausdorff y si cada prefiltro de Cauchy en converge a algún punto de entonces será completo incluso si algunos o todos los prefiltros de Cauchy en también convergen a puntos en En resumen, no hay ningún requisito de que estos prefiltros de Cauchy en converjan solo a puntos en Lo mismo puede decirse de la convergencia de las redes de Cauchy en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\setminus S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S.}$

En consecuencia, si un TVS no es Hausdorff entonces cada subconjunto del cierre de en es completo porque es compacto y cada conjunto compacto es necesariamente completo. En particular, si es un subconjunto propio, como por ejemplo, entonces sería completo aunque cada red de Cauchy en (y también cada prefiltro de Cauchy en ) converja a cada punto en incluyendo aquellos puntos en que no pertenecen a Este ejemplo también muestra que los subconjuntos completos (y de hecho, incluso los subconjuntos compactos) de un TVS no Hausdorff pueden no ser cerrados. Por ejemplo, si entonces si y solo si es cerrado en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S=\{0\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\},}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S=\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$

Espacio vectorial topológico completo

Un espacio vectorial topológico se denomina ${\displaystyle X}$espacio vectorial topológico completo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. ${\displaystyle X}$es un espacio uniforme completo cuando está dotado de su uniformidad canónica.
   • En la teoría general de espacios uniformes , un espacio uniforme se denomina espacio uniforme completo si cada filtro de Cauchy en converge a algún punto de en la topología inducida por la uniformidad. Cuando es un TVS, la topología inducida por la uniformidad canónica es igual a la topología dada de (por lo que la convergencia en esta topología inducida es simplemente la convergencia habitual en ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle X}$es un subconjunto completo de sí mismo.
3. Existe un vecindario del origen en que también es un subconjunto completo de ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
   • Esto implica que cada TVS localmente compacto es completo (incluso si el TVS no es Hausdorff).
4. Cada prefiltro de Cauchy converge en al menos un punto de ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
   • Si es Hausdorff entonces cada prefiltro en convergerá como máximo a un punto de Pero si no es Hausdorff entonces un prefiltro puede converger a múltiples puntos en Lo mismo es cierto para las redes. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
5. Cada filtro de Cauchy converge en al menos un punto de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
6. Toda red de Cauchy converge en al menos un punto de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

donde si además es pseudometrizable o metrizable (por ejemplo, un espacio normado ) entonces esta lista puede extenderse para incluir: ${\displaystyle X}$

7. ${\displaystyle X}$es secuencialmente completo.

Un espacio vectorial topológico es ${\displaystyle X}$completar secuencialmente si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. ${\displaystyle X}$es un subconjunto secuencialmente completo de sí mismo.
2. Toda secuencia de Cauchy converge en al menos un punto de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
3. Cada prefiltro de Cauchy elemental converge en al menos un punto de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
4. Todo filtro de Cauchy elemental converge al menos en un punto de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Unicidad de la uniformidad canónica

La existencia de la uniformidad canónica se demostró anteriormente definiéndola. El teorema que figura a continuación establece que la uniformidad canónica de cualquier TVS es la única uniformidad que es (1) invariante en la traducción y (2) genera en la topología. ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$

Teorema ^[7]  (Existencia y unicidad de la uniformidad canónica)  —  La topología de cualquier TVS puede derivarse de una uniformidad única invariante en la traducción. Si es cualquier base de vecindad del origen, entonces la familia es una base para esta uniformidad. ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0)}$ ${\displaystyle \left\{\Delta (N):N\in {\mathcal {N}}(0)\right\}}$

Esta sección está dedicada a explicar los significados precisos de los términos involucrados en esta declaración de unicidad.

Espacios uniformes y uniformidades invariantes a la traducción

Para cualquier subconjunto sea ^[1] y sea Una familia no vacía se llama ${\displaystyle \Phi ,\Psi \subseteq X\times X,}$ $${\displaystyle \Phi ^{\operatorname {op} }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(y,x)~:~(x,y)\in \Phi \}}$$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Phi \circ \Psi ~&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{(x,z):{\text{ there exists }}y\in X{\text{ such that }}(x,y)\in \Psi {\text{ and }}(y,z)\in \Phi \right\}\\&=~\bigcup _{y\in X}\{(x,z)~:~(x,y)\in \Psi {\text{ and }}(y,z)\in \Phi \}\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X\times X)}$base de séquitos o unasistema fundamental de séquitos sies unprefiltroalsatisfacer todas las condiciones siguientes: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X\times X}$

1. Todo conjunto en contiene la diagonal de como subconjunto; es decir, para cada Dicho de otra manera, el prefiltro se fija en ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Delta _{X}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(x,x):x\in X\}\subseteq \Phi }$ ${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Delta _{X}.}$
2. Para cada uno existe algo tal que ${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Phi \circ \Phi \subseteq \Omega .}$
3. Para cada uno existe algo tal que ${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Phi \subseteq \Omega ^{\operatorname {op} }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(y,x):(x,y)\in \Omega \}.}$

Auniformidad oLa estructura uniforme esunfiltroquese genera por alguna base de séquitosen cuyo caso decimos quees unabase de séquitos para ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$

Para un grupo aditivo conmutativo a ${\displaystyle X,}$El sistema fundamental de entornos invariante en la traducción ^[7]es un sistema fundamental de entornostal que para cadasi y sólo sipara todauniformidad Ase denomina ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle (x,y)\in \Phi }$ ${\displaystyle (x+z,y+z)\in \Phi }$ ${\displaystyle x,y,z\in X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$uniformidad invariante a la traducción ^[7]si tiene una base de séquitos que es invariante a la traducción. La uniformidad canónica en cualquier TVS es invariante a la traducción.^[7]

El operador binario satisface todo lo siguiente: ${\displaystyle \;\circ \;}$

• ${\displaystyle (\Phi \circ \Psi )^{\operatorname {op} }=\Psi ^{\operatorname {op} }\circ \Phi ^{\operatorname {op} }.}$
• Si y entonces ${\displaystyle \Phi \subseteq \Phi _{2}}$ ${\displaystyle \Psi \subseteq \Psi _{2}}$ ${\displaystyle \Phi \circ \Psi \subseteq \Phi _{2}\circ \Psi _{2}.}$
• Asociatividad: ${\displaystyle \Phi \circ (\Psi \circ \Omega )=(\Phi \circ \Psi )\circ \Omega .}$
• Identidad: ${\displaystyle \Phi \circ \Delta _{X}=\Phi =\Delta _{X}\circ \Phi .}$
• Cero: ${\displaystyle \Phi \circ \varnothing =\varnothing =\varnothing \circ \Phi }$

Séquitos simétricos

Llamemos simétrico a un subconjunto si que es equivalente a Esta equivalencia se sigue de la identidad y del hecho de que si entonces si y sólo si Por ejemplo, el conjunto es siempre simétrico para cada Y porque si y son simétricos entonces también lo es ${\displaystyle \Phi \subseteq X\times X}$ ${\displaystyle \Phi =\Phi ^{\operatorname {op} },}$ ${\displaystyle \Phi ^{\operatorname {op} }\subseteq \Phi .}$ ${\displaystyle \left(\Phi ^{\operatorname {op} }\right)^{\operatorname {op} }=\Phi }$ ${\displaystyle \Psi \subseteq X\times X,}$ ${\displaystyle \Phi \subseteq \Psi }$ ${\displaystyle \Phi ^{\operatorname {op} }\subseteq \Psi ^{\operatorname {op} }.}$ ${\displaystyle \Phi ^{\operatorname {op} }\cap \Phi }$ ${\displaystyle \Phi \subseteq X\times X.}$ ${\displaystyle (\Phi \cap \Psi )^{\operatorname {op} }=\Phi ^{\operatorname {op} }\cap \Psi ^{\operatorname {op} },}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Phi \cap \Psi .}$

Topología generada por una uniformidad

Parientes

Sean arbitrarios y sean las proyecciones canónicas sobre las primeras y segundas coordenadas, respectivamente. ${\displaystyle \Phi \subseteq X\times X}$ ${\displaystyle \operatorname {Pr} _{1},\operatorname {Pr} _{2}:X\times X\to X}$

Para cualquier definición donde (respectivamente, ) se llama el conjunto de parientes izquierdos (respectivamente, derechos ) de (puntos en) Denote el caso especial donde es un conjunto singleton para algunos por: Si entonces Además, derecho se distribuye tanto sobre uniones como intersecciones, lo que significa que si entonces y ${\displaystyle S\subseteq X,}$ $${\displaystyle S\cdot \Phi ~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{y\in X:\Phi \cap (S\times \{x\})\neq \varnothing \}~=~\operatorname {Pr} _{2}(\Phi \cap (S\times X))}$$ $${\displaystyle \Phi \cdot S~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{x\in X:\Phi \cap (\{x\}\times S)\neq \varnothing \}~=~\operatorname {Pr} _{1}(\Phi \cap (X\times S))=S\cdot \left(\Phi ^{\operatorname {op} }\right)}$$ ${\displaystyle \Phi \cdot S}$ ${\displaystyle S\cdot \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S=\{p\}}$ ${\displaystyle p\in X}$ $${\displaystyle p\cdot \Phi ~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{p\}\cdot \Phi ~=~\{y\in X:(p,y)\in \Phi \}}$$ $${\displaystyle \Phi \cdot p~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\Phi \cdot \{p\}~=~\{x\in X:(x,p)\in \Phi \}~=~p\cdot \left(\Phi ^{\operatorname {op} }\right)}$$ ${\displaystyle \Phi ,\Psi \subseteq X\times X}$ ${\textstyle (\Phi \circ \Psi )\cdot S=\Phi \cdot (\Psi \cdot S).}$ ${\displaystyle \,\cdot \,}$ ${\displaystyle R,S\subseteq X}$ ${\displaystyle (R\cup S)\cdot \Phi ~=~(R\cdot \Phi )\cup (S\cdot \Phi )}$ ${\displaystyle (R\cap S)\cdot \Phi ~\subseteq ~(R\cdot \Phi )\cap (S\cdot \Phi ).}$

Barrios y espacios abiertos

Dos puntos y son -cercanos si y un subconjunto se llama -pequeño si ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle (x,y)\in \Phi }$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle S\times S\subseteq \Phi .}$

Seamos una base de séquitos en El ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X\times X)}$ ${\displaystyle X.}$prefiltro de vecindad en un puntoy, respectivamente, en un subconjuntoson lasfamilias de conjuntos: y los filtrosque cada uno genera se conocen como ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ $${\displaystyle {\mathcal {B}}\cdot p~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\mathcal {B}}\cdot \{p\}=\{\Phi \cdot p:\Phi \in {\mathcal {B}}\}\qquad {\text{ and }}\qquad {\mathcal {B}}\cdot S~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{\Phi \cdot S:\Phi \in {\mathcal {B}}\}}$$ ${\displaystyle X}$Filtro de vecindad de(respectivamente, de). Asignar a cadaprefiltro de vecindad y utilizar ladefinición de vecindad de "conjunto abierto"para obtener unatopologíaenllamadatopología inducida poro la ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\in X}$ $${\displaystyle {\mathcal {B}}\cdot x~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{\Phi \cdot x:\Phi \in {\mathcal {B}}\}}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$topología inducida . Explícitamente, un subconjuntoes abierto en esta topología si y solo si para cadauno existe algunotal quees decir,es abierto si y solo si para cadauno existe algunotal que ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {B}}\cdot u}$ ${\displaystyle N\subseteq U;}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Phi \cdot u~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{x\in X:(x,u)\in \Phi \}\subseteq U.}$

El cierre de un subconjunto en esta topología es: ${\displaystyle S\subseteq X}$ $${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=\bigcap _{\Phi \in {\mathcal {B}}}(\Phi \cdot S)=\bigcap _{\Phi \in {\mathcal {B}}}(S\cdot \Phi ).}$$

Prefiltros Cauchy y uniformidades completas

Un prefiltro en un espacio uniforme con uniformidad se llama prefiltro de Cauchy si para cada entorno existe alguno tal que ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {U}},}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F\times F\subseteq N.}$

Un espacio uniforme se llama ${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$espacio uniforme completo (respectivamente, unespacio uniforme secuencialmente completo ) si cada prefiltro de Cauchy (respectivamente, cada prefiltro de Cauchy elemental) enconverge al menos a un punto decuandoestá dotado de la topología inducida por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$

Caso de un espacio vectorial topológico

Si es un espacio vectorial topológico, entonces para cualquier y y la topología inducida en por la uniformidad canónica es la misma que la topología que comenzó con (es decir, es ). ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle \Delta _{X}(N)\cdot S=S+N\qquad {\text{ and }}\qquad \Delta _{X}(N)\cdot x=x+N,}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$

Continuidad uniforme

Sean y TVS, y una función. Entonces es uniformemente continua si para cada entorno del origen en existe un entorno del origen en tal que para todo si entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle D\subseteq X,}$ ${\displaystyle f:D\to Y}$ ${\displaystyle f:D\to Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x,y\in D,}$ ${\displaystyle y-x\in U}$ ${\displaystyle f(y)-f(x)\in V.}$

Supongamos que es uniformemente continua. Si es una red de Cauchy en entonces es una red de Cauchy en Si es un prefiltro de Cauchy en (lo que significa que es una familia de subconjuntos de que es Cauchy en ) entonces es un prefiltro de Cauchy en Sin embargo, si es un filtro de Cauchy en entonces aunque será un prefiltro de Cauchy , será un filtro de Cauchy en si y solo si es sobreyectiva. ${\displaystyle f:D\to Y}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f\circ x_{\bullet }=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\left({\mathcal {B}}\right)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f\left({\mathcal {B}}\right)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:D\to Y}$

Completitud de TVS vs completitud de (pseudo)métricas

Preliminares: Espacios pseudométricos completos

Repasamos las nociones básicas relacionadas con la teoría general de espacios pseudométricos completos. Recordemos que toda métrica es pseudométrica y que una pseudométrica es una métrica si y solo si implica Por lo tanto, todo espacio métrico es un espacio pseudométrico y un espacio pseudométrico es un espacio métrico si y solo si es una métrica. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(x,y)=0}$ ${\displaystyle x=y.}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle p}$

Si es un subconjunto de un espacio pseudométrico entonces el diámetro de se define como ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle \operatorname {diam} (S)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\sup _{}\{d(s,t):s,t\in S\}.}$$

Un prefiltro en un espacio pseudométrico se llama prefiltro de Cauchy o simplemente prefiltro de Cauchy si para cada real hay alguno tal que el diámetro de es menor que ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle r.}$

Supongamos que es un espacio pseudométrico. Una red en se llama red de Cauchy o simplemente red de Cauchy si es un prefiltro de Cauchy, lo que sucede si y solo si ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$

para cada hay alguno tal que si con y entonces ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle j,k\in I}$ ${\displaystyle j\geq i}$ ${\displaystyle k\geq i}$ ${\displaystyle d\left(x_{j},x_{k}\right)<r}$

o equivalentemente, si y sólo si en Esto es análogo a la siguiente caracterización de la convergencia de a un punto: si entonces en si y sólo si en ${\displaystyle \left(d\left(x_{j},x_{k}\right)\right)_{(i,j)\in I\times I}\to 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle \left(x_{i},x\right)_{i\in I}\to 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Una secuencia de Cauchy es una secuencia que también es una red de Cauchy. ^{[nota 3]}

Toda pseudometría en un conjunto induce la topología canónica usual en la que denotaremos por ; también induce una uniformidad canónica en la que denotaremos por La topología en inducida por la uniformidad es igual a Una red en es de Cauchy con respecto a si y solo si es de Cauchy con respecto a la uniformidad El espacio pseudométrico es un espacio pseudométrico completo (resp. secuencialmente completo) si y solo si es un espacio uniforme completo (resp. secuencialmente completo). Además, el espacio pseudométrico (resp. el espacio uniforme ) es completo si y solo si es secuencialmente completo. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \tau _{p}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{p}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{p}}$ ${\displaystyle \tau _{p}.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{p}.}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {U}}_{p}\right)}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {U}}_{p}\right)}$

Un espacio pseudométrico (por ejemplo, un espacio métrico ) se denomina completo y se denomina pseudométrico completo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle d}$

1. Cada prefiltro de Cauchy converge al menos a un punto de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
2. La declaración anterior pero con la palabra "prefiltro" reemplazada por "filtro".
3. Toda red de Cauchy converge al menos a un punto de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
   • Si es una métrica en entonces cualquier punto límite es necesariamente único y lo mismo es cierto para los límites de los prefiltros de Cauchy en ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
4. Toda secuencia de Cauchy en converge al menos a un punto de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
   • Por lo tanto, para demostrar que es completa, basta considerar únicamente las secuencias de Cauchy (y no es necesario considerar las redes de Cauchy más generales). ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle X}$
5. La uniformidad canónica inducida por la pseudometría es una uniformidad completa. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$

Y si la adición es una métrica, entonces podemos agregar a esta lista: ${\displaystyle d}$

6. Toda secuencia decreciente de bolas cerradas cuyos diámetros se reducen a tiene una intersección no vacía. ^[8] ${\displaystyle 0}$

Pseudometría completa y TVS completa

Todo espacio F , y por lo tanto también todo espacio de Fréchet , espacio de Banach y espacio de Hilbert es un sistema de sucesión transitoria completo. Nótese que todo espacio F es un espacio de Baire , pero hay espacios normados que son de Baire pero no de Banach. ^[9]

Se dice que una pseudométrica en un espacio vectorial es una ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$traducción invariante pseudométrica sipara todos los vectores ${\displaystyle d(x,y)=d(x+z,y+z)}$ ${\displaystyle x,y,z\in X.}$

Supóngase que es un TVS pseudometrizable (por ejemplo, un TVS metrizable) y que es cualquier pseudométrico en tal que la topología en inducida por es igual a Si es invariante a la traslación, entonces es un TVS completo si y solo si es un espacio pseudométrico completo. ^[10] Si no es invariante a la traslación, entonces puede ser posible que sea un TVS completo pero no sea un espacio pseudométrico completo ^[10] (véase esta nota al pie ^{[nota 4]} para un ejemplo). ^[10] ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,p)}$

Teorema ^{[11] [12]}  (Klee)  —  Sea cualquier ^{[nota 5]} métrica en un espacio vectorial tal que la topología inducida por en se convierta en un espacio vectorial topológico. Si es un espacio métrico completo entonces es un TVS completo. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

Normas completas y normas equivalentes

Dos normas en un espacio vectorial se denominan equivalentes si y solo si inducen la misma topología. ^[13] Si y son dos normas equivalentes en un espacio vectorial , entonces el espacio normado es un espacio de Banach si y solo si es un espacio de Banach. Véase esta nota al pie para ver un ejemplo de una norma continua en un espacio de Banach que no es equivalente a la norma dada de ese espacio de Banach. ^{[nota 6] [13]} Todas las normas en un espacio vectorial de dimensión finita son equivalentes y todo espacio normado de dimensión finita es un espacio de Banach. ^[14] Todo espacio de Banach es un TVS completo. Un espacio normado es un espacio de Banach (es decir, su métrica inducida por la norma canónica es completa) si y solo si es completo como espacio vectorial topológico. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle (X,q)}$

Terminaciones

Una compleción ^[15] de un TVS es un TVS completo que contiene un subespacio vectorial denso que es TVS-isomorfo a En otras palabras, es un TVS completo en el que se puede realizar una incrustación TVS como un subespacio vectorial denso . Cada incrustación TVS es una incrustación uniforme . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$

Todo espacio vectorial topológico tiene una completitud. Además, todo TVS de Hausdorff tiene una completitud de Hausdorff , que es necesariamente única hasta el isomorfismo TVS . Sin embargo, todos los TVS, incluso aquellos que son Hausdorff, (ya) completos y/o metrizables tienen infinitas completitudes no Hausdorff que no son isomorfas entre sí.

Ejemplos de finalizaciones

Por ejemplo, el espacio vectorial que consiste en funciones simples de valores escalares para los cuales (donde esta seminorma se define de la manera usual en términos de integración de Lebesgue ) se convierte en un espacio seminorma cuando se le dota de esta seminorma, lo que a su vez lo convierte en un espacio pseudométrico y en un TVS no completo no Hausdorff; cualquier completitud de este espacio es un espacio seminorma completo no Hausdorff que cuando se cociente por la clausura de su origen (para obtener un TVS de Hausdorff ) da como resultado (un espacio linealmente isométrico-isomorfo a) el espacio de Hausdorff completo usual (dotado de la norma completa usual ). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|_{p}<\infty }$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$

Como otro ejemplo que demuestra la utilidad de las completaciones, las completaciones de productos tensoriales topológicos , como productos tensoriales proyectivos o productos tensoriales inyectivos , del espacio de Banach con un TVS localmente convexo de Hausdorff completo da como resultado un TVS completo que es TVS-isomorfo a un espacio "generalizado" que consiste en funciones -valuadas en (donde este TVS "generalizado" se define de manera análoga al espacio original de funciones escalares en ). De manera similar, la completación del producto tensor inyectivo del espacio de funciones de prueba -valuadas escalares con dicho TVS es TVS-isomorfo al TVS definido de manera análoga de funciones de prueba -valuadas . ${\displaystyle \ell ^{1}(S)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \ell ^{1}(S;Y)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \ell ^{1}(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C^{k}}$

No unicidad de todas las finalizaciones

Como muestra el ejemplo siguiente, independientemente de si un espacio es de Hausdorff o ya completo, cada espacio vectorial topológico (TVS) tiene infinitas completitudes no isomorfas. ^[16]

Sin embargo, cada TVS de Hausdorff tiene una completitud de Hausdorff que es única hasta el isomorfismo TVS. ^[16] Pero, no obstante, cada TVS de Hausdorff todavía tiene infinitas completitudes no isomorfas no Hausdorff.

Ejemplo ( No unicidad de las compleciones ): ^[15] Sea cualquier TVS completo y sea cualquier TVS dotado de la topología indiscreta , que recuerda convierte en un TVS completo. Puesto que tanto y son TVS completos, entonces es su producto Si y son subconjuntos abiertos no vacíos de y respectivamente, entonces y lo que muestra que es un subespacio denso de Por lo tanto, por definición de "compleción", es una compleción de (no importa que ya esté completo). Así que al identificar con si es un subespacio vectorial denso de entonces tiene tanto y como compleciones. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle I\times C.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle U=I}$ ${\displaystyle (U\times V)\cap (\{0\}\times C)=\{0\}\times V\neq \varnothing ,}$ ${\displaystyle \{0\}\times C}$ ${\displaystyle I\times C.}$ ${\displaystyle I\times C}$ ${\displaystyle \{0\}\times C}$ ${\displaystyle \{0\}\times C}$ ${\displaystyle \{0\}\times C}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle X\subseteq C}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle I\times C}$

Terminaciones de Hausdorff

Cada TVS de Hausdorff tiene una completitud de Hausdorff que es única hasta el isomorfismo TVS. ^[16] Pero, sin embargo, como se muestra arriba, cada TVS de Hausdorff todavía tiene infinitas completitudes no isomorfas no Hausdorff.

Propiedades de las terminaciones de Hausdorff ^[17]  —  Supongamos que y son TVS de Hausdorff con completación. Supongamos que es una incrustación de TVS en un subespacio vectorial denso de Entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle E:X\to C}$ ${\displaystyle C.}$

Propiedad universal : para cada función lineal continua en una TVS de Hausdorff completa existe una única función lineal continua tal que ${\displaystyle f:X\to Z}$ ${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle F:C\to Z}$ ${\displaystyle f=F\circ E.}$

Si es una incrustación TVS en un subespacio vectorial denso de una TVS de Hausdorff completa que tiene la propiedad universal anterior, entonces existe un isomorfismo TVS único (biyectivo) tal que ${\displaystyle E_{2}:X\to C_{2}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle I:C\to C_{2}}$ ${\displaystyle E_{2}=I\circ E.}$

Corolario ^[17]  —  Supongamos que es un TVS de Hausdorff completo y es un subespacio vectorial denso de Entonces, cada aplicación lineal continua en un TVS de Hausdorff completo tiene una extensión lineal continua única a una aplicación ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle f:X\to Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle C\to Z.}$

Existencia de terminaciones de Hausdorff

Un filtro de Cauchy en un TVS se llama ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$filtro de Cauchy mínimo ^[17]sinoexiste un filtro de Cauchy enque sea estrictamente más grueso que(es decir, "estrictamente más grueso que" significa contenido como un subconjunto propio de). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Si es un filtro de Cauchy en entonces el filtro generado por el siguiente prefiltro: es el único filtro de Cauchy mínimo en que está contenido como un subconjunto de ^[17] En particular, para cualquier filtro de vecindad en es un filtro de Cauchy mínimo. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \left\{B+N~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}N{\text{ is a neighborhood of }}0{\text{ in }}X\right\}}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x}$

Sea el conjunto de todos los filtros de Cauchy mínimos en y sea el mapa definido enviando al filtro de vecindad de en Endow con la siguiente estructura de espacio vectorial: Dado y un escalar sea (resp. ) el único filtro de Cauchy mínimo contenido en el filtro generado por (resp. ). ${\displaystyle \mathbb {M} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E:X\rightarrow \mathbb {M} }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbb {M} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {C}}\in \mathbb {M} }$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}+{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle s{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \left\{B+C:B\in {\mathcal {B}},C\in {\mathcal {C}}\right\}}$ ${\displaystyle \{sB:B\in {\mathcal {B}}\}}$

Para cada barrio equilibrado del origen en let ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ $${\displaystyle \mathbb {U} (N)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{{\mathcal {B}}\in \mathbb {M} ~:~{\text{ there exist }}B\in {\mathcal {B}}{\text{ and a neighborhood }}V{\text{ of the origin in }}X{\text{ such that }}B+V\subseteq N\right\}}$$

Si es Hausdorff, entonces la colección de todos los conjuntos como rangos sobre todos los vecindarios equilibrados del origen en forma una topología vectorial al convertirse en un TVS de Hausdorff completo. Además, la función es una incrustación de TVS en un subespacio vectorial denso de ^[17] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {U} (N),}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mathbb {M} }$ ${\displaystyle \mathbb {M} }$ ${\displaystyle E:X\rightarrow \mathbb {M} }$ ${\displaystyle \mathbb {M} .}$

Si es un TVS metrizable , entonces se puede construir una compleción de Hausdorff de utilizando clases de equivalencia de secuencias de Cauchy en lugar de filtros de Cauchy mínimos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Terminaciones no Hausdorff

En esta subsección se detalla cómo cada TVS no Hausdorff puede ser embebido en un subespacio vectorial denso de un TVS completo. La prueba de que cada TVS Hausdorff tiene una completitud Hausdorff está ampliamente disponible y, por lo tanto, este hecho se utilizará (sin prueba) para mostrar que cada TVS no Hausdorff también tiene una completitud. Estos detalles son a veces útiles para extender los resultados de los TVS Hausdorff a los TVS no Hausdorff. ${\displaystyle X}$

Sea la clausura del origen en donde está dotado de su topología de subespacio inducida por (de modo que tiene la topología indiscreta ). Como tiene la topología trivial, se muestra fácilmente que todo subespacio vectorial de que es un complemento algebraico de en es necesariamente un complemento topológico de en ^{[18] [19]} Sea cualquier complemento topológico de en el que es necesariamente un TVS de Hausdorff (ya que es TVS-isomorfo al cociente TVS ^{[nota 7]} ). Como es la suma directa topológica de y (lo que significa que en la categoría de TVS), la función canónica es un isomorfismo TVS. ^[19] Sea la inversa de esta función canónica. (Como nota al margen, se deduce que todo subconjunto abierto y todo subconjunto cerrado de satisface ^{[prueba 1]} ) ${\displaystyle I=\operatorname {cl} \{0\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X/I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X=I\oplus H}$ $${\displaystyle I\times H\to I\oplus H=X\quad {\text{ given by }}\quad (x,y)\mapsto x+y}$$ ${\displaystyle A~:~X=I\oplus H~\to ~I\times H}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U=I+U.}$

El TVS de Hausdorff puede ser incrustado por TVS, digamos a través del mapa en un subespacio vectorial denso de su completitud . Dado que y son completos, también lo es su producto. Denotemos el mapa identidad y observemos que el mapa producto es una incrustación por TVS cuya imagen es densa en Definamos el mapa ^{[nota 8]} que es una incrustación por TVS de en un subespacio vectorial denso del TVS completo. Además, observemos que el cierre del origen en es igual a y que y son complementos topológicos en ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{H}:H\to C,}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle I\times C.}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} _{I}:I\to I}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} _{I}\times \operatorname {In} _{H}:I\times H\to I\times C}$ ${\displaystyle I\times C.}$ $${\displaystyle B:X=I\oplus H\to I\times C\quad {\text{ by }}\quad B~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\operatorname {Id} _{I}\times \operatorname {In} _{H}\right)\circ A}$$ ${\displaystyle X=I\oplus H}$ ${\displaystyle I\times C.}$ ${\displaystyle I\times C}$ ${\displaystyle I\times \{0\},}$ ${\displaystyle I\times \{0\}}$ ${\displaystyle \{0\}\times C}$ ${\displaystyle I\times C.}$

Para resumir, ^[19] dado cualquier complemento algebraico (y por lo tanto topológico) de en y dada cualquier completitud del TVS de Hausdorff tal que entonces la inclusión natural ^[20] es una incrustación TVS bien definida de en un subespacio vectorial denso del TVS completo donde además, ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle I~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\operatorname {cl} \{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\subseteq C,}$ $${\displaystyle \operatorname {In} _{H}:X=I\oplus H\to I\oplus C}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I\oplus C}$ $${\displaystyle X=I\oplus H\subseteq I\oplus C\cong I\times C.}$$

Topología de una terminación

Teorema ^{[7] [21]}  (Topología de una completitud)  —  Sea un TVS completo y sea un subespacio vectorial denso de Si es cualquier vecindad base del origen en entonces el conjunto es una vecindad del origen en la completitud de ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{X}(0)}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\mathcal {N}}_{X}(0)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{\operatorname {cl} _{C}N~:~N\in {\mathcal {N}}_{X}(0)\right\}}$$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X.}$

Si es localmente convexo y es una familia de seminormas continuas en que generan la topología de entonces la familia de todas las extensiones continuas de de todos los miembros de es una familia generadora de seminormas para ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle C.}$

Dicho de otra manera, si es una completitud de un TVS con y si es una base de vecindad del origen en entonces la familia de conjuntos es una base de vecindad en el origen en ^[3] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\subseteq C}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle X,}$ $${\displaystyle \left\{\operatorname {cl} _{C}N~:~N\in {\mathcal {N}}\right\}}$$ ${\displaystyle C.}$

Teorema ^[22]  (Completaciones de cocientes)  —  Sea un espacio vectorial topológico metrizable y sea un subespacio vectorial cerrado de Supóngase que es una completitud de Entonces la completitud de es TVS-isomorfa a Si además es un espacio normado, entonces este TVS-isomorfismo es también una isometría. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle M/N}$ ${\displaystyle C/\operatorname {cl} _{C}N.}$ ${\displaystyle M}$

Teorema de completitud de Grothendieck

Sea el que denota ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$compactología equicontinua en el espacio dual continuoque por definición consiste en todoslos subconjuntos absolutamente convexosequicontinuos, cerrados débilmente*yacotadosde^[23](que son necesariamente subconjuntos compactos débilmente* de). Supóngase que cadaestá dotado de latopología débilmente*Se dice queunfiltroen ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle E^{\prime }\in {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$convergen continuamente asi existe algúncontenedor(es decir,) tal que la traza deenla que es la familiaconverge aen(es decir, sien la topología débil-* dada).^[24] El filtroconverge continuamente asi y solo siconverge continuamente al origen, lo que sucede si y solo si para cadafiltroen el campo escalar (que eso) dondedenota cualquier base de vecindad en el origen endenota elemparejamiento de dualidad, ydenota el filtro generado por^[24] una funciónen un espacio topológico (comoo) es ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}$ ${\displaystyle E^{\prime }\in {\mathcal {E}}\cap {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x^{\prime }}$ ${\displaystyle x^{\prime }\in E^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle E^{\prime },}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{E^{\prime }}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{B\cap E^{\prime }:B\in {\mathcal {B}}\right\},}$ ${\displaystyle x^{\prime }}$ ${\displaystyle E^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{E^{\prime }}\to x^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}-x^{\prime }}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \langle {\mathcal {B}},x+{\mathcal {N}}\rangle \to \langle x^{\prime },x\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \langle {\mathcal {B}},x+{\mathcal {N}}\rangle }$ ${\displaystyle \{\langle B,x+N\rangle ~:~B\in {\mathcal {B}},N\in {\mathcal {N}}\}.}$ ${\displaystyle f:X^{\prime }\to T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \gamma }$-continuo si siempre que un filtroconvergecontinuamente aentonces^[24] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime },}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}})\to f\left(x^{\prime }\right).}$

Teorema de completitud de Grothendieck ^[24]  — Sies un espacio vectorial topológico de Hausdorff, entonces su completitud es linealmente isomorfa al conjunto de todas las funciones lineales γ {\displaystyle \gamma } -continuas en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$

Propiedades preservadas por terminaciones

Si un TVS tiene alguna de las siguientes propiedades, también las tiene su finalización: ${\displaystyle X}$

• Hausdorff
• Localmente convexo
• Pseudometrizable ^[16]
• Metrizable ^[16]
• Semi-normalizable
• Normalizable
  • Además, si es un espacio normado, entonces la completitud puede elegirse para que sea un espacio de Banach tal que la incrustación TVS de en sea una isometría. ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle (B,q)}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle (B,q)}$
• Hausdorff pre-Hilbert , es decir, una TVS inducida por un producto interno . ^[25]
• Nuclear ^[26]
• Cañón ^[27]
• Mackey ^[28]
• Espacio DF ^[29]

Completaciones de espacios de Hilbert

Todo espacio de producto interno tiene una completitud que es un espacio de Hilbert, donde el producto interno es la única extensión continua a del producto interno original. La norma inducida por es también la única extensión continua a de la norma inducida por ^{[25] [21]} ${\displaystyle \left(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)}$ ${\displaystyle \left({\overline {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\overline {H}}\right)}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\overline {H}}}$ ${\displaystyle {\overline {H}}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle .}$ ${\displaystyle \left({\overline {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\overline {H}}\right)}$ ${\displaystyle {\overline {H}}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle .}$

Otras propiedades conservadas

Si es un TVS de Hausdorff , entonces el espacio dual continuo de es idéntico al espacio dual continuo de la compleción de ^[30] La compleción de un espacio bornológico localmente convexo es un espacio en barril . ^[27] Si y son DF-espacios , entonces el producto tensorial proyectivo , así como su compleción, de estos espacios es un DF-espacio. ^[31] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

La compleción del producto tensorial proyectivo de dos espacios nucleares es nuclear. ^[26] La compleción de un espacio nuclear es TVS-isomorfa con un límite proyectivo de espacios de Hilbert . ^[26]

Si (lo que significa que el mapa de adición es un isomorfismo TVS) tiene una completitud de Hausdorff , entonces Si además es un espacio de producto interno y y son complementos ortogonales entre sí en (es decir, ), entonces y son complementos ortogonales en el espacio de Hilbert ${\displaystyle X=Y\oplus Z}$ ${\displaystyle Y\times Z\to X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \left(\operatorname {cl} _{C}Y\right)+\left(\operatorname {cl} _{C}Z\right)=C.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \langle Y,Z\rangle =\{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{C}Y}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{C}Z}$ ${\displaystyle C.}$

Propiedades de los mapas conservados por extensiones a una terminación

Si es un operador lineal nuclear entre dos espacios localmente convexos y si es una completitud de entonces tiene una extensión lineal continua única a un operador lineal nuclear ^[26] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F:C\to Y.}$

Sean y dos TVS de Hausdorff con completa. Sea una completitud de Sea el espacio vectorial de operadores lineales continuos y sea la función que envía cada a su única extensión lineal continua en Entonces es un isomorfismo de espacio vectorial (sobreyectivo). Además, asigna familias de subconjuntos equicontinuos entre sí. Supóngase que está dotado de una G {\displaystyle {\mathcal {G}}} -topología y que denota las clausuras en de conjuntos en Entonces la función es también un isomorfismo TVS. ^[26] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle I:L(X;Y)\to L(C;Y)}$ ${\displaystyle f\in L(X;Y)}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle I:L(X;Y)\to L(C;Y)}$ ${\displaystyle I:L(X;Y)\to L(C;Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}.}$ ${\displaystyle I:L_{\mathcal {G}}(X;Y)\to L_{\mathcal {H}}(C;Y)}$

Ejemplos y condiciones suficientes para un TVS completo

Teorema  —  ^[11] Sea cualquier métrica (no se supone que sea invariante a la traslación) en un espacio vectorial tal que la topología inducida por en se convierta en un espacio vectorial topológico. Si es un espacio métrico completo, entonces es un TVS completo. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

• Cualquier sistema de telemetría convencional dotado de la topología trivial es completo y cada uno de sus subconjuntos es completo. Además, todo sistema de telemetría convencional con la topología trivial es compacto y, por lo tanto, localmente compacto. Por lo tanto, un sistema de telemetría convencional completo , localmente convexo y localmente compacto no necesita ser de dimensión finita si no es de Hausdorff.
• Un producto arbitrario de SVT completos (o secuencialmente completos, cuasicompletos) tiene esa misma propiedad. Si todos los espacios son de Hausdorff, entonces las recíprocas también son verdaderas. ^[32] Un producto de compleciones de Hausdorff de una familia de SVT (de Hausdorff) es una compleción de Hausdorff de su SVT producto. ^[32] De manera más general, un producto arbitrario de subconjuntos completos de una familia de SVT es un subconjunto completo del SVT producto. ^[33]
• El límite proyectivo de un sistema proyectivo de sistemas de TV completos de Hausdorff (resp. secuencialmente completos, cuasi-completos) tiene esa misma propiedad. ^[32] Un límite proyectivo de completitud de Hausdorff de un sistema inverso de sistemas de TV (de Hausdorff) es una completitud de Hausdorff de su límite proyectivo. ^[32]
• Si es un subespacio vectorial cerrado de un TVS pseudometrizable completo entonces el espacio cociente es completo. ^[3] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X/M}$
• Supóngase que es un subespacio vectorial completo de un TVS metrizable. Si el espacio cociente es completo, entonces también lo es ^{[3] [34]} Sin embargo, existe un TVS completo que tiene un subespacio vectorial cerrado tal que el TVS cociente no es completo. ^[17] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X/M}$
• Cada espacio F , espacio de Fréchet , espacio de Banach y espacio de Hilbert es un TVS completo.
• Los espacios LF estrictos y los espacios LB estrictos son completos. ^[35]
• Supongamos que es un subconjunto denso de un TVS. Si cada filtro de Cauchy en converge a algún punto en entonces es completo. ^[34] ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• El espacio de Schwartz de funciones suaves está completo.
• Los espacios de distribuciones y funciones de prueba están completos.
• Supóngase que y son TVS localmente convexos y que el espacio de mapas lineales continuos está dotado de la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados de Si es un espacio bornológico y si es completo, entonces es un TVS completo. ^[35] En particular, el dual fuerte de un espacio bornológico es completo. ^[35] Sin embargo, no necesita ser bornológico. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$
• Todo espacio DF cuasicompleto es completo. ^[29]
• Sean y topologías TVS de Hausdorff en un espacio vectorial tales que Si existe un prefiltro tal que es una base de vecindad en el origen para y tal que cada es un subconjunto completo de entonces es un TVS completo. ^[6] ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega \subseteq \tau .}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (X,\omega ),}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

Propiedades

TVS completos

Todo TVS tiene una completitud y todo TVS de Hausdorff tiene una completitud de Hausdorff. ^[36] Todo TVS completo es un espacio cuasi-completo y secuencialmente completo . ^[37] Sin embargo, las recíprocas de las implicaciones anteriores son generalmente falsas. ^[37] Existe un TVS localmente convexo secuencialmente completo que no es cuasi-completo . ^[29]

Si un TVS tiene un vecindario completo del origen, entonces es completo. ^[38] Todo TVS pseudo metrizable completo es un espacio de barril y un espacio de Baire (y por lo tanto no es exiguo). ^[39] La dimensión de un TVS metrizable completo es finita o incontable. ^[19]

Redes y prefiltros de Cauchy

Cualquier base de vecindad de cualquier punto en un TVS es un prefiltro de Cauchy.

Toda red convergente (respectivamente, prefiltro) en un TVS es necesariamente una red de Cauchy (respectivamente, un prefiltro de Cauchy). ^[6] Cualquier prefiltro que esté subordinado a (es decir, más fino que) un prefiltro de Cauchy es necesariamente también un prefiltro de Cauchy ^[6] y cualquier prefiltro más fino que un prefiltro de Cauchy es también un prefiltro de Cauchy. El filtro asociado con una secuencia en un TVS es de Cauchy si y solo si la secuencia es una secuencia de Cauchy. Todo prefiltro convergente es un prefiltro de Cauchy.

Si es un TVS y si es un punto de acumulación de una red de Cauchy (respectivamente, prefiltro de Cauchy), entonces esa red de Cauchy (respectivamente, ese prefiltro de Cauchy) converge a en ^[3] Si un filtro de Cauchy en un TVS tiene un punto de acumulación , entonces converge a ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

Los mapas uniformemente continuos envían redes de Cauchy a redes de Cauchy. ^[3] Una secuencia de Cauchy en un TVS de Hausdorff , cuando se considera como un conjunto, no es necesariamente relativamente compacta (es decir, su clausura en no es necesariamente compacta ^{[nota 9]} ) aunque es precompacta (es decir, su clausura en la completitud de es compacta). ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Toda sucesión de Cauchy es un subconjunto acotado , pero esto no es necesariamente cierto para la red de Cauchy. Por ejemplo, supongamos que tiene un orden usual, supongamos que denota cualquier preorden en la TVS no indiscreta (es decir, no tiene la topología trivial ; también se supone que ) y extendemos estos dos preórdenes a la unión declarando que se cumple para cada y Sea definido por si y en caso contrario (es decir, si ), que es una red en ya que el conjunto preordenado está dirigido (este preorden en también es de orden parcial (respectivamente, un orden total ) si esto es cierto para ). Esta red es una red de Cauchy en porque converge al origen, pero el conjunto no es un subconjunto acotado de (porque no tiene la topología trivial). ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\cap \mathbb {N} =\varnothing }$ ${\displaystyle I~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~X\cup \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x\leq n}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle f:I\to X}$ ${\displaystyle f(i)=i}$ ${\displaystyle i\in X}$ ${\displaystyle f(i)=0}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{f(i):i\in I\}=X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Supongamos que es una familia de TVS y que denota el producto de estos TVS. Supongamos que para cada índice hay un prefiltro sobre Entonces el producto de esta familia de prefiltros es un filtro de Cauchy sobre si y solo si cada uno es un filtro de Cauchy sobre ^[17] ${\displaystyle X_{\bullet }=\left(X_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}.}$

Mapas

Si es un homomorfismo topológico inyectivo de un TVS completo en un TVS de Hausdorff, entonces la imagen de (es decir, ) es un subespacio cerrado de ^[34] Si es un homomorfismo topológico de un TVS metrizable completo en un TVS de Hausdorff, entonces el rango de es un subespacio cerrado de ^[34] Si es una función uniformemente continua entre dos TVS de Hausdorff, entonces la imagen bajo de un subconjunto totalmente acotado de es un subconjunto totalmente acotado de ^[40] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Extensiones uniformemente continuas

Supongamos que es una función uniformemente continua de un subconjunto denso de un TVS en una TVS de Hausdorff completa Entonces tiene una única extensión uniformemente continua para todos los ^[3] Si además es un homomorfismo entonces su única extensión uniformemente continua también es un homomorfismo. ^[3] Esto sigue siendo cierto si "TVS" se reemplaza por "grupo topológico conmutativo". ^[3] No se requiere que la función sea una función lineal y no se requiere que sea un subespacio vectorial de ${\displaystyle f:D\to Y}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X.}$

Extensiones lineales uniformemente continuas

Supóngase que es un operador lineal continuo entre dos TVS de Hausdorff. Si es un subespacio vectorial denso de y si la restricción a es un homomorfismo topológico, entonces es también un homomorfismo topológico. ^[41] Por lo tanto, si y son compleciones de Hausdorff de y respectivamente, y si es un homomorfismo topológico, entonces la única extensión lineal continua de es un homomorfismo topológico. (Tenga en cuenta que es posible que sea sobreyectiva pero que no sea inyectiva). ^[41] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{M}:M\to Y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F:C\to D}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle F:C\to D}$

Supóngase que y son TVS de Hausdorff, es un subespacio vectorial denso de y es un subespacio vectorial denso de Si son y son subgrupos aditivos topológicamente isomorfos a través de un homomorfismo topológico, entonces lo mismo es cierto de y a través de la única extensión uniformemente continua de (que también es un homeomorfismo). ^[42] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$

Subconjuntos

Subconjuntos completos

Todo subconjunto completo de un TVS es secuencialmente completo . Un subconjunto completo de un TVS de Hausdorff es un subconjunto cerrado de ^{[3] [38]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Todo subconjunto compacto de un TVS es completo (incluso si el TVS no es de Hausdorff o no es completo). ^{[3] [38]} Los subconjuntos cerrados de un TVS completo son completos; sin embargo, si un TVS no es completo, entonces es un subconjunto cerrado de que no es completo. El conjunto vacío es un subconjunto completo de todo TVS. Si es un subconjunto completo de un TVS (el TVS no es necesariamente de Hausdorff o completo), entonces cualquier subconjunto de que sea cerrado es completo. ^[38] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

Complementos topológicos

Si es un espacio de Fréchet no normalizable en el que existe una norma continua entonces contiene un subespacio vectorial cerrado que no tiene complemento topológico . ^[29] Si es un TVS completo y es un subespacio vectorial cerrado de tal que no es completo, entonces no tiene un complemento topológico en ^[29] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X.}$

Subconjuntos de finalizaciones

Sea un espacio vectorial topológico metrizable localmente convexo y separable y sea su completitud. Si es un subconjunto acotado de entonces existe un subconjunto acotado de tal que ^[29] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq \operatorname {cl} _{C}R.}$

Relación con subconjuntos compactos

Un subconjunto de un TVS ( que no se supone que sea de Hausdorff o completo) es compacto si y solo si es completo y totalmente acotado . ^{[43] [prueba 2]} Por lo tanto, un subconjunto cerrado y totalmente acotado de un TVS completo es compacto. ^{[44] [3]}

En un TVS localmente convexo de Hausdorff, la envoltura convexa de un conjunto precompacto es nuevamente precompacta. ^[45] En consecuencia, en un TVS localmente convexo completo de Hausdorff, la envoltura convexa cerrada de un subconjunto compacto es nuevamente compacta. ^[46]

La envoltura convexa de un subconjunto compacto de un espacio de Hilbert no es necesariamente cerrada y, por lo tanto, tampoco necesariamente compacta. Por ejemplo, sea el espacio de Hilbert separable de secuencias sumables al cuadrado con la norma usual y sea la base ortonormal estándar (que está en la coordenada ). El conjunto cerrado es compacto pero su envoltura convexa no es un conjunto cerrado porque pertenece a la clausura de en pero (ya que cada secuencia es una combinación convexa finita de elementos de y, por lo tanto, está necesariamente en todas las coordenadas excepto en un número finito, lo que no es cierto para ). ^[47] Sin embargo, como en todos los espacios localmente convexos de Hausdorff completos, la envoltura convexa cerrada de este subconjunto compacto es compacta. ^[46] El subespacio vectorial es un espacio pre-Hilbert cuando está dotado de la subestructura que el espacio de Hilbert induce en él pero no es completo y (ya que ). La envoltura convexa cerrada de en (aquí, "cerrada" significa con respecto a y no a como antes) es igual a que no es compacta (porque no es un subconjunto completo). Esto muestra que en un espacio localmente convexo de Hausdorff que no es completo, la envoltura convexa cerrada del subconjunto compacto podría no ser compacta (aunque será precompacta/totalmente acotada ). ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ ${\displaystyle e_{n}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots )}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n^{\text{th}}}$ ${\displaystyle S=\{0\}\cup \left\{{\tfrac {1}{n}}e_{n}\right\}}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle h:=\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2^{n}}}{\tfrac {1}{n}}e_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h\not \in \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle z\in \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle K:={\overline {\operatorname {co} }}S}$ ${\displaystyle X:=\operatorname {span} S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h\not \in K\cap X}$ ${\displaystyle h\not \in X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K\cap X,}$

Todo conjunto totalmente acotado completo es relativamente compacto. ^[3] Si es cualquier TVS entonces la función cociente es una función cerrada ^[48] y por lo tanto Un subconjunto de un TVS está totalmente acotado si y solo si su imagen bajo la función cociente canónica está totalmente acotada. ^[19] Por lo tanto es totalmente acotado si y solo si es totalmente acotado. En cualquier TVS, el cierre de un subconjunto totalmente acotado es a su vez totalmente acotado. ^[3] En un espacio localmente convexo, la envoltura convexa y la envoltura discoidal de un conjunto totalmente acotado están totalmente acotadas. ^[36] Si es un subconjunto de un TVS tal que cada secuencia en tiene un punto de clúster en entonces es totalmente acotado. ^[19] Un subconjunto de un TVS de Hausdorff está totalmente acotado si y solo si cada ultrafiltro en es de Cauchy, lo que sucede si y solo si es precompacto (es decir, su cierre en la compleción de es compacto). ^[40] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q:X\to X/\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}\subseteq \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q:X\to X/\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

Si es compacto, entonces y este conjunto es compacto. Por lo tanto, el cierre de un conjunto compacto es compacto ^{[nota 10]} (es decir, todos los conjuntos compactos son relativamente compactos ). ^[49] Por lo tanto, el cierre de un conjunto compacto es compacto. Todo subconjunto relativamente compacto de un TVS de Hausdorff está totalmente acotado. ^[40] ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$

En un espacio localmente convexo completo, la envoltura convexa y la envoltura en disco de un conjunto compacto son ambas compactas. ^[36] De manera más general, si es un subconjunto compacto de un espacio localmente convexo, entonces la envoltura convexa (resp. la envoltura en disco ) es compacta si y solo si es completa. ^[36] Cada subconjunto de es compacto y, por lo tanto, completo. ^{[prueba 3]} En particular, si no es Hausdorff entonces existen conjuntos completos compactos que no son cerrados. ^[3] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {co} K}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} K}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X}$

Véase también

• Espacio métrico completo  – Geometría métrica
• Filtro (teoría de conjuntos)  : Familia de conjuntos que representan conjuntos "grandes"
• Filtros en topología  – Uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.
• Espacio vectorial topológico metrizable  : un espacio vectorial topológico cuya topología se puede definir mediante una métrica
• Espacio pseudométrico  – Generalización de espacios métricos en matemáticas
• Espacio cuasicompleto  : un espacio vectorial topológico en el que cada subconjunto cerrado y acotado es completo.
• Secuencialmente completo
• Grupo topológico  – Grupo que es un espacio topológico con acción grupal continua
• Espacio uniforme  – Espacio topológico con una noción de propiedades uniformes

Notas

1. Se dice que una métrica en un espacio vectorial es invariante en la traducción si para todos los vectores Una métrica que es inducida por una norma siempre es invariante en la traducción. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D(x,y)=D(x+z,y+z)}$ ${\displaystyle x,y,z\in X.}$
2. La completitud de los espacios normados y los sistemas de transmisión televisiva metrizables se define en términos de normas y métricas . En general, se pueden utilizar muchas normas y métricas diferentes (por ejemplo, normas equivalentes ) para determinar la completitud de dicho espacio. Esto contrasta con la singularidad de esta uniformidad canónica invariante a la traducción.
3. Toda secuencia es también una red.
4. El espacio normado es un espacio de Banach donde el valor absoluto es una norma que induce la topología euclidiana habitual en Definir una métrica en por para todo donde se puede demostrar que induce la topología euclidiana habitual en Sin embargo, no es una métrica completa ya que la secuencia definida por es una secuencia de -Cauchy que no converge en a ningún punto de Nótese también que esta secuencia de -Cauchy no es una secuencia de Cauchy en (es decir, no es una secuencia de Cauchy con respecto a la norma ). ${\displaystyle (\mathbb {R} ,|\cdot |)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D(x,y)=\left|\arctan(x)-\arctan(y)\right|}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x_{i}=i}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,|\cdot |)}$ ${\displaystyle |\cdot |}$
5. No se supone que sea invariante a la traducción.
6. Sea el espacio de Banach de funciones continuas con norma suprema, sea donde se da la topología inducida por y denote la restricción de la L 1 -norma a por Entonces se puede demostrar que de modo que la norma es una función continua. Sin embargo, no es equivalente a la norma y, en particular, no es un espacio de Banach. ${\displaystyle \left(C([0,1]),\|\cdot \|_{\infty }\right)}$ ${\displaystyle X=C([0,1])}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty },}$ ${\displaystyle C([0,1])}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}.}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}\leq \|\cdot \|_{\infty }}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$ ${\displaystyle \left(C([0,1]),\|\cdot \|_{1}\right)}$
7. Este mapa cociente particular es de hecho también un mapa cerrado. ${\displaystyle q:X\to X/I}$
8. Explícitamente, este mapa se define de la siguiente manera: para cada sea y de modo que Entonces se cumple para todos y ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle (i,h)=A(x)}$ ${\displaystyle B(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(i,\operatorname {In} _{H}h\right).}$ ${\displaystyle B(i+h)=\left(i,\operatorname {In} _{H}h\right)}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle h\in H.}$
9. Si es un TVS normable tal que para cada secuencia de Cauchy el cierre de en es compacto (y por lo tanto secuencialmente compacto ), entonces esto garantiza que siempre exista algún tal que en Por lo tanto, cualquier espacio normado con esta propiedad es necesariamente secuencialmente completo. Dado que no todos los espacios normados son completos, el cierre de una secuencia de Cauchy no es necesariamente compacto. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty },}$ ${\displaystyle S~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{x_{1},x_{2},\ldots ,\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X.}$
10. En topología general, el cierre de un subconjunto compacto de un espacio no Hausdorff puede no ser compacto (por ejemplo, la topología puntual particular en un conjunto infinito). Este resultado muestra que esto no sucede en los TVS no Hausdorff. La prueba utiliza el hecho de que es compacto (pero posiblemente no cerrado) y es a la vez cerrado y compacto, de modo que que es la imagen del conjunto compacto bajo la función de adición continua también es compacto. Recordemos también que la suma de un conjunto compacto (es decir, ) y un conjunto cerrado es cerrado, por lo que es cerrado en ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\},}$ ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle \cdot +\cdot :X\times X\to X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X.}$

Pruebas

1. Sea un vecindario del origen en Dado que es un vecindario de en existe un vecindario abierto (resp. cerrado) de en tal que es un vecindario del origen. Claramente, es abierto (resp. cerrado) si y solo si es abierto (resp. cerrado). Sea tal que donde es abierto (resp. cerrado) si y solo si es abierto (resp. cerrado). ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle A(W)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle I\times H,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle I\times V\subseteq A(W)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle I\times V}$ ${\displaystyle U=I+V}$ ${\displaystyle A(U)=I\times V\subseteq A(W)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$
2. Supóngase que es compacto en y sea un filtro de Cauchy en Sea de modo que sea un filtro de Cauchy de conjuntos cerrados. Como tiene la propiedad de intersección finita, existe algún tal que para todo así que { (es decir, es un punto de acumulación de ). Como es de Cauchy, en Por lo tanto es completo. Que también es totalmente acotado se sigue inmediatamente de la compacidad de ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}=\left\{\operatorname {cl} _{S}C~:~C\in {\mathcal {C}}\right\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle s\operatorname {cl} _{S}C}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle s\in \operatorname {cl} {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$
3. Dada cualquier cubierta abierta de, elija cualquier conjunto abierto de esa cubierta que contenga el origen. Dado que es un entorno del origen, contiene y, por lo tanto, contiene ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S.}$

Citas

1. Schaefer & Wolff 1999, págs. 1–11.
2. Edwards 1995, pág. 61.
3. Narici y Beckenstein 2011, págs. 47–66.
4. Narici y Beckenstein 2011, pág. 48.
5. Zălinescu 2002, págs. 1-23.
6. Narici y Beckenstein 2011, págs. 48–51.
7. Schaefer y Wolff 1999, págs. 12-19.
8. Narici y Beckenstein 2011, págs. 64–66.
9. Wilansky 2013, pág. 29.
10. Narici y Beckenstein 2011, págs. 47–51.
11. Schaefer & Wolff 1999, pág. 35.
12. Klee, VL (1952). "Métricas invariantes en grupos (solución de un problema de Banach)" (PDF) . Proc. Amer. Math. Soc . 3 (3): 484–487. doi : 10.1090/s0002-9939-1952-0047250-4 .
13. Conrad, Keith. "Equivalencia de normas" (PDF) . kconrad.math.uconn.edu . Consultado el 7 de septiembre de 2020 .
14. ver Corolario 1.4.18, p.32 en Megginson (1998).
15. Narici y Beckenstein 2011, págs. 60–61.
16. Narici y Beckenstein 2011, págs. 93-113.
17. Horváth 1966, págs. 139-141.
18. Wilansky 2013, pág. 63.
19. Schaefer y Wolff 1999, págs. 12-35.
20. donde para todos y ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle h\in H,}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{H}(i+h)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~i+h.}$
21. Schaefer & Wolff 1999, págs. 36–72.
22. Schaefer y Wolff 1999, págs. 73-121.
23. Jarchow 1981, págs. 151, 157.
24. Jarchow 1981, págs. 175−178.
25. Trèves 2006, págs. 112-125.
26. Schaefer y Wolff 1999, págs. 73-121.
27. Schaefer & Wolff 1999, págs. 68–72.
28. Schaefer y Wolff 1999, págs. 122-202.
29. Schaefer y Wolff 1999, págs. 190-202.
30. Narici y Beckenstein 2011, págs. 225–273.
31. Schaefer y Wolff 1999, págs. 199-202.
32. Jarchow 1981, págs. 56–73.
33. Narici y Beckenstein 2011, pág. 57.
34. Horváth 1966, págs. 129-141.
35. Narici y Beckenstein 2011, págs. 441–457.
36. Narici y Beckenstein 2011, págs. 67–113.
37. Narici y Beckenstein 2011, págs. 155-176.
38. Narici y Beckenstein 2011, págs. 115-154.
39. Narici y Beckenstein 2011, págs. 371–423.
40. Horváth 1966, págs. 145-149.
41. Schaefer & Wolff 1999, pág. 116.
42. Narici y Beckenstein 2011, pág. 59.
43. Narici y Beckenstein 2011, págs. 55–56.
44. Narici y Beckenstein 2011, págs. 55–66.
45. Trèves 2006, pág. 67.
46. Trèves 2006, pág. 145.
47. Aliprantis y Frontera 2006, pag. 185.
48. Narici y Beckenstein 2011, págs. 107-112.
49. Narici y Beckenstein 2011, pág. 156.

Bibliografía

• Adasch, Norbert; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). Espacios vectoriales topológicos: la teoría sin condiciones de convexidad . Apuntes de clase en matemáticas. Vol. 639. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-08662-8.OCLC 297140003  .
• Aliprantis, Charalambos D .; Border, Kim C. (2006). Análisis de dimensión infinita: guía del autoestopista (tercera edición). Berlín: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-29587-7.OCLC 262692874  .
• Arkhangelskii, Alexander Vladimirovich ; Ponomarev, VI (1984). Fundamentos de topología general: problemas y ejercicios . Matemáticas y sus aplicaciones. Vol. 13. Dordrecht Boston: D. Reidel . ISBN 978-90-277-1355-1.OCLC 9944489  .
• Berberian, Sterling K. (1974). Lecciones de análisis funcional y teoría de operadores . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 15. Nueva York: Springer. ISBN. 978-0-387-90081-0.OCLC 878109401  .
• Bogachev, Vladimir I; Smolyanov, Oleg G. (2017). Espacios vectoriales topológicos y sus aplicaciones . Springer Monographs in Mathematics. Cham, Suiza: Springer International Publishing. ISBN 978-3-319-57117-1.OCLC 987790956  .
• Bourbaki, Nicolás (1989) [1966]. Topología general: capítulos 1 a 4 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1.OCLC 18588129  .
• Bourbaki, Nicolás (1987) [1981]. Espacios vectoriales topológicos: capítulos 1 a 5 . Elementos matemáticos . Traducido por Eggleston, HG; Madan, S. Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4.OCLC 17499190  .
• Conway, John (1990). Un curso de análisis funcional . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 96 (2.ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-0-387-97245-9.OCLC 21195908  .
• Dixmier, Jacques (1984). Topología general . Textos de pregrado en matemáticas. Traducido por Berberian, SK. Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-0-387-90972-1.OCLC 10277303  .
• Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2016). Fundamentos de convergencia de la topología . Nueva Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4.OCLC 945169917  .
• Dugundji, James (1966). Topología . Boston: Allyn and Bacon. ISBN. 978-0-697-06889-7.OCLC 395340485  .
• Dunford, Nelson ; Schwartz, Jacob T. (1988). Operadores lineales . Matemáticas puras y aplicadas. Vol. 1. Nueva York: Wiley-Interscience . ISBN 978-0-471-60848-6.OCLC 18412261  .
• Edwards, Robert E. (1995). Análisis funcional: teoría y aplicaciones . Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6.OCLC 30593138  .
• Grothendieck, Alexander (1973). Espacios vectoriales topológicos . Traducido por Chaljub, Orlando. Nueva York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7.OCLC 886098  .
• Horváth, John (1966). Espacios vectoriales topológicos y distribuciones . Serie Addison-Wesley en matemáticas. Vol. 1. Reading, MA: Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 978-0201029857.
• Husain, Taqdir; Khaleelulla, SM (1978). Barrelización en espacios vectoriales topológicos y ordenados . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 692. Berlín, Nueva York, Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-09096-0.OCLC 4493665  .
• Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4.OCLC 8210342  .
• Joshi, KD (1983). Introducción a la topología general . Nueva York: John Wiley and Sons Ltd. ISBN 978-0-85226-444-7.OCLC 9218750  .
• Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 936. Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-11565-6.OCLC 8588370  .
• Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Espacios vectoriales topológicos I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 159. Traducido por Garling, DJH Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. Sr.  0248498. OCLC  840293704.
• Köthe, Gottfried (1979). Espacios vectoriales topológicos II . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 237. Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9.OCLC 180577972  .
• Megginson, Robert E. (1998), Introducción a la teoría del espacio de Banach , Graduate Texts in Mathematics, vol. 183, Nueva York: Springer-Verlag, pp. xx+596, ISBN 0-387-98431-3
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Osborne, Mason Scott (2013). Espacios localmente convexos . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 269. Cham Heidelberg Nueva York Dordrecht Londres: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-319-02045-7.OCLC 865578438  .
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Espacios vectoriales topológicos . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 53. Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7.OCLC 589250  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4.OCLC 175294365  .
• Schubert, Horst (1968). Topología . Londres: Macdonald & Co. ISBN 978-0-356-02077-8.OCLC 463753  .
• Swartz, Charles (1992). Introducción al análisis funcional . Nueva York: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4.OCLC 24909067  .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .
• Voigt, Jürgen (2020). Un curso sobre espacios vectoriales topológicos . Libros de texto compactos de matemáticas. Cham: Birkhäuser Basel. ISBN 978-3-030-32945-7.OCLC 1145563701  .
• Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos en espacios vectoriales topológicos . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4.OCLC 849801114  .
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general. Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7.OCLC 115240  .
• Zălinescu, Constantin (30 de julio de 2002). Análisis convexo en espacios vectoriales generales . River Edge, NJ Londres: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. MR  1921556. OCLC  285163112 – vía Internet Archive .