espacio LB

En matemáticas , un espacio LB , también escrito ( LB )-espacio , es un espacio vectorial topológico que es un límite inductivo localmente convexo de un sistema inductivo contable de espacios de Banach . Esto significa que es un límite directo de un sistema directo en la categoría de espacios vectoriales topológicos localmente convexos y cada uno es un espacio de Banach. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X_{n},i_{nm})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X_{n},i_{nm}\right)}$ ${\displaystyle X_{n}}$

Si cada uno de los mapas de enlace es una incorporación de TVS, entonces el espacio LB se denomina espacio LB estricto . Esto significa que la topología inducida por es idéntica a la topología original en ^[1] Algunos autores (por ejemplo, Schaefer) definen el término " espacio LB " en el sentido de "espacio LB estricto ". ${\displaystyle i_{nm}}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle X_{n+1}}$ ${\displaystyle X_{n}.}$

Definición

La topología de puede describirse especificando que un subconjunto absolutamente convexo es una vecindad de si y sólo si es una vecindad absolutamente convexa de in para cada ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle U\cap X_{n}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle n.}$

Propiedades

Un espacio LB estricto es completo , ^[2] en cañón , ^[2] y bornológico ^[2] (y por lo tanto ultrabornológico ).

Ejemplos

Si es un espacio topológico localmente compacto que es contable en el infinito (es decir, es igual a una unión contable de subespacios compactos), entonces el espacio de todas las funciones continuas de valores complejos con soporte compacto es un espacio LB estricto . ^[3] Para cualquier subconjunto compacto, denotemos el espacio de Banach de funciones de valores complejos que están respaldadas por la norma uniforme y ordenemos la familia de subconjuntos compactos de por inclusión. ^[3] ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C_{c}(D)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle K\subseteq D,}$ ${\displaystyle C_{c}(K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle D}$

Topología final sobre el límite directo de espacios euclidianos de dimensión finita

Dejar

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\mathbb {R} ^{\infty }~&:=~\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }~:~{\text{ all but finitely many }}x_{i}{\text{ are equal to 0 }}\right\},\end{alignedat}}}$

denota el espacio de secuencias finitas , donde denota el espacio de todas las secuencias reales . Para cada número natural, denotemos el espacio euclidiano habitual dotado de la topología euclidiana y denotemos la inclusión canónica definida por de modo que su imagen sea ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)}$

${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)~:~x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} \right\}=\mathbb {R} ^{n}\times \left\{(0,0,\ldots )\right\}}$

y consecuentemente,

${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).}$

Dotar al conjunto de la topología final inducida por la familia de todas las inclusiones canónicas. Con esta topología, se convierte en un espacio vectorial topológico secuencial localmente convexo de Hausdorff completo que no es un espacio de Fréchet-Urysohn . La topología es estrictamente más fina que la topología subespacial inducida por donde está dotada de su topología de producto habitual . Dote a la imagen con la topología final inducida en ella por la biyección , es decir, está dotada de la topología euclidiana transferida a través de Esta topología es igual a la topología subespacial inducida en ella por Un subconjunto es abierto (resp. cerrado) en si y solo si para cada el conjunto es un subconjunto abierto (o cerrado) de La topología es coherente con una familia de subespacios . Esto lo convierte en un espacio LB. En consecuencia, si y es una secuencia en entonces en si y sólo si existe algo tal que ambos y estén contenidos en y en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{\;\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}~:~n\in \mathbb {N} \;\right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} },}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{n}\to \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right);}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}.}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right).}$ ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle S\cap \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).}$ ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {S} :=\left\{\;\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)~:~n\in \mathbb {N} \;\right\}.}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$ ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle v_{\bullet }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v_{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ ${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).}$

A menudo, para cada uno se utiliza la inclusión canónica para identificar con su imagen de manera explícita, los elementos y se identifican juntos. Bajo esta identificación, se convierte en un límite directo del sistema directo donde para cada mapa está la inclusión canónica definida por donde hay ceros finales. ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty };}$ ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,0,\ldots \right)}$ ${\displaystyle \left(\left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right),\left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)}$ ${\displaystyle \left(\left(\mathbb {R} ^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },\left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}\right)_{m\leq n{\text{ in }}\mathbb {N} },\mathbb {N} \right),}$ ${\displaystyle m\leq n,}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{m}\right):=\left(x_{1},\ldots ,x_{m},0,\ldots ,0\right),}$ ${\displaystyle n-m}$

Contraejemplos

Existe un espacio LB bornológico cuyo bidual fuerte no es bornológico. ^[4] Existe un espacio LB que no es cuasi completo . ^[4]

Ver también

• Espacio DF  - clase de espacio local-convexo especialPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Límite directo  : caso especial de colimit en la teoría de categorías
• Topología final  : la mejor topología que hace que algunas funciones sean continuas
• Espacio F  : espacio vectorial topológico con una métrica invariante de traducción completa
• Espacio LF  - Espacio vectorial topológico

Citas

1. Schaefer y Wolff 1999, págs. 55–61.
2. Schaefer y Wolff 1999, págs.
3. Schaefer y Wolff 1999, págs. 57–58.
4. Khaleelulla 1982, págs.

Referencias

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